Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————– * ———————

Đặng Thanh Sơn

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————– * ———————

Đặng Thanh Sơn

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trần Xuân Tiếp
2. PGS. TS. Cung Thế Anh

Hà Nội - 2015


1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Cung Thế Anh và TS. Trần Xuân Tiếp. Các kết quả được phát
biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất cứ một công trình nào khác.

Tập thể giáo viên hướng dẫn

PGS. TS. Cung Thế Anh

TS. Trần Xuân Tiếp

Nghiên cứu sinh

Đặng Thanh Sơn


2

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu
đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh và TS Trần Xuân Tiếp. Tác giả xin bày tỏ
lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Xuân Tiếp và đặc biệt là

PGS.TS. Cung Thế Anh, người đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu
khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt
khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn
là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.
Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS. Lê Trọng Vinh, PGS.TS. Nguyễn Xuân
Thảo, TS. Nguyễn Đình Bình, PGS.TS. Trần Đình Kế đã luôn cổ vũ động viên
và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo
sau Đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán Cơ bản,
Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã luôn
giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Thông tin liên lạc, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa
Cơ bản, Trường Đại học Thông tin liên lạc đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành,
những người luôn đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . .

6

2.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . .

13

3.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .

25

1.3.2. Một số định lí và bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . .

36

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . .

47


4
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG
(MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . .

61

3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . .

69

Chương 4. HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI 76
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.2. SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.3. SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU . . . .

96

4.4. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.2. Điều kiện cần tối ưu cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5. BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.2. Điều kiện cần tối ưu cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 117
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 124

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . 132


5

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H, V

các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Bénard, hệ
MHD và hệ Boussinesq

V′

không gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · |

tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), ∥ · ∥

tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

∥ · ∥∗

chuẩn trong không gian V ′

⟨·, ·⟩

đối ngẫu giữa V và V ′

| · | L p , | · | Lp

chuẩn trong không gian Lp (Ω) và Lp (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

C0∞ (Ω)

không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

Id

ánh xạ đồng nhất

A, R, B, B

các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Bénard, MHD, và hệ

Boussinesq

⇀

hội tụ yếu

B(X)

họ các tập con bị chặn của X

dF (K)

số chiều fractal của tập compact K

dist(A, B)

nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B


6

MỞ ĐẦU

1.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển

động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ..., dưới những
điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện

tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu
mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng
trong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏng
thuần nhất, nhớt, không nén được. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng


 ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),
∂t

∇ · u
= 0,
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là hàm ngoại lực.
Được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay lí thuyết hệ phương
trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng hạn, các
cuốn chuyên khảo [31, 41, 42] và các bài tổng quan [15, 44]). Các vấn đề định
tính cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng
bao gồm:
• Tính đặt đúng của bài toán. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm,
sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho.
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của


7
nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự tồn tại và
tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sự tồn tại và tính ổn
định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm là
rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của
hệ động lực trong tương lai, từ đó có thể đưa ra những đánh giá, điều

chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn.
• Bài toán điều khiển. Bao gồm bài toán điều khiển được, bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp (trên
miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị
trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển thích
hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm
cho trước, hoặc là tìm điều khiển phản hồi để ổn định hóa nghiệm dừng
(không ổn định) của hệ.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phương trình cặp
xuất hiện trong cơ học chất lỏng là một trong những hướng nghiên cứu mới
và rất thời sự. Ở đây hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vận
tốc được kết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta một mô hình
toán học mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kĩ thuật, . . . (xem [34,
24, 5, 48, 6, 14, 3, 27, 54, 30, 28, 43]). Hệ phương trình cặp cũng xuất hiện
khi nghiên cứu sự chuyển động dòng chảy của những chất lỏng hỗn hợp (gồm
hai hay nhiều chất lỏng trộn lẫn với nhau): hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes,
hệ Allen-Cahn-Navier-Stokes (xem [7, 8]), hệ tinh thể lỏng pha nematic (xem
[26, 47]). Các kết quả đạt được là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
yếu thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn với
điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn. Tuy nhiên các kết quả
tương ứng trong trường hợp không ôtônôm và miền không bị chặn vẫn còn ít.
Các hệ không ôtônôm (tức là khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian) xuất hiện
một cách tự nhiên trong nhiều quá trình phức tạp và đang thu hút được sự


8
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Bên cạnh
đó các kết quả về bài toán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong
cơ học chất lỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó.
Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây cho những hệ phương

trình cặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án.
• Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ Boussinesq): Đó
là sự kết hợp giữa hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vận
tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T và có dạng
như sau:

→


∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu (x, t) + α−
e 2 (T − Tr ),



∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT (x, t),




∇ · u = 0,

(1)

trong đó hệ số nổi α = ϑg với ϑ là hệ số giãn nở nhiệt, g là gia tốc rơi tự
−
→
do; nhiệt độ môi trường Tr ; →
e 2 là vectơ đơn vị thẳng đứng (−
e 2 = (0, 1)
trong trường hợp hai chiều).

Hệ phương trình Boussinesq mô tả dòng chất lỏng (khí) chịu ảnh hưởng
của tác động bề nổi do sự thay đổi mật độ khối lượng chất lỏng gây ra
bởi nhiệt độ được mô hình hóa bởi phép xấp xỉ Boussinesq. Khi nhiệt
độ trên biên dưới lớn hơn trên bề mặt ta có hệ Bénard mô tả chuyển
động của chất lỏng nhớt, không nén được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ
(xem [24, 43]). Các tác giả trong [6, 30, 43] đã nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (1) với các điều kiện biên khác nhau
như: Dirichlet, Neumann, tuần hoàn, tự do. Công cụ chủ yếu trong các
kết quả trên là nguyên lí cực đại đối với phương trình của nhiệt độ, tuy
nhiên công cụ này chỉ phù hợp cho các điều kiện biên đơn giản mà ở đó
dữ kiện ban đầu và nguồn nhiệt phải thuộc L∞ (Ω). Trong công trình
[24], các tác giả đã xét hệ (1) hai chiều trong miền không bị chặn thỏa


9
mãn bất đẳng thức Poincaré với ngoại lực không phụ thuộc thời gian
(trường hợp ôtônôm) và chứng minh được sự tồn tại cũng như đánh giá
số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục. Việc phát triển các kết quả này
cho trường hợp ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian là vấn đề thời sự và
có ý nghĩa.
• Hệ phương trình động lực học thủy từ trường (gọi tắt là hệ MHD, xuất
phát từ thuật ngữ Tiếng Anh là magnetohydrodynamics): Hệ này được
đề cập đến lần đầu tiên trong công trình của T.G. Cowling năm 1957
(xem [52]) khi kết hợp hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ
vận tốc u với hệ phương trình Maxwell của từ trường B. Hệ MHD miêu
tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện trong từ trường, chẳng hạn dòng
chảy plasma, và có dạng như sau

(
)

1
S
∂u


+ (u · ∇)u −
∆u + ∇ p + |B|2 − S(B · ∇)B = f (x, t),



∂t
R
2
e




 ∂B + (u · ∇)B − (B · ∇)u + 1 curl(curl B) = 0,
∂t
Rm



∇ · u = 0,







∇ · B = 0,
(2)
2

M
với M, Re , Rm lần lượt là các hệ số Hartman,
Re Rm
Reynolds và Reynolds trong từ trường; ngoài ra

trong đó S =

∂u2
∂u1
−
với mọi hàm vectơ u = (u1 , u2 ),
∂x1
∂x2
(
)
∂ϕ
∂ϕ
curl ϕ =
,−
với mọi hàm vô hướng ϕ.
∂x2
∂x1

curl u =

Hệ động lực học thủy từ trường có vai trò quan trọng trong vật lí nên
đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Khi ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy
nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh đã được chứng minh lần đầu
tiên bởi G. Duvaut và J.-L. Lions trong [13]. Năm 1983, trong [28], M.


10
Sermange và R. Temam đã đưa ra khái niệm về tập bất biến để nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (2), đồng thời chứng minh được
số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến này. Ngoài ra, dáng điệu
tiệm cận nghiệm bao gồm tính chất phân rã của nghiệm và tính ổn định
của nghiệm dừng đã được chứng minh trong [34, 25, 10]. Tính chính qui
nghiệm của hệ MHD được nghiên cứu trong nhiều công trình, xem chẳng
hạn [5, 49] và các tài liệu trong đó. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả nhận
được ở trên đối với hệ phương trình MHD là ở trong miền bị chặn và
ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian.
• Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng
thay đổi: Trong thực tế, nhiều bài toán có mật độ khối lượng của chất
lỏng không phải là hằng số (chẳng hạn hỗn hợp chất lỏng có mật độ khối
lượng khác nhau), khi đó để mô tả chuyển động của các chất lỏng này,
ta dùng hệ phương trình Navier-Stokes có mật độ khối lượng thay đổi
được cho bởi:

∂(ρu)


− ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf,




∂t





∇ · u = 0,



∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0,

∂t





u = 0,






ρ|t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 ,

x ∈ Ω, t > 0,

x ∈ Ω, t > 0,
x ∈ Ω, t > 0,

(3)

x ∈ ∂Ω, t > 0,
x ∈ Ω.

Trong những năm gần đây, sự tồn tại và tính chất nghiệm của bài toán
(3) đã thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Khi điều kiện ban đầu thỏa mãn ρ0 (x) ≥ inf ρ0 (x) ≥ c0 > 0, sự tồn
x∈Ω

tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi S.A. Antontsev và A.V.
Kazhikov trong [46]. Điều kiện này được mở rộng thành ρ0 (x) ≥ 0 trong
[23]. Sau đó, R. Danchin đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
nhẹ khi Ω = RN bằng phương pháp nửa nhóm [36, 37]. Xin xem các


11
cuốn chuyên khảo [46, 32] về các kết quả liên quan đến hệ Navier-Stokes
với mật độ khối lượng thay đổi. Gần đây, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm
mạnh cũng như những vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển tối ưu
đối với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi đã được trình
bày khá hoàn chỉnh trong [11].
Khi kết hợp bài toán (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán của
nhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ Boussinesq với mật độ khối lượng
thay đổi sau:

∂(ρu)

−


− ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ →
e N θ, x ∈ Ω, t > 0,


∂t





∇ · u = 0,
x ∈ Ω, t > 0,






 ∂(ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg,
x ∈ Ω, t > 0,
∂t
(4)
∂ρ



+ ∇ · (ρu) = 0,

x ∈ Ω, t > 0,


∂t





u = 0, θ = 0,
x ∈ ∂Ω, t > 0,





ρ|
x ∈ Ω,
t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 , (ρθ)|t=0 = ρ0 θ0 ,
trong đó
−
→
eN =



(0, 1)

với N = 2,


(0, 0, 1)

với N = 3.

Hệ phương trình Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả
chuyển động của chất lỏng có mật độ khối lượng ρ(x, t), nhớt, không nén
được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện
chưa có kết quả nào liên quan đến hệ này. Như được đề cập đến trong
[11], việc phát triển các kết quả của hệ Navier-Stokes với mật độ khối
lượng thay đổi cho hệ này là vấn đề thời sự và có ý nghĩa khoa học.
Như vậy, đối với các hệ phương trình cặp xuất hiện trong cơ học chất lỏng,
mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại, dáng
điệu tiệm cận của nghiệm và các bài toán điều khiển, tuy nhiên các kết quả


12
hiện có chủ yếu dừng lại ở trường hợp ôtônôm, trong miền bị chặn và hệ được
xét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số. Việc phát triển những kết
quả này cho trường hợp không ôtônôm, trong miền không bị chặn, hoặc các
hệ phương trình với mật độ khối lượng của chất lỏng thay đổi là những vấn đề
thời sự, có ý nghĩa khoa học và có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Nói riêng, những
vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho hệ phương
trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trường hợp không ôtônôm và
miền xét bài toán (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré. Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không
còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian và do đó
lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng lí thuyết tập hút lùi [51],

một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ ra rất hữu ích khi nghiên
cứu các hệ động lực không ôtônôm (xin xem cuốn chuyên khảo gần đây
của Carvalho, Langa và Robinson [1]).
• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ
khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bị chặn, khó
khăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục chứ không
compact; điều này dẫn đến dạng cổ điển của Bổ đề compact Aubin-Lions cổ
điển không áp dụng được và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn
không còn thích hợp nữa. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi sử dụng các
bổ đề compact phù hợp thay cho Bổ đề compact Aubin-Lions cổ điển để chứng
minh sự tồn tại nghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phương
pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí cấu trúc của phương trình
để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình sinh bởi bài toán, một


13
điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi. Ngoài ra, tính không bị chặn
của miền và tính không thuần nhất của điều kiện biên cũng gây ra những khó
khăn đáng kể khi đánh giá số chiều của tập hút của các hệ này.
Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, khó khăn gây
ra chủ yếu là do mật độ khối lượng không còn là hằng số; điều này dẫn đến việc
nghiên cứu phức tạp lên rất nhiều. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng
tôi sử dụng phương pháp nửa Galerkin và kết hợp với kết quả của DiPerna và
Lions về phương trình chuyển dịch [38]. Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm
được chứng minh bằng cách sử dụng ý tưởng trong [32] cho hệ Navier-Stokes
với mật độ khối lượng thay đổi. Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu và
bài toán thời gian tối ưu, chúng tôi phát triển các ý tưởng và cách tiếp cận
trong [11] cho hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việc

nghiên cứu ở đây khó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phức
tạp hơn.
Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal
tập hút lùi) của các hệ phương trình Bénard và MHD hai chiều trong trường
hợp ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thời gian (trường hợp không ôtônôm);
sự tồn tại, tính duy nhất có điều kiện của nghiệm, bài toán điều khiển tối ưu
và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi,
làm đề tài nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong
cơ học chất lỏng".
2.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích của luận án là nghiên cứu những vấn đề sau đối với một số lớp
hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng:
◦ Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và
đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi) của các hệ phương trình


14
Bénard, MHD trong trường hợp không ôtônôm và miền xét bài toán
không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
◦ Sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển
tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ
khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ Bénard, hệ MHD không ôtônôm
trong miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, và
hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
• Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:
◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm

cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ
phương trình Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn
bất đẳng thức Poincaré.
◦ Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ
phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều trong
miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện
nón.
◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều
kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ
Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai
hoặc ba chiều.
3.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ


15
Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp với các dạng phù hợp của
Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến.
• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các
công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều
không ôtônôm (xem [1, 53]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triển
hơn hai thập kỉ gần đây. Cụ thể khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, chúng
tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu
ích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm. Để chứng minh tính
compact tiệm cận lùi của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn
tại tập hút lùi, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượng

của J.M. Ball cho nghiệm yếu (xem [20]). Để chứng minh tập hút lùi có
số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp chứng minh
trong [16].
• Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng các phương
pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng
và các công cụ của giải tích lồi [21, 2].

4.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với hệ Bénard và hệ MHD không ôtônôm trong miền hai chiều (không
nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Chứng minh được
sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại và đánh giá
được số chiều fractal của tập hút lùi. Đây là nội dung của Chương 2 và
Chương 3.
• Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn
(hai hoặc ba chiều): Chứng minh được sự tồn tại nghiệm và tính duy


16
nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại nghiệm
tối ưu và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một của bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu. Đây là nội dung của Chương 4.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các
tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế (trong danh mục ISI), 02 bài khác
đang gửi đăng ở tạp chí quốc tế và đã được báo cáo tại:
• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 2013;

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 2015;
• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội.
5.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và

danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một
số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết
quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình
Bénard hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD)
hai chiều; Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu, tính duy nhất
nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu
của hệ phương trình Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị
chặn hai hoặc ba chiều.


17

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để
nghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong
hệ phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết

tập hút lùi và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau.
1.1.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Kí hiệu Q := Ω × (0, T ) là trụ
∑
không-thời gian với T < ∞ và
:= ∂Ω × (0, T ). Trong luận án này, ta sử
dụng các không gian hàm sau (xem, chẳng hạn [33, 41]):
• Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau
(∫
)1/p
|u|Lp :=
|u|p dx
.
Ω

Chú ý rằng Lp (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞.
Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
∫
(u, v) =
u.vdx,
Ω

và chuẩn được kí hiệu là |.| := |.|L2 = (u, u)1/2 .
• L∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
|u|L∞ := esssup|u(x)|.

Ω


18
• W m,p (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp (Ω) sao
cho Dα u ∈ Lp (Ω) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn được xác định bởi

1/p
∑ ∫
∥u∥W m,p (Ω) := 
|Dα u|p dx .
|α|≤m

Ω

Ta thường viết W m,2 (Ω) = H m (Ω), đây là không gian Hilbert với tích
vô hướng
((u, v))H m =

∑

(Dα u, Dα v).

|α|≤m

• H0m (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của H m (Ω).
Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu Lp (Ω) = Lp (Ω)N , Wm,p (Ω) =
W m,p (Ω)N , Hm (Ω) = H m (Ω)N , H10 (Ω) = H01 (Ω)N để xét các hàm vectơ trong
không gian N chiều.
Đặt

V1 = {u ∈ C0∞ (Ω)N : ∇ · u = 0},
V2 = {B ∈ C ∞ (Ω)N : ∇ · B = 0 và B · n|∂Ω = 0},
V1 = là bao đóng của V1 trong H10 (Ω),
H1 = là bao đóng của V1 trong L2 (Ω),
V2 = là bao đóng của V2 trong H1 (Ω),
H2 = là bao đóng của V2 trong L2 (Ω),
V3 = H01 (Ω),

H3 = L2 (Ω).

Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trong Vi , i = 1, 3 như sau:
◦ ((u, v))1

N ∫
∑

=

j=1

∥u∥1

=

∥B∥2

=

∇uj · ∇vj dx, ∀u, v ∈ V1 ,
1/2

=

◦ ((B, C))2

Ω

((u, u))1 ,
∫
Ω

curl B · curl Cdx,
1/2

((B, B))2 ,

∀u ∈ V1 .
∀B, C ∈ V2 ,
∀B ∈ V2 .


19
◦ ((θ, φ))3

=

∥θ∥3

=

∫
Ω

∇θ · ∇φdx,

∀θ, φ ∈ V3 ,

1/2

∀θ ∈ V3 .

((θ, θ))3 ,

Các không gian Hi , i = 1, 3 với tích vô hướng
∫
(u, v) =
uvdx, ∀u, v ∈ Hi
Ω

và chuẩn tương ứng |.| = (u, v)1/2 .
Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (Định lí 1.4), chuẩn trong
V1 tương đương với chuẩn trong H10 (Ω). Hơn nữa, vì Ω là miền đơn liên nên
chuẩn trong V2 và H1 (Ω) là tương đương (xem [13]).
Ký hiệu H := Hi × Hj và V := Vi × Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)}. Dễ thấy
V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′ , trong đó các phép nhúng là trù mật và liên tục. Ta dùng
ký hiệu ∥ · ∥∗ cho chuẩn trong V ′ , và ⟨., .⟩ chỉ đối ngẫu giữa V và V ′ . Các không
gian trên đều là không gian Hilbert.
Tương tự, ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian như sau:
Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ∥.∥X .
• C([a, b]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [a, b] →

X với chuẩn
∥u∥C([a,b];X) := max ∥u(t)∥X .
a≤t≤b

• Lp (a, b; X), 1 ≤ p ≤ +∞ gồm tất cả các hàm đo được u : (a, b) → X với
chuẩn
(∫

)1/p

b

i)∥u∥Lp (a,b;X) :=
a

∥u(s)∥pX ds

< +∞ với 1 ≤ p < +∞,

ii)∥u∥L∞ (a,b;X) := esssup∥u(t)∥X < +∞.
0≤t≤T

Khi đó Lp (a, b; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu
′

1 < p < +∞. Không gian liên hợp của Lp (a, b; X) là Lp (a, b; X ′ ) với
1/p + 1/p′ = 1.


20

• Lploc (R; X) là không gian các hàm u(s), s ∈ R với giá trị trong X, khả
tích bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là,
∫ t2
∥u(s)∥pX ds < +∞, với mọi khoảng compact [t1 , t2 ] ⊂ R.
t1

• W m,p (0, T ; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈
Lp (0, T ; X) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo t đến cấp m
thuộc Lp (0, T ; X), trong đó trang bị chuẩn
]1/p
[m
∑ dk f p
∥f ∥W m,p (0,T ;X) :=
dtk Lp (0,T ;X)

nếu 1 ≤ p < ∞,

k=0

∥f ∥W m,∞ (0,T ;X) := max

0≤k≤m

dk f
dtk

.
L∞ (0,T ;X)

Nếu p = 2 và X là không gian Hilbert với tích vô hướng (., .)X thì

H m (0, T ; X) cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng
∑ ∫ T
(∂ α u, ∂ α v)X dt.
(u, v)H m (0,T ;X) :=
|α|≤m

0
′

Không gian đối ngẫu của W0m,p (0, T ; X) được kí hiệu là W −m,p (0, T ; X ′ ).
• D(0, T ; X) là không gian gồm các hàm φ : (0, T ) → X thuộc lớp C0∞ .
Khi đó, W0m,p (0, T ; X) (hoặc H0m (0, T ; X)) là bao đóng của D(0, T ; X)
trong chuẩn của W m,p (0, T ; X) (hoặc H m (0, T ; X)).
• D′ (0, T ; X) là không gian các hàm suy rộng trên D(0, T ; X). Với mỗi
f ∈ L1loc (0, T ; X) xác định duy nhất một hàm suy rộng Tf ∈ D′ (0, T ; X)
và

∫

T

⟨Tf , φ⟩ :=

f (t)φ(t)dt,

∀φ ∈ D(0, T ).

0
′

Không gian W −m,p (0, T ; X ′ ) có thể được đồng nhất với không gian các
hàm suy rộng
{
S ∈ D′ (0, T ; X) : S =

m
∑
dk u
k=0

dtk

}
,

′

u ∈ Lp (0, T ; X ′ ) .


21
• Không gian Nikolskii N s,q (0; T ; B) được định nghĩa như sau:
Giả sử B là không gian Banach, hàm f : (0, T ) → B và hằng số (nhỏ)
h > 0. Xét ánh xạ τh f : (−h, T − h) → B cho bởi
(τh f )(t) = f (t + h),

∀t ∈ (−h, T − h).

Với mọi 1 ≤ q ≤ +∞ và mọi 0 < s < 1, khi đó
{

}
s,q
q
−s
N (0; T ; B) := f ∈ L (0; T ; B) : sup h ∥τh (f ) − f ∥Lq (0,T −h;B) < +∞ .
h>0

N s,q (0; T ; B) là không gian Banach được trang bị chuẩn
∥f ∥N s,q (0;T ;B) = ∥f ∥Lq (0,T ;B) + sup
0
1.2.

(

)
h−s ∥τh (f ) − f ∥Lq (0,T −h;B) .

TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút lùi (trong

[51]) sẽ được sử dụng trong luận án.
Giả sử (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach. Nửa khoảng cách Hausdorff
distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau
distX (A, B) := sup inf ∥a − b∥.
a∈A b∈B

Định nghĩa 1.1. Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các
ánh xạ phụ thuộc hai tham biến {Z(t, τ )} trong X có các tính chất sau:
Z(t, r)Z(r, τ ) = Z(t, τ ) với mọi t ≥ r ≥ τ,

Z(τ, τ ) = Id với mọi τ ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Quá trình {Z(t, τ )} được gọi là liên tục nếu với mọi τ ∈
R, t ≥ τ, Z(t, τ )xn → Z(t, τ )x, khi xn → x trong X.
Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là một lớp
ˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).
khác rỗng các tập được tham số hóa D


22
Định nghĩa 1.3. Quá trình {Z(t, τ )} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu
ˆ ∈ D, bất kì dãy τn → −∞, và bất kì dãy xn ∈ D(τn ),
với bất kì t ∈ R, bất kì D
dãy {Z(t, τn )xn } là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.4. Họ các tập bị chặn Bˆ ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá
ˆ ∈ D, tồn tại τ0 = τ0 (D,
ˆ t) ≤ t sao
trình Z(t, τ ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì D
cho
∪
Z(t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).
τ ≤τ0

Tập hút lùi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.5. Họ Aˆ = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là một tập D-hút lùi đối
với {Z(t, τ )} nếu
(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;
(2) Aˆ là bất biến, tức là
Z(t, τ )A(τ ) = A(t), với mọi t ≥ τ ;
(3) Aˆ là D-hút lùi, tức là
(

)
ˆ ∈ D và mọi t ∈ R;
lim distX Z(t, τ )D(τ ), A(t) = 0, với mọi D

τ →−∞

(4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t), với
mọi t ∈ R.
Ta có định lí sau về sự tồn tại tập hút lùi.
Định lí 1.1. ([51]) Giả sử {Z(t, τ )} là quá trình liên tục sao cho {Z(t, τ )}
là D-compact tiệm cận lùi. Khi đó, nếu tồn tại một họ các tập D-hấp thụ
lùi Bˆ = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {Z(t, τ )} có một tập D-hút lùi duy nhất
Aˆ = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

∩ ∪

Z(t, τ )B(τ ).

s≤t τ ≤s

Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [16] được sử dụng để đánh
giá số chiều fractal của tập hút lùi.


23
Cho H là không gian Hilbert thực khả li, tập compact K ⊂ H và ε > 0. Kí
hiệu Nε (K) là số tối thiểu các hình cầu mở trong H với bán kính ε cần thiết
để phủ K.
Định nghĩa 1.6. Với mọi tập compact khác rỗng K ⊂ H, số chiều fractal

của K xác định bởi
(
)
log Nε (K)
dF (K) = lim sup
.
log(1/ε)
ε↓0
Xét H là không gian Hilbert thực khả li với phép nhúng V ⊂ H là liên tục,
và V trù mật trong H. Ta đồng nhất H với không gian đối ngẫu H ′ và xét V
như là không gian con của H ′ bằng cách đồng nhất η ∈ V với phần tử fη ∈ H ′
xác định bởi
fη (h) = (η, h),

h ∈ H.

Cho F : V × R → V ′ là họ các toán tử phi tuyến sao cho: với mọi τ ∈ R và
mọi z0 ∈ H, tồn tại duy nhất hàm z(t) = z(t; τ, z0 ) thỏa mãn

(
)

z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H), F z(t), t ∈ L1 (τ, T ; V ′ ), với mọi T > τ,



(
)
dz
= F z(t), t , t > τ,


dt


 z(τ ) = z .
0
(1.1)
Tiếp theo ta xác định
Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0 ),

τ ≤ t,

z0 ∈ H.

Cho T ∗ ∈ R cố định. Giả sử tồn tại họ {A(t) : t ≤ T ∗ } các tập con khác
rỗng compact của H thỏa mãn tính bất biến
Z(t, τ )A(τ ) = A(t),

với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ ,

và thỏa mãn, với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ và mọi z0 ∈ A(τ ), tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục L(t; τ, z0 ) ∈ L(H) sao cho
(
)
Z(t, τ )z 0 − Z(t, τ )z0 − L(t; τ, z0 )(z 0 − z0 ) ≤ χ t − τ, |z 0 − z0 | |z 0 − z0 | (1.2)