skkn giúp học sinh học tốt phần tỉ lệ thức môn toán lớp 7

Trường THCS Cát Linh

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm :

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC
MÔN TOÁN LỚP 7
Họ và tên : Nguyễn Việt Phương.
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị : Trường THCS Cát Linh.
Trình độ chuyên môn :ĐH.
Bộ môn giảng dạy : Toán-Tin

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 1


Trường THCS Cát Linh

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
I. TÊN ĐỀ TÀI.
II. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
III. THỜI GIAN, PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG. IV.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :
I. KHẢO SÁT THỰC TẾ.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Dạng 1 : Tìm x,y,z.
Dạng 2 : Chứng minh tỷ lệ thức.

Dạng 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch. Dạng 4 :
Chuyển động
Dạng 5 : Hình học.

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN :
I. KẾT QUẢ.
II. KẾT LUẬN.

D. THAY CHO LỜI KẾT.

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 2


Trường THCS Cát Linh

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở
trường, bản thân tôi nhận thấy như sau :
Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài
tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa
đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng
tạo của học sinh . Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho
học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép . Và đưa

ra nhiều bài

tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại,

học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng
chán học.
Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có
hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép. Mỗi dạng
toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư duy toán học cho
học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để giải quyết bài toán một
cách thích hợp.
Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho từng
dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các bài tập dù
bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức sao cho các
em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất.

II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu :

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 3


Trường THCS Cát Linh

Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh
kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán dạng tỉ lệ thức ở trường THCS Chu
Minh- huyện Ba Vì và trường THCS Cát Linh- quận Đống Đa.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Thời gian thực hiện : năm học 2009 - 2010 và năm học 2011 - 2012. Trong chương trình toán 7.

- Chọn ngẫu nhiên 40 học sinh lớp 7 trường THCS Chu Minh huyện Ba Vì và 40
học sinh lớp 7 trường THCS Cát Linh quận Đống Đa.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 7.
- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7. Một số tài liệu khác.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học tập của
học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học sinh. Có bài
lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học, song cũng có bài
giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo.

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 4


Trường THCS Cát Linh

TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa :
a

- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số  c
b

d

2. Tính chất :
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)

a

Nếu  c
b

d

thì a.d = b.c

- Tính chất 2 :
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d b a c a
- Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra
các đẳng thức còn lại:
ad = bc

a
c

b
d

a
c



d

d

d

b



c

d

a

c



b
a

Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm
phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để đánh
giá từng bước tiến bộ của học sinh.

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng
năm học 2009-2010 và năm học 2011 - 2012
Câu 1 : Tìm x, y, z biết:
x

y
z
2   và x + y + z = 150.
3
5

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 5


Trường THCS Cát Linh

Câu 2 : Tìm x, y biết :
x
y
3 
và x . y = 300.
4

Câu 3 : Tìm x, y, z biết :
x
y y
z
3  ;

và 2x - 3y + z = 6.
4 3
5

Đáp án :
Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y z x  y z
150
2   

 15
3 5
2 3 5
10
x

=>

2
y

3
z

5

= 15 -> x = 2.15 = 30.
= 15 -> y = 3.15 = 45.
= 15 -> z = 5.15 = 75.

Câu 2 :
Đặt

x
3



y
4

= k -> x = 3k ; y = 4k.

-> x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300.
-> k2 = 25.
k 5
 
 k  5

* Với k = 5 -> 

x  3 5  15
 y  4 5  20

* Với k = -5 -> 

x  3.(  5)   15
y  4.(5)   20

Câu 3 :

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 6


Trường THCS Cát Linh
x
x
y
3  y
 
y 4
9 12
z
y
z
 

3
5
12 20
x
y
z

9  12  20

Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :
x
y
z
2 x 3 y z

6
9 


 3
12 20 2 9  3 2  20
2
x

9

= 3 -> x = 9.3 = 27.

y
= 3 -> y = 12.3 = 36.
12
z
= 3 -> z = 20.3 = 60.
20

Kết quả thu được của năm học 2009 - 2010 như sau :
TỔNG SỐ
80

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

40

50

30

37,5

10

12,5

Kết quả thu được của năm học 2011 - 2012 như sau :
TỔNG SỐ
80

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

36

45

28

35

16

20

Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.
Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 7


Trường THCS Cát Linh

Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm
vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của
dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để
tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có
thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp
sau đây.
DẠNG 1 : Tìm x, y, z.
Bài toán 1 : Tìm x, y biết :

a.

x
y

và x.y = 90.
2
5
b.
x
y

và x.y = 252.
7
9
c.
x
y

và x2 - y2 = 4.
5
3

Giải :
a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính chất
nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm như sau :
x
y
x y 90
2  


9
5
2 5 10

-> x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho
các em hướng giải toán.
Hướng thứ nhất :
Dùng phương pháp tình giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hóa,
khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
Đặt

x
2



 x 2 k
k  
 y 5 k
5
y

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 8

Trường THCS Cát Linh

Mà xy = 90 ->

2k.5k = 90.
10k2 = 90
k2 = 9 -> 

k

3
k  3

* Với k = 3 ->

x = 2.3 = 6.
y = 5.3 = 15.

* Với k = -3 ->

x = 2. (-3) = -6.
y = 5.(-3) = -15.

Vậy (x;y) = (6;16); (-6;-15)
Hướng thứ hai :
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan đến
tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai.
x

2

y

2

x   y   x y (tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)
Ta có :   

2 5
    

2
2
2 5 25

y
xy 90
 x


9
4 
25 10 10
2
 x  9  x 2  36  x   6
4
2

y 9  y
25

2

2

2

 3 5  y   15

Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em để có
lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.
Bài toán 2 : Tìm x, y, z biết :
a. x

y y
;
2
3 5
b. x y y
 ;
3
4 5
c. x y y
 ;
2
3 5
d. x y y
 ;
3

5 3







z
4
z
7
z
7
z
8

và x + y + z = 37.
và 2x + 3y - z = 186.
và x + y + z = 92.
và 2x + 4y - 2z = -4.

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 9


Trường THCS Cát Linh

Giải :

a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu có
tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không? Yêu cầu
đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng để chọn lời giải
cho phù hợp.

Ta có :

x
y
x 1 y 1
x
y





hay

2
3
2 5 3 5
10 15
y
z
y 1 z 1
y
z
     hay


5
4
5 3 4 3
15 12
x
y
z
x y z
37





1
10 15 12 10  15  12
37

->

x = 10.1 = 10.
y = 15.1 = 15.
z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian
để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì
đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z = 186 để giúp các em nhớ lại tính chất của phân
số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp.
Ta có :

x
y
x 1 y 1
x
y
3 
    hay

4
3 5 4 5
15 20
y
z
y 1 z 1
y
z
     hay

5
7
5 4 7 4
20 28
x
y
z
2 x 3 y z
186

15  20  28  2 15  3 20  28  62  3

->

x = 15.3 = 45.
y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.

Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp cho
phần c và d.
Bài toán 3 : Tìm x, y, z biết :
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 10


Trường THCS Cát Linh

a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
Giải :
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc
các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất
đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta
có lời giải sau :
Ta có :
x
y
x 1 y 1
x

y





hay

5
3
5 8 3 8
40 24
y z
y 1 z 1
y
z
5 y  8 z  8      hay

5
8 3 5 3
24 15
x
y
z
x y z
158
 40 




2
24 15 40  24  15
79
3 x  5y 

->

x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
z = 15.2 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ hai: Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các
em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 8. Từ đó các em có lời giải của bài
toán như sau :
Ta có BCNN (3, 5, 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z
 3x

1
120
x

Hay

4
0

5 y



1
120

y
24



8 z

z
15



1
120
x y z

40  24  15



158
79

2

-> (Tương tự như trên ta có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 11


Trường THCS Cát Linh

Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một
thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :
Từ 3x + 5y - 8z

->



x=

1

y=

1

z=

1

3

5

8

x
y
z x  y z
158

 240
1   
1
1
1 1 1
79
3
5
8
3

5 8 120

.240 = 80.
. 240 = 48.
. 240 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các em
sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy
thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.

* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em phải
có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :
+ Từ 2x = 3y - > 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.
+ Từ 5y = 7z -> 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z. ->
10x = 15y = 21z.
x
y
z
3 x 5 y 7 z
60



 840
1 
1
1
1
1
15
3 1
10
15
21
5
7
10
15
21
210


x  1 840  84
10
1
y
840  56
15
1
z
840  40
21


Vậy x = 84; y = 56; z = 40
Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán này.
Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 12


Trường THCS Cát Linh

a.
b.

x 1
5
x 1
2




y 2
3
y 2
3




z 2
2
z 3

và x + 2y - z = 12
và 2x + 3y - z = 50

4

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế
nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc

2x + 3y

– 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có
hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau

ta có lời giải của bài toán như sau :
Ta có :
x

1
y 2
z 2
2( y 2) 2 y  4
x  1  2 y  4  (z  2)




5
6
5 6 2


 x 2 3
2
23
y z 3
12  3

1
9
9

->

x - 1 = 5 -> x = 6.
y - 2 = 3 -> y = 5.
z - 2 = 2 -> z = 4

Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau :
Đặt :

x 1
5

->



y 2
3



z 2
2

=k

x - 1 = 5k -> x = 5k + 1.
y - 2 = 3k -> y = 3k + 2
z - 2 = 2k -> z = 2k + 2.

Ta có : x + 2y - z = 12

<=> 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
<=> 9k + 3 = 12
<=> k = 1

Vậy x = 5.1 + 1 = 6.
y = 3.1 + 2 = 5.
z = 2.1 + 2 = 4


Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 13


Trường THCS Cát Linh

Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự giải
phần (b) của bài toán 4.
Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :
x
y
z


x  y  z
yz
x  z 1 x y2
1
x  z 2 x  y 3
1

b



y z  1
)
y
z
x yz
x
a)

Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ kiến
thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x + y + z .
Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã
có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :
Giải :

Điều kiện x, y, z  0.

Ta có :
y z 1
x


x z 3


y

x  y 3


z



y z 1 x z 2

x  y 3

x  y z

1
1

2

x

y

z

 0, 5
x  y z
2



2( x  y  z )
x  y z

x + y = 0,5 - z

y + z = 0,5 - x.
x + z = 0,5 - y.
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có :
y z 1
x

 2

0, 5  x  1
x

 2 <=> 0,5 - x + 1 = 2x

<=> 1,5 = 3x
x z 2
0,5  y  2
y

2
y

<=> x = 0,5.
<=> 2,5 - y = 2y
<=> 2,5 = 3y
<=> y =

x  y 3
0, 5  z  3
z

2
z

5
6

<=> -2,5 - z = 2z
<=> -2,5 = 3z.

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 14

2


Trường THCS Cát Linh

<=> z = Vậy (x;y;z) = (0,5 ;

5

5
6

;- 5)

6

6

Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực nghiệm
như sau :

*Đề kiểm tra lần 1:
Tìm x, y, z biết :
a.

x
2



y
3

và x . y = 54

b. 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95.
c.

x 1
3



y 4
2



z 2

và 2x + 3y - 5z = 10

2

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2009 - 2010 :
TỔNG SỐ
80

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

20

25

44

55

16

20

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2011 - 2012 :

TỔNG SỐ
80

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

22

27,5

43

53,75

15

18,75

Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất
quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài tập từ đơn giản đến
phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất
nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 15


Trường THCS Cát Linh

Bài 1 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
x y z
  và x + 2y - 3z = - 20
2 3 4

Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
x y z
  và x2 - y 2 + 2z2 = 108
2 3 4

Hướng dẫn giải bài tập phần luyện :
x

Bài 1 : Ta có :

2


2y


6

3z x  2 y  3z


12



2  6 12

 x= 10 , y= 15 , z = 20
2

Bài 2 : Ta có : x y z
2



2

20


4

5

2

2

2

2

2

2

2

x
y
z
x
y
2z
x y 2 z
 ->
 
->  

4

3 4
4
9 16
4
9
32
4  9  32

Từ đó ta tìm được : x1= 4 ,y1=6 , z1= 8

x1= - 4 ,y1= -6 , z1= -8
DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :
Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức
a

a b

c d

a
b



c
d

. Hãy chứng minh :



a b c d
2 a 5 b 2 c 5 d
b

3 a 4 b 3 c 4 d

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hóa kiến
thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm hướng
giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng minh
phần a.
Đặt a
b

Ta có :



c
d

=k

-> a = b.k
c = d.k

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 16

Trường THCS Cát Linh
a b
b ( k 1 ) k 1
a  b  bk  b


bk  b
b(k
1 )
a b
c  d  dk  d
d ( k 1 ) k 1

 k 1
c d
dk  d
d ( k 1 )

k 1  c d
a b
c d

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và
tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
Từ :

a
c
a

b



(Hoán vị trung tỷ)
b d
c d
a b
a b
(Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

c d
c b
a b c d


(Hoán vị trung tỷ).
a b c d

Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính
chất cơ bản của tỷ lệ thức :
Từ

a
b



c
d

Xét tích :

 ad  bc

(a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd

->
->

(a - b)(c + d) = (a + b)(c - d) (cùng bằng ac - bd)
a b
a b



c d
cd

(Đpcm)

Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng
giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, đề trình
bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b của
bài 1.

Bài toán 2 : Cho

a

b

2

a
c



c
d

Hãy chứng minh :

2

a  b  ab
2
2
;
c  d
 a b 2 cd
 ab
 
;
2
 c  d  cd

2

b

 a  b  ab
2



;

 c  d  cd

Người


thực hiện : Nguyễn Việt Phương
Trang 17


Trường THCS Cát Linh

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính toán
dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và kiến thức về
tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn
mạnh lại các công thức :
a
Nếu : 

c


b


a

2



d
b

2

 c  ac
  
và hướng cho các em trình bày lời giải
 d  bd

của bài toán phần c.
Giải :
Từ : a



b

c



d

2

a



c

2

 a



b 


2





b
d

ab


 2
 c    cd
Hay  a d  ab
2
 b

(Hoán vị trung tỷ)


a

2



c

2

2

2

b



d

2 ab



2 cd

2

2

2

2

a  2 ab  b

c  2 cd  d

2

c d  cd
Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời
giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh
tỷ lệ thức.
Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)
Cho

a



b

2
2
a
a b
. Hãy chứng minh 2
2 
b c
c

b
c

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn,
không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng giải
phù hợp.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi vế phải
ta có lời giải sau :
Từ a
b



b
c

-> b2 = ac . Thay vào vế trái ta có :

2

2

2

a  b  a  ac
2
2
b c

ac  c

2



a ( a  c)
c(a  c)



a
c

(Đpcm)


* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có

lời giải sau :
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 18


Trường THCS Cát Linh
a

Vì cần có a2 ; b2 nên ta nhân từng vế của

b
2

a b

2



2

b
c

với chính bản thân nó ta có :

2

a a b b a2

b
a b
    


(1)
2
2
2
b c
b b c c
b
c
b c
2
a b
2
a 2
a
a
  b  ac  2 

(2)
b c
b
ac
c

mà

2

2

Từ (1) và (2)  a 2  b 2
b c



a
c

(Đpcm)

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :
Cho tỷ lệ thức :
2 a 3 b


2c

a

c
 hãy chứng minh :
b d
2

2

 a b  ab 
2 
a

b
 c  d   c  d 2
2 a 3 b 2 c 3 d
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2009 - 2010 :

TỔNG SỐ
80

3d

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

28

35

38

47,5

14

17,5

* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2011 - 2012 :
TỔNG SỐ
80

Đối tượng 1

Đối tượng 2

Đối tượng 3

0 -> 4 điểm

5 -> 7 điểm

8 -> 10 điểm

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

24

30

38

47,5

18

22,5

Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn toán
7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy
nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là
công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 19


Trường THCS Cát Linh

đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ
thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2:
Chứng minh rằng nếu a2 = b.c ( với a # b và a # c ) thì :
a b c a

a b c a

HƯỚNG DẪN GIẢI :
a





Ta có a2 = b.c suy ra  c  a b  a b
b

d c a c a

suy ra

a



b c a
a b c a

DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch. Bài toán
1:
Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số gạo đó,
xuất ở kho B đi 1/9 số gạo đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo đó. Khi đó số gạo ở 3 kho
bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ mối
tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:
Giải :
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z (tạ) gạo (x, y, z > 0)
Số gạo lúc sau ở kho A là : x +
Số gạo lúc sau ở kho B là : y Số gạo lúc sau ở kho C là : z Theo bài ra ta có : 8 x = 8 y =
7

9

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

1

7
1

9
2

7

x = 8 x.

y=

7

8

9

y

z = 5 z.
7

5 z (1) và y - x = 20
7

Trang 20

Trường THCS Cát Linh

Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có :
x
y
z
y  x 20
35 


 2
45 56 45  35 10

=>

x = 35 . 2 = 70 (tạ).
y = 45 . 2 = 90 (tạ).
z = 56 . 2 = 112 (tạ)

Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán,
tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ
kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn :
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :
1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ
2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.
3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.
Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3:

Có 16 tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng. Trị giá mỗi lọai tiền
trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi lọai có mấy tờ?
Hướng dẫn giải :
Gọi số tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng theo thứ tự là x, y, z
( x, y, z € N * )
Ta có : x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi để đưa về áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra :
x = 10, y = 4, z =2

* DẠNG 4 : chuyển động.
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương

Trang 21


Trường THCS Cát Linh

Bài toán 1 :
Một người dự kiến đi ô tô từ A về B trong một thời gian dự định. Thực tế thời
gian đi phải giảm ¼ vận tốc so với dự định nên đến B muộn hơn thời gian dự định là
30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.
Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kĩ đề bài.
Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên một đoạn
đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là đại lượng
v

tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức :

v2

tìm t1 ; t2.

t

1



2

t1

và các em đã có hướng đi

Giải :
Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực đi, t2 là thời
gian thực đi.
v1, v2 cùng đơn vị; t1, t2 cùng đơn vị (v1, v2 , t1, t2 > 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Do
đó :
v

1

v

t


2

t

2



t

2

t

4

1

v


3

mà v2 = v1.

3

1

4


3

t t


2

t

1

4 3


(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

3

1
v1
4
30 
1 -> t1 = 30 . 3 = 90 phút.
3
t1
1

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài :
Bài toán 1 :