tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn toán tập 2

www.hsmath.net

TP ễN THI TUYN VO LP 10
Đề : 1

(

)

x x 1 x x +1 2 x 2 x +1

x x x+ x :
x 1



Bài 1: Cho biểu thức: P =




a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả m n

3

3

x1 x2 =50

2
2
x + y + x + y = 18
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
x ( x + 1) . y ( y + 1) = 72

Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác.
. D là một điể m trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC .
Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5 Cho x>o ; x 2 +

1
1
= 7 Tớnh: x5 + 5
2
x
x

Đáp án
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 0; x 1

(

2 x( x 1) 2 x 1 z
:

a, Rút gọn: P =
x(x 1)
x 1
b. P =

x +1
= 1+
x 1

)

2

<=>

P=

x 1
( x 1) 2

=

x +1
x 1

2
x 1

ne

t

Để P nguyên thì

h.

x 1 = 1 x = 2 x = 4

at

x 1 = 1 x = 0 x = 0

sm

x 1 = 2 x = 3 x = 9

Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:

1

w

Vậy với x= {0;4;9} thì P có giá trị nguyên.

w
w

.h

x 1 = 2 x = 1( Loai )

ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

(


= 25 > 0

(m 2)(m + 3) > 0 m < 3

1
m <
2


)

= (2m + 1)2 4 m 2 + m 6 0

2
x1 x 2 = m + m 6 > 0
x + x = 2m + 1 < 0
2
1
3

b. Giải phơng trình: (m 2 ) (m + 3) 3 = 50

5(3m 2 + 3m + 7) = 50 m 2 + m 1 = 0

1+ 5
m1 =

2

m = 1 5
2
2
u = x ( x + 1)
v = y ( y + 1)

Bà3. Đặt :

u + v = 18
u ; v là nghiệm của phơng trình :
uv
72
=


Ta có :

X 2 18 X + 72 = 0 X 1 = 12; X 2 = 6
u = 12 u = 6

;
v = 6

v = 12
x ( x + 1) = 12
x ( x + 1) = 6

;
y ( y + 1) = 6
y ( y + 1) = 12
Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị.
Bà4
a. Giả sử đ tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành
. Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H
A
là trực tâm tam giác ABC nên
Q

CH AB và BH AC => BD AB và CD AC .
Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 .

H

Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O

t

P

ne

Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD

O

C

B

h.

của đờng tròn tâm O thì

at

tứ giác BHCD là hình bình hành.
D

sm

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB
nhng ADB = ACB nhng ADB = ACB

AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

w

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB

w
w

.h

Do đó: APB = ACB Mặt khác:

Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB
Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC

2


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất

AP và AQ là lớn nhất hay

AD là lớn nhất

D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O
2

2

1
1

1
1


Bi 5 T x + 2 = 7 x + 2 = 7 x + = 9 x + = 3 (do x>o)
x
x
x
x


2

Nờn x5 +

1
1
1
1
1 1
1
1

= x + x 4 x 3 + x 2 2 x 3 + 4 = 3 x 4 + 4 x 2 + 2 + 1
5
x
x
x
x
x

x
x
x



1
= 3 x 2 + 2 2 7 + 1 = 3 ( 49 8 ) = 123
x



..HT

Đề : 2
Câu1 :

Cho biểu thức

x 3 + 1
x(1 x 2 ) 2
x3 1
Với x 2 ;1
+ x
x :
A=
x2 2
x + 1

x 1

.a, Ruý gọn biểu thức A
.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 6 + 4 2
c. Tìm giá trị của x để A=3
Câu2.a, Giải hệ phơng trình:

( x y )2 4 = 3( y x)

2 x + 3 y = 7
b. Giải bất phơng trình:

x3 4 x 2 2 x 20
<0
x2 + x + 3

.h

sm

at

h.

ne

t

Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Câu3.
a)Xác định m để phơng trình trên có nghiệm phõn bit
b)Xác định m để phơng trình trên có nghiệm phõn bit x1;x2 sao cho: x12 + x22 = 3

Câu 4. Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng hình vuông ABCD
thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao
điểm của CFvà ED
a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. chứng minh rằng :BK l tip tuyn ca(o)
c. chứng minh rằng :F l trung im ca CK
đáp án

6 + 4 2 = 2 + 2 vào A ta đợc A= 2(4 + 2)

3

w

b.Thay x=

w
w

x2 2
Câu 1: a. Rút gọn A=
x


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=

3 17
2

Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

( x y )2 4 = 3( y x)

Từ đó ta có

2 x + 3 y = 7

x y = 1
x y = 4
(1) V *
(2)
2 x + 3 y = 7
2 x + 3 y = 7

<=>*

Giải hệ (1) ta đợc x=2, y=1
Giải hệ (2) ta đợc x=-1, y=3
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=2, y=1 hoặc x=-1; y=3
D
b) Ta có x3-4x2-2x-20=(x-5)(x2+x+4)
K
mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 ; x2+x+4>0 với mọi x
Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
E

a)Xét 2m-10=> m 1/2
F
v , = m2-2m+1= (m-1)2 > 0
m1
A
ta thấy pt có 2 nghiệm p.bit với m 1/2 v m1
b) m= 24 2
Câu 4:
B
C
a. Ta có KEB= 900
O
0
mặt khác BFC= 90 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b. BCF= BAF
Mà BAF= BAE=450=> BCF= 450
Ta có BKF= BEF
Mà BEF= BEA=450(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=> BKF=450
Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B
=>BK OB=>BK l tip tuyn ca(0)
c)BF CK ti F=>F l trung im
HT
Đề: 3
x
y
xy
Bài 1: Cho biểu thức:

P=

( x +

y )(1

y )

x +

(

) (

y) x +1

)(

x + 1 1 y

)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa m n phơng trình P = 2.
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 3: Giải hệ phơng trình :

at

h.

ne

t

x + y + z = 9

1 1 1
+ + =1
x y z
xy + yz + zx = 27

4

w
w

w
.h

sm

Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn (C A ; C B ) . Trên nửa
mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
. Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .

b). Khi MB = MQ , tính BC theo R.
Bài 5: Cho x >o ;y>0 thỏa m n x+y=1 : Tỡm GTLN ca A= x + y


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Đáp án
Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x + y 0 .
*). Rút gọn P: P =

x(1 +

x ) y (1

(

y ) xy

x +

y

)

(

)

( x y ) + x x + y y xy
=

(

x +

y

)

)(1 y )
( x + y )(1 + x )(1 y )
( x + y )( x y + x xy + y xy ) = x ( x + 1) y ( x + 1) + y (1 + x )(1 x )
=
( x + y )(1 + x )(1 y )
(1 + x )(1 y )
x (1 y )(1 + y ) y (1 y )
x y + y y x
=
= x + xy y.
=
1

y
1
y

(
)

(
)
x +

Vậy P =

x +

b). P = 2

xy

(

(

y

xy
y. = 2

)

y

)(

x

y.

) (

x1+




x +

)(1 +

(

x 11+

y +1 =1

)

y =1

Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả m n
Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx
+ m 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m 2
x2 + mx + m 2 = 0 (*)
2

Vì phơng trình (*) có = m 2 4m + 8 = (m 2 ) + 4 > 0 m nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân
biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b). A và B nằm về hai phía của trục tung p.trình : x2 + mx + m 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m 2 < 0
m < 2.

ne

t

x + y + z = 9
(1)

1 1 1
Bài 3 : +
+ =1
(2)
x y z
xy + yz + xz = 27 (3)
ĐKXĐ : x 0 , y 0 , z 0.
2

x 2 + y 2 + z 2 = 81 2 ( xy + yz + zx ) x 2 + y 2 + z 2 = 27

sm

x 2 + y 2 + z 2 = ( xy + yz + zx ) 2( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ( xy + yz + zx ) = 0

w
w

x= y= z

w

x = y

y = z
z = x


.h

( x y )2 + ( y z ) 2 + ( z x) 2 = 0
( x y ) 2 = 0

( y z ) 2 = 0
( z x ) 2 = 0


at

h.

( x + y + z ) = 81 x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 81

5


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa m n hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
Bài 4:
a). Xét ABM và NBM .
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90o .
Q
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM = MBN => BAM = BNM
=> BAN cân đỉnh B.
N
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB).
C
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM).
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
M
b). Xét MCB và MNQ có :
MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( vì : MCB = MNC ; MBC = MQN ).
A
=> MCB = MNQ (c. g . c ). => BC = NQ .
O
2
Xét tam giác vuông ABQ có AC BQ AB = BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 1) R

Bài 5:) Do A > 0 nên A lớn nhất A2 lớn nhất.
Xét A2 = ( x +
Ta có:

B

y )2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1)

x+ y
xy (Bất đẳng thức Cô si)
2

=> 1 > 2 xy

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2

1

1

Max A2 = 2 <=> x = y = , max A = 2 <=> x = y =
2
2
.
Đề 4
Câu 1: Cho hàm số f(x) =

x 2 4x + 4

a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10

f ( x)
khi x 2
x2 4
x( y 2) = ( x + 2)( y 4)
Câu 2: Giải hệ phơng trình
( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3)
x x +1 x 1
x
với x > 0 và x 1
: x +
Câu 3: Cho biểu thứcA =



x 1


1
x
1
x



a) Rút gọn A

at

h.

ne

t

c) Rút gọn A =

sm

b) Tìm giá trị của x để A = 3

.h

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vuông

w

b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.

w

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

w

góc hạ từ A đến đờng kính BC.

6


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa m n: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
Câu 1a)

f(x) =

x 2 4 x + 4 = ( x 2) 2 = x 2

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3
b)

x 2 = 10
x = 12
f ( x) = 10

x 2 = 10
x = 8

c)

A=

x2
f ( x)
=
x 2 4 ( x 2)( x + 2)

Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A =

1
x+2

Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra A =

1
x+2

Câu 2

x( y 2) = ( x + 2)( y 4)
xy 2 x = xy + 2 y 4 x 8
x y = 4
x = -2




( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3)
2 xy 6 y + 7 x 21 = 2 xy 7 y + 6 x 21
x + y = 0
y = 2
x x +1 x 1

x
=
: x +
Câu 3 a)
Ta có: A =



x 1
x 1
x 1

( x + 1)( x x + 1)
x 1 x ( x 1)


+
( x 1)( x + 1) x 1 :
x
1




x x +1 x +1
x 1
b) A = 3

=>

Câu 4

:

x
x 1

=

2 x
=3
x

x +2
x 1

:

=> 3x +

x
x 1

x

x 1
=

x -2=0

x x +1 x 1 x x + x
=
:





x

1
x
1
x
1






=

x +2
x 1



x 1
=

x

2 x
x

=> x = 2/3

Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)

ne

(1)

h.

EH CH
=
;
PB CB

t

nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có

at

a)

Do đó:

AH CH
=
PB OB

w

AHC POB
(2)

w

=>

.h

POB = ACB (hai góc đồng vị)

7

w

=>

sm

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH.
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có

AH 2 = (2 R

AH.CB AH.CB
)
.
2PB
2PB

AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
AH =



4R.CB.PB
4R.2R.PB
=
2
2
4.PB + CB
4PB 2 + (2R) 2

8R 2 . d 2 R 2

2.R 2 . d 2 R 2
=
=
4(d 2 R 2 ) + 4R 2
d2
Câu 5 Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0
<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5

(1)

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:

2m 1

x1 + x 2 = 2

m 1


x 1 .x 2 =

2

3x 1 4x 2 = 11


Giải phơng trình 3

13 - 4m

x1 =
7

7m 7

x1 =
26 - 8m

7m 7
13 - 4m

4
= 11
3

26 - 8m
7


7m 7
13 - 4m
4
= 11
26 - 8m
7

ta đợc m = - 2 và m = 4,125

(2)

đ k (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì ph trình có hai nghiệm phân biệt thỏa m n: 3 x1 -4 x2 = 11
HT
..

x+2
x +1
x +1
+
x 1
x x 1 x + x + 1

ne

Cho P =

h.

Câu 1:

t

Đề 5

1
với x 0 và x 1.
3

sm

b/. Chứng minh: P <

at

a/. Rút gọn P.

1
+
x

1
2 x2

=2

8

w

Câu 3: a/. Giải phơng trình :

w

w

.h

(1)
; m là tham số.
Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 3 = 0

a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Câu 4: Cho ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là
đờng tròn ngoại tiếp BCD . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .
a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.
b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?
c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
Cõu5. Cho ba số x, y, z tho m n đồng thời :

x2 + 2 y + 1 = y 2 + 2 z + 1 = z 2 + 2 x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức : A = x 2009 + y 2009 + z 2009 .
.

Đáp án
Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1
P=

x+2
x +1
x +1
+
x x 1 x + x + 1 ( x + 1)( x 1)

=

x+2
x +1
+
3
( x ) 1 x + x + 1

=

x + 2 + ( x + 1)( x 1) ( x + x + 1)
( x 1)( x + x + 1)

=

x x
x
=
( x 1)( x + x + 1)
x + x +1

1
x 1

1
x
1

<
3
x + x +1 3

x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 )

b/. Với x 0 và x 1 .Ta có: P <

3 x
x-2 x +1>0
( x - 1)2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1)
Câu 2:a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0.
(m - 1)2 m2 3 0
4 2m 0
m 2.
b/. Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:

m 1
m 1 2
3(
) = m2 3
2
2

t

a=

ne

a + 3a = 2m 2

2
a.3a = m 3

h.

m2 + 6m 15 = 0 m = 3 2 6 ( thõa m n điều kiện).

2 x2 > 0

w

w

.h

x 2 + y 2 = 2 (1)

Ta có: 1 1
x + y = 2 (2)


9

w

Đặt y =

2.

sm

Điều kiện x 0 ; 2 x2 > 0 x 0 ; x <

at

Câu 3:


ễN THI VO LP 10

www.hsmath.net

Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = -

1
2

* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
X2 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1.

1
thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
2
1
1 3
1 + 3
1 3
X2 + X =0 X=
x=
Vì y > 0 nên: y =

2
2
2
2

* Nếu xy = -

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

1 3
2

A

Câu 4: c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang.
Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành
AB // CK

K

BAC = ACK
1
1
sđ EC = sđ BD = DCB
2
2
Nên BCD = BAC
Mà ACK =

D

Dựng tia Cy sao cho BCy = BAC .Khi đó, D là giao điểm của AB và Cy.
Với giả thiết AB > BC thì BCA > BAC > BDC .
D AB .
Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm
.Cõu5. Từ giả thiết ta có : x 2 + 2 y + 1 = 0

O
B

C

2
y + 2z +1 = 0
2
z + 2x + 1 = 0
Cộng từng vế các đẳng thức ta có : ( x 2 + 2 x + 1) + ( y 2 + 2 y + 1) + ( z 2 + 2 z + 1) = 0
2

2

2

( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 0

x +1 = 0

y + 1 = 0 x = y = z = 1
z +1 = 0

2009

+ ( 1)

2009

+ ( 1)

2009

= 3

Vậy : A = -3.

w

w

w

.h

sm

at

h.

.
HT

ne

t

A = x 2009 + y 2009 + z 2009 = ( 1)

10