Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 1

Ch ’u ’ong 1
NH
˜
’
UNG KH
´
AI NI
ˆ
E
.
M C
’
O B
’
AN V
`
ˆ
E X
´
AC SU
´
ˆ
AT
1. B
’
ˆ
O T
´
UC V
`
ˆ

E GI
’
AI T
´
ICH T
’
ˆ
O H
’
O
.
P
1.1 Qui t
´
˘
ac nhˆan
Gi
’
a s
’
’
u mˆo
.
t cˆong viˆe
.
c n`ao ¯d´o ¯d
’
u
’
o

.
c chia th`anh k giai ¯doa
.
n. C´o n
1
c´ach th
’
u
.
c hiˆe
.
n giai
¯doa
.
n th
´
’
u nh
´
ˆat, n
2
c´ach th
’
u
.
c hiˆe
.
n giai ¯doa
.
n th

´
’
u hai,...,n
k
c´ach th
’
u
.
c hiˆe
.
n giai ¯doa
.
n th
´
’
u
k. Khi ¯d´o ta c´o
n = n
1
.n
2
. . . n
k
c´ach th
’
u
.
c hiˆe
.
n cˆong viˆe

.
c.
• V´ı du
.
1 Gi
’
a s
’
’
u ¯d
’
ˆe ¯di t
`
’
u A ¯d
´
ˆen C ta b
´
˘
at buˆo
.
c ph
’
ai ¯di qua ¯di
’
ˆem B. C´o 3 ¯d
’
u
`
’

ong kh´ac
nhau ¯d
’
ˆe ¯di t
`
’
u A ¯d
´
ˆen B v`a c´o 2 ¯d
’
u
`
’
ong kh´ac nhau ¯d
’
ˆe ¯di t
`
’
u B ¯d
´
ˆen C. Vˆa
.
y c´o n = 3.2 c´ach
kh´ac nhau ¯d
’
ˆe ¯di t
`
’
u A ¯d
´

ˆen C.
A B
C
1.2 Ch
’
inh h
’
o
.
p
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 1 Ch
’
inh h
’
o
.
p chˆa
.
p k c
’
ua n ph
`
ˆan t
’

’
u (k ≤ n) l`a mˆo
.
t nh´om (bˆo
.
) c´o th
´
’
u t
’
u
.
g
`
ˆom k ph
`
ˆan t
’
’
u kh´ac nhau cho
.
n t
`
’
u n ph
`
ˆan t
’
’
u ¯d˜a cho.

S
´
ˆo ch
’
inh h
’
o
.
p chˆa
.
p k c
’
ua n ph
`
ˆan t
’
’
u k´ı hiˆe
.
u l`a A
k
n
.
 Cˆong th
´
’
uc t´ınh: A
k
n
=

n!
(n − k)!
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
• V´ı du
.
2 Mˆo
.
t bu
’
ˆoi ho
.
p g
`
ˆom 12 ng
’
u
`
’
oi tham d
’
u
.
. H
’
oi c´o m
´
ˆay c´ach cho
.
n mˆo
.

t ch
’
u to
.
a
v`a mˆo
.
t th
’
u k´y?
Gi
’
ai
M
˜
ˆoi c´ach cho
.
n mˆo
.
t ch
’
u to
.
a v`a mˆo
.
t th
’
u k´y t
`
’

u 12 ng
’
u
`
’
oi tham d
’
u
.
bu
’
ˆoi ho
.
p l`a mˆo
.
t
ch
’
inh h
’
o
.
p chˆa
.
p k c
’
ua 12 ph
`
ˆan t
’

’
u.
1
2 Ch ’u ’ong 1. Nh
˜
’
ung kh´ai ni
.
ˆem c
’
o b
’
an v
`
ˆe x´ac su
´
ˆat
Do ¯d´o s
´
ˆo c´ach cho
.
n l`a A
2
12
= 12.11 = 132.
• V´ı du
.
3 V
´
’

oi c´ac ch
˜
’
u s
´
ˆo 0,1,2,3,4,5 c´o th
’
ˆe lˆa
.
p ¯d
’
u
’
o
.
c bao nhiˆeu s
´
ˆo kh´ac nhau g
`
ˆom 4
ch
˜
’
u s
´
ˆo.
Gi
’
ai
C´ac s

´
ˆo b
´
˘
at ¯d
`
ˆau b
`
˘
ang ch
˜
’
u s
´
ˆo 0 (0123, 0234,...) khˆong ph
’
ai l`a s
´
ˆo g
`
ˆom 4 ch
˜
’
u s
´
ˆo.
Ch
˜
’
u s

´
ˆo ¯d
`
ˆau tiˆen ph
’
ai cho
.
n trong c´ac ch
˜
’
u s
´
ˆo 1,2,3,4,5. Do ¯d´o c´o 5 c´ach cho
.
n ch
˜
’
u s
´
ˆo
¯d
`
ˆau tiˆen.
Ba ch
˜
’
u s
´
ˆo k
´

ˆe ti
´
ˆep c´o th
’
ˆe cho
.
n t`uy ´y trong 5 ch
˜
’
u s
´
ˆo c`on la
.
i. C´o A
3
5
c´ach cho
.
n.
Vˆa
.
y s
´
ˆo c´ach cho
.
n l`a 5.A
3
5
= 5.(5.4.3) = 300
1.3 Ch

’
inh h
’
o
.
p l
˘
a
.
p
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 2 Ch
’
inh h
’
o
.
p l
˘
a
.
p chˆa
.
p k c
’

ua n ph
`
ˆan t
’
’
u l`a mˆo
.
t nh´om c´o th
´
’
u t
’
u
.
g
`
ˆom k
ph
`
ˆan t
’
’
u cho
.
n t
`
’
u n ph
`
ˆan t

’
’
u ¯d˜a cho, trong ¯d´o m
˜
ˆoi ph
`
ˆan t
’
’
u c´o th
’
ˆe c´o m
˘
a
.
t 1,2,...,k l
`
ˆan trong
nh´om.
S
´
ˆo ch
’
inh h
’
o
.
p l
˘
a

.
p ch
˘
a
.
p k c
’
ua n ph
`
ˆan t
’
’
u ¯d
’
u
’
o
.
c k´ı hiˆe
.
u B
k
n
.
 Cˆong th
´
’
uc t´ınh
B
k

n
= n
k
• V´ı du
.
4 X
´
ˆep 5 cu
´
ˆon s´ach v`ao 3 ng
˘
an. H
’
oi c´o bao nhiˆeu c´ach x
´
ˆep ?
Gi
’
ai
M
˜
ˆoi c´ach x
´
ˆep 5 cu
´
ˆon s´ach v`ao 3 ng
˘
an l`a mˆo
.
t ch

’
inh h
’
o
.
p l
˘
a
.
p chˆa
.
p 5 c
’
ua 3 (M
˜
ˆoi l
`
ˆan
x
´
ˆep 1 cu
´
ˆon s´ach v`ao 1 ng
˘
an xem nh
’
u cho
.
n 1 ng
˘

an trong 3 ng
˘
an. Do c´o 5 cu
´
ˆon s´ach nˆen
viˆe
.
c cho
.
n ng
˘
an ¯d
’
u
’
o
.
c ti
´
ˆen h`anh 5 l
`
ˆan).
Vˆa
.
y s
´
ˆo c´ach x
´
ˆep l`a B
5

3
= 3
5
= 243.
1.4 Ho´an vi
.
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 3 Ho´an vi
.
c
’
ua m ph
`
ˆan t
’
’
u l`a mˆo
.
t nh´om c´o th
´
’
u t
’
u
.

g
`
ˆom ¯d
’
u m
˘
a
.
t m ph
`
ˆan
t
’
’
u ¯d˜a cho.
S
´
ˆo ho´an vi
.
c
’
ua m ph
`
ˆan t
’
’
u ¯d
’
u
’

o
.
c k´ı hiˆe
.
u l`a P
m
.
 Cˆong th
´
’
uc t´ınh
P
m
= m!
• V´ı du
.
5 Mˆo
.
t b`an c´o 4 ho
.
c sinh. H
’
oi c´o m
´
ˆay c´ach x
´
ˆep ch
˜
ˆo ng
`

ˆoi ?
Gi
’
ai
M
˜
ˆoi c´ach x
´
ˆep ch
˜
ˆo c
’
ua 4 ho
.
c sinh
’
’
o mˆo
.
t b`an l`a mˆo
.
t ho´an vi
.
c
’
ua 4 ph
`
ˆan t
’
’

u. Do ¯d´o s
´
ˆo
c´ach x
´
ˆep l`a P
4
= 4! = 24.
1. B
’
ˆo t´uc v
`
ˆe gi
’
ai t´ıch t
’
ˆo h
.
’
op 3
1.5 T
’
ˆo h
’
o
.
p
✷ D
¯
i

.
nh ngh
˜
ia 4 T
’
ˆo h
’
o
.
p chˆa
.
p k c
’
ua n ph
`
ˆan t
’
’
u (k ≤ n) l`a mˆo
.
t nh´om khˆong phˆan biˆe
.
t
th
´
’
u t
’
u
.

, g
`
ˆom k ph
`
ˆan t
’
’
u kh´ac nhau cho
.
n t
`
’
u n ph
`
ˆan t
’
’
u ¯d˜a cho.
S
´
ˆo t
’
ˆo h
’
o
.
p chˆa
.
p k c
’

ua n ph
`
ˆan t
’
’
u k´ı hiˆe
.
u l`a C
k
n
.
 Cˆong th
´
’
uc t´ınh
C
k
n
=
n!
k!(n − k)!
=
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
 Ch´u ´y
i) Qui
’
u
´
’

oc 0! = 1.
ii) C
k
n
= C
n−k
n
.
iii) C
k
n
= C
k−1
n−1
+ C
k
n−1
.
• V´ı du
.
6 M
˜
ˆoi ¯d
`
ˆe thi g
`
ˆom 3 cˆau h
’
oi l
´

ˆay trong 25 cˆau h
’
oi cho tr
’
u
´
’
oc. H
’
oi c´o th
’
ˆe lˆa
.
p
nˆen bao nhiˆeu ¯d
`
ˆe thi kh´ac nhau ?
Gi
’
ai
S
´
ˆo ¯d
`
ˆe thi c´o th
’
ˆe lˆa
.
p nˆen l`a C
3

25
=
25!
3!.(22)!
=
25.24.23
1.2.3
= 2.300.
• V´ı du
.
7 Mˆo
.
t m´ay t´ınh c´o 16 c
’
ˆong. Gi
’
a s
’
’
u ta
.
i m
˜
ˆoi th
`
’
oi ¯di
’
ˆem b
´

ˆat k`y m
˜
ˆoi c
’
ˆong ho
˘
a
.
c
trong s
’
’
u du
.
ng ho
˘
a
.
c khˆong trong s
’
’
u du
.
ng nh
’
ung c´o th
’
ˆe hoa
.
t ¯dˆo

.
ng ho
˘
a
.
c khˆong th
’
ˆe hoa
.
t
¯dˆo
.
ng. H
’
oi c´o bao nhiˆeu c
´
ˆau h`ınh (c´ach cho
.
n) trong ¯d´o 10 c
’
ˆong trong s
’
’
u du
.
ng, 4 khˆong
trong s
’
’
u du

.
ng nh
’
ung c´o th
’
ˆe hoa
.
t ¯dˆo
.
ng v`a 2 khˆong hoa
.
t ¯dˆo
.
ng?
Gi
’
ai
D
¯
’
ˆe x´ac ¯di
.
nh s
´
ˆo c´ach cho
.
n ta qua 3 b
’
u
´

’
oc:
B
’
u
´
’
oc 1: Cho
.
n 10 c
’
ˆong s
’
’
u du
.
ng: c´o C
10
16
= 8008 c´ach.
B
’
u
´
’
oc 2: Cho
.
n 4 c
’
ˆong khˆong trong s

’
’
u du
.
ng nh
’
ung c´o th
’
ˆe hoa
.
t ¯dˆo
.
ng trong 6 c
’
ˆong c`on
la
.
i: c´o C
4
6
= 15 c´ach.
B
’
u
´
’
oc 3: Cho
.
n 2 c
’

ˆong khˆong th
’
ˆe hoa
.
t ¯dˆo
.
ng: c´o C
2
2
= 1 c´ach.
Theo qui t
´
˘
ac nhˆan, ta c´o C
10
16
.C
4
6
.C
2
2
= (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach.
1.6 Nhi
.
th
´
’
uc Newton
’

’
O ph
’
ˆo thˆong ta ¯d˜a bi
´
ˆet c´ac h
`
˘
ang ¯d
’
˘
ang th
´
’
uc ¯d´ang nh
´
’
o
a + b = a
1
+ b
1
(a + b)
2
= a
2
+ 2a
1
b
1

+ b
2
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b
1
+ 3a
1
b
2
+ b
3
C´ac hˆe
.
s
´
ˆo trong c´ac h
`
˘
ang ¯d
’
˘
ang th
´
’
uc trˆen c´o th

’
ˆe x´ac ¯di
.
nh t
`
’
u tam gi´ac Pascal
4 Ch ’u ’ong 1. Nh
˜
’
ung kh´ai ni
.
ˆem c
’
o b
’
an v
`
ˆe x´ac su
´
ˆat
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
C
0
n
C
1

n
C
2
n
C
3
n
C
4
n
. . . C
n−1
n
C
n
n
Newton ¯d˜a ch
´
’
ung minh ¯d
’
u
’
o
.
c cˆong th
´
’
uc t
’

ˆong qu´at sau (Nhi
.
th
´
’
uc Newton):
(a + b)
n
=
n

k=o
C
k
n
a
n−k
b
k
= C
0
n
a
n
+ C
1
n
a
n−1
b + C

2
n
a
n−2
b
2
+ . . . + C
k
n
a
n−k
b
k
+ . . . + C
n−1
n
ab
n−1
+ C
n
n
b
n
(a,b l`a c´ac s
´
ˆo th
’
u
.
c; n l`a s

´
ˆo t
’
u
.
nhiˆen)
2. BI
´
ˆ
EN C
´
ˆ
O V
`
A QUAN H
ˆ
E
.
GI
˜’
UA C
´
AC BI
´
ˆ
EN C
´
ˆ
O
2.1 Ph´ep th

’
’
u v`a bi
´
ˆen c
´
ˆo
Viˆe
.
c th
’
u
.
c hiˆe
.
n mˆo
.
t nh´om c´ac ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n c
’
o b
’
an ¯d
’
ˆe quan s´at mˆo
.
t hiˆe

.
n t
’
u
’
o
.
ng n`ao ¯d´o
¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i mˆo
.
t ph´ep th
’
’
u. C´ac k
´
ˆet qu
’
a c´o th
’
ˆe x
’
ay ra c

’
ua ph´ep th
’
’
u ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo (s
’
u
.
kiˆe
.
n).
• V´ı du
.
8
i) Tung ¯d
`
ˆong ti
`

ˆen lˆen l`a mˆo
.
t ph´ep th
’
’
u. D
¯
`
ˆong ti
`
ˆen lˆa
.
t m
˘
a
.
t n`ao ¯d´o (x
´
ˆap, ng
’
’
ua) l`a mˆo
.
t
bi
´
ˆen c
´
ˆo.
ii) B

´
˘
an mˆo
.
t ph´at s´ung v`ao mˆo
.
t c´ai bia l`a mˆo
.
t ph´ep th
’
’
u. Viˆe
.
c viˆen ¯da
.
n tr´ung (trˆa
.
t)
bia l`a mˆo
.
t bi
´
ˆen c
´
ˆo.
2.2 C´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo v`a quan hˆe

.
gi
˜
’
ua c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo
i) Quan hˆe
.
k´eo theo
Bi
´
ˆen c
´
ˆo A ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a k´eo theo bi
´
ˆen c
´
ˆo B, k´ı hiˆe
.

u A ⊂ B, n
´
ˆeu A x
’
ay ra th`ı B x
’
ay
ra.
ii) Quan hˆe
.
t
’
u
’
ong ¯d
’
u
’
ong
Hai bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a B ¯d
’
u
’
o
.
c go

.
i l`a t
’
u
’
ong ¯d
’
u
’
ong v
´
’
oi nhau n
´
ˆeu A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe
.
u
A = B.
iii) Bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap
Bi
´
ˆen c

´
ˆo s
’
o c
´
ˆap l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo khˆong th
’
ˆe phˆan t´ıch ¯d
’
u
’
o
.
c n
˜
’
ua ¯d
’
u
’
o
.
c n
’
ua.
iv) Bi

´
ˆen c
´
ˆo ch
´
˘
ac ch
´
˘
an
L`a bi
´
ˆen c
´
ˆo nh
´
ˆat ¯di
.
nh s˜e x
’
ay ra khi th
’
u
.
c hiˆe
.
n ph´ep th
’
’
u. K´ı hiˆe

.
u Ω.
2. Bi
´
ˆen c
´
ˆo v`a quan h
.
ˆe gi
˜
’
ua c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo 5
• V´ı du
.
9 Tung mˆo
.
t con x´uc x
´
˘
ac. Bi
´
ˆen c
´
ˆo m
˘
a

.
t con x´uc x
´
˘
ac c´o s
´
ˆo ch
´
ˆam b´e h
’
on 7 l`a
bi
´
ˆen c
´
ˆo ch
´
˘
ac ch
´
˘
an.
v) Bi
´
ˆen c
´
ˆo khˆong th
’
ˆe
L`a bi

´
ˆen c
´
ˆo nh
´
ˆat ¯di
.
nh khˆong x
’
ay ra khi th
’
u
.
c hiˆe
.
n ph´ep th
’
’
u. K´ı hiˆe
.
u ∅.
⊕ Nhˆa
.
n x´et Bi
´
ˆen c
´
ˆo khˆong th
’
ˆe ∅ khˆong bao h`am mˆo

.
t bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap n`ao, ngh
˜
ia l`a
khˆong c´o bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap n`ao thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho biˆen c
´
ˆo khˆong th
’

ˆe.
vi) Bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
˜
ˆau nhiˆen
L`a bi
´
ˆen c
´
ˆo c´o th
’
ˆe x
’
ay ra ho
˘
a
.
c khˆong x
’
ay ra khi th
’
u
.
c hiˆe
.
n ph´ep th
’

’
u. Ph´ep th
’
’
u m`a
c´ac k
´
ˆet qu
’
a c
’
ua n´o l`a c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
˜
ˆau nhiˆen ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a ph´ep th
’
’
u ng
˜

ˆau nhiˆen.
vii) Bi
´
ˆen c
´
ˆo t
’
ˆong
Bi
´
ˆen c
´
ˆo C ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a t
’
ˆong c
’
ua hai bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a B, k´ı hiˆe
.

u C = A + B, n
´
ˆeu C x
’
ay
ra khi v`a ch
’
i khi ´ıt nh
´
ˆat mˆo
.
t trong hai bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a B x
’
ay ra.
• V´ı du
.
10 Hai ng
’
u
`
’
oi th
’
o
.
s

˘
an c`ung b
´
˘
an v`ao mˆo
.
t con th´u. N
´
ˆeu go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
’
u
`
’
oi
th
´
’
u nh
´
ˆat b
´
˘
an tr´ung con th´u v`a B l`a bi
´

ˆen c
´
ˆo ng
’
u
`
’
oi th
´
’
u hai b
´
˘
an tr´ung con th´u th`ı C = A+B
l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo con th´u bi
.
b
´
˘
an tr´ung.
 Ch´u ´y
i) Mo
.
i bi
´
ˆen c

´
ˆo ng
˜
ˆau nhiˆen A ¯d
`
ˆeu bi
’
ˆeu di
˜
ˆen ¯d
’
u
’
o
.
c d
’
u
´
’
oi da
.
ng t
’
ˆong c
’
ua mˆo
.
t s
´

ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo
s
’
o c
´
ˆap n`ao ¯d´o. C´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap trong t
’
ˆong n`ay ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a c´ac bi
´
ˆen c

´
ˆo thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho
bi
´
ˆen c
´
ˆo A.
ii) Bi
´
ˆen c
´
ˆo ch
´
˘
ac ch
´
˘
an Ω l`a t
’
ˆong c
’
ua mo
.
i bi

´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap c´o th
’
ˆe, ngh
˜
ia l`a mo
.
i bi
´
ˆen c
´
ˆo
s
’
o c
´
ˆap ¯d
`
ˆeu thuˆa
.
n l
’
o
.

i cho Ω. Do ¯d´o Ω c`on ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a khˆong gian c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap.
• V´ı du
.
11 Tung mˆo
.
t con x´uc x
´
˘
ac. Ta c´o 6 bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’

o c
´
ˆap A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
, trong
¯d´o A
j
l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu´at hiˆe
.
n m
˘
a
.
t j ch
´
ˆam j = 1, 2, . . . , 6.

Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a
.
t v
´
’
oi s
´
ˆo ch
´
ˆam ch
˜
˘
an th`ı A c´o 3 bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.

n l
’
o
.
i l`a
A
2
, A
4
, A
6
.
Ta c´o A = A
2
+ A
4
+ A
6
Go
.
i B l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘

a
.
t v
´
’
oi s
´
ˆo ch
´
ˆam chia h
´
ˆet cho 3 th`ı B c´o 2 bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.
n
l
’
o
.
i l`a A
3
, A
6
.
Ta c´o B = A
3
+ A

6
viii) Bi
´
ˆen c
´
ˆo t´ıch
Bi
´
ˆen c
´
ˆo C ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a t´ıch c
’
ua hai bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a B, k´ı hiˆe
.
u AB, n
´
ˆeu C x
’

ay ra khi v`a
ch
’
i khi c
’
a A l
˜
ˆan B c`ung x
’
ay ra.
6 Ch ’u ’ong 1. Nh
˜
’
ung kh´ai ni
.
ˆem c
’
o b
’
an v
`
ˆe x´ac su
´
ˆat
• V´ı du
.
12 Hai ng
’
u
`

’
oi c`ung b
´
˘
an v`ao mˆo
.
t con th´u.
Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
’
u
`
’
oi th
´
’
u nh
´
ˆat b
´
˘
an tr
’
u
’

o
.
t, B l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
’
u
`
’
oi th
´
’
u hai b
´
˘
an tr
’
u
’
o
.
t th`ı
C = AB l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo con th´u khˆong bi
.

b
´
˘
an tr´ung.
ix) Bi
´
ˆen c
´
ˆo hiˆe
.
u
Hiˆe
.
u c
’
ua bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a bi
´
ˆen c
´
ˆo B, k´ı hiˆe
.
u A \ B l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo x

’
ay ra khi v`a ch
’
i khi A
x
’
ay ra nh
’
ung B khˆong x
’
ay ra.
x) Bi
´
ˆen c
´
ˆo xung kh
´
˘
ac
Hai bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a B ¯d
’
u
’
o
.
c go

.
i l`a hai bi
´
ˆen c
´
ˆo xung kh
´
˘
ac n
´
ˆeu ch´ung khˆong ¯d
`
ˆong th
`
’
oi
x
’
ay ra trong mˆo
.
t ph´ep th
’
’
u.
• V´ı du
.
13 Tung mˆo
.
t ¯d
`

ˆong ti
`
ˆen.
Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a
.
t x
´
ˆap, B l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a

.
t ng
’
’
ua th`ı AB = ∅.
xi) Bi
´
ˆen c
´
ˆo ¯d
´
ˆoi lˆa
.
p
Bi
´
ˆen c
´
ˆo khˆong x
’
ay ra bi
´
ˆen c
´
ˆo A ¯d
’
u
’
o
.

c go
.
i l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo ¯d
´
ˆoi lˆa
.
p v
´
’
oi bi
´
ˆen c
´
ˆo A. K´ı hiˆe
.
u A.
Ta c´o
A + A = Ω, AA = ∅
⊕ Nhˆa
.
n x´et
Qua c´ac kh´ai niˆe
.
m trˆen ta th
´
ˆay c´ac bi

´
ˆen c
´
ˆo t
’
ˆong, t´ıch, hiˆe
.
u, ¯d
´
ˆoi lˆa
.
p t
’
u
’
ong
´
’
ung v
´
’
oi
tˆa
.
p h
’
o
.
p, giao, hiˆe
.

u, ph
`
ˆan b`u c
’
ua l´y thuy
´
ˆet tˆa
.
p h
’
o
.
p. Do ¯d´o ta c´o th
’
ˆe s
’
’
u du
.
ng c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆa
.
p h
’
o
.
p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac bi
´
ˆen c
´

ˆo.
Ta c´o th
’
ˆe d`ung bi
’
ˆeu ¯d
`
ˆo Venn ¯d
’
ˆe miˆeu t
’
a c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo.
Ω
Bc ch
´
˘
ac ch
´
˘
an
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
A

BA
B
A
A
A=⇒B
A+B
AB
A,B xung kh
´
˘
ac
D
¯
´
ˆoi lˆa
.
p A
3. X´ac su
´
ˆat 7
3. X
´
AC SU
´
ˆ
AT
3.1 D
¯
i
.

nh ngh
˜
ia x´ac su
´
ˆat theo l
´
ˆoi c
’
ˆo ¯di
’
ˆen
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 5 Gi
’
a s
’
’
u ph´ep th
’
’
u c´o n bi
´
ˆen c
´
ˆo ¯d

`
ˆong kh
’
a n
˘
ang c´o th
’
ˆe x
’
ay ra, trong ¯d´o
c´o m bi
´
ˆen c
´
ˆo ¯d
`
ˆong kh
’
a n
˘
ang thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho bi
´
ˆen c
´

ˆo A (A l`a t
’
ˆong c
’
ua m bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap
n`ay). Khi ¯d´o x´ac su
´
ˆat c
’
ua bi
´
ˆen c
´
ˆo A, k´ı hiˆe
.
u P (A) ¯d
’
u
’
o
.
c ¯di

.
nh ngh
˜
ia b
`
˘
ang cˆong th
´
’
uc sau:
P (A) =
m
n
=
S
´
ˆo tr
’
u
`
’
ong h
’
o
.
p thuˆa
.
n l
’
o

.
i cho A
S
´
ˆo tr
’
u
`
’
ong h
’
o
.
p c´o th
’
ˆe x
’
ay ra
• V´ı du
.
14 Gieo mˆo
.
t con x´uc x
´
˘
ac cˆan ¯d
´
ˆoi, ¯d
`
ˆong ch

´
ˆat. T´ınh x´ac su
´
ˆat xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a
.
t
ch
˜
˘
an.
Gi
’
ai
Go
.
i A
i
l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe

.
n m
˘
a
.
t i ch
´
ˆam v`a A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo xu
´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a
.
t ch
˜
˘
an th`ı
A = A
2
+ A
4
+ A
6
Ta th

´
ˆay ph´ep th
’
’
u c´o 6 bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap ¯d
`
ˆong kh
’
a n
˘
ang c´o th
’
ˆe x
’
ay ra trong ¯d´o c´o 3
bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.
n l

’
o
.
i cho A.
P (A) =
3
6
=
1
2
• V´ı du
.
15 Mˆo
.
t ng
’
u
`
’
oi go
.
i ¯diˆe
.
n thoa
.
i nh
’
ung la
.
i quˆen 2 s

´
ˆo cu
´
ˆoi c
’
ua s
´
ˆo ¯diˆe
.
n thoa
.
i c
`
ˆan
go
.
i m`a ch
’
i nh
´
’
o l`a 2 s
´
ˆo ¯d´o kh´ac nhau. T`ım x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe ng
’
u

`
’
oi ¯d´o quay ng
˜
ˆau nhiˆen mˆo
.
t
l
`
ˆan tr´ung s
´
ˆo c
`
ˆan go
.
i.
Gi
’
ai
Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo ng
’
u
`
’

oi ¯d´o quay ng
˜
ˆau nhiˆen mˆo
.
t l
`
ˆan tr´ung s
´
ˆo c
`
ˆan go
.
i.
S
´
ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap ¯d
`
ˆong kh
’
a n
˘
ang c´o th

’
ˆe x
’
ay ra (s
´
ˆo c´ach go
.
i 2 s
´
ˆo cu
´
ˆoi) l`a n = A
2
10
= 90.
S
´
ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho A l`a m = 1.
Vˆa
.

y P (A) =
1
90
.
• V´ı du
.
16 Trong hˆo
.
p c´o 6 bi tr
´
˘
ang, 4 bi ¯den. T`ım x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe l
´
ˆay t
`
’
u hˆo
.
p ra ¯d
’
u
’
o
.
c
i) 1 viˆen bi ¯den.

ii) 2 viˆen bi tr
´
˘
ang.
Gi
’
ai
Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo l
´
ˆay t
`
’
u hˆo
.
p ra ¯d
’
u
’
o
.
c 1 viˆen bi ¯den v`a B l`a bi
´
ˆen c
´

ˆo l
´
ˆay t
`
’
u hˆo
.
p ra 2
viˆen bi tr
´
˘
ang.
Ta c´o
8 Ch ’u ’ong 1. Nh
˜
’
ung kh´ai ni
.
ˆem c
’
o b
’
an v
`
ˆe x´ac su
´
ˆat
i) P (A) =
C
1

4
C
1
10
=
2
5
ii) P (B) =
C
2
6
C
2
10
=
1
3
• V´ı du
.
17 R´ut ng
˜
ˆau nhiˆen t
`
’
u mˆo
.
t c
˜
ˆo b`ai t´u l
’

o kh
’
o 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac su
´
ˆat sao
cho trong 5 l´a r´ut ra c´o
a) 3 l´a ¯d
’
o v`a 2 l´a ¯den.
b) 2 con c
’
o, 1 con rˆo, 2 con chu
`
ˆon.
Gi
’
ai
Go
.
i A l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo r´ut ra ¯d
’
u
’
o
.
c 3 l´a ¯d

’
o v`a 2 l´a ¯den.
B l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo r´ut ra ¯d
’
u
’
o
.
c 2 con c
’
o, 1 con rˆo, 2 con chu
`
ˆon.
S
´
ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo c´o th
’
ˆe x
’
ay ra khi r´ut 5 l´a b`ai l`a C
5
52

.
a) S
´
ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho A l`a C
3
26
.C
2
26
.
P (A) =
C
3
26
.C
2
26
C
5
52

=
845000
2598960
= 0, 3251
b) S
´
ˆo bi
´
ˆen c
´
ˆo thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho B l`a C
2
13
.C
1
13
.C
2
13
P (B) =
C
2
13
.C

1
13
.C
2
13
C
5
52
=
79092
2598960
= 0, 30432
• V´ı du
.
18 (B`ai to´an ng`ay sinh) Mˆo
.
t nh´om g
`
ˆon n ng
’
u
`
’
oi. T`ım x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe c´o ´ıt
nh
´

ˆat hai ng
’
u
`
’
oi c´o c`ung ng`ay sinh (c`ung ng`ay v`a c`ung th´ang).
Gi
’
ai
Go
.
i S l`a tˆa
.
p h
’
o
.
p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o th
’
ˆe c
’
ua n ng
’
u
`
’
oi v`a E l`a bi
´
ˆen c
´

ˆo c´o ´ıt
nh
´
ˆat hai ng
’
u
`
’
oi trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh trong n
˘
am.
Ta c´o E l`a bi
´
ˆen c
´
ˆo khˆong c´o hai ng
’
u
`
’
oi b
´
ˆat k`y trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh.
S
´
ˆo c´ac tr
’
u
`
’

ong h
’
o
.
p c
’
ua S l`a
n(S) = 365.365 . . . 365
  
n
= 365
n
S
´
ˆo tr
’
u
`
’
ong h
’
o
.
p thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho E l`a

n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
=
[365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)!
(365 − n)!
=
365!
(365−n)!
3. X´ac su
´
ˆat 9
V`ı c´ac biˆen c
´
ˆo ¯d
`
ˆong kh
’
a n
˘
ang nˆen
P (E) =
n(E)
n(S)
=
365!
(365−n)!
365
n
=
365!
365

n
.(365 − n)!
Do ¯d´o x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe ´ıt nh
´
ˆat c´o hai ng
’
u
`
’
oi c´o c`ung ng`ay sinh l`a
P (E) = 1 − P (E) = 1 −
365!
(365−n)!
365
n
=
365!
365
n
.(365 − n)!
S
´
ˆo ng
’
u
`

’
oi trong nh´om X´ac su
´
ˆat c´o ´ıt nh
´
ˆat 2 ng
’
u
`
’
oi c´o c`ung ng`ay sinh
n P (E)
5 0,027
10 0,117
15 0,253
20 0,411
23 0,507
30 0,706
40 0,891
50 0,970
60 0,994
70 0,999
B
’
ang b`ai to´an ng`ay sinh
 Ch´u ´y D
¯
i
.
nh ngh

˜
ia x´ac su
´
ˆat theo l
´
ˆoi c
’
ˆo ¯di
’
ˆen c´o mˆo
.
t s
´
ˆo ha
.
n ch
´
ˆe:
i) N´o ch
’
i x´et cho hˆe
.
h
˜
’
uu ha
.
n c´ac bi
´
ˆen c

´
ˆo s
’
o c
´
ˆap.
ii) Khˆong ph
’
ai l´uc n`ao viˆe
.
c ”¯d
`
ˆong kh
’
a n
˘
ang” c˜ung x
’
ay ra.
3.2 D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia x´ac su
´
ˆat theo l
´
ˆoi th

´
ˆong kˆe
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 6 Th
’
u
.
c hiˆe
.
n ph´ep th
’
’
u n l
`
ˆan. Gi
’
a s
’
’
u bi
´
ˆen c
´
ˆo A xu
´

ˆat hiˆe
.
n m l
`
ˆan. Khi
¯d´o m ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a t
`
ˆan s
´
ˆo c
’
ua bi
´
ˆen c
´
ˆo A v`a t
’
y s
´
ˆo
m
n

¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i l`a t
`
ˆan su
´
ˆat xu
´
ˆat hiˆe
.
n bi
´
ˆen
c
´
ˆo A trong loa
.
t ph´ep th
’
’
u.
Cho s
´
ˆo ph´ep th

’
’
u t
˘
ang lˆen vˆo ha
.
n, t
`
ˆan su
´
ˆat xu
´
ˆat hiˆe
.
n bi
´
ˆen c
´
ˆo A d
`
ˆan v
`
ˆe mˆo
.
t s
´
ˆo x´ac
¯di
.
nh go

.
i l`a x´ac su
´
ˆat c
’
ua bi
´
ˆen c
´
ˆo A.
P (A) = lim
n→∞
m
n
• V´ı du
.
19 Mˆo
.
t xa
.
th
’
u b
´
˘
an 1000 viˆen ¯da
.
n v`ao bia. C´o x
´
ˆap x

’
i 50 viˆen tr´ung bia. Khi
¯d´o x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe xa
.
th
’
u b
´
˘
an tr´ung bia l`a
50
1000
= 5%.
• V´ı du
.
20 D
¯
’
ˆe nghiˆen c
´
’
uu kh
’
a n
˘
ang xu

´
ˆat hiˆe
.
n m
˘
a
.
t s
´
ˆap khi tung mˆo
.
t ¯d
`
ˆong ti
`
ˆen, ng
’
u
`
’
oi
ta ti
´
ˆen h`anh tung ¯d
`
ˆong ti
`
ˆen nhi
`
ˆeu l

`
ˆan v`a thu ¯d
’
u
’
o
.
c k
´
ˆet qu
’
a cho
’
’
o b
’
ang d
’
u
´
’
oi ¯dˆay:
10 Ch ’u ’ong 1. Nh
˜
’
ung kh´ai ni
.
ˆem c
’
o b

’
an v
`
ˆe x´ac su
´
ˆat
Ng
’
u
`
’
oi l`am S
´
ˆo l
`
ˆan S
´
ˆo l
`
ˆan ¯d
’
u
’
o
.
c T
`
ˆan su
´
ˆat

th´ı nghiˆe
.
m tung m
˘
a
.
t s
´
ˆap f(A)
Buyffon 4040 2.048 0,5069
Pearson 12.000 6.019 0,5016
Pearson 24.000 12.012 0,5005
3.3 D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia x´ac su
´
ˆat theo quan ¯di
’
ˆem h`ınh ho
.
c
✷ D
¯
i
.
nh ngh

˜
ia 7 X´et mˆo
.
t ph´ep th
’
’
u c´o khˆong gian c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo s
’
o c
´
ˆap Ω ¯d
’
u
’
o
.
c bi
’
ˆeu di
˜
ˆen
b
’
’
oi mi
`

ˆen h`ınh ho
.
c Ω c´o ¯dˆo
.
¯do (¯dˆo
.
d`ai, diˆe
.
n t´ıch, th
’
ˆe t´ıch) h
˜
’
uu ha
.
n kh´ac 0, bi
´
ˆen c
´
ˆo A
¯d
’
u
’
o
.
c bi
’
ˆeu di
˜

ˆen b
’
’
oi mi
`
ˆen h`ınh ho
.
c A. Khi ¯d´o x´ac su
´
ˆat c
’
ua bi
´
ˆen c
´
ˆo A ¯d
’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh b
’
’
oi:
P (A) =
D
¯

ˆo
.
¯do c
’
ua mi
`
ˆen A
D
¯
ˆo
.
¯do c
’
ua mi
`
ˆen Ω
• V´ı du
.
21 Trˆen ¯doa
.
n th
’
˘
ang OA ta gieo ng
˜
ˆau nhiˆen hai ¯di
’
ˆem B v`a C c´o to
.
a ¯dˆo

.
t
’
u
’
ong
´
’
ung OB = x, OC = y (y ≥ x). T`ım x´ac su
´
ˆat sao cho ¯dˆo
.
d`ai c
’
ua ¯doa
.
n BC b´e h
’
on ¯dˆo
.
d`ai c
’
ua ¯doa
.
n OB.
Gi
’
ai
Gi
’

a s
’
’
u OA = l. C´ac to
.
a ¯dˆo
.
x v`a y ph
’
ai
th
’
oa m˜an c´ac ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n:
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y ≥ x (*)
Bi
’
ˆeu di
˜
ˆen x v`a y lˆen hˆe
.
tru
.
c to
.
a ¯dˆo
.

vuˆong
g´oc. C´ac ¯di
’
ˆem c´o to
.
a ¯dˆo
.
th
’
oa m˜an (*) thuˆo
.
c
tam gi´ac OMQ (c´o th
’
ˆe xem nh
’
u bi
´
ˆen c
´
ˆo ch
´
˘
ac
ch
´
˘
an).
x
y

I
M
y=2x
O
Q
M
˘
a
.
t kh´ac, theo yˆeu c
`
ˆau b`ai to´an ta ph
’
ai c´o y − x < x hay y < 2x (**). Nh
˜
’
ung ¯di
’
ˆem
c´o to
.
a ¯dˆo
.
th
’
oa m˜an (*) v`a (**) thuˆo
.
c mi
`
ˆen c´o ga

.
ch. Mi
`
ˆen thuˆa
.
n l
’
o
.
i cho bi
´
ˆen c
´
ˆo c
`
ˆan t`ım
l`a tam gi´ac OMI. Vˆa
.
y x´ac su
´
ˆat c
`
ˆan t´ınh
p =
diˆe
.
n t´ıch OMI
diˆe
.
n t´ıch OMQ

=
1
2
• V´ı du
.
22 (B`ai to´an hai ng
’
u
`
’
oi g
˘
a
.
p nhau)
Hai ng
’
u
`
’
oi he
.
n g
˘
a
.
p nhau
’
’
o mˆo

.
t ¯di
.
a ¯dı
’
ˆem x´ac ¯di
.
nh v`ao kho
’
ang t
`
’
u 19 gi
`
’
o ¯d
´
ˆen 20 gi
`
’
o.
M
˜
ˆoi ng
’
u
`
’
oi ¯d
´

ˆen (ch
´
˘
ac ch
´
˘
an s˜e ¯d
´
ˆen) ¯di
’
ˆem he
.
n trong kho
’
ang th
`
’
oi gian trˆen mˆo
.
t c´ach ¯dˆo
.
c
lˆa
.
p v
´
’
oi nhau, ch
`
’

o trong 20 ph´ut, n
´
ˆeu khˆong th
´
ˆay ng
’
u
`
’
oi kia ¯d
´
ˆen s˜e b
’
o ¯di. T`ım x´ac su
´
ˆat
¯d
’
ˆe hai ng
’
u
`
’
oi g
˘
a
.
p nhau.