Lượng giác toàn tập

Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=
2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0

120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π

2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:


2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2

DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k
33
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y
x
o
180
O
+
−

x
y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB +=
III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'

Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:




cos
sin
tg

cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=

b. Các tính chất :
• Với mọi
α
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
α α
− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1
α α
− ≤ ≤ ≤
•
tg xác đònh
2
k
π
α α π

∀ ≠ +
•
cotg xác đònh k
α α π
∀ ≠

c. Tính tuần hoàn



sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =

)( Zk
∈
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

34
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1=R
1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x O

t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt
- 3
-1
- 3/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'

- 3
-1
- 3/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2

- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3
B
π
/2
3/3
1
3
O
Góc
Hslg
0
0
30

0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4

3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1 1
tg
α
0
3
3
1
3
kxđ
3
−
-1
3
3
−
0 0

cotg
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3
−
kxđ kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
35
+
−
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)

2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π

:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos

sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2

π


cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2

( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −

5. Cung hơn kém
π
:

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α

π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Ví dụ 1: Tính
)
4
11
cos(
π
−
,
4
21
π
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA
++−++=
ππ
π
36
Đối cos
Bù sin
Phụ chéo

Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

2 2
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
α α
α
α
α
α
α
α
+ =

2
2

2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
α α
+
+

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244
cossin1sincos
−=+
2.
xxxx
2266
cossin31sincos
−=+
2. Công thức cộng :

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1 .
tg tg
tg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−
−

+
Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
α α α
π
α α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4

3. Công thức nhân đôi:

α α α
α
α
α α
α α α
α
α
α
= −
= −
= −
= −
=
=

−
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg
4 Công thức nhân ba:

3
3
cos3 4 cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −

37
2

2cos1
cos
2
α
α
+
=
2
2cos1
sin
2
α
α
−
=
ααα
2sin
2
1
cossin =
4
cos33cos
cos
3
αα
α
+
=
4
3sinsin3

sin
3
αα
α
−
=