Giải đề thi thử đh 2011 số 6 trên báo toán học và tuổi trẻ số 405 (32011)

www.MATHVN.com

THTT S

Th s c tr

c kì thi

405-3/2011
SS 0066

Th i gian làm bài 180 phút
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
Câu I:
Cho hàm s : y  x 3  3x 2  9x  3.
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) c a hàm s .
2) Tìm các giá tr c a k đ t n t i hai ti p tuy n v i (C) phân bi t nhau và có cùng h s góc k, đ ng th i
đ ng th ng đi qua các ti p đi m c a hai ti p tuy n v i (C) c t các tr c t a đ Ox, Oy t ng ng A và
B sao cho OB = 2011.OA.
Câu II:
 x 3  2y 2  x 2 y  2xy
1) Gi i h ph ng trình: 
2
3
 2 x  2y  1  3 y  14  x  2.
2) Gi i ph
Câu III:

2

ng trình: 23x  3 x  17.

3

Tính tích phân: I 

 x

3

 3x 2  2 

2011

dx.

1

Câu IV:
  300. Hai m t ph ng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, c nh BC = a và ABC
0
(SAB) và (SAC) cùng t o v i đáy m t góc 60 . Bi t r ng hình chi u c a đ nh S trên m t đáy thu c c nh
BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
Câu V:
x 3 y3
Tính giá tr l n nh t bi u th c P 
, trong đó x, y, z là các s d ng th a mãn
2
 x  yz  y  zx  z  xy 
x  y  1  z.
PH N RIÊNG

Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a:
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi t ba chân đ ng cao ng v i các đ nh A,
B, C l n l t là A ' 1;1 , B '  2;3 , C '  2; 4  . Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A 1; 2; 7  , B  4;0; 0  , C  5; 0; 1 và m t c u

S : x 2  y2  z 2  2x  4y  7  0.

Tìm t a đ đi m M thu c m t c u (S) sao cho th tích t di n MABC

l n nh t, nh nh t.
Câu VII.a:
2
Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z  3  i , bi t r ng 3z  i  zz  9.
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b:
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M  2; 1 và đ ng tròn  C1  : x 2  y 2  9. Vi t
ph ng trình đ ng tròn (C2) có bán kính b ng 4 và c t (C1) theo m t dây cung qua M có đ dài nh
nh t.

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang1


Th s c tr

www.MATHVN.com

c kì thi

2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t giác ABCD v i A 1; 2;1 , C  2; 4; 1 . Hai đi m B, D
x 1 y  2 z

 sao cho BD = 4. G i I là giao đi m hai đ ng chéo c a t giác và
1
2
3
 2011.SIAD . Tính kho ng cách t đi m D đ n đ ng th ng AC.

thu c đ

ng th ng

bi t r ng SABCD
Câu VII.b:
Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z, bi t r ng z  2  z  2  6.

H
H

N
NG
GD
D N
NG
GII II V

VÀ
À Á
ÁPP SS

PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
Câu I:
1) T gi i
2) k  y '  3x 2  6x  9  3x 2  6x  9  k  0 (*)
(C) có hai ti p tuy n phân bi t, cùng h s góc k thì ph ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t
   36  4.3.  9  k   0  k  6
Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua hai ti p đi m:
1
1
k  12
k
y  x 3  3x 2  9x  3   3x 3  6x 2  9x    3x 2  6x  9   12x    kx  k  12x  
x
3
3
3
3
k


 k
;0  , B  0; 
T a đ giao đi m c a (d) v i Ox, Oy t ng ng l n l t là A  
 k  12 
 3
k

k
 k  6021
Ta có: OB  2011.OA   2011.
3
k  12
V y k = 6021.
Câu II:
 x 3  2y 2  x 2 y  2xy
(1)
1) 
2
3
 2 x  2y  1  3 y  14  x  2 (2)
i u ki n: x 2  2y  1
 x 2  2y  VN 0 
T (1) suy ra:  x 2  2y   x  y   0  
xy

V i x = y t (2) ta có ph

ng trình: 2 x 2  2x  1  3 x 3  14  x  2

x 3  14   x  2 

3

 2 x  2x  1 
2

3

x

3

 14



2



3

x

3



 14  x  2    x  2 

6x 2  12x  6

 2 x 2  2x  1 
3




 2 x  2x  1 1 





x 3  14



2





 3 x 3  14  x  2    x  2 

0
2



0
2
3
x  14  x  2    x  2  


3 x 2  2x  1

2

3

x

3

 14



2

3





 2 x 2  2x  1  0  x 2  2x  1  0  x  1  2
V y h ph

0
2







ng trình có 2 nghi m: 1  2;1  2 , 1  2;1  2 .

2

2) 23x  3 x  17 (*)
i u ki n: x  0

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang2


www.MATHVN.com

Th s c tr

c kì thi

1
log8 9  8 xy  9 (1)
y
Ph ng trình (*)  8x  8y  17 (2)
L y (1) tr (2) ta đ c: 8xy  8 x  8 y  8  8xy  8x  8y  8 (3)
V i y = 1, (3) th a mãn  x  log 8 9
t x

V i y  1 , đ t a  8y  8
Xét hàm s : f  x   a x  8 x , v i a > 8
Ta có: f '  x   a x ln a  8x ln 8  0  f  x  luôn t ng
Mà t (3) ta có: f  x   f 1  x  1  y  log8 9  1 (th a mãn)
V i y  1 , đ t a  8y  8
Xét hàm s : f  x   a x  8 x , v i a < 8
Ta có: f '  x   a x ln a  8x ln 8  0  f  x  luôn gi m
Mà t (3) ta có: f  x   f 1  x  1  y  log8 9  1 (không th a mãn)
V y ph ng trình có 2 nghi m: x = 1 ho c x  log8 9.
Câu III:
I

3

 x

3

 3x  2 
2

2011

dx 

1

3

  x  1

1

2011

2
.  x  1  3



2011

dx

t: t  x  1  dt  dx
 x  1  t  2
i bi n: 

 t2
 x 3
I

2

t

2011

.  t 2  3

2011

dt (1)

2

t: u   t  du  dt
 t  2  u  2
i bi n: 

 u  2
 t2
2

 I     u 
2

2011

2
.  u   3



2011

2

du    u 2011.  u 2  3 

2011

du (2)

2

T (1) và (2) suy ra: I  I  I  0
V y I = 0.
Câu IV:
V HI  AB, HK  AC.
 AB  HI
Ta có: 
 AB   SHI   AB  SI
 AB  SH
 là góc t o b i (SAB) và đáy  SIH
  600
 SIH

 là góc t o b i (SAC) và đáy  SKH
  600
T ng t : SKH
Hai tam giác vuông SHI và SHK b ng nhau  HI  HK
 t giác AIHK là hình vuông
a 3
a
AB  BC.cos B 
, AC  BC.sin B 
2
2

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang3


Th s c tr

www.MATHVN.com

c kì thi

 HK HC
 AB  BC
HK
/
/AB

HK HI



1
Ta có: 
AB AC
 HI / /AC
 HI  HB
 AC BC







3 3 a
2x 2x

1 x 
4
a 3 a


SH  HI.tan SIH
SABC 

3  3  a .
4

3

3





3 1 a
4

2

1
1a 3 a a 3
AB.AC 
. 
2
2 2 2
8









3  3 a3
1
1 3 3 1 a a 2 3

VS.ABC  SH.SABC 
.
.
3
3
4
8

32
Câu V:
Ta có:
x  yz  yz  y  z  1   y  1 z  1
y  zx  zx  x  z  1   x  1 z  1
z  xy  xy  x  y  1   x  1 y  1
z 1  x  y

P

x 3 y3

 x  yz  y  zx  z  xy 

2



x 3 y3

 z  1  x  1  y  1
2

3

3



x 3 y3

 x  y   x  1  y  1
2

3

3

Áp d ng b t đ ng th c Cô – si, ta có:
2
x  y  2 xy   x  y   4xy
x 1 

x x
x2
27 2
3
x
 1  33
  x  1 
2 2
4
4

y y
y2
27 2
3
 1  33
  y  1 

y
2 2
4
4
x 3 y3
4
Suy ra: P 

27
27
4xy. x 2 . y 2 729
4
4
4
, khi đó: x  y  2, z  5.
V y giá tr l n nh t c a P b ng
729
PH N RIÊNG
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a:
1)
Ta d dàng ch ng minh đ c AA’ là phân giác trong c a tam giác ABC
' c a A 'B'C ' .
Mà BC  AA '  BC là phân giác ngoài t i A


A ' B'   3; 2   véct pháp tuy n đ ng th ng A’B’: n A 'B'   2;3 
y 1 

Ph ng trình đ ng th ng A’B’: 2  x  1  3  y  1  0  2x  3y  5  0



A 'C '  1;3  véct pháp tuy n đ ng th ng A’C’: n A 'C'   3; 1
Ph

ng trình đ

ng th ng A’C’: 3  x  1   y  1  0  3x  y  2  0

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang4


www.MATHVN.com

Th s c tr

ng trình đ ng phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) c a góc A’:
 2
3 
1 
5
2
 3
 2x  3y  5 3x  y  2




0


x 
y

10 
10 
13
10
13
10
 13
 13


 2x  3y  5   3x  y  2
 2  3  x   3  1  y  5  2  0



 13
13
10

10 
10 
13
10

 13

Ta th y B và C n m v cùng m t phía đ i v i BC.
Thay t a đ B và C l n l t vào (1) và (2) ta th y (1) th a mãn.
 2
3 
 3
1 
5
2
V y ph ng trình c nh BC là: 



 0.
x 
y
10 
10 
13
10
 13
 13
2)


AB   5; 2; 7  , AC   4; 2; 6 
  
Véct pháp tuy n m t ph ng (ABC): n  AB, AC   2;58;18 

c kì thi

Ph



Ph

(1)
(2)



ng trình m t ph ng (ABC): 2  x  4   58y  18z  0  x  29y  9z  4  0

M t c u (S) có tâm I 1; 2; 0  , bán kính R  1  4  7  2 3
Ta có: d  I,  ABC   

1  29.2  4



63
R2 3
923

1  29 2  9 2
 M t ph ng (ABC) c t m t c u (S)
 MinVMABC  0 , khi đó t a đ đi m M là đ ng tròn giao tuy n c a m t ph ng (ABC) và m t c u (S)
Th tích MABC l n nh t khi M là giao đi m c a đ ng th ng đi qua tâm m t c u (S) vuông góc m t

ph ng (ABC) v i m t c u (S).
 x  1 t

Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua I và vuông góc (ABC):  y  2  29t
 z  9t

T a đ giao đi m c a M c a (d) v i m t c u (S):
12
2 3
2
2
t 2   29t    9t   12  t 2 
t
923
923


2 3
58 3 18 3 
2 3
58 3 18 3 
 M1 1 
;2
;
;2 
;
 ho c M 2 1 

923
923 923 

923
923
923 



2 3
58 3 
18 3
1
 29  2 
4
  9.
923
923 
923
63

d  M1 ,  ABC   

2 3
923
923

2 3
58 3 
18 3
 29  2 
4
1

  9.
923
923 
923
63


2 3
d  M 2 ,  ABC   
923
923
 d  M1 ,  ABC    d  M 2 ,  ABC  
 Th tích MABC l n nh t khi M  M1


2 3
58 3 18 3 
;2 
;
V y t a đ đi m M đ th tích MABC l n nh t là: M 1 
.
923
923 923 

Câu VII.a:
t z  a  bi  Z  2z  3  i  2a  3   2b  1 i

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang5


Th s c tr

www.MATHVN.com
S ph c Z đ

c kì thi

i d ng Z  x  yi

c bi u di n d

x 3

a



x
2a
3


2


 y  2b  1

b  y 1

2

Ta có: 3z  i  zz  9  9a 2   3b  1  a 2  b 2  9  4a 2  4b 2  3b  4  0
2

2

3
 y  1  4  0
2
7
3
2
  x  3  y 2  y   0
2
2
  x  3   y  1 
2

2

2

7  73

  x  3   y   
4  16


V y t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z + 3 – i là các đi m n m bên trong và k c biên c a đ ng
7
73

tròn tâm I  3;   , bán kính R 
.
4
4

B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b:
1)
Ta có: x M 2  y M 2  5  9  M n m trong đ ng tròn (C1)
Xét các dây cung đi qua M ta th y dây cung vuông góc v i O1M t i M là dây cung có đ dài nh nh t.
2

Khi đó: O1M  5  MA  MB  R12  O1M 2  2
 O 2 M  R 22  MA 2  2 3
T a đ tâm (C2) n m trên đ ng th ng OM nên t a đ O2 có
d ng: O 2 2t;  t 
 O2M  2 3 

 2t  2     t  1
2


2
t  1
 5 t 1  2 3  


2
t  1


V y ta có hai ph

ng trình đ

2

2

2 3

 
4 3
2
; 1 
 O2  2 
5
 

3
 O  2  4 3 ; 1  2
 2 
5
5
 
ng tròn (C2) th a mãn:
3

5

2

3

5 
3

5 

2

2



4 3 
2 3
4 3 
2 3
 x  2 
   y  1 
  16 ho c  x  2 
   y  1 
  16.
5  
5 
5  
5 



2)
 x  1 t

Ph ng trình đ ng th ng AC:  y  2  2t
 z  1  2t

Góc t o b i AC và BD:
1.1  2.2   2  .3
1
5 5
 sin  
cos  

1  4  4. 1  4  9 3 14
3 14
AC  1  4  4  3

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang6


www.MATHVN.com
SABCD 

Th s c tr

c kì thi

1
1
5 5 10 5
AC.BD.sin   .3.4.

2
2
3 14
14

Ta có: SABCD  2011.SIAD  SIAD 

10 5
2011 14

1

 1 t  1 t '
t



 6 12 3 
5
T a đ giao đi m I c a AC và BD:  2  2t  2  2t '  
 I ; ; 
5 5 5


t '  1
 1  2t  3t '

5
2

2

2

3
 6   12   3 
 IA   1     2    1   
5   5
5
 5 

SIAD 

2S
1
20 5 5
100 5
DH.AI  DH  IAD 
. 
2
AI
2011 14 3 6033 14

V y kho ng cách t D đ n đ

ng th ng AC b ng

100 5
.
6033 14

Câu VII.b:
t z  x  yi
Ta có: z  2  z  2  6 

 x  2

2

 y2 

 x  2

2

 y2  6

 x  2   y 2 , b   x  2   y2
2
2
Ta có: a 2  b 2   x  2   y 2   x  2   y 2  8x   a  b  a  b   8x
t: a 

2

2

4
x
3
 ab 6
2
2
x 2 y2
2

2

2

1
Nh v y ta có h : 
4  a  x  3   x  2  y   x  3  
3
9
5
3

a  b  3 x
x 2 y2
 1.
V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z là elíp (E): 
9

5

Mà: a  b  6  a  b 

www.MATHVN.com

phamtuan_

Trang7