Giáo trình toán cao cấp và xác suất thống kê chương 1 đại lượng ngẫu nhiên

ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Mở đầu
Giả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 20%. Quan sát ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số
người bệnh, khi đó X {0,1,2,3} . X được gọi là ĐLNN.
1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo
kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ 1. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốc
Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể
nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.
1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
a. Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn
đếm được các giá trị.
Ví dụ 2. Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là
một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị: 0; 1;..; n.
b. Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm
được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập
các số thực.
Ví dụ 3. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại lượng
ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn ta
lập bảng:
X
P(X)

x1

p1

x2
p2

…
…

xn
pn

Được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.
Ví dụ 4. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốc
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

1


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất
của X.
Ví dụ 5. Giả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 0,2. Khám ngẫu nhiên 3 người. Gọi X
là số người bệnh trong 3 người được khám. Hãy lập bảng phân phối xác suất của
X.
Ví dụ 6. Có hai hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 1 lọ hỏng,
còn lại là lọ tốt.
a) Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Lập bảng phân phối xác suất của số lọ hỏng trong 2 lọ
lấy ra?
b) Chọn một hộp thuốc, rồi từ đó lấy ra hai lọ. Lập bảng phân phối xác suất
của số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra?

§2. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.1. Kỳ vọng (hay giá trị trung bình)
Định nghĩa. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được
xác định như sau:
Nếu X rời rạc có luật phân phối
X
P(X)
Thì M ( X )  x1 p1  x2 p2 

x1
p1

x2
p2

…
…

xn
pn

xn pn

Tính chất
1. Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const).
2. Với k là hằng số ta có M(kX) = kM(X).
3. M(X + Y) = M(X) + M(Y).
4. Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M(XY) = M(X)M(Y).
Ý nghĩa. Kỳ vọng là giá trị trung bình trong các giá trị mà X nhận

2.2. Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực
không âm định bởi: D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X )
Trong đó M ( X 2 )  x12 p1  x2 2 p2  xn 2 pn
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ (X ).
Vậy σ(X) = D(X) .
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

2


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Tính chất
1. Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nghĩa là: D(C) = 0.
2. Với k là hằng số ta có D(kX) = k2(D(X).
3. Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Ý nghĩa. Phương sai biểu thị độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh
giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai lớn thì các giá trị của X phân tán nhiều
và ngược lại.
2.3. Mode. Giá trị x0 được gọi là mode của X, kí hiệu là mod(X), nếu nó là giá trị
có xác suất lớn nhất.
Ví dụ. Một nghiên cứu y học cho biết xác suất thành công của phép hóa trị khi
điều trị ung thư da là 70%. Giả sử có 5 bệnh nhân được điều trị bằng hóa trị và gọi
X là số người điều trị thành công trong 5 người. Ta có bảng phân phối xác suất sau
X
P(X)

0
0,002

1
0,029

2
0,132

3
0,309

4
0,360

5
0,168

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
§3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT
3.1. Phân phối nhị thức (Bernuolli)
Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: ‘‘thành công’’ hoặc
‘‘thất bại’’. Thành công với xác suất p, thất bại với xác suất 1 – p. Thí nghiệm như
vậy gọi là phép thử Bernoulli.
Ví dụ.
i) Khám bệnh có hai khả năng: Có bệnh / không có bệnh
ii) Điều trị bênh: Khỏi / không khỏi
iii) Phẩu thuật: Thành công / thất bại
iv) Kiểm tra thuốc: Tốt / xấu
1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và
tồn tại số thực p  (0,1) sao cho P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X  B(n, p).
Ví dụ 1. Cho X  B(10; 0,4), tính các xác suất sau

a) P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b) P( X  8) , P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

3


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Ví dụ 2. Bệnh B có tỷ lệ 10% trong dân số. Khám ngẫu nhiên 5 người. Tính xác
suất
a) Có một người bị bệnh B
b) Có ít nhất 1 người bị bệnh B
Ví dụ 3. Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 80%. Điều trị ngẫu
nhiên 50 người. Tính xác suất
a) Có 40 người khỏi bệnh
b) Có nhiều nhất 10 người khỏi bệnh
Ví dụ 4. Tỷ lệ bị bệnh tại phòng khám đa khoa bằng 0,2. Khám bệnh cho 10 người,
tính các xác suất sau:
a) Có 2 người bị bệnh
b) Có nhiều nhất 2 người bị bệnh
c) Có ít nhất 8 người bị bệnh
Ví dụ 5. Điều trị một bệnh có xác suất khỏi bằng 0,8. Điều trị cho 10 người bệnh
trên. Tính các xác suất sau:
a) Có 8 người khỏi bệnh
b) Có ít nhất 8 người khỏi bệnh
c) Có nhiều nhất 1 người khỏi bệnh
Ví dụ 6. Tính khả năng sinh con trai trong một gia đình có 6 con?
Ví dụ 7. Tại một địa phương, tỷ lệ sốt rét là 25% dân số. Chọn ngẫu nhiên 6 người.
Tính khả năng để có 4 ngươi bị sốt rét?

Ví dụ 8. Một lô thuốc (rất nhiều), có tỷ lệ hỏng là 20%. Lấy ngẫu nhiên từ lô
thuốc đó ra 5 lọ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra?
2. Các tham số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X  B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1
b) Kỳ vọng: M(X) = np
c) Phương sai: D(X) = npq
Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là
60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có
trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và
phương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
 Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

4


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Nếu X  B(n, p) trong đó n khá lớn và np =  không nhỏ, thì ta có công thức tính
gần đúng sau:
 k  np 
1
P( X  k ) 
f

npq  npq 
 k  np 
 k  np 
P(k1  X  k2 )    2
  1


 npq 
 npq 




Trong đó:
1. f(u) là hàm mật độ Gauss, f(u) là hàm số chẵn và f(u) = 0,0001 u  4
2.  (u ) là hàm tích phân Laplace,  (u ) là hàm số lẻ và  (u)  0,5 u  5
Ví dụ.
a) Cho X  B(1000;0,001) . Tính P( X  1)
b) Cho Y  B(100;0,8) . Tính P( X  80) và P(70  X  90)
3.2. Phân phối Poisson
Quan sát số các biến cố xảy ra trong một thời gian cho trước, số các biến cố trung
bình trên một đơn vị là 
Ví dụ. Số người bị tai nạn giao thông ở một ngã tư, số sản phụ đến sinh trong một
thời điểm, số hồng cầu trong mỗi ô của hồng cầu kế, số trẻ em sinh đôi trong một
năm tại một bệnh viện X...
1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, … và tồn
 k e 
tại số thực dương  sao cho P( X  k ) 
được gọi là đại lượng ngẫu nhiên
k!
có phân phối Poisson theo tham số  và kí hiệu X  P(  ).
Ví dụ. Cho X  P(4), tính các xác suất sau
a) P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b) P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)
2. Các tham số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X  P(  ). Khi đó X có các đặc số như sau:

Kỳ vọng: M(X) = 
Phương sai D(X) = 
Ví dụ. Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ đến sinh trong 1h có phân phối
Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1h có
a) Đúng 3 sản phụ đến sinh
b) Có nhiều hơn một sản phụ đến sinh
3. Tính chất. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1  P(  1),
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

5


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
X2  P(  2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2  P( 1  2 ).
4. Định lý Poisson (Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson).
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B(n,p). Giả sử
rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng
đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y  P(  )
 k e 
với  = np, nghĩa là: P( X  k ) 
, với k = 0, 1, 2, …
k!
Ví dụ. Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân cư. Biết xác
suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0,001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có
không quá 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
Ví dụ. Giả sử tỷ lệ tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 0,007. Tính xác suất để có 5
người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người.
Ví dụ. Tỷ lệ bạch cầu ái kiềm của người thường là 0,005, nếu đếm 100 bạch cầu.
Tính xác suất để gặp 1 bạch cầu ái kiềm?
3.3. Phân phối siêu bội

1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và
CMk CNnkM
tồn tại các số nguyên M, N ( n  M  N ) sao cho P( X  k ) 
được gọi là
CNn
đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n và kí hiệu
X  H(N, M, n).
Ví dụ. Cho X  H(10, 6, 4), tính các xác suất sau
a) P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5)
b) P( X  4) , P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2)
2. Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Khi đó X có các đặc số như sau:
M
Kỳ vọng: M(X) = np với p 
N
N n
Phương sai: D( X )  npq
với q  1  p
N 1
Ví dụ. Một hộp chứa 12 lọ thuốc gồm 8 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Chọn ngẫu nhiên từ
hộp ra 4 lọ thuốc. Gọi X là số lọ hỏng có trong 4 lọ lấy ra. Hãy tìm luật phân phối
của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X.
Giải
Ta thấy X có phân phối siêu bội
X  H(N, M, n) với N = 12; M = 8, n = 4.
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

6

ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495.
Vậy luật phân phối của X là:
X
P(X)

0
1/495

1
32/495

2
168/495

3
224/495

4
70/495

3. Định lý (quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội)
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Giả sử
rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có
M
phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y  B(n, p) với p 
, khi đó
N

P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk , với k = 0, 1, 2, …, n
Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000
sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn
được 7 sản phẩm tốt.
Giải
Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối
siêu bội X  H(N, M, n) với N = 10000; M= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với
N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 10;
p = M/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:
P( X  7)  C107 0,870,23
3.4. Phân phối chuẩn
Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị (, ) , và tồn
k  
 k1   
tại các số thực  , 2 sao cho P(k1  X  k2 )    2
  

  
  
Khi đó X được gọi là ĐLNN có phân phối chuẩn với hai tham số  , 2
Kí hiệu. X  N ( , 2 )
Ví dụ. Cho X  N (200,4) . Tính các xác suất sau
a) P(196  X  205)
b) P(196  X  204)
c) P( X  190)
d) P( X  206)
Ví dụ. Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với kỳ vọng là 3,2kg và phương sai 0,16kg2. Một trẻ sơ sinh được gọi là
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

7


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
bình thường nếu trọng lượng từ 2,688 đến 3,721kg. Đo trọng lượng một cách ngẫu
nhiên trên 100 trẻ sơ sinh. Tính:
a) xác suất để có 100 trẻ bình thường
b) xác suất để có ít nhất 75 trẻ bình thường
Ví dụ. Một bệnh B chiếm 10% dân số. Chọn ngẫu nhiên 100 người. Tính xác suất:
a) Có 6 người bị bệnh
b) Không tới 6 người bị bệnh B
c) Số người bị bệnh trong khoảng 6 đến 12 người
BÀI TẬP
1. Tỷ lệ lọ thuốc hỏng trong hai lô thuốc A, B theo thứ tự là 0,1 và 0,07. Giả sử
các lô thuốc này có rất nhiều lọ.
a) Lấy ngẫu nhiên 5 lọ thuốc ở lô B. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng
b) Lấy tối thiểu mấy lọ trong lô B để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng  0,95?
c) Chọn ngẫu nhiên một trong 2 lô rồi lấy ra 3 lọ.
1) Tính xác suất có một lọ hỏng
2) Nếu lọ lấy ra là hỏng. Tính xác suất lọ thuốc đó thuộc lô B
2. Một xí nghiệp sản xuất thuốc cho biết có 10% số chai không đúng tiêu chuẩn.
Lấy 10 chai, tính xác suất để:
a) Có 1 chai không đúng tiêu chuẩn
b) Có ít nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn
c) Có nhiều nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn
3. Một máy sản suất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 7%
a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất
1) Có 1 sản phẩm hỏng?
2) Có ít nhất 1 sản phẩm hỏng?
3) Có nhiều nhất 1 sản phẩm hỏng?

b) Quan sát tối thiểu mấy sản phẩm để xác suất có ít nhất 1 sản phẩm hỏng lớn
hơn hoặc bằng 90%?
3. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh trung bình có 1 trường hợp bị phản ứng
trên 1000. Ta lại dùng huyết thanh trên tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để:
a) Có 3 ca bị phản ứng
b) Nhiều nhất 3 ca bị phản ứng
c) Hơn 3 ca bị phản ứng
4. Tỷ lệ một bệnh bẩm sinh trong dân số là 1%.
Bệnh này cần được chăm sóc đặc biệt ngay từ lúc mới sinh. Một nhà bảo sinh
thường có 20 ca sinh trong một tuần lễ. Tính xác suất để:
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

8


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
a) Không có ca nào cần được chăm sóc
b) Có 1 trường hợp
c) Có nhiều hơn 1 trường hợp cần được chăm sóc
5. Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lượt là 10% và 7%. Giả sử các lô
thuốc này có rất nhiều lọ
a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng.
Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc
bằng 0,9?
b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng.
c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 1 lọ. Tính xác suất để lọ lấy
ra là hỏng. Giả sử lọ lấy ra là hỏng, tính xác suất để chọn được lô A?
d) Lấy ngẫu nhiên 50 lọ thuốc ở lô A. Tính xác suất để có 3 lọ hỏng?
6. Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
kỳ vọng là 3,2kg và phương sai 0,16kg2. Một trẻ sơ sinh được gọi là bình thường

nếu trọng lượng từ 2,688 đến 3,721kg. Đo trọng lượng một cách ngẫu nhiên trên
100 trẻ sơ sinh. Tính:
a) Xác suất để có 100 trẻ bình thường
b) Xác suất để có ít nhất 75 trẻ bình thường
7. Cho biết trọng lượng viên thuốc sản xuất tại xí nghiệp là đại lượng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250mg, phương sai là 8,1mg2. Thuốc được
đóng thành vĩ, mỗi vĩ 10 viên. Mỗi vĩ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lượng từ
2490mg đến 2510mg (đã trừ bao bì). Lấy ngẫu nhiên 100 vĩ để kiểm tra. Tính xác
suất để:
a) Có 80 vĩ đạt tiêu chuẩn
b) Có từ 70 vĩ trở lên đạt tiêu chuẩn
8. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô có rất
nhiều lọ.
a) Lấy 3 lọ ở lô A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ (ở
lô A) để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95.
b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng.
c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Lập bảng phân phối
xác suất của X.
d) Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C. Ta mua ở cửa
hàng 1 lọ về dùng. Tính xác suất được lọ tốt.

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

9