Tính toán hệ số hall và từ trở hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.79 MB, 46 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
PHẠM HƯƠNG LY
TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG
TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết
HÀ NỘI, 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
PHẠM HƯƠNG LY
TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG
TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội, năm 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân
thành tới GS.TS Nguyễn Quang Báu, hiện đang giảng dạy tại trường Đại
học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy đã dành nhiều
thời gian,tâm huyết hướng dẫn và đã có những chỉ bảo, nhận xét, đánh giá
quý báu trong suốt quá trình em làm khóa luận tốt nghiệp này.
Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý,
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho
em trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn
thành khóa luận.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy
cô và bạn bè.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5- 2015
Sinh viên: Phạm Hương Ly
MỤC LỤC
MỤC LỤC .......................................................................................................................1
DANH MỤC HÌNH VẼ ..................................................................................................2
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................3
CHƯƠNG I. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI..................................................................................6
1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật. ..................................................................................6
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật. ...........................................................6
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật. ......................6
1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. .........................................................................7
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ
NHẬT ............................................................................................................................15
2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật. .......15
2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall ........................................................................26
2.3 Biểu thức giải tích cho từ trở Hall........................................................................35
CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC KẾT QUẢ LÝ THUYẾT
CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl ......................................37
3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ. ........................................37
3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường. ........................................................38
3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật.............39
KẾT LUẬN ...................................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................42
1
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3. 1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ ........................ 38
Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường ........................................ 39
Hình 3. 3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ
nhật ...................................................................................................................... 40
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Cuối những năm 80 của thế kỉ XX thành tựu của khoa học vật lý được đặc
trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn
khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là các bán dẫn 2
chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng…);
bán dẫn 1 chiều(dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật…); bán dẫn
không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình cầu)
Ta đã biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn
mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai
chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây
ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế
phụ. Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kì lớn
hơn rất nhiều so với chu kì của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần).
Tùy thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này
thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng) hoặc bán dẫn
có cấu trúc một chiều (dây lượng tử). Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường
điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt
chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ
năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hóa. Chính sự
lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại
lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, ten xơ độ dẫn, tương tác điện tử với
phonon…,đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ
điện tử ba chiều không có [1,2]. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp
cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới,
công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói
chung và quang điện tử nói riêng. Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to
lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế
cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của
các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước.
Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được
nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng
tử [8-11].
3
Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều
ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được
nghiên cứu. Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế
Parabol chỉ được tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử
là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của
chuyển động tự do của electron không được tính đến. Tính toán hệ số Hall và từ
trở Hall trong hệ 1 chiều nói chung và dây lượng tử hình chữ nhật nói riêng chưa
được nghiên cứu. Do đó, trong khóa luận này trình bày các kết quả nghiên cứu
đối với đề tài: “Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng
tử hình chữ nhật”
2. Mục đích nghiên cứu.
Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật.
- Phạm vi nghiên cứu: Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng
tử hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử. Chúng ta
viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với
trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường đặt
dọc theo trục Ox: B (B,0,0) , một điện trường dọc theo trục Oz: vector
E1 0,0,E1 trường laser như trường điện E 0,E0sin t,0 (trong đó E0 và
Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser). Sau đó, chúng ta xây dựng
phương trình Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon và giải phương trình để tìm
ra biểu thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall, hệ số Hall và từ trở Hall. Biểu thức
này chỉ ra rằng hệ số Hall và từ trở Hall phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha
tạp, tần số sóng điện từ. Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách sử dụng
chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật. Đây là
phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều.
5. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận này
được chia làm ba chương:
4
Chương I: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán
dẫn khối.
1. Dây lượng tử hình chữ nhật.
1.1, Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật
1.2, Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật.
2. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho hệ số
Hall và từ trở Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật.
1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật.
2. Biểu thức giải tích của hệ số Hall.
3. Biểu thức giải tích của từ trở Hall.
Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây
lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl.
1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ.
2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường.
3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật.
5
CHƯƠNG I. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU
ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật.
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật.
Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó,
chuyển động của điện tử trong hệ bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100
nm), và chuyển động tự do theo chiều còn lại trong không gian mạng tinh thể
(trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế dây lượng tử
là một ví dụ về hệ khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo
được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được
chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại
MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor
hiệu ứng trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí
điện tử hai chiều.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật.
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay
được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng
lượng và hàm sóng điện từ trong dãy năng lượng từ có thể tìm được kết quả từ
việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều
2
H * 2 V r U r E
2m
(1.1)
Trong đó: V r là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước; U r
là thế năng tương tác giữa các điện tử; khối lượng hiệu dụng là m* .
Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước ba trục được giả
thiết lần lượt là Lx ,L y ,Lz và Lz ,Lx ,L y . Giả sử thế giam cầm điện tử cao vô
hạn theo hai hướng vuông góc x,y; V = 0, nếu 0 y L y ; 0 x Lx và V =
nếu ngược lại. Khi đó hàm sóng có thể viết:
ly
nx 2
1 ikz 2
0 x L x
(1.2)
n,l,k x, y,z
e
sin
sin
Ly
0
y
L
L
L
L
L
y
z
x
x
y
6
x 0;x L x
Và n,l,k x, y,z 0
y 0; y L y
(1.3)
Phổ năng lượng của điện tử:
+ khi chưa có từ trường:
n,l k
2 2
k
2m*
n 2 l2
2m* L2x L2y
2
2
+ khi có từ trường:
n,l
2
n 2 l2
1 eE1
k
2
*
* 2
2m
2m L x L y 2m* c
2 2
k
2
2
Trong đó:
n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tự hóa x và y.
k 0,0,k z là véc tơ sóng của điện tử.
,
: là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy.
1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ
trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy.
Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall cổ điển.
Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán
dẫn khối, ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi,
vuông góc với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi véc tơ
cường độ điện trường E E0 sin t,0,0 với E0 và tương ứng là biên độ và
tần số của sóng điện từ.
Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán
dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ. Sử dụng Hamintonnian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối:
7
H He Hph Heph
(1.4)
với:
e
He ε p A t a p a p
c
p
Hph ωq bq bq
He ph Dqa p qa p bq b q
q,p
e
H ε p A t a p a p ωq bq bq Dqa pqa p bq b q
c
p
q,p
(1.5)
Trong đó:
: toán tử sinh và hủy điện tử
: toán tử sinh và hủy phonon
: hằng số tương tác điện tử - phonon
: trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ
: năng lượng của điện tử
)
: thế véc tơ của trường điện từ
(t)
: tần số của phonon
Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng
là:
(t) =
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:
i
n p t
t
[a p a p ,H]
(1.6)
t
Số hạng thứ nhất:
8
e
a p a p , ε p – A t a pa p
c
p
e
ε p – A t a p δp,p a pa p a p a p δ p,p a pa p a p 0
c
p
(1.7)
Số hạng thứ hai:
a p a p , q bq bq q a pa p ,bq bq 0
(1.8)
Số hạng thứ ba:
a p a p , Dqa p'
q a p' bq b q
q,p'
Dq a pa p'δp,p'q a p'
q a pδp,p' )(bq b q
q,p'
Dq a p a p q bq
q
t
a pa p q bq
t
a pq a p bq
t
a pq a p bq
t
*
Dq Fp,p q,q t Fp*q,p, q t Fp,p q,q t Fp,p
q, q t
(1.9)
q
Thay (1.7),(1.8),(1.9) vào phương trình (1.6) ta có:
i
n p t
t
*
Dq Fp,p q,q t Fp*q,p, q t Fp,p q,q t Fp,p
q, q t
q
(1.10)
với
Fp1 ,p2 ,q t a p1 a p2 bq
Để giải phương trình (1.3) ta đi tính hàm F(t):
9
t
i
Fp1 ,p2 ,q t
t
a p1 a p2 bq ,H
(1.11)
t
chứng minh tương tự ta thu được phương trình đối với hàm Fp1 ,p2 ,q t :
i
Fp1 ,p2 ,q t
t
e
p2 p1 * p2 p1 A t q Fp1 ,p2 ,q t
mc
Dq1 a p1 a p2 p1 bq1 bq1 bq
q1
t
Dq1 a p1 q1 a p2 bq1 b q1 bq
q1
t
(1.12)
Ta giả thiết có đưa vào đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon và của
trường cao tần, khi đó t =
. Tương tác ,điện tử - phonon sẽ được cho là yếu
và nghiên cứu như nhiễu loạn. Khi đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và
để lại giá trị trung bình chéo
n p (t) a pa p ;n p (t) bqbq
Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu:
Fp1 ,p2 ,q (t ) 0
Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố
phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình:
n p t
r
eE1
2π Dk
k
2
n p t
p
2Nk 1 jl2 αk n pk n p δ ε pk ε p lΩ
l
Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được:
10
(1.13)
n p t
r
eE1 c p,h
2π Dk
n p t
p
2Nk 1 jl2 αk n pk n p δ ε pk ε p lΩ
2
(1.14)
l
k
Sau đó nhân hai vế với
e
p p
m
và lấy tổng theo
ta thu được:
R
c p,R Q S
T
(1.15)
Trong đó:
R ε
p
Qε
e
m*
e
pn pδ ε ε p
n p
δ ε εp
p
p F
*
m
p
(1.16)
S ε
2πe
m*
Dk
2
2Nk 1 αk n p n pk – n p
p
k
2δ ε p k ε p δ ε p k ε k – Ω δ ε p k ε k Ω δ ε ε k
Giải phương trình (1.8) thu được:
R ε
T ε
1 ωc2T2 ε
Q ε S ε ωcT ε h,Q ε S ε ωc2T 2 ε h h,Q ε S ε
(1.17)
Hàm
có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với
năng lượng . Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:
11
j R ε dε
(1.18)
0
từ đó ta thu được biểu thức tenxo độ dẫn:
Hay
im
T
e
m 1 c2T 2
T ε
2 2
a
σ
b
b
δ
–
ω
T
ε
ε
h
ω
T ε F hih k
0 ik
0 1
ik
c
F
ikl
l
c
2 2
1
ω
T
ε
c
T εF Ω
2 2
b0 b 2
δ
–
ω
T
ε
–
Ω
ε
h
ω
T ε F Ω hih k
ik
c
F
ikl
l
c
1 ωc2T 2 ε F Ω
b 0 b3
T εF Ω
1 ωc2T 2 ε F Ω
δik – ωcT ε F Ω
km cT(F )kmnhn c2T2 (F )hkhm
εiklh l ωc2T 2
ε F Ω hih k
Trong đó:
a0
b0
eL x 0
eL x 2k B e2E02 eE1c
4 m 0S
2
2
4
4
02
I(N, N')
0
0
0
42 74
b1 4
(0 31) 2
(0 3 2 ) 2
0 33 2
1
2
3
47
72 52
b2
5 7
72 62
b3
6 7
12
(1.19)
eE
0 1 2c
0
eE
1 1 2 c
0
2
2
1
2m 3p N e2E12 2m2pF
2
2 2
0
1
2m 3p N' e2E12 2m2pF
2
2 2
0
3 ' 1
2 2
2
2
eE1c 2m p N 2 e E1 2mp F
2
2 2
2
0
0
eE
3 1 2 c
0
2
eE
4 1 2c
0
2
1
2m 3p N' e2E12 2m2p F
2
2 2
0
1
2m 3p N e2E12 2m2pF
2
2 2
0
1 2 2
3
2
2
eE1c 2m p N 2 e E1 2mp F
5
2 2
2
0
0
eE
6 1 2c
0
2
eE
7 1 2c
0
2
1
2m 3p N e2E12 2m2p F
2
2 2
0
1
2m 3p N' e2E12 2m2pF
2
2 2
0
Ở đây
là hằng số tương tác của điện tử và phonon ( với các cơ chế tán
xạ của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì
có giá trị khác nhau).
Và dựa vào đó ta sẽ xác định được các thông số
trong biểu
thức. Từ đó ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:
13
RH
yz B
1
B 2xx B 2yz B
(1.20)
Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức
tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối.
Theo (1.19) và (1.20) ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ
số Hall
phụ thuộc vào biên độ
, tần số , bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ
thuộc vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với
đổi
.
14
và phụ thuộc vào điện trường không
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC
GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
Trong chương này, ta sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để tìm ra biểu thức giải tích cho hệ
số Hall và từ trở Hall.
2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật.
Trước hết, để xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây
lượng tử hình chữ nhật ta sử dụng Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm –
phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật:
H t
n,l k
n,l,k
n,l,k,n ' ,l' ,q
e
A t a n,l,k a n,l,k w q bq bq
c
q
Cn,l,n ' ,l' q a n,l,k q a n ' ,l' ,k bq b q
với:
c
1 dA t
E0 cos t
E t sin t phụ thuộc trường ngoài
c dt
E t E0 sin t
A t
Cn,l,n ' ,l' q Cq In,l,n ' ,l' q : hệ số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử
Cq
2
e2q 1
1
ek 0q 2 X X0
I2n,l,n ' ,l' q n ' ,l' ,k eiqn n,l,k là thừa số đặc trưng.
Trong đó:
n: chỉ số lượng tử phương vị
15
l: chỉ số lượng tử xuyên tâm
n,l,k và n ' ,l' ,k q trạng thái của điện tử trước và sau va chạm
q : Năng lượng của phonon quang với vecto sóng q q x ,q y ,q z
a n,l,k và a n,l,k : toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử.
b q và b q : toán tử sinh và toán tử hủy của phonon quang
A t : thế vecto của trường điện từ.
Ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình
a n,l,k q a n,l,k
t
phương trình này có dạng:
i
a
a
t n,l,k q n,l,k
t
a
a
,H
n,l,k q nlk t t
e
ε n1 ,l1 p A t
c
n1 ,l1 , p
a
W a
,a
a
a
,b b t
n,l,k q n1 ,l1 ,p n1 ,l1 ,p t j n,l,k q n lk j j
j
n1 ,l1 ,n1' ,l1' ,
Cn
' '
1 ,l1 ,n1 ,l1
j
a
n,l,k q a n lk ,a n,l,p j a n1' ,l1' ,p b j b j
t
p, j
(2.1)
Trong đó:
a
a n,l,k ,a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p =
n,l,k
q
a n,l,k qa n' ,l' ,k a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,pa n,l,k
a
q n ' ,l' ,k
16
a n,l,k qa n ' ,l' ,k a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p a n1 ,l1 ,p n,n1 l,l1 k q,p a n,l,k
a
a
q n1 ,l1 ,p n ' ,l' ,k
n ' ,n l' ,l k,pa n,l,k
a
n,n1 l,l1 k q,pa n1 ,l1 ,pa n ' ,l' ,k
q n1 ,l1 ,p
1
1
a n,l,k qa n',l',k ,a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p
e
εn ,l p c A t
1 1
n1 ,l1 ,p
t
e
e
= εn,l k A t ε n,l k q A t a n,l,k qa n,l' ,k
c
c
(2.2)
Ta có
a
,b b
* a n,l,k q a n ',l',k ,bj b j 0 w j a n,l,k
q n ',l',k j j
j
0
(2.3)
t
* a n,l,k qa n,l,k ,a n ,l ,p j a n ' ,l' ,p b j b j
1 1
1 1
a n ' ,l' ,pδn,n δl,l δp j,k a
a n',l',k δn,n ' δl,l' δp,k q b j b
= a
1
1
n1 ,l1 ,p j
j
1
1
n,l,k q 1 1
Cn
j
a
a
a
b
b
' ,a
n
,l
,p
n,l,k
q
n
,l
,p
j
j
j
n ,l ,k
1 1
1 1
Cn
j
b j b j ×
' '
1 ,l1 ,n1 ,l1
n1 ,l1 ,n1' ,l1' ,
t
p1 , j
n1 ,l1 ,n1' ,l1' ,
a
' '
1 ,l1 ,n1 ,l1
t
p1 , j
a
δ δ δ
n,l,k q n1' ,l1' ,p n',n1 l',l1 p j,k
Cn,l,n ',l' j b j bj
j
t
a
a n ,l ,p j a n',l',k δn,n ' δl,l' δp,k q
1 1
1
a
n,l,k q n,l,k j
Mặt khác ta có:
17
1
a n ,l,k q j a n ,l,k
t
(2.4)
e
e
εn,l k A t ε n,l k q A t
c
c
2
2
1
e
1
e
c
k
A
ε
k
q
A t ε cn,l
n ,l
t
*
*
c
c
2m
2m
e
(2.5)
m*c
Thay (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) vào (2.1) ta được:
a
a
t n,l,k q n ,l,k
εn,l k ε n,l k q
t
e
*
mc
qA t a n,l,k
a
q n ,l ,k
cn,l,n,l j b j b j a n,l,k
a
a n,l,k q j a n ,l,k
q n,l,k j
j
t
t
(2.6)
Để giải (2.6) ta giải phương trình vi phân thuần nhất:
i
a
a
t n,l,k q n ',l',k
0
t
e
n ',l' k n,l k q * qA t a n,l,k
a
q n ',l',k
mc
0
t
(2.7)
Giả thiết t = -
hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:
bq
t
a n,l,k q a n,l,k
t
0
Lấy tích phân 2 vế của (2.7)
t
⇔
a n,l,k q a n,l,k
a n,l,k q a n,l,k
0
a n,l,k q a n,l, k
t
0
t
t
0
i
εn,l k εn,l k q m*c qA t dt1
e
1
t
t
e
exp i εn,l k ε n,l k q ωq * qA t dt1
1
mc
18
(2.8)
Đây là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất
Đặt:
a n,l,k qa n,l,k
t
Φ t a n,l,k
a
q n ,l,k
0
(2.9)
t
Lấy đạo hàm 2 vế (2.9) ta được:
a
a
t n,l,k q n ',l',k
t
t
a n,l,k q a n ',l',k
t
0
t
t
a
a
t n,l,k q n ',l',k
0
t
(2.10)
So sánh (2.9) và (2.10) ta được:
i
Φ t
a n,l,k qa n,l,k
t
cn,l,n,l j
b
j
0
t
b j a n,l,k qa n,l,k j a n,l,k q ja n,l,k
j
(2.11)
t
Thay (2.8) vào (2.11) ta được:
t
t
e
i
exp i εn,l k ε n,l k q ωq * qA t dt 2
2
t
mc
Cn,l,n,l j b j b j a n,l,k
a n,l,k j a n,l,k q j a n ,l,k
q
j
Lấy tích phân hai vế của (2.12) ta được:
19
(2.12)
t1
e
Φ t i exp i εn,l k ε n,l k q ωq * qA t dt 2
2
mc
t
Cn,l,n,l j b j b j a n,l,k
a
a n,l,k q j a n ,l,k
q n,l,k j
j
(2.13)
Thay (2.8) và (2.13) vào (2.9) ta được:
a n,l,k q a n,l,k
Cn,l,n,l j
j
t
i
t
b j b j a n,l,k
a
a n,l ,k q j a n ,l ,k
q n,l,k j
t1
t1
ie
exp i εn,l k ε n,l k q t1 t * qA t 2 dt 2 dt1
mct
Vì
(2.14)
nên
Trong gần đúng bậc 2 theo hằng số tương tác
2
i bq q bq i Cn,l,n',l' q
t
t
t
n,l,n',l',k
t
lấy
ta được:
bq bq
t1
a n,l,k q a n,l,k j a n',l',k q j an ',l',k
t1
t1
ie
exp i εn,l k ε n,l k q ωq t1 t * qA t 2 dt 2 dt1
mct
(2.15)
Ký hiệu hàm phân bố điện tử là:
n n,l k a n,l,k a n,l,k
Do
20
A t
c
cosΩt
Ω
Nên
ie
t1
qA t 2 dt 2
m*c
t
iecqE0
m*cΩ
t1
cosΩ
iecqE0
t
m*Ω2
sin Ωi1 sin Ωi
Đặt:
eqE 0
(2.16)
m*
Sử dụng biểu thức biến đổi:
exp iz sin θ
Jυ z exp iυθ
Với
là hàm Bessel đối số thực ta được:
λ
λ
exp i sin Ωi1 Jυ exp iυυΩ1
Ω
υ Ω
λ
λ
exp i sin Ωi J μ exp iμμΩ
Ω
μ Ω
Đặt
F t a n,l,k qa n,l,k ,bh
t
F t i dt1 Cn,l,n ',l' a n,l,k qa n,l,k j bh b b j
j
j
t
21
t1
Cn,l,n ',l' a n,l,k q j a n ',l',k bh b b j
j
t1
t1
ie
exp i εn,l k ε n,l k q ωq t1 t * qA t 2 dt 2 dt1
mct
(2.17)
c
Do A t cos t ta có:
t
F t i dt Cn,l,n ',l'a n,l,k qa n,l,k j bh b j b j
Cn,l,n ',l' a n,l,k q j a n,l, k bh b j b j
t1
t1
1
λ λ
2 J J n n,l k q n n',l' k
, Ω Ω k
t
exp i εn ',l' k εn ,l k q ωq t1 t iΩt1 iΩt dt1
(2.18)
F t Cn,l,n,l a n,l,k q a n,l,k j bh b j b j
t
j
Cn,l,n ',l' a n,l,k q ja n,l,k bh b j b j
t1
t1
1 λ λ
2 J Jμ n n,l k q n n,l k
η ,μ Ω Ω k
22
