Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu (KL07198)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGÔ THỊ MINH

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn
tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương
trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu” không
có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Minh


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài
khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài
khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Minh


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Phương pháp nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt
dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4. Dao động cưỡng bức gần cộng hưởng với kích thích yếu . . . .

24

2.5. Phương trình biên độ cho con lắc không tắt dần . . . . . . . . . . .

27

2.6. Phương trình biên độ cho con lắc tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.7. Lò xo mềm và lò xo cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.8. Sự nhiễu biên độ-pha đối với phương trình con lắc . . . . . . . . .

35

2.9. Nghiệm tuần hoàn của phương trình autonom (phương pháp Lindstedt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

3


2.10. Dao động cưỡng bức của phương trình tự kích thích . . . . . .

40

2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4


MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa
học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh
dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực
tiễn. Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng trong
toán học hiện đại. Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm
biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với
đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ
sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do
vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực
tế số phương trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói
riêng giải được không nhiều.
Với lòng say mê toán học sẵn có, đặc biệt là mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai em đã mạnh dạn chọn đề
tài: "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi
tuyến bằng phương pháp nhiễu". Đây là một đề tài có phạm vi quy mô
nhỏ trong ngành giải tích toán học. Nội dung đề cập trong khóa luận được

trình bày trong hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các khái niệm cơ bản
về phương trình vi phân cấp hai, khái niệm mặt phẳng pha, phương trình
autonom trong mặt phẳng pha, chu trình giới hạn.
Chương 2: Trình bày về việc nghiên cứu nghiệm của phương trình vi
phân cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này của em khó tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn
đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

5


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương trình vi phân cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng
F(x, y, y , y ) = 0,

(1.1)

ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo hàm
của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng
y = f (x, y, y ).

(1.2)

Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (1.2). Nếu

∂f
∂f
(x, y, y ) và
f (x, y, y ),
(x, y, y ) liên tục trong một miền D nào đó trong
∂y
∂y
R3 và nếu (x0 , y0 , y0 ) là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của
điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (1.2)
thỏa mãn các điều kiện
y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 .
6

(1.3)


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3)
được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), trong
đó C1 ,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 ,C2 ,
(ii) Với mọi (x0 , y0 , y0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 =
C10 ,C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn (1.3).
Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình
(1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.

Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 )
nhận được bằng cách cho C1 ,C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định
C10 ,C20 . Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

1.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha
Xét phương trình autonom cấp hai
x¨ = f (x, x).
˙

(1.4)

Để nghiên cứu định tính của phương trình này ta đặt
y = x.
˙
Khi đó phương trình (1.4) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một

x˙ = y
(1.5)
y˙ = f (x, y).
Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (1.4). Từ
hệ (1.5) ta có mối liên hệ giữa x và y xác định bởi phương trình vi phân cấp
7


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

một
dy

f (x, y)
=
.
dx
y

(1.6)

Mỗi đường cong biểu diễn nghiệm của (1.6) được gọi là một đường cong
pha của phương trình vi phân (1.3) hoặc của hệ phương trình vi phân cấp
một (1.4). Do đó (1.6) còn được gọi là phương trình vi phân xác định đường
cong pha.
Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biến đổi
của x theo thời gian t. Có thể thấy, nếu y = x˙ > 0 thì x tăng khi t tăng, nếu
y = x˙ < 0 thì x giảm khi t giảm. Do đó, hướng của đường cong pha luôn từ
trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên và từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng
dưới.
Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng thái vật lý
(x, x)
˙ chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.3) mô tả, do đó
P được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó.
Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theo thời
gian, tức là ta có x˙ ≡ 0. Khi đó ta cũng có x¨ ≡ 0. Do đó, trong mặt phẳng
pha, trạng thái cân bằng được biểu diễn bởi điểm P(x, 0), với x là nghiệm
của phương trình x¨ = x˙ = 0 hay
f (x, 0) = 0.

(1.7)

Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.7) được gọi là điểm cân bằng

của (1.3) và của (1.4).
Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng của
chúng được gọi là lược đồ pha.
Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha để
đưa ra các tính chất của nghiệm x = x(t) của phương trình vi phân cấp hai
(1.3), cũng như mô tả tính chất vật lý của hệ xác định bởi phương trình đó.
Giả sử A, B là hai điểm trên một đường cong pha. Khi đó thời gian để
trạng thái P(x, y) từ A tới B dọc theo đường cong pha đó được gọi là thời
8


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

gian chuyển từ A tới B. Đó là một đại lượng không phụ thuộc vào thời điểm
P xuất phát ở A và xác định bởi:
dx
.
AB y

TAB =

(1.8)

Các tính chất có thể quan sát được qua lược đồ pha bao gồm:
i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của
(1.3). Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (1.3) tương ứng với đường cong
pha không kín.
ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (1.3).

iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ra tính
chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý. Chẳng hạn:
+) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường cong
kín bao quanh nó thì được gọi là một tâm và đó là một điểm cân bằng ổn
định (tức là, theo thời gian hệ sẽ tiến tới trạng thái đó nếu xuất phát từ trạng
thái gần với điểm cân bằng).
+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng đều
có hướng về điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng ổn định.
+) Nếu dịch khỏi trạng thái cân bằng một chút đều có thể rới vào một
đường cong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng
không ổn định,...

1.3. Chu trình giới hạn
Xét hệ autonom
x¨ = f (x, x),
˙
trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng
f (x, x)
˙ = −h(x, x)
˙ − g(x),
9


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

khi đó phương trình vi phân, trở thành
x¨ + h(x, x)
˙ + g(x) = 0

(1.9)

và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là

x˙ = y
(1.10)
y˙ = −h(x, y) − g(x).
Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng hệ có một điểm
cân bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết,
bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó
h(0, 0) + g(0) = 0
và nghiệm duy nhất của h(x, 0) + g(x) = 0 là x = 0. Chúng tôi tiếp tục giả
định rằng
g(0) = 0,

(1.11)

h(0, 0) = 0.

(1.12)

khi đó

Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (1.9) dưới dạng
x¨ + g(x) = −h(x, x),
˙

(1.13)

chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển
động tự do được điều khiển bởi phương trình x¨ + g(x) = 0 (một hệ bảo toàn),
nhưng bị tác động bởi một ngoại lực −h(x, x)
˙ đóng vai trò là nguồn cung cấp
hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì hệ đó mô tả dao
động được điều khiển bởi ngoại lực −h(x, x).
˙ Trạng thái cân bằng xảy ra khi
x = x˙ = 0.
Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi
V (x) =

g(x)dx,
10

(1.14a)


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

và động năng của hạt bởi
1
T = x˙2 .
(1.14b)
2
Năng lượng toàn phần ε cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là:
1
ε = T +V = x˙2 +
2

g(x)dx,

(1.15)

do đó có quy tắc biến đổi năng lượng
dε
= x˙x¨ + g(x)x.
˙
dt
Khi đó, từ (1.9) ta có
dε
= x(−g(x)
˙
− h(x, x)
˙ + g(x)) = −xh(x,
˙
x)
˙ = −yh(x, y)
dt

(1.16)

trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn
cung cấp năng lượng sinh bởi −h(x, x)
˙ hay đại diện cho ngoại lực.
Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm
cân bằng (0, 0), dε/dt là âm:
dε
= −yh(x, y) < 0

dt

(1.17)

(ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Hãy xét đường cong
pha bất kì sau một điểm nằm trong R tại mọi thời điểm. Khi đó, ε liên tục
giảm dọc theo đường cong pha đó. Ảnh hưởng của h tương tự như giảm tốc
hoặc điện trở; năng lượng liên tục bị rút khỏi hệ, và điều này dẫn tới việc
giảm biên độ cho đến khi hết năng lượng ban đầu. Chúng ta nên mong đợi
các đường cong pha tiếp cận với điểm cân bằng.
Nếu

dε
= −yh(x, y) > 0
(1.18)
dt
trong R (với y = 0 ), thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy,
và biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn
còn trong miền R. Ở đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng
lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trong R.
11


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Đường tròn trong Hình 1.1 là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’ được
hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó.
Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại,

nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu
trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới
hạn trong Hình 1.1 là một chu trình giới hạn ổn định, vì nếu hệ được nhiễu
từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong
pha mới.

Hình 1.1: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y2 = 1 sinh
bởi hệ x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0.

Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường
cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn.
Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả
lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình
bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân bằng được tự
động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma
sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn
ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì .

12


Chương 2

Phương pháp nhiễu
Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần
hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với
ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình
autonom. Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguyên của
một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian. Có một số quyền
tự do trong viêc gán các hệ số phụ thuộc thời gian, điều này được sử dụng

để tạo ra các xấp xỉ chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các
giá trị của các tham số chính của phương trình. Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ
đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự. Các
quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến
tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ.

13


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức
Cho đến thời điểm hiện tại, cơ bản chúng ta đã xét các hệ autonom.
Phương trình vi phân có dạng
x¨ = f (x, x,t),
˙

(2.1)

và các hệ cấp một có dạng tổng quát
x˙ = X(x, y,t), y˙ = Y (x, y,t),

(2.2)

ở đó thời gian t xuất hiện một cách rõ ràng, được gọi là không autonom và
là đối tượng chính của chương này.
Trạng thái của hệ được xác định bởi cặp giá trị (x, x)
˙ hoặc (x, y), và

như trước (với phương trình (2.1), ta thường định nghĩa y = x).
˙ Nếu một hệ
autonom đi qua một trạng thái (x0 , y0 ) tại t = t0 thì điều kiện ban đầu này
sẽ xác định những trạng thái kế tiếp trong chuyển động duy nhất độc lập với
t0 và chúng tạo thành một đường cong pha duy nhất qua điểm (x0 , y0 ). Tuy
nhiên, các phương trình không autonom có thể sinh ra vô hạn đường cong
pha qua một điểm (x0 , y0 ); một điểm khác nữa là nói chung, đối với mọi giá
trị của t0 . Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách đánh giá độ dốc của
một đường cong pha đi qua (x0 , y0 ) tại t0 .
Từ (2.2)
dy
dx

=
(x0 ,y0 ,t0 )

y˙ Y (x0 , y0 ,t0 )
=
.
x˙ X(x0 , y0 ,t0 )

Độ dốc phụ thuộc vào giá trị của t0 , trong khi đối với các phương trình
autonom thì nó không phụ thuộc vào t0 . Điều này làm giảm đáng kể tính
hữu ích của việc biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một
mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa.
Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn
của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt. Hai ví dụ về phương
14

Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức sau
x¨ + kx˙ + ω02 x + εx3 = F cos ωt
và
x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + ω02 x = F cos ωt
ở đó ε là một tham số nhỏ. Khi ε = 0, những phương trình đó trở thành tuyến
tính. Số hạng bên phải, F cos ωt được gọi là lực cưỡng bức điều hoà và có
thể xem như là một ngoại lực với biên độ F và tần số vòng ω tác động lên
hạt đơn vị trên lò xo phi tuyến. Số hạng lực cưỡng bức cố gắng điều khiển hệ
thống ở tần số ω chống lại khuynh hướng dao động tự do hoặc các chuyển
động khác được mô tả bởi các phương trình thuần nhất
x¨ + kx˙ + ω02 x + εx3 = 0
hoặc
x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + ω02 x = 0.
Để thuận tiện cho việc tham khảo, chúng tôi tóm tắt các tính chất của
các nghiệm của phương trình đại diện cho dao động tuyến tính tắt dần với
số hạng cưỡng bức điều hoà:
x¨ + kx˙ + ω02 x = F cos ωt,

(2.3a)

ở đó k > 0, ω0 > 0, ω > 0 và F là các hằng số và hệ số tắt dần k không quá
lớn:
0 < k < 2ω0 .

(2.3b)

Đó là phương trình chuyển động của hệ cơ học trong Hình 2.1. Khối có khối
lượng đơn vị, độ cứng của lò xo bằng ω02 , và lực ma sát tỉ lệ với vận tốc
thông qua hằng số k. Toạ độ x là khoảng cách từ vị trí của khối lượng đến vị
trí cân bằng, tức là khi lò xo có độ dài tự nhiên.
Nghiệm tổng quát của (2.3a) cho trong công thức sau:
15


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Hình 2.1:
Nghiệm riêng + các hàm bù
(Các hàm bù là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
x¨ + kx˙ + ω02 x = 0) là
x(t) =

F cos(ωt − γ)
1

[(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2

− 12 kt

+Ce

cos

ω02 −

1
2

1 2
k
4

t − φ . (2.4)

Trong số hạng đầu, γ bằng góc cực của số phức (ω02 − ω 2 ) + ikω trên lược
đồ Argand. Trong số hạng thứ hai (các hàm bù) C và φ là các hằng số tuỳ ý
được điều chỉnh để phù hợp với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , x(t
˙ 0 ) = y0 . Số
hạng đó luôn tiến đến 0 khi t → ∞ do nhân tử e−(1/2)kt , nó được mô tả như
số hạng nhất thời. Do đó tất cả các nghiệm của (2.3) đều tiến đến trạng thái
của dao động ổn định, được mô tả bởi nghiệm riêng x p (t), ở đó
1

x p (t) = F cos(ωt − γ)/[(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2
16

(2.5)


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

mà có cùng tần số như ngoại lực F cos ωt, nhưng có độ chậm pha xác định

bởi góc γ. Số hạng này trong (2.4) cũng được gọi là dao động cưỡng bức,
còn số hạng thứ hai là dao động tự do.
Biên độ A của (2.5) được cho bởi
1

A = |F|/[(ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 ] 2 .
Giả sử ta tiến hành thí nghiệm trên hệ trong Hình 2.1 bằng cách biến đổi tần
số của ngoại lực ω và theo dõi cách biến đổi của biên độ A. Với giá trị cố
định của k, A đạt được giá trị lớn nhất khi (ω02 − ω 2 )2 + k2 ω 2 mang giá trị
nhỏ nhất đối với ω 2 , xuất hiện khi
1
ω 2 = ω02 − k2
2
và do đó

1
1
A = Amax = |F|/ k(ω02 − k2 ) 2 .
4

Bây giờ giả sử k là rất nhỏ. Biểu thức này cho thấy khi ω có giá trị gần
với ω0 thì Amax trở nên rất lớn và hệ được gọi là ở trong trạng thái được cộng
hưởng. Phân tích kỹ hơn cho thấy, dưới những điều kiện này, sự chậm pha
γ trong (2.4) gây ra bởi ngoại lực F cos ωt, với ω 2 = ω02 − 12 k2 , là thời gian
để nó có tác động cực đại vào khuynh hướng dao động tự do của hệ. Do đó
biên độ đạt giá trị lớn hơn.
Trường hợp khi k = 0 ở (2.3a) là đặc biệt theo nghĩa số hạng thứ hai ở
nghiệm tổng quát (2.4) là không nhất thời, nó không giảm theo thời gian.
Các nghiệm là tuần hoàn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt của ω và ω0 (khi
ω = (p/q)ω0 , ở đó p và q là các số nguyên). Có trạng thái thường xuyên

hay thất thường của dao động còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu. Nghiệm
tổng quát của (2.3a) khi k = 0 là
x(t) =

F
cos ωt +C cos(ω0t + φ )
ω02 − ω 2

17


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Nếu k = 0 và ω = ω0 thì (2.4) trở nên vô nghĩa, vì vậy chúng ta quay trở lại
phương trình vi phân (2.3) mà trong trường hợp đó, phương trình có dạng
x¨ + ω02 x = F cos ω0t.
Nghiệm tổng quát là
x(t) =

F
t sin ω0t +C cos(ω0t − φ )
2ω0

(2.6)

Số hạng đầu có dạng khác trong (2.4). Các nghiệm bao gồm các dao động
với tần số ω0 và biên độ tăng vô hạn khi t → ±∞, đây là trường hợp cực đại
của hiện tượng cộng hưởng, khi không còn sự điều khiển tắt dần.

Phương trình chuyển động của con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức
điều hoà là dễ hình dung và dẫn đến việc xem xét một họ quan trọng của các
phương trình phi tuyến được gọi là phương trình Duffing tổng quát. Dạng
chuẩn của phương trình con lắc là
x¨ + kx˙ + ω02 sin x = F cos ωt

(2.7)

ở đó, x là độ lệch góc so với phương thẳng đứng, k = α/(ma2 ), ở đó m là khối
lượng và a là độ dài, α x˙ là mômen của lực ma sát với giá treo; ω02 = g/a;
F = M/(ma2 ), ở đó M là biên độ của mômen điều khiển quanh giá treo. Thứ
nguyên vật lý của các hệ số trong (2.7) là [T −2 ].
Để dự tính mức độ tác động của mômen ngoại lực đối với con lắc tại giá
của nó, ta xét Hình 2.2. Con lắc được cấu tạo gồm một con quay (giá) và
được gắn chặt vào một trụ đỡ. Con quay được điều khiển ma sát bởi một vỏ
che sát ngoài, vỏ này được gây quay một cách độc lập quanh con quay với
vận tốc góc A cos ωt. Giả sử mặt tiếp xúc được làm trơn bằng chất lỏng nhớt,
mômen điều khiển M tỉ lệ thuận với vận tốc góc tương đối giữa con quay và
vỏ che ngoài:
M = α(A cos ωt − x)
˙

18


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

ở đó A là hằng số. Bằng cách điều chỉnh (trong tưởng tượng) hằng số α và

A, phương trình (2.7) có thể được tạo ra cho giá trị bất kì của F và giá trị bất
kì của k > 0.

Hình 2.2: Con lắc có điều khiển ma sát

2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình
Duffing không tắt dần
Xem xét dao động cưỡng bức của con lắc không tắt dần
x¨ + ω02 sin x = F cos ωt

(2.8)

trong đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ω0 > 0, ω > 0 và
F > 0. Đặt

1
sin x ≈ x − x3
6

19


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

để cho phép dao động lớn ôn hoà, với độ chính xác 1% khi |x| < 1 radian
(hay 570 ). Khi đó phương trình (2.8) trở thành, xấp xỉ
1
x¨ + ω02 x − ω02 x3 = F cos ωt.

6

(2.9)

Chuẩn hoá dạng (2.9) bằng cách đặt
τ = ωt, Ω2 = ω02 /ω 2 (Ω > 0), Γ = F/ω 2 .

(2.10)

Khi đó ta được

1
x + Ω2 x − Ω2 x3 = Γ cos τ
(2.11)
6
ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến τ. Đây là một trường hợp đặc biệt của
phương trình Duffing, được đặc trưng bởi số hạng phi tuyến bậc ba. Nếu
phương trình (2.11) đó thực sự sinh ra khi xem xét con lắc, thì các hệ số và
các biến là không thứ nguyên.
Các phương pháp đã mô tả đều yêu cầu sự phụ thuộc vào số hạng phi
tuyến là không đáng kể nên ở đây ta giả thiết rằng 61 Ω2 là nhỏ và viết
1 2
Ω = ε0 .
6

(2.12)

x + Ω2 x − ε0 x3 = Γ cos τ.

(2.13)

Khi đó (2.11) trở thành

Thay vì xét (2.13) với Ω, Γ, ε0 là các hằng số, ta sẽ xét họ các phương trình
vi phân
x + Ω2 x − εx3 = Γ cos τ.

(2.14)

ở đó ε là một tham số thuộc khoảng Iε chứa giá trị ε = 0. Khi ε = ε0 ta có
(2.13) và khi ε = 0 ta thu được phương trình tuyến tính tương ứng với họ
(2.14)
x + Ω2 x = Γ cos τ.

(2.15)

Nghiệm của (2.14) được xem là hàm số của cả ε và τ, ta viết là x(ε, τ).
20


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Phiên bản sơ cấp nhất của phương pháp nhiễu là cố gắng biểu diễn
nghiệm của (2.14) dưới dạng chuỗi luỹ thừa của ε:
x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ε 2 x2 (τ) + ...,

(2.16)

với các hệ số xi (τ) là các hàm chỉ của τ. Để lập phương trình xác định xi (τ),
i = 0,1,2,..., ta thế chuỗi (2.16) vào phương trình (2.14):
(x0 + εx1 + ...) + Ω2 (x0 + εx1 + ...) − ε(x0 + εx1 + ...)3 = Γ cos τ.
Vì điều này được giả thiết đúng đối với mọi phương trình của họ (2.14), tức
là với mọi ε ∈ Iε nên các hệ số của các luỹ thừa của ε phải cân bằng và ta
được
x0 + Ω2 x0 = Γ cos τ

(2.17a)

x1 + Ω2 x1 = x03

(2.17b)

x2 + Ω2 x2 = 3x02 x1 , ...

(2.17c)

Chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới các nghiệm tuần hoàn có chu kì 2π là chu kỳ
số hạng cưỡng bức (còn có các nghiệm tuần hoàn với các chu kỳ khác).
Khi đó, với tất cả ε ∈ Iε và với mọi τ
x(ε, τ + 2π) = x(ε, τ)

(2.18)

xi (τ + 2π) = xi (τ), i = 0, 1, 2, ..

(2.19)

Từ (2.16), ta chỉ cần chỉ ra

Phương trình (2.17) cùng với điều kiện (2.19) là đủ để đưa ra các nghiệm cần
thiết. Chi tiết hơn sẽ được trình bày ở Mục 2.3, lúc này chú ý rằng (2.17a)
cũng giống như phương trình tuyến tính hoá (2.15): Do đó, đặt ε0 = 0 trong
(2.13) tương ứng với đặt ε = 0 trong (2.16). Do đó, số hạng chính trong
(2.16) là nghiệm tuần hoàn của phương trình tuyến tính hoá (2.15). Từ đây,
định hướng cho ta tìm nghiệm của phương trình phi tuyến mà gần với nghiệm
21


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

(hoặc một nhánh nghiệm) của phương trình tuyến tính hoá. Phương pháp này
sẽ không khám phá ra bất kỳ nghiệm tuần hoàn nào khác. Nghiệm bậc 0,
x0 (τ) được biết đến như nghiệm sinh của họ phương trình (2.14).

2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng
Giả sử rằng
Ω=Z

(2.20)

Ta giải (2.17) với điều kiện tuần hoàn (2.19). Nghiệm của (2.17a) là
a0 cos Ωτ + b0 sin Ωτ +

Γ
cos τ
Ω2 − 1

(2.21)

ở đó a0 , b0 là các hằng số. Vì Ω không là số nguyên, nghiệm duy nhất có
chu kỳ 2π thu được bằng cách đặt a0 = b0 = 0 trong (2.21), đó là
x0 (τ) =

Γ
Ω2 − 1

(2.22)

cos τ.

Phương trình (2.17b) khi đó trở thành
3
2

x1 + Ω x1 =

Γ
2
Ω −1

τ3
cos τ = 2
(Ω − 1)3
3

3

1
cos τ + cos 3τ .
4
4

Nghiệm duy nhất với chu kỳ 2π được cho bởi
3
Γ3
1
Γ3
x1 (τ) =
cos τ +
cos 3τ
4 (Ω2 − 1)4
4 (Ω2 − 1)3 (Ω2 − 9)
từ phương trình (2.20).

22


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Hai số hạng đầu tiên của khai triển (2.16) cho bởi xấp xỉ
x(ε, τ) =

Γ
3
Γ3

cos
τ
+
ε
cos τ
Ω2 − 1
4 (Ω2 − 1)4
Γ3
1
cos 3τ
+
4 (Ω2 − 1)3 (Ω2 − 9)
+ O(ε 2 ).
(2.23)

Chuỗi sẽ tiếp tục với các số hạng của ε 2 , ε 3 và hàm điều hoà cos 5τ, cos 7τ,...Đối
với con lắc, từ (2.12) có ε = ε0 = 61 Ω2 .
Hiển nhiên phương pháp không thực hiện được nếu Ω2 nhận một trong
các giá trị 1, 9, 25, ..., vì các số hạng ở vế phải (2.23) sẽ vô hạn, và khả năng
đó được loại bỏ bởi điều kiện (2.20). Tuy nhiên, chuỗi có thể không hội tụ
tốt nếu Ω2 gần bằng với một trong các giá trị đó, và vì vậy có một vài số
hạng của chuỗi sẽ mô tả x(ε, τ) kém đi. Các giá trị đó của Ω tương ứng với
các điều kiện gần cộng hưởng. Ω ≈ 1 là một trường hợp, như vậy ta không
ngạc nhiên vì Ω = 1 là một giá trị cộng hưởng của phương trình tuyến tính
hoá. Các giá trị lẻ khác của Ω tương ứng với sự cộng hưởng phi tuyến, gây
nên do các hàm điều hoà bậc cao có mặt trong x3 (ε, τ). Điều đó có thể coi
như tác động trở lại với phương trình tuyến tính giống như các số hạng ngoại
lực.
Nếu Ω là số nguyên chẵn, phương pháp nhiễu trực tiếp không thực hiện
được bởi vì (2.21) có chu kỳ 2π với mọi giá trị của a0 , b0 . Các giá trị của

chúng chỉ có thể được thiết lập bằng cách đưa các số hạng thẳng tới bước
hai (2.17b), tương tự như tình huống sẽ trình bày trong Mục 2.4 sau đây.
Ví dụ 2.1. Tìm xấp xỉ của phản hồi ngoại lực, có chu kỳ 2π, đối với phương
trình x + 14 x + 0.1x3 = cos τ.
Xét họ x + 14 x + εx3 = cos τ: đây là phương trình (2.13) với Ω =

1
2

và

ε0 = −0.1. Giả sử rằng x(ε, τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + ..., có chu kỳ 2π. Các
23


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

phương trình đối với x0 , x1 là (quan sát 2.17a, b):
1
x0 + x0 = cos τ,
4
1
x1 + x1 = −x03 .
4
Nghiệm 2π-tuần hoàn của phương trình thứ nhất là
4
x0 (τ) = − cos τ,
3

và phương trình thứ hai trở thành
1
16
16
x1 + x1 =
cos τ + cos 3τ
4
9
27
Nghiệm 2π-tuần hoàn là
x1 (τ) = −

64
64
cos τ −
cos 3τ.
27
945

Do đó
4
64
64
x(ε, τ) = − cos τ − ε( cos τ +
cos 3τ) + O(ε 2 )
3
27
945
. Với ε = 0.1,
x(ε, τ) ≈ −1.570 cos τ − 0.007 cos 3τ.

2.4. Dao động cưỡng bức gần cộng hưởng với kích
thích yếu
Ta xét phương trình của con lắc xấp xỉ:
1
x¨ + kx˙ + ω02 x − ω02 x3 = F cos ωt.
6

(2.24)

Tương ứng với phương trình (2.13) ta có
x + Kx + Ω2 x − ε0 x3 = Γ cos τ
24

(2.25a)