Ứng dụng của nhóm gián đoạn vào vật lý neutrino

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

LƢU THỊ HIỀN PHƢƠNG

ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN
VÀO VẬT LÝ NEUTRINO
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. PHÙNG VĂN ĐỒNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Đề tài thực tập này đƣợc hoàn thành tại Viện vật lý dƣới sự hƣớng dẫn
của TS. Phùng Văn Đồng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
tới TS.Phùng Văn Đồng – ngƣời đã tận tình truyền dạy, định hƣớng nghiên
cứu học tập cho tôi hoàn thành đề tài này.Đó chính là cơ sở, nền tảng để giúp
tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các
thầy Hoàng Ngọc Long, cô Đỗ Thị Hƣơng đã giúp đỡ tôi trong quá trình học
hỏi dƣới viện vật lý. Tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị đang học cao học dƣới
viện vật lý đã cùng tôi học hỏi và trao đổi những tình cảm trong cuộc sống.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

CHƢƠNG 1: NHÓM GIÁN ĐOẠN ................................................................ 4
1.1. Cơ sở của lý thuyết nhóm ...................................................................... 4
1.2. Nhóm S3 ................................................................................................. 5
1.2.1. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm S3. ......................................... 5
1.2.2.Các lớp liên hợp. .............................................................................. 7
1.2.3. Biễu diễn bất khả quy...................................................................... 7
1.2.4. Bảng đặc biểu của nhóm S3........................................................... 10
1.2.5. Quy tắc nhân biểu diễn.................................................................. 11
1.3. Nhóm A4 ............................................................................................... 15
1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A4 .......................................... 15
1.3.2.Các lớp liên hợp ............................................................................. 18
1.3.3 Bảng đặc biểu ................................................................................. 18
1.3.4. Biểu diễn bất khả quy.................................................................... 19
1.3.5.Quy tắc nhân biểu diễn................................................................... 20
CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH CHUẨN CỦA S3 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO..... 30
2.1. Mô hình chuẩn...................................................................................... 30
2.2. Mô hình S3 ............................................................................................ 30
2.2.1. Phần lepton mang điện. ................................................................. 30
2.2.2 Khối lƣợng neutrino. ...................................................................... 33
CHƢƠNG 3: MÔ HÌNH CHUẨN CỦA A4 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO .... 36
3.1. Phần lepton mang điện ......................................................................... 36
3.2 Phần neutrino. ....................................................................................... 39
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45


MỞ ĐẦU
Vật chất vận động là do 4 lực cơ bản: hấp dẫn, điện từ, yếu, mạnh. Các
hiện tƣợng điện và hiện tƣợng từ đƣợc con ngƣời biết đến từ rất sớm từ cách
đây hàng ngàn năm, nhƣng chúng vẫn đƣợc xem là độc lập cho đến khi các

công trình thực nghiệm của Oersted và sau đó Faraday chứng minh mối liên
hệ giữa điện và từ. Trên cơ sở đó, năm 1865 Maxwell đƣa ra lý thuyết thống
nhất tƣơng tác đầu tiên trong lịch sử (cũng có ngƣời cho là thứ 2 sau lý thuyết
hấp dẫn của Newton), thống nhất tƣơng tác điện và tƣơng tác từ thành tƣơng
tác điện từ (quang học là một hệ quả).
Không nhƣ tƣơng tác điện từ vốn đƣợc con ngƣời biết đến rất sớm,
tƣơng tác yếu đƣợc biết rất muộn. Năm 1896, Becquerel là ngƣời đầu tiên
phát hiện sự phân rã của  . Sau đó, năm 1911 Meitner và Hahn đã chỉ ra rằng
phổ năng lƣợng của electron trong tia  là liên tục, và vì vậy vi phạm bảo
toàn năng lƣợng ( sau đó ngƣời ta cũng nghi nhận sự vi phạm bảo toàn góc và
spin). Mãi đến năm 1930, Pauli đề xuất bằng giải quyết vấn đề này bằng sự
góp mặt của hạt neutrino. Năm 1933-1934, Enrico Fermi đƣa ra lý thuyết
tƣơng tac yếu vạn năng V-A cho mọi hiện tƣợng rã  nhƣng gặp nhiều khó
khăn do nó không tái chuẩn hóa đƣợc. Về sau, Glashow ( năm 1961) dùng lý
thuyết trƣờng chuẩn của Yang và Mills để giải quyết khó khăn về tính tái
chuẩn hóa, theo đó dạng V-A của tƣơng tác yếu đòi hỏi phải đƣợc mô tả với
sự có mặt của tƣơng tác điện từ và hai loại tƣơng tác cơ sở này đƣợc thống
nhất trong một lý thuyết đơn, gọi là tƣơng tác điện yếu, dựa trên nhóm đối
xứng chuẩn SU (2) L U (1)Y .
Tƣơng tác mạnh mà ngày nay con ngƣời đƣợc biết đến phải kể đến
những khám phá đầu tiên của Ernest Rutherford, Hans Geiger và Ernest
Marsden về cấu trúc nguyên tử (1909). Ngƣời ta biết rằng hạt nhân cấu thành

1


từ các nucleon và chúng đƣợc liên kết với nhau bởi lực hạt nhân ( không có
lực này, hạt nhân sẽ tan rã do lực đẩy điện từ giữa các proton). Trái với tƣơng
tác yếu Fecmi, ta có thể dễ dàng xây dựng đƣợc một lý thuyết tái chuẩn hóa
cho lực hạt nhân giữa các nucleon, ví dụ nhƣ lý thuyết Yukawa. Tuy nhiên,

những lý thuyết này gặp một vấn đề khác, vì lực hạt nhân là lực mạnh lý
thuyết sẽ càng sai khi khai triển nhiễu loạn bậc cao hơn. Sự phát triển có ý
nghĩa nhất với lý thuyết tƣơng tác mạnh nói chung và lực hạt nhân nói riêng
chính là việc đƣa ra ý tƣởng về hạt quark do Gell-Mann, Nishijima, Ne’eman
và Zweig. Vào năm 1965, ngƣời ta nhận thấy rằng các quark phải có thêm
một tích mới ( sau này gọi là mầu tích) và không có hàm ý nào khác chính là
một biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng chuẩn mới SU(3)C.
Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu EW hay GWS và
sắc động lực lƣợng tử QCD dựa trên nhóm đối xứng chuẩn
SU (3)C  SU (2) L U (2)Y là nền tảng của vật lý hạt cơ bản ngày nay. Các

fecmion trong mô hình chuẩn đƣợc sắp xếp theo các thế hệ: thế hệ 1 gồm
e , e, u, d , thế hệ 2 gồm  ,  , c, s và thế hệ thứ 3 gồm  , , t , b . Mỗi fecmion

đƣợc tách thành hai thành phần  L ( phân cực trái) và  R ( phân cực phải).
Trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái vì không có thành phần
phân cực phải trong thực nghiệm. Các thành phần trái phải là cấu thành cơ sở
của mô hình chuẩn: hạt trái đƣợc xếp vào lƣỡng tuyến của SU(2) L, trong khi
hạt phải biến đổi nhƣ đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm trong biểu
diễn tam tuyến của nhóm mầu, trong khi lepton là đơn tuyến mầu. Siêu tích
yếu đƣợc xác định nhƣ sau Y = Q – T3, ở đây T3 toán tử spin yếu và Q là toán
tử điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh khối lƣợng cho các hạt đƣợc
sắp

xếp

bằng

cách

đƣa

vào

một

lƣỡng

tuyến

  (  ,  0 )  (GW , v  H  iGz) . Đối xứng chuẩn bị phá vỡ nhƣ sau:

2

vô

hƣớng


SU (3)C  SU (2) L U (2)Y  SU (3)C U (1)Q . Các boson chuẩn truyền tƣơng tác

yếu W  , Z , quark và lepton mang điện nhận khối lƣợng tỉ lệ với v. Photon
truyền tƣơng tác điện từ gắn với U(1)Q và các gluon truyền tƣơng tác mạnh
gắn với SU(3)C có khối lƣợng bằng không. Trong thành phần lƣỡng tuyến vô
hƣớng, GW và GZ là ba trƣờng Glodstone boson có khối lƣợng bằng không và
bị ăn bởi các boson chuẩn khối lƣợng W  và Z ( chúng không phải là hạt vật
lý).
Tất cả các fecmion nói chung đều có khối lƣợng và giữa chúng có sự trộn
lẫn. Ví dụ nhƣ khi một neutrino muon đi đƣợc quãng đƣờng đủ lớn sẽ chuyển
hóa thành neutrino tau. Sự dao động của neutrino đã đƣợc quan sát từ thực

nghiệm và chỉ đƣợc giải thích khi neutrino có khối lƣợng và đƣợc trộn lẫn. Ta
cũng thấy các quá trình chuyển hóa giữa các hardon trung hòa nhƣ:
K 0 _ K 0 ; B0 _ B0 ; D0 _ D0 ... Những quá trình này chỉ đƣợc giải thích khi các

quark đƣợc trộn lẫn.
Bằng thực nghiệm, ngƣời ta đã xác định đƣợc rằng các quark trộn nhỏ
(ma trận trộn bằng ma trận đơn vị ), trong khi các góc trộn của neutrino lại lớn
và đƣợc xác định theo dạng tri-bimaximal ( ba góc thì có 2 góc trộn lớn). Tuy
nhiên về mặt lý thuyết, ma trận trộn trên là bất kì. Có một hƣớng nghiên cứu
rất mạnh để giải thích các dạng ma trận trộn quan sát thấy trong tự nhiên và
đƣa vào đối xứng gián đoạn những mô hình đƣợc xây dựng gọi là các lý
thuyết đối xứng vị.
Vì vậy, nó thúc đẩy tôi đi tìm hiểu về lĩnh vực này với đề tài của luận văn
là: “ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO”.

3


CHƢƠNG 1
NHÓM GIÁN ĐOẠN

1.1. Cơ sở của lý thuyết nhóm
Tập hợp các phần tử A,B,C,D.. là 1 nhóm nếu thỏa mãn 4 tính chất của
nhóm, tức là phải tồn tại yếu tố đơn vị, thỏa mãn tính chất giao hoán, tồn tại
phần tử nghịch đảo và cuối cùng là thỏa mãn tính chất kết hợp. Có thể phân
loại một nhóm dựa trên cấc phần tử của nó là gián đoạn hay liên tục. Nếu các
phần tử của nhóm là gián đoạn ta có nhóm gián đoạn và ngƣợc lại ta có nhóm
liên tục. Nếu luật nhân nhóm là giao hoán, nghĩa là với mọi g1 , g2  G thì
g1.g2  g2 .g1 thì nhóm đƣợc gọi là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, ngƣợc lại

là nhóm non-Abel hay nhóm không giao hoán.
Nếu a  G đƣợc gọi là liên hợp với b  G thì yếu tố liên hợp c  G sao cho
c-1.a.c = b hoặc c.b.c-1 = a. Quan hệ liên hợp là quan hệ tƣơng đƣơng, tức là
nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a. Khi đó, mọi yếu tố của nhóm G liên
hợp với cùng 1 yếu tố a thuộc G thì tạo thành lớp các yếu tố liên hợp của a.
Các biểu diễn của cùng một lớp đƣợc xem nhƣ nhau, nên cần nêu lên các đặc
trƣng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lƣợng liên quan đến
biểu diễn, nhƣng bất biến đối với các biến đổi ( khả nghịch) cơ sở của không
gian biểu diễn. Một trong những đặc trƣng nêu lên ở trên chính là vết:
n

TrD( g )   Di ( g ) . Nhƣ vậy vết của biểu diễn gọi là đặc biểu của biểu diễn và
i 1

kí hiệu là  ( g )  TrD( g ) .

4


1.2. Nhóm S3
1.2.1. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm S3.

S3 là nhóm non- abel ( không giao hoán) nhỏ nhất có bậc bằng 6. Số bậc
của nhóm chính là số phần tử của nhóm. Nó là nhóm hoán vị của 3 số 1,2,3
gồm 6 phần tử, đƣợc kí hiệu là (e, a1, a2, a3, a4, a5)
1

e  1



1

a1   2


1

a2   3


1

a3   2


1

a4   1


1

a5   3



2 3

2 3   (1, 2,3)  (1, 2,3)



2 3

3 1   (2,3,1)  (123)


2 3

1 2   (3,1, 2)  (321)


2 3

1 3   (2,1,3)  (12)


2 3

3 2   (1,3, 2)  (23)


2 3

2 1   (3, 2,1)  (31)



Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị,
số hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán vị , số hạng thứ 3 là cách viết theo chu
trình.

Ví dụ : a1 là phép biến đổi 1  2  3  1 , a3 là phép biến đổi 1  2, 2  1,3
không đổi.
S3 chính là phép biến đổi của một tam giác đều thành chính nó, bao gồm :

5


+ Phép biến đổi đồng nhất ( phép biến đổi phần tử đơn vị )
+ Phép phản xạ quanh trục (11’) , (22’) và (33’)
+ Phép quay quanh các góc 2 / 3, 4 / 3 theo chiều ngƣợc chiều kim đồng
hồ.
Ví dụ : sự phản xạ quanh trục (3,3’) dẫn tới sự thay đổi trục 1 và 2 và cứ
nhƣ vậy. Do đó chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi trục tƣơng ứng là (12), (23),
và (31). Quay ngƣợc chiều kim đồng hồ bởi góc (2 / 3),(4 / 3) sẽ hoán vị
vòng cả 3 kí hiệu này. Nó tƣơng ứng với phép biến đổi (123) và (321).

Từ đây, chúng ta sẽ hình thành đƣợc bảng nhân nhóm S3.

e

a1

a2

a3

a4

a5

e

e

a1

a2

a3

a4

a5

a1

a1

a2

e

a5

a3

a4

a2

a2

e

a1

a4

a5

a3

a3

a3

a4

a5

e

a1

a2

a4

a4

a5

a3

a2

e

a1

a5

a5

a3

a4

a1

a2

e

6


1.2.2.Các lớp liên hợp.

S là lớp liên hợp của G nếu :

S .g  g.S g  G
S s   g 1.s.g , g  G   s 

( định nghĩa để xây dựng các lớp liên hợp) (1)
Từ định nghĩa để xây dựng các lớp liên hợp, ta có số liên hợp của S3 là:

e  e C1
 a1   a21.a1.a2  a21.e  a1
 a1   a31.a1.a3  a31.a5  a3 .a5  a2
 a1   a41.a1.a4  a41.a3  a4 .a3  a2
 a1   a51.a1.a5  a51.a4  a5 .a4  a2
Vậy  a1   a1 , a2  C2
Chứng minh tƣơng tự :  a3    a4    a5  C3
Vậy S3 có 3 lớp liên hợp là e , a1 , a 2  , a3 , a4 , a 5 
Bảng liên hợp của nhóm S3.

C1

(1,2,3)  e

C2

(123)  a1; (312)  a2

C3

(12)  a3 ; (23)  a4 ; (31)  a5

1.2.3. Biễu diễn bất khả quy

Áp dụng định ly Burn side:
n12  n22 

nm2  N (2)

N: bậc của G
m: số lớp liên hợp.

7


ni: chiều của biểu diễn bất khả quy thứ i.
Ta có : n12  n22  n32  6
Suy ra n1 = 1 ; n2 = 1 và n3 = 2
Vậy S3 có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều.
Mặt khác, S3 có 2 nhóm con bất biến là Z3 và Z2 nên :
Biểu diễn 1 chiều của S3 là :
1 : D (e) = D (a1) = D (a2) = 1

D ( a3) =D (a4) = D (a5) = 1
1' : D (e) = D (a1) = D (a2) = 1

D (a3) = D (a4) = D ( a5) = - 1
Biểu diễn 2 chiều của S3 dựa trên phép biến đổi đối xứng của 1 tam giác
x

y

đều có dạng: 


z t 
1 0

D (e) = 

0 1

8


y

1 3
1  A ;

 2 2 

3  C  1;0 

x

o

1  3
2  B ;

 2 2 

 x y
D(a1 )  


z t 
A  C ; C  B; B  A
x

z

y
x
 . A  C; 
t
z

y
x
 .C  B; 
t
z

y
 .B  A
t

Giải 4 phƣơng trình 4 ẩn ta tìm đƣợc x, y, z, t
 1
Ma trận biểu diễn D(a1) =  2
 3
 2



2

1 
2 

 3

Tƣơng tự ta cũng tính đƣợc các ma trận biểu diễn :

9


 1
2
D (a2) = 
 3

2


2  ; D (a ) =
3

1 
2

 1
 2

 3

 2

 1
1 0 
 2
D (a4) = 
 ; D (a5) = 
 0 1
 3
 2

 3

3


2

1 
2 
3


2

1 
2 

Biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm S3 trong không gian thực có dạng :
1 0

C1 : 

0 1
 1

2
C2 : 
 3

2

  1
2 ; 2
 
1   3
2  2

 3

 1
 2
C3 : 
 3
 2

  1
2 
2
;
1   3

2  
2

 3

3

3


2

1 
2 


2  1 0 

;
1   0 1
2 

(2)
Các biểu diễn (2) chính là biểu diễn tối giản unita 2 chiều của S3. Điều đặc
biệt ở đây là biểu diễn tối giản unita có số chiều lớn hơn 1. Đối với nhóm
không giao hoán, phải tồn tại ma trận mà không phải là số, vì chỉ có ma
trận mới biểu diễn đƣợc quy tắc nhân không giao hoán.
1.2.4. Bảng đặc biểu của nhóm S3

Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu :


g

K 
. ( g ).b ( g )   ab (3)
N

Với  : hàm số của lớp liên hợp ( vết của đặc biểu);
N: số phần tử của nhóm
K : số phần tử của lớp liên hợp 

 : chỉ số vectơ ( chiều của không gian)

10


Bảng đặc biểu của nhóm S3:
1

1'

2

C1

1

1

2

C2

1

1

-1

C3

1

-1

0

1.2.5. Quy tắc nhân biểu diễn.

Số lần biểu diễn bất khả quy a xuất hiện trong một biểu diễn D là maD
( với D là biểu diễn tích tenxơ)
maD  


K 
1
. ( g ). D ( g )   . ( g ). D ( g )
N
g N

Với D  D1  D2 ;  D ( g )   D ( g ). D ( g )
1

2

Đối với nhóm gián đoạn S3 gồm có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2
chiều.
1
m1D  .(1.1.22  2.1.(1) 2  3.1.02 )  1
6
1
m1'D  .(1.1.22  2.1.(1) 2  3.(1).02 )  1
6
1
m2D  .(1.2.22  2.(1).(1) 2  3.0.02 )  1
6

Vậy D  2  2  1 1'  2
Để xác định các hệ số Clebsch-Gordan tƣơng ứng với từng biểu diễn ta sử
n
N

dụng toán tử chiếu: Pa   a . a ( g ).D( g )
g

Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu
diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu

11

diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó Pa là toán tử chiếu
trong không gian vecto V lên không gian con Va.
Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:

 Da  Db  jyix   Da  ji . Db yx
Xác định vecto trong không gian biểu diễn 2  2 không gian 4 chiều
a
2  1
 a2
b
2  1
 b2


  2 a1 1  a2 2


  2 b1 1  b2 2

2  2 (a1 1  a2 2 )  (b1 1  b2 2

a1b1 11  a1b2 12  a2b1 21  a2b2 22

 a1b1 


a1b2 


( 11 12 21 22 )
 a2b1 


 a2b2 

Toán tử chiếu 2  2 về 1,1', 2
1

0
D22 (e)  
0

0

0
1
0
0

0
0
1
0

 1

4
0



 3
0
4
; D22 (a1 )  
0
 3

4

1

 3

4

3
1

4

4

3

4
 3
4

12

3
3
1

4
4

4
 3
4









1 
4 

3

4
3
4
3
4





D22 (a2 )  










D22 (a4 )  






1

4
3
4
3

4

3

4

1

4
3
4
3
4

3

4

 3
1

4

4

3
3

3
1

3

4
4

4
4

4
 3
4

 3
3


 1

4 
4


 3 
 3
4  ; D (a )  
4
22
3
 3
 3 

4
4



1 
 3
4 

4
3

4

4

1

4
3
4

3
3

1

4

4

3

4
3
4


4 
1 0 0

 3 

0 1 0
4
; D22 (a5 )  
 0 0 1
 3 

4
0 0 0

1 
4 
3

4

4

1

4
 3
4

0 0 0

n
1 0 3 3
P1'  a . 1 ( g ).D( g )  
N g
6  0 3 3

0 0 0
 3
 2

2
2 0

P2  .  2 ( g ).D( g ) 
N g
6 0

 3

 2

 3

0
3
3

2
2

0

0
0 0 0


0  1  0 1 1

0  2  0 1 1


0
0 0 0
3 
2
1
3
0  1 0
2
 
3
0  2  0

2


 1
3

0
2
0

13

0

0
0

0
0 0 1

1 1 0
1 1 0

0 0 1

0

0
0


1

 3
3

4

4

1
3

4
4









1 
4 

3

4
3

4
3
4


1

1 0
P1 
2 0

1

0 0 1

0 0 0
0 0 0

0 0 1


 a1b1 
 a1b1  a2b2 






ab

0
1
  a1b1  a2b2 . 
P1   1 2   . 
 a2b1  2 

0

2





 a2b2 
 a1b1  a2b2 


1' 


2
0 

0 

1 
2
1'
1

1
( 11  22 )
2

 1 (a1b1  a2b2 )

0 0 0

1 0 1 1
P1'  . 
2  0 1 1

0 0 0

(1.1)
0

0
0

0

 0 
0
 a1b1 





1






ab
ab a b
1 ab a b
2
P1' .  1 2   .  1 2 2 1   1 2 2 1 . 
 a2b1  2  a1b2  a2b1 
 1 
2




2

0


 a2b1 
 0 


2'
1' 

1
( 12  21 )
2

Vậy 1' (a1b2  a2b1 )

(1.2)

14


1

1 0
P2 
2 0

 1

0 0 1

1 1 0
1 1 0

0 0 1


 a1b1 
 a1b1  a2b2 







a1b2  1  a1b2  a2b1  1

P2


. ( a1b2  a2b1 ). 
 a2b1  2  a1b2  a2b1 

2





 a2b2 
 a1b1  a2b2 



0 



1 


2
 (a1b1  a2b2 ). 
1 

2



0 

3'

3' 

0 

1 
2 
1 
2 
0  
4'

1
1
( 12  21 ); 4 ' 
( 11  22 );
2
2

a b  a b 

Vậy 2  1 2 2 1 
 a1b1  a2b2 

(1.3)

Tóm lại:
1. Quy tắc nhân không tầm thường của S3 là:
12  21
2(1, 2)  2(1, 2)  1(11  22) 1'(12  21)  2 

11  22 

(1.4)

2.Ta có thể chứng minh được:
1  1'  1'(11)
 11 
1 2  2  
12 
 11 
1'  2  2 

 12 

1.3. Nhóm A4
1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A4

A4 là đối xứng của tứ diện đều (tập hợp các phép biến đổi biến tứ diện
đều thành chính nó). Nó là nhóm hoán vị chẵn của 4 số 1,2,3,4 gồm 12
phần tử, đƣợc kí hiệu là: e, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11.

15


1 2 3 4 
1 2 3 4
e
  e; a1  
  (123);
1 2 3 4 
3 1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
a2  
  (124); a3  
  (132);
 4 1 3 2
 2 3 1 4
1 2 3 4
1 2 3 4
a4  
  (134); a5  
  (142);
 4 2 1 3
2 4 3 1
1
a6  

3
1
a8  
1

2 3 4
1
  (143); a7  
2 4 1
1
2 3 4
1
  (243); a9  
3 4 2
2

2 3 4
  (234);
4 2 3

2 3 4
  (12)(34);
1 4 3
1 2 3 4
1 2 3 4
a10  
  (13)(24); a11  
  (14)(23);
3 4 1 2
4 3 2 1

Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị, số
hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán vị theo chu trình
Ví dụ: a1 là phép biến đổi 1  2  3  1 , 4 giữ nguyên (không đổi), a9 là phép
hoán vị của 1  2, 2  1;3  4, 4  3 .

16


Từ đây chúng ta sẽ hình thành đƣợc bảng nhân nhóm cho A4

e

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

e

e

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a1

a1

a3

a10

e

a7

a6

a11

a9

a2

a4

a8

a5

a2

a2

a11

a5

a4

a10

e

a8

a1

a9

a6

a3

a7

a3

a3

e

a8

a1

a9

a11

a5

a4

a10

a7

a2

a6

a4

a4

a2

a9

a11

a6

a7

e

a10

a3

a1

a5

a8

a5

a5

a7

e

a10

a3

a2

a9

a11

a6

a8

a4

a1

a6

a6

a9

a1

a8

e

a10

a4

a5

a11

a2

a7

a3

a7

a7

a10

a4

a5

a11

a9

a1

a8

e

a3

a6

a2

a8

a8

a6

a11

a9

a2

a3

a10

e

a7

a5

a1

a4

a9

a9

a8

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

e

a11

a10

a10

a10

a5

a6

a7

a8

a1

a2

a3

a4

a11

e

a9

a11

a11

a4

a3

a2

a1

a8

a7

a6

a5

a10

a9

e

17


1.3.2.Các lớp liên hợp

Từ định nghĩa xây dựng các lớp liên hợp (1) , ta có số liên hợp của A4 là:

 e  e C1
 a1   a21.a1.a2  a21.a10  a4
 a1   a31.a1.a3  a31.e  a1
 a1   a41.a1.a4  a41.a7  a5
 a1   a51.a1.a5  a51.a6  a8
 a1   a61.a1.a6  a61.a10  a8

 a1   a71.a1.a7  a71.a9  a5
 a1   a81.a1.a8  a81.a2  a4
 a1   a91.a1.a9  a91.a4  a5
 a1   a101.a1.a10  a101.a5  a1
 a1   a111.a1.a11  a111.a5  a8
Vậy  a1   a1 , a4 , a5 , a8  C2
Chứng minh tƣơng tự :

 a2   a2 , a6 , a7 , a3 C3
 a9   a9 , a10 , a11 C4

Vậy A4 có 4 lớp liên hợp là e ;a1 , a4 , a5 , a8  ;a2 , a6 , a7 , a3;a9 , a10 , a11;
Bảng liên hợp của nhóm A4:
C1

e

C2

a1, a4, a5, a8

C3

a2, a6, a7, a3

C4

a9, a10, a11

1.3.3 Bảng đặc biểu

Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu (3) ta có bảng đặc biểu cho nhóm
A4

18


1

1'

1''

3

C1

1

1

1

3

C2

1

w

w2

0

C3

1

w2

w

0

C4

1

1

1

-1

i 2

Với w  e

3

,1  w 2  w  0

1.3.4. Biểu diễn bất khả quy

Áp dụng định ly Burn side (2) ta có :
n12  n22  n32  n42  12
 n1  n2  n3  1; n4  3
' ''
Vậy D4 có : 3 biểu diễn 1 chiều: 1;1;1
;

1 biểu diễn 2 chiều : 3
Dựa vào các lớp liên hợp và bảng đặc biểu của A4 ta có thể xây dựng các
biểu diễn 1 chiều của A4:
Biểu diễn 1 chiều :
1 D (e) = D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = 1

D (a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = 1
D (a9) = D (a10) = D (a11) = 1
1' D (e) = D ( a9) = D (a10) = D(a11) = 1

D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = w
D ( a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = w2
1'' D (e) = D (a9) = D (a10) = D (a11) = 1

D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = w2
D (a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = w

19

Các biểu diễn 3 chiều của A4 trong không gian Oxyz biến tứ diện đều thành
chính nó.
1 0 0
Lớp C1:  0 1 0  ;
0 0 1


 0 1 0   0 0 1   0 0 1  0 0  1
Lớp C2:  0 0 1  ;  1 0 0  ;  1 0 0  ; 1 0 0 
 1 0 0   0 1 0   0  1 0   0 1 0 

 
 
 


 0 1 0   0 1 0   0 1 0   0  1 0 
Lớp C3:  0 0 1  ;  0 0 1 ;  0 0 1  ; 0 0  1
 1 0 0   1 0 0    1 0 0   1 0 0 

 
 
 


 1 0 0   1 0 0    1 0 0 
Lớp C4:  0 1 0  ;  0 1 0  ;  0 1 0 
 0 0 1  0 0 1  0 0 1 


 
 


1.3.5.Quy tắc nhân biểu diễn

Xét tích không tầm thƣờng D = 3  3 ,các biểu diễn thành phần của tích
tensor:
1
.(1.1.32  4.1.02  4.1.02  3.1.(1)2 )  1
12
1
m1D'  .(1.1.32  4w.02  4.w 2 .02  3.1.(1)2 )  1
12
1
m1D''  .(1.1.32  4.w 2 .02  4.w.02  3.1.(1)2 )  1
12
1
m3D  .(1.3.32  4.0.02  4.0.02  3.(1).(1)2 )  2
12
m1D 

Vậy D  3  3  1 1' 1''  3  3

20


Để xác định các hệ số clebsch-Gordan tƣơng ứng với từng biểu diễn ta sử
n

N

dụng toán tử chiếu: Pa   a . a ( g ).D( g )
g

Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu
diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu
diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó Pa là toán tử chiếu
trong không gian vecto V lên không gian con Va.
Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:

 Da  Db  jyix   Da  ji . Db yx
Nếu có 2 tam tuyến trong hệ cơ sở

 1 , 2 , 3 :
 a1 
3    3 a1 1  a2 2  a3 3
 a2 
 b1 
3    3 b1 1  b2 2  b3 3
 b2 
3  3  a1 1  a2 2  a3 3   (b1 1  b2 2  b3 3 )
a1 b1 11  a1b2 12  a1b3 13  a2b1 21  a2b2 22  a2b3 23
 a3b1 31  a3b2 32  a3b3 33 )

Trong cơ sở: 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33
 a1 b1 


 a1 b2 

 a1 b3 


 a2 b1 
Ta có thể viết 3  3   a2 b2 


 a2 b3 
a b 
 3 1
 a3 b2 


 a3 b3 

Các ma trận 3  3 cho các yếu tố của nhóm A4 trong cơ sở trên là:

21


1

0
0

0
Lớp C1:  0

0
0


0
0


0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 

Lớp C2:
0

0
0

0
1

0
0


0
0


0
0
0
0
0
1
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
1
0

0
0
0
0
0
0
0
0
1

0
0
0
0
0
0
1
0
0

0
1
0
0
0

0
0
0
0

0
0
1
0
0
0
0
0
0

1 0 0 0 0
 
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 
0   0 0 1 0
0 ; 1 0 0 0
 
0   0 1 0 0
0 0 0 0 0
 
0   0 0 0 1
0   0 0 0 0

22

0
0
0
0
0
0
0
0
1

0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0

1

0
0

0
0

0

0

0
0 