Hỏi đáp về dập tấm và cán kéo kim loại

Mục lục
1

2

3

4

Nhóm và nhóm con
1.1 Định nghĩa nhóm và ví dụ . . .
1.2 Một số tính chất . . . . . . . .
1.3 Nhóm con . . . . . . . . . . . .
1.4 Nhóm con của một nhóm xyclic

.
.
.
.

.
.
.
.

Lớp ghép, đồng cấu nhóm
2.1 Lớp ghép, định lí Langrange . . . .
2.2 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thơng
2.3 Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . .
2.4 Các định lí đồng cấu nhóm . . . .
Tác

3.1
3.2
3.3
3.4

động của nhóm lên tập hợp
Nhóm đối xứng . . . . . . . .
Gtập . . . . . . . . . . . . .
Công thức các lớp . . . . . .
Một ứng dụng vào tổ hợp . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
5
12
18
22

.
.
.
.

26
26
28

32
37

.
.
.
.

43
43
51
54
60

Nhóm hữu hạn, Định lí Sylow
68
4.1 pnhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Một số ứng dụng của Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . 77
1


2

5

6

Nhóm giải đợc, nhóm tự do
5.1 Chuỗi hợp thành . . . . . . . .

5.2 Nhóm giải đợc . . . . . . . . .
5.3 Nhóm tự do . . . . . . . . . . .
5.4 Biểu diễn nhóm bằng hệ sinh và

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
các quan hệ

Nhóm Aben
6.1 Phân tích nhóm thành tổng trực tiếp
6.2 Nhóm Abel tự do . . . . . . . . . .
6.3 Nhóm Abel hữu hạn - Định lí cơ sở
6.4 Nhóm Abel hữu hạn sinh . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

81
81
88
94
98

.
.
.
.
.

106
106
112
120
124
132


3

Lời nói đầu
Mục đích của giáo trình là cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về
nhóm để phục vụ công tác giảng dạy và học tập môn Lí thuyết nhóm ở
cấp đại học.
Giáo trình gồm 6 chơng. Chơng I và Chơng II trình bày kiến thức
cơ sở về nhóm, nhóm con, lớp ghép và đồng cấu nhóm. Chơng III quan
tâm đến một số kết quả mang tính kĩ thuật về nhóm nh nhóm đối xứng,
tác động của nhóm lên tập hợp, và một ứng dụng trong bài toán tổ hợp.
Chơng IV trình bày về nhóm hữu hạn, Định lí Sylow và ứng dụng trong bài
toán phân loại nhóm. Phần đầu của Chơng V viết về chuỗi hợp thành và
nhóm giải đợc, một loại nhóm liên quan chặt chẽ với tính giải đợc bằng
căn thức của các đa thức. Phần sau nghiên cứu về nhóm tự do, đồng thời
nêu một ứng dụng của nhóm tự do trong bài toán biểu diễn nhóm bằng hệ
sinh và các quan hệ. Chơng cuối trình bày các vấn đề về nhóm Abel.
Ngời đọc có thể tự học môn Lí thuyết nhóm với cuốn giáo trình này,
nếu đ đợc trang bị một số kiến thức sơ lợc về tập hợp, quan hệ, ánh xạ,
số phức và không gian véc tơ. Nếu ai đ học Đại số đại cơng ở chơng
trình đại học thì có thể bỏ qua các chơng I và II để tiếp cận thẳng các
chơng sau. Để ngời đọc dễ theo dõi, trong suốt giáo trình, các khái niệm

và kết quả đều đợc diễn giải chi tiết, có ví dụ minh hoạ; cụm từ hiển
nhiên ta có tránh đợc dùng trong các chứng minh; phần bài tập đợc thiết


4

kế ngay sau một vài mục nhỏ của chơng.
Trong toàn bộ cuốn sách, các nhóm đợc kí hiệu bởi G, H, K, ...; các
đồng cấu nhóm thờng đợc kí hiệu bởi f, g, h, k...; tác động của một phần
tử x của nhóm G lên phần tử s của tập hợp S thờng đợc kí hiệu là xs
hay x s; tập các số tự nhiên, tập các số nguyên, tập các số hữu tỷ, tập các
số thực và tập các số phức lần lợt đợc kí hiệu bởi N, Z, Q, R và C.
Trong rất nhiều kiến thức về lí thuyết nhóm, để chọn những nội dung
cần thiết viết trong khuôn khổ một giáo trình nhỏ phù hợp với chơng trình
đào tạo bậc đại học là rất khó khăn. Các tác giả mong muốn nhận đợc
những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp, các sinh viên và đọc giả về
những thiếu sót của cuốn giáo trình để sửa chữa và hoàn thiện trong lần tái
bản sau.
Các tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên,
Dự án TRIG Đại học Thái nguyên thuộc Dự án Giáo dục Đại học 2 và Nhà
xuất bản Đại học Thái Nguyên đ hỗ trợ về kinh phí cũng nh các thủ tục
thuận lợi để cuốn giáo trình đợc xuất bản.


Chơng 1

Nhóm và nhóm con
1.1 Định nghĩa nhóm và ví dụ
1.1.1. Định nghĩa. Cho X là tập hợp. Một phép toán (hai ngôi) trên X là
một ánh xạ từ X ì X đến X.

Nếu T là một phép toán trên X thì ảnh của phần tử (a, b) X ì X qua

T đợc kí hiệu là aT b. Ta kí hiệu ảnh của (a, b) là ab nếu phép toán đợc
kí hiệu theo lối nhân, và là a + b nếu phép toán đợc kí hiệu theo lối cộng.
Rõ ràng phép cộng thông thờng là phép toán trên N và cũng là phép
toán trên Z. Phép trừ thông thờng là phép toán trên Z nhng không là phép
toán trên N.
1.1.2. Định nghĩa. Cho X là tập hợp có trang bị một phép toán T . Bộ phận
A của X đợc gọi là bộ phận ổn định nếu aT b A với mọi a, b A. Khi

đó ta cũng nói phép toán trên X cảm sinh phép toán trên A.

Chẳng hạn, tập S = {1, 1} là một bộ phận ổn định của Z với phép

nhân thông thờng. Tập N là bộ phận ổn định của Z với phép cộng, nhng
5


6

không ổn định với phép trừ.
1.1.3. Định nghĩa. Cho X là tập hợp. Phép toán T trên X đợc gọi là có
tính chất kết hợp nếu aT (bT c) = (aT b)T c với mọi a, b, c X, và đợc gọi
là có tính chất giao hoán nếu aT b = bT a với mọi a, b X. Phép toán T

đợc gọi là phân phối với phép toán trên X nếu aT (b c) = (aT b) (aT c)
và (b c)T a = (bT a) (cT a) với mọi a, b, c X.

Trên các tập số Z, Q, R, phép cộng và phép nhân thông thờng có tính
chất kết hợp, giao hoán và phép nhân phân phối hai phía với phép cộng.

Tuy nhiên phép trừ và phép chia không có tính chất giao hoán, cũng không
có tính chất kết hợp.
1.1.4. Định nghĩa. Cho X là tập hợp với một phép toán T . Phần tử e X

đợc gọi là trung hoà trái nếu eT a = a với mọi a X. Tơng tự ta có

khái niệm trung hoà phải. Nếu e là trung hoà cả hai phía thì e đợc gọi là
phần tử trung hoà. Giả sử X có phần tử trung hoà e. Với a, b X, ta nói

rằng b là phần tử ngợc trái của a nếu bT a = e. Tơng tự ta có khái niệm
phần tử ngợc phải. Nếu b là phần tử ngợc cả hai phía thì ta nói b là phần
tử ngợc của a.
Dễ thấy rằng phần tử trung hoà của X đối với phép toán T (nếu có) là
duy nhất, bởi vì nếu e, e là hai phần tử trung hoà thì e = eT e = e . Ta gọi
phần tử trung hoà là phần tử đơn vị nếu phép toán kí hiệu theo lối nhân, và
gọi là phần tử không nếu phép toán kí hiệu theo lối cộng.
Chú ý rằng nếu T có tính chất kết hợp thì phần tử ngợc của a (nếu có)
là duy nhất, bởi vì nếu b, b là hai phần tử ngợc của a thì
b = bT e = bT (aT b ) = (bT a)T b = eT b = b .


7

Nếu phép toán kí hiệu theo lối nhân, phần tử ngợc của a đợc gọi là nghịch
đảo của a, và đợc kí hiệu là a1 . Khi a có nghịch đảo, ta nói a là khả
nghịch. Nếu phép toán kí hiệu theo lối cộng, phần tử ngợc của a đợc gọi
là đối xứng của a, và đợc kí hiệu là a.

Phần tử a X đợc gọi là chính quy phải nếu xT a = yT a kéo theo

x = y với mọi x, y X. Tơng tự ta có khái niệm phần tử chính quy trái.
Nếu a chính quy hai phía thì ta nói a là chính quy. Khi a là chính quy thì

ta cũng nói luật giản ớc thực hiện đợc đối với a.
1.1.5. Định nghĩa. Phỏng nhóm là một tập hợp cùng với một phép toán.
Nửa nhóm là một phỏng nhóm với phép toán có tính chất kết hợp. Vị nhóm
là một nửa nhóm với phần tử đơn vị.
Cho X = là tập hợp. Kí hiệu là tập các ánh xạ từ X đến X. Với

phép hợp thành các ánh xạ, ánh xạ đồng nhất 1X đóng vai trò là phần tử
đơn vị của , và phần tử f là khả nghịch khi và chỉ khi f là song ánh.
Vì phép hợp thành các ánh xạ có tính chất kết hợp nên là một vị nhóm.

Từ nay về sau, nếu không nói rõ thêm, ta quy ớc phép toán đợc kí
hiệu theo lối nhân.
1.1.6. Định nghĩa. Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều khả nghịch.
Nh vậy, một tập G cùng với một phép toán làm thành nhóm nếu nó thoả
m n các điều kiện
(i) Phép toán có tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, a, b, c G.
(ii) G có đơn vị: e G sao cho ex = xe = x, x G.

(iii) Mọi phần tử của G đều khả nghịch: Với mỗi x G, tồn tại x1 G
sao cho xx1 = x1 x = e.


8

Một nhóm G đợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phép
toán là giao hoán. Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đợc
gọi là cấp của G. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.

Trong phần còn lại của tiết này, chúng ta đa ra một số ví dụ về nhóm.
1.1.7. Ví dụ. Các tập hợp Z, Q, R, C với phép cộng thông thờng là các
nhóm giao hoán cấp vô hạn. Tập hợp Q các số hữu tỷ khác 0 (tập R các
số thực khác 0, tập C các số phức khác 0) với phép nhân thông thờng là
nhóm giao hoán cấp vô hạn.
1.1.8. Ví dụ. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một phép thế của X hay
một hoán vị của tập X là một song ánh từ X đến X. Kí hiệu S(X) là tập
các phép thế của X. Khi đó S(X) cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một nhóm với đơn vị là ánh xạ đồng nhất 1X và nghịch đảo của phần tử
f S(X) là ánh xạ ngợc f 1 của f. Nhóm S(X) đợc gọi là nhóm đối

xứng của X hay nhóm các phép thế của X. Khi X có n phần tử thì S(X)
đợc kí hiệu là Sn . Các phần tử của Sn có thể đồng nhất với các song ánh
từ tập {1, 2, . . . , n} đến chính nó. Chú ý rằng Sn có cấp là n! và là nhóm

không giao hoán khi n 3. Nếu n không lớn, ngời ta thờng viết mỗi
phần tử s Sn bằng cách liệt kê các phần tử x {1, 2, . . . , n} và các giá
trị tơng ứng s(x). Chẳng hạn, nếu n = 5 thì
s=

12345
35214

là hoán vị của X xác định bởi s(1) = 3, s(2) = 5, s(3) = 2, s(4) = 1,
s(5) = 4. Ta định nghĩa một chu trình hay một xích (a1 , a2 , . . . , ak ) là một
phép thế s Sn , trong đó a1 , . . . , ak là các phần tử của tập {1, 2, . . . , n}

sao cho s(a1 ) = a2 , s(a2 ) = a3 , . . . , s(ak1 ) = ak , s(ak ) = a1 và s(a) = a

9


với mọi a
/ {a1 , . . . , ak }. Anh
xạ đồng nhất là chu trình rỗng vì nó giữ

nguyên mọi phần tử, và nó đợc kí hiệu là e hay (1). Chẳng hạn, ta có thể
viết các phần tử của nhóm đối xứng S3 dới dạng chu trình nh sau:
S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 2)}
1.1.9. Ví dụ. Cho m 0 là một số tự nhiên. Với mỗi a Z, kí hiệu
a = {b Z : a b(mod m)} là lớp tơng đơng của a theo quan hệ đồng

d theo môđun m, và Zm = {a : a Z} là tập các lớp tơng đơng. Chú

ý rằng hai lớp a, b Zm là bằng nhau nếu và chỉ nếu a b chia hết cho m.

(i) Trên Zm ta định nghĩa quy tắc cộng nh sau: với mọi a, b Zm ,
a + b = a + b.

Quy tắc cộng nh trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các lớp
tơng đơng, tức là nếu a = a và b = b thì a + b = a + b . Vì thế nó xác
định một phép toán hai ngôi trên Zm , gọi là phép cộng các lớp thặng d.
Hơn nữa, tập Zm cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán cấp m với
phần tử không là 0 và phần tử đối xứng của a là a. Nhóm Zm đợc gọi là
nhóm cộng các lớp thặng d theo môđun m hay nhóm cộng các số nguyên
modulo m.
(ii) Trên Zm ta định nghĩa quy tắc nhân nh sau: với mọi a, b Zm ,
a . b = ab.
Quy tắc nhân nh trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các lớp

tơng đơng, và vì thế nó xác định một phép toán hai ngôi trên Zm , gọi
là phép nhân các lớp thặng d. Tập Zm cùng với phép nhân là vị nhóm
giao hoán, nhng không là nhóm. Chú ý rằng nếu a = b Zm thì a và m


10

nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu b và m nguyên tố cùng nhau. Do đó
ta có thể đặt
Zm = {a Zm : a và n nguyên tố cùng nhau}.
Tập Zm là bộ phận ổn định của Zm với phép nhân và cùng với phép toán
này Zm là một nhóm giao hoán có cấp (m), trong đó là hàm Euler đợc
định nghĩa nh sau: (1) = 1; (m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m
và nguyên tố cùng nhau với m. Nhóm Zm đợc gọi là nhóm nhân các lớp
thặng d theo môđun m nguyên tố với m.
1.1.10. Ví dụ. Cho H là tập các điểm của một hình nào đó. Một phép thế s
của H đợc gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi M, N H, khoảng cách
giữa hai điểm M, N bằng khoảng cách giữa hai điểm s(M ), s(N ). Tập hợp

các phép đẳng cự của hình H làm thành một nhóm với phép hợp thành các
ánh xạ, và ta gọi nó là nhóm các phép đẳng cự của H. Chẳng hạn, gọi H là
tập các điểm nằm trên chu vi một tam giác đều với các đỉnh là 1, 2, 3. Khi
đó độ dài của mỗi cạnh là lớn nhất trong các độ dài của các đoạn thẳng nối
hai điểm tuỳ ý trên H. Vì thế mỗi phép đẳng cự của hình H đều biến các
đỉnh thành các đỉnh. Theo tiêu chuẩn này, ta có thể kiểm tra đợc có đúng
6 phép đẳng cự của hình H, đó là 3 phép quay 1200 , 2400 , 3600 với tâm
quay là trọng tâm của tam giác đều và chiều quay ngợc kim đồng hồ; và
3 phép đối xứng qua 3 đờng cao. Nếu ta đồng nhất các phép quay 1200 ,
2400 , 3600 ở trên lần lợt với 3 phép thế (123), (132), (1); và đồng nhất 3
phép đối xứng qua 3 đờng cao đi qua các đỉnh 1, 2, 3 lần lợt với các phép

thế (23), (13), (12) thì bảng toán nhân của nhóm các phép đẳng cự của H
trùng với bảng toán nhân của nhóm các phép thế S3 .


11

1.1.11. Ví dụ. Cho K là một trờng. Kí hiệu GL(n, K) là tập các ma trận
vuông cấp n khả nghịch với phần tử trong K. Khi đó GL(n, K) là một nhóm
với phép nhân các ma trận. Giả sử V là một không gian véc tơ n chiều trên
K. Kí hiệu GL(V ) là tập các tự đẳng cấu tuyến tính của V . Khi đó GL(V )
làm thành một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ. Nhóm GL(V ) đợc
gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V. Chọn một cơ sở S của V. Khi đó
mỗi f GL(V ) xác định một ma trân M (f) của f ứng với cơ sở S. Chú

ý rằng M (f) là ma trận vuông cấp n. Vì f là đẳng cấu nên M (f ) là ma
trận khả nghịch. Với f, g GL(V ), chúng ta có thể kiểm tra đợc ma trận
M (gf ) của ánh xạ tích gf chính là tích của ma trận M (g) của g và ma trận
M (f) của f. Vì thế ta có thể đồng nhất nhóm tuyến tính tổng quát GL(V )
với nhóm nhân GL(n, K).
1.1.12. Ví dụ. Cho {Gi }iI là một họ nhóm. Kí hiệu
iI

Với (xi )iI , (yi )iI

Gi = {(xi )iI : xi Gi , i I}.
Gi , định nghĩa (xi )iI (yi )iI = (xi yi )iI . Khi đó
iI

Gi cùng với phép nhân định nghĩa nh trên làm thành một nhóm. Phần
iI

tử đơn vị là (ei )iI , trong đó ei là đơn vị của Gi với mọi i I. Phần tử

nghịch đảo của (xi )iI
xi trong Gi . Nhóm
iI

iI

Gi = {(xi )iI

Khi đó

1
Gi là (x1
là nghịch đảo của
i )iI , trong đó xi

iI

Gi đợc gọi là tích trực tiếp của họ {Gi }iI . Đặt

iI

Gi : chỉ có hữu hạn chỉ số i sao cho xi = ei }.

Gi là một bộ phận ổn định của
iI

Gi , hơn nữa

iI

Gi là một
iI


12

nhóm, gọi là tổng trực tiếp của họ (Gi )iI .

1.2 Một số tính chất
1.2.1. Bổ đề. Cho G là một nhóm với đơn vị e. Khi đó
(i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất; Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử
của G là duy nhất.
(ii) Mọi phần tử của G đều chính quy.
(iii) Với mọi a, b G, các phơng trình ax = b và ya = b có nghiệm duy
nhất trong G.

(iv) Nghịch đảo của e là e. Nghịch đảo của a1 là a với mọi a G. Nghịch

đảo của tích ab là b1 a1 với mọi a, b G.

Chứng minh. (i). Đ đợc chỉ ra trong Tiết 1.1.
(ii). Cho a, x, y G. Giả sử ax = ay. Khi đó a1 ax = a1 ay. Suy ra
ex = ey hay x = y. Tơng tự, nếu xa = ya thì x = y với mọi x, y G.
Vậy a là chính quy.

(iii) Rõ ràng x = a1 b là nghiệm của phơng trình ax = b. Nếu c G
cũng là nghiệm thì ac = b, suy ra a1 (ac) = a1 b, do đó c = a1 b. Tơng
tự, phơng trình ya = b có nghiệm duy nhất.

(iv). Vì ee = e nên e là nghịch đảo của e. Vì a1 a = e = aa1 nên a1
là nghịch đảo của a. Vì (b1 a1 )(ab) = e = (ab)(b1 a1 ) nên b1 a1 là
nghịch đảo của ab.
1.2.2. Định nghĩa. Cho G là một nhóm.
(i) Tích của hữu hạn phần tử a1 , . . . , an G đợc định nghĩa bằng quy nạp
nh sau: a1 . . . an = (a1 . . . an1 )an .


13

(ii) Với a G và n Z, luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là an , đợc định
nghĩa nh sau: a0 = e. Nếu n > 0, đặt an = aa . . . a (trong tích có n nhân
tử a). Khi n < 0, đặt an = a1 a1 . . . a1 (trong tích có n nhân tử a1 ).
Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể kiểm tra đợc các tính chất sau đây.
1.2.3. Các tính chất. Cho G là một nhóm. Các phát biểu sau là đúng.
(i) (a1 . . . am )(am+1 . . . an ) = a1 . . . an với mọi phần tử a1 , . . . , an G và
mọi số tự nhiên m < n.

(ii) Nếu G là nhóm giao hoán thì a1 . . . an = a(1) . . . a(n) với mọi phép
thế của tập {1, 2, . . . , n} và mọi a1 , . . . , an G.

(iii) an am = an+m và (an )m = anm với mọi a G và mọi n, m Z.
1.2.4. Chú ý. Trong trờng hợp phép toán của nhóm G đợc kí hiệu theo
lối cộng, với mỗi số nguyên n và mỗi phần tử a G, ta định nghĩa bội

n của một phần tử a, kí hiệu là na, nh sau: 0a = 0. Nếu n > 0,
đặt na = a + a + . . . + a (trong tổng có n hạng tử a). Khi n < 0, đặt
na = (a) + (a) + . . . + (a) (trong tổng có n hạng tử a). Khi đó
với mọi a G và mọi n, m Z ta có

(na) + (ma) = (n + m)a và n(ma) = (nm)a.
Sau đây là một số điều kiện tơng đơng với định nghĩa nhóm.
1.2.5. Định lý. Cho G là một nửa nhóm khác rỗng. Các phát biểu sau là
tơng đơng.
(i) G là một nhóm.
(ii) Với mọi a, b G, các phơng trình ax = b và ya = b có nghiệm.

(iii) G có đơn vị trái, và ứng với đơn vị trái này, mọi phần tử của G đều có
nghịch đảo trái.


14

Chứng minh. (i)(ii) đ chứng minh trong Bổ đề 1.2.1.
(ii)(iii). Do G = nên tồn tại a G. Theo giả thiết, phơng trình ax = a
có nghiệm trong G. Gọi e G là nghiệm của phơng trình này. Cho b G.

Gọi c là nghiệm của phơng trình ax = b. Khi đó b = ac. Vì thế
eb = e(ac) = (ea)c = ac = b.

Do đó e là đơn vị trái của G. Với mỗi a G, nghiệm của phơng trình
ya = e là nghịch đảo trái của a.

(iii)(i). Cho a G. Gọi a là nghịch đảo trái của a và gọi a là nghịch
đảo trái của a . Khi đó

aa = e(aa ) = (a a )(aa ) = a (a a)a = a ea = a a = e.
Vì thế a là nghịch đảo phải của a. Ta lại có
ae = a(a a) = (aa )a = ea = a
với mọi a G. Vì thế e là đơn vị phải của G.

Phần cuối của tiết này dành để trình bày về nhóm xyclic, một loại nhóm
đẹp nhất.
1.2.6. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. G đợc gọi là nhóm xyclic nếu
tồn tại a G sao cho mỗi phần tử của G đều là một luỹ thừa của a. Trong

trờng hợp này ta nói G là nhóm xyclic sinh bởi a, và ta viết G =< a >
hay G = (a).
Nh vậy, G là nhóm xyclic sinh bởi a nếu G = {an : n Z}, và a

đợc gọi là một phần tử sinh của G.


15

1.2.7. Chú ý. Giả sử phép toán của nhóm G đợc kí hiệu theo lối cộng.
Khi đó G là nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a G sao cho mỗi phần

tử của G đều là bội của a. Nh vậy, G là nhóm xyclic sinh bởi a nếu
G = {na : n Z}.
1.2.8. Ví dụ. (i) Nhóm Z các số nguyên với phép cộng thông thờng là
nhóm xyclic sinh bởi 1 hoặc 1. Nhóm cộng Zm các lớp thặng d theo

môđun m với phép cộng các lớp thặng d là nhóm xyclic sinh bởi 1 hoặc
m 1.

(ii) Nhóm cộng Q không là nhóm xyclic. Thật vậy, giả sử Q là nhóm xyclic
sinh bởi a/b với a, b Z, b = 0. Khi đó a = 0. Hơn nữa a/2b phải là bội
của a/b, tức là tồn tại n Z sao cho

a

a
2na
=n =
.
2b
b
2b
Suy ra a = 2na, hay 1 = 2n. Điều này là vô lí.
1.2.9. Bổ đề. Giả sử G = (a) là nhóm xyclic. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu an = am với mọi n = m thì G có cấp vô hạn.
(ii) Nếu tồn tại n = m sao cho an = am thì G có cấp hữu hạn. Trong
trờng hợp này, tồn tại những số nguyên dơng r sao cho ar = e, và cấp
của G là số nguyên dơng r nhỏ nhất sao cho ar = e.
Chứng minh. (i). Vì an = am với mọi n = m, m, n Z nên ánh xạ
f : Z G cho bởi f(n) = an là song ánh. Vì thế G có cấp vô hạn.

(ii). Vì n = m nên n m = 0. Vì an = am nên anm = e = amn . Trong

hai số nm và mn ắt phải có một số nguyên dơng. Do đó, tồn tại những
số nguyên dơng r sao cho ar = 2. Gọi r là số nguyên dơng bé nhất có
tính chất ar = e. Ta thấy rằng các phần tử e, a, a2 , . . . , ar1 là đôi một khác


16

nhau. Thật vậy, nếu ai = aj với 0

i

j < r thì aji = e, do đó theo cách

chọn của r ta có i = j. Bây giờ ta chứng minh G = {e, a, a2 , . . . , ar1 }.

Rõ ràng G {e, a, a2 , . . . , ar1 }. Cho b G. Khi đó b = ak với k Z.
Viết k = rq + s trong đó q, s Z và 0

s

r 1. Ta có

b = ak = arq+s = (ar )q as = as {e, a, a2 , . . . , ar1 }.
Vì thế G = {e, a, a2 , . . . , ar1 }. Do đó G có cấp r.
Từ chứng minh bổ đề trên ta suy ra ngay hệ quả sau đây.
1.2.10. Hệ quả. Cho G = (a) là nhóm xyclic và n > 0 là một số nguyên.
Các phát biểu sau là tơng đơng
(i) G có cấp n.
(ii) n là số nguyên dơng bé nhất sao cho an = e.
(iii) an = e và nếu ak = e thì k là bội của n với mọi k Z.

Bài tập
1. H y cho ví dụ về vị nhóm mà không là nhóm; một ví dụ về nửa nhóm
mà không là vị nhóm.
2. Cho G là nhóm và a, b G. Chứng minh rằng nếu ab = ba thì (ab)n =
an bn với mọi n.

3. Chứng minh các tập hợp sau với phép toán đ cho làm thành một nhóm.
(a) Tập hợp mZ các số nguyên là bội của m với phép cộng (m là số
nguyên cho trớc).
(b) Tập hợp các số thực dơng với phép nhân.

17

(c) Tập hợp các số phức có môđun bằng 1 với phép nhân.
(d) Tập các căn phức bậc n của đơn vị với phép nhân (0 = n N).
(e) Tập các số hữu tỷ có dạng 2n , n Z, với phép nhân.

(g) Tập {1, 1} với phép nhân.


(h) Tập các số thực có dạng a + b 3, a, b Z với phép cộng.

(i) Tập {a + b 3 : a, b Q, a2 + b2 = 0} với phép nhân.
(k) Tập các số phức có dạng a + bi, a, b Z với phép cộng.

4. Chứng minh các tập hợp sau với phép toán đ cho làm thành một nhóm.
(a) Tập các véc tơ của không gian Rn với phép cộng véc tơ (0 = n N).

(b) Tập các ma trận cấp m ì n với các phần tử là các số thực cùng với

phép cộng ma trận (0 = m, n N).

(c) Tập các ma trận thực vuông không suy biến cấp n với phép nhân ma

trận (0 = n N).

(d) Tập các đa thức có hệ số thực với phép cộng các đa thức.
(e) Tập gồm đa thức 0 và các đa thức bậc không quá n với phép cộng

đa thức (n là số tự nhiên cho trớc).

5. H y lập bảng toán cho một tập X để đợc những nhóm với
(a) X gồm 2 phần tử.
(b) X gồm 3 phần tử.
6. Chứng minh rằng tích trực tiếp G1 ì G2 ì . . . ì Gn là giao hoán khi và

chỉ khi các nhóm G1 , G2 , . . . , Gn là giao hoán.

7. Cho m > 0 là một số tự nhiên. Chứng minh rằng tập Zm các lớp thặng
d nguyên tố với m là một nhóm với phép nhân các lớp thặng d.
8. Chứng minh Định lí Wilson: Nếu m là số nguyên tố thì tích của các
phần tử trong nhóm Zm bằng 1.


18

9. Cho G là nhóm với đơn vị e sao cho a2 = e với mọi a G. Chứng minh
rằng G là nhóm giao hoán.

10. Cho G là nửa nhóm khác rỗng. Với mỗi a G ta kí hiệu
aG = {ax : x G} và Ga = {xa : x G}.
Chứng minh rằng G là nhóm nếu và chỉ nếu aG = Ga = G, a G.

11. Cho G là nửa nhóm hữu hạn khác rỗng. Chứng minh rằng G là nhóm
nếu và chỉ nếu luật giản ớc thực hiện đợc đối với mọi phần tử của G.
Điều này còn đúng không khi G có vô hạn phần tử.
12. Chứng minh rằng mọi nhóm xyclic đều giao hoán. Từ đó suy ra rằng
nhóm đối xứng Sn không là xyclic với n 3.

13. Chứng minh rằng nhóm Z2 ì Z2 không là nhóm xyclic; nhóm Z2 ì Z3
là xyclic.

14. Cho G = (a) là nhóm xyclic. Chứng minh rằng nếu G có cấp vô hạn
thì G có đúng hai phần tử sinh là a và a1 .
15. Cho G = (a) là nhóm xyclic. Chứng minh rằng nếu G có cấp n thì
phần tử ak là phần tử sinh của G nếu và chỉ nếu k và n nguyên tố cùng
nhau.

1.3 Nhóm con
1.3.1. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Tập con H của G đợc gọi là
nhóm con của G nếu nó thoả m n các điều kiện sau đây
(i) ab H với mọi a, b H.
(ii) e H.

(iii) a1 H với mọi a H.


19

Nh vậy, một nhóm con của G là một bộ phận ổn định H của G sao
cho H cùng với phép toán đợc cảm sinh trên G là một nhóm.
Nhận xét rằng trong một nhóm G bất kì, các bộ phận G và {e} luôn là

các nhóm con của G. Nhóm con {e} là nhóm con bé nhất của G và ta gọi

nó là nhóm con tầm thờng. Các nhóm con khác G đợc gọi là nhóm con
thực sự của G.
1.3.2. Mệnh đề. Cho G là một nhóm và H G. Khi đó H là nhóm con
của G nếu và chỉ nếu H = và ab1 H với mọi a, b H.

Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó e H và do đó H = .

Cho a, b H. Khi đó b1 H. Suy ra ab1 H.

Ngợc lại, giả sử H = và ab1 H với mọi a, b H. Do H =

nên tồn tại a H. Suy ra e = aa1 H. Cho b H. Vì e H nên

b1 = eb1 H. Cho a, b H. Khi đó b1 H. Do đó ab = a(b1 )1 H.
Vậy H là nhóm con của G.

1.3.3. Ví dụ. (i) Trong nhóm các phép thế S3 , các tập con sau đây là các
nhóm con của S3 .
H1 = S3 , H2 = {e}, H3 = {e, (123), (132)},
H4 = {e, (12)}, H5 = {e, (23)}, H6 = {e, (13)}.
(ii) Trong nhóm cộng Z, các tập con có dạng mZ với m Z là các nhóm
con của Z.

1.3.4. Định nghĩa. Cho G là một nhóm và a G. Đặt
(a) = {an : n Z}.


20

Khi đó (a) là nhóm con của G, đợc gọi là nhóm con xyclic sinh bởi a. Cấp
của nhóm con (a) đợc gọi là cấp của phần tử a.
Từ Bổ đề 1.2.9 ta có ngay các kết quả sau đây.
1.3.5. Hệ quả. Cho G là nhóm và a G. Khi đó a có cấp vô hạn nếu và
chỉ nếu an = 0 kéo theo n = 0, n Z.

1.3.6. Hệ quả. Cho G là nhóm, a G và r là số nguyên dơng. Các mệnh

đề sau là tơng đơng.
(ii) a có cấp r

(ii) r là số nguyên dơng bé nhất sao cho ar = e.
(iii) ar = e và nếu ak = e thì k là bội của r với mọi k Z.
1.3.7. Bổ đề. Giao của một họ tuỳ ý những nhóm con của một nhóm G là
nhóm con của G.
Chứng minh. Cho (Hi )iI là một họ nhóm con của G. Đặt H =

iI

Hi .

Do e Hi với mọi i I nên e H. Vì thế H = . Cho a, b H. Khi đó

a, b Hi với mọi i I. Vì Hi là nhóm con của G nên ab1 Hi với mọi

i I. Suy ra ab1 H. Vậy H là nhóm con của G.

1.3.8. Bổ đề. Cho (Hi )iI là một họ những nhóm con của một nhóm G.
Giả sử với mọi i, j I, tồn tại k I sao cho Hi , Hj Hk . Khi đó

iI

Hi

là nhóm con của G.

Chứng minh. Đặt L =

iI

Hi . Vì e Hi với mọi i I nên e L. Vì thế

L = . Cho a, b L. Khi đó tồn tại i, j I sao cho a Hi và b Hj .
Theo giả thiết, tồn tại k I sao cho Hi , Hj Hk . Do đó a, b Hk . Do Hk


21

là nhóm con của G nên ab1 Hk . Vì thế ab1 L. Vậy L là nhóm con
của G.

Phần còn lại của tiết này dành để trình bày một loại nhóm con gọi là
nhóm con sinh bởi một tập.
Bổ đề 1.3.7 cho phép chúng ta định nghĩa khái niệm sau đây.
1.3.9. Định nghĩa. Cho A là bộ phận của một nhóm G. Khi đó tồn tại
những nhóm con của G chứa A, chẳng hạn G. Giao của tất cả các nhóm
con của G chứa A là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A. Nhóm con này
đợc gọi là nhóm con của G sinh bởi tập A và kí hiệu là (A) hay < A > .
Nếu G sinh bởi tập A thì ta nói A là một hệ sinh của G. Nếu G có một hệ
sinh hữu hạn thì ta nói G là hữu hạn sinh.
Từ định nghĩa ta thấy nhóm con sinh bởi tập rỗng là {e}. Khi A =

chúng ta có thể mô tả nhóm con sinh bởi tập A nh sau.

1.3.10. Mệnh đề. Cho A là bộ phận khác rỗng của một nhóm G. Đặt
A1 = {x1 | x A}. Khi đó
(A) = {a1 a2 . . . an | n N, a1 , . . . , an A A1 }.
Chứng minh. Đặt H = {a1 a2 . . . an | n N, a1 , . . . , an A A1 }. Rõ

ràng H A. Do A = nên H = . Cho x, y H. Viết x = a1 . . . an và

1
y = b1 . . . bm với a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm A A1 . Rõ ràng b1
1 , . . . , bm

A A1 . Vì thế

1
xy 1 = a1 . . . an b1
m . . . b1 H.

Do đó H là nhóm con của G chứa A. Cho L là nhóm con của G chứa A.
Khi đó L chứa các tích hữu hạn a1 a2 . . . an với a1 , . . . , an AA1 . Vì thế
L H. Vậy H là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A, tức là H = (A).


22

1.4 Nhóm con của một nhóm xyclic
1.4.1. Mệnh đề. Nhóm con của nhóm xyclic là xyclic
Chứng minh. Giả sử G = (a) là nhóm xyclic và H là nhóm con của G. Nếu
H = {e} thì H là nhóm xyclic sinh bởi e. Giả sử H = {e}. Khi đó tồn tại
phần tử e = x H. Do x G = (a) nên x = ak với k Z. Do H là nhóm

con nên ak H. Vì x = ak = e nên k = 0. Trong hai số k và k, ắt

phải có một số nguyên dơng. Vì thế H chứa những luỹ thừa nguyên dơng
của a. Gọi r là số nguyên dơng bé nhất sao cho ar H. Ta chứng minh

H = (ar ). Rõ ràng (ar ) H. Cho y H. Vì y G = (a) nên y = ak với
k Z. Viết k = rq + s, trong đó 0

s < r. Ta có

y = ak = arq+s = (ar )q as .
Do H là nhóm con của G nên as = y(ar )q H. Từ định nghĩa của r ta suy

ra s = 0. Vậy k = rq và vì thế y = (ar )q , tức là y (ar ). Vậy H = (ar ) là
nhóm xyclic.

Chú ý rằng nhóm cộng Z là nhóm xyclic. Hơn nữa, với mọi m Z ta có
mZ = (m)Z. Vì thế, theo Mệnh đề 1.4.1 ta có ngay kết quả sau đây.

1.4.2. Hệ quả. Các nhóm con của nhóm cộng Z là và chỉ là các tập con
có dạng mZ với m N.
1.4.3. Chú ý. Cho a1 , . . . , an là những số nguyên không đồng thời bằng 0.
Nhắc lại rằng ớc chung lớn nhất của a1 , . . . , an là số tự nhiên d sao cho
d là ớc chung của a1 , . . . , an và nếu t là ớc chung của a1 , . . . , an thì t
là ớc của d. Ta có thể dùng Hệ quả 1.4.2 để tìm ớc chung lớn nhất của


23

a1 , . . . , an nh sau: Đặt
H = {a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn | x1 , . . . , xn Z}.
Kiểm tra thấy rằng H là nhóm con của Z. Theo Hệ quả 1.4.2, H là nhóm
xyclic. Vì thế tồn tại số tự nhiên d sao cho H = dZ. Ta khẳng định d là
ớc chung lớn nhất của a1 , . . . , an . Vì
ai = 0a1 + . . . + 0ai1 + 1ai + 0ai+1 + . . . + 0an

nên ai H = dZ với mọi i = 1, . . . , n. Suy ra ai chia hết cho d với mọi
i = 1, . . . , n. Giả sử t là một ớc chung của a1 , . . . , an . Vì d H nên d

biểu diễn đợc dới dạng

d = a1 x1 + . . . + an xn ,
trong đó x1 , . . . , xn là các số nguyên nào đó. Do xi chia hết cho t với mọi
i = 1, . . . , n nên d chia hết cho t. Vậy d là ớc chung lớn nhất của các ai .
1.4.4. Hệ quả. (Định lí Bezout). Các số nguyên a1 , . . . , an là nguyên tố
cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên x1 , . . . , xn sao cho
1 = a1 x1 + . . . + an xn .
Chứng minh. Đặt H = {a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn | xi Z, i}. Theo
chú ý trên, H = dZ, trong đó d là ớc chung lớn nhất của a1 , . . . , an . Nếu
a1 , . . . , an nguyên tố cùng nhau thì d = 1 và vì thế H = Z. Do 1 H nên
1 có biểu diễn 1 = a1 x1 + . . . + an xn với x1 , . . . , xn Z. Ngợc lại, nếu 1
có biểu diễn 1 = a1 x1 + . . . + an xn thì 1 H = dZ. Suy ra d = 1.

Kết quả sau đây (xem Bài tập 15) là một hệ quả của Định lí Bezout.


24

1.4.5. Hệ quả. Cho G = (a) là nhóm xyclic. Nếu G có cấp n thì phần tử
ak là phần tử sinh của G nếu và chỉ nếu k và n nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. Giả sử ak là phần tử sinh của G. Do a G nên a = (ak )t .
Suy ra a1kt = e. Vì a có cấp n nên 1 kt chia hết cho n, tức là tồn
tại q Z sao cho 1 kt = nq. Do đó 1 = kt + nq. Theo hệ quả 1.4.4,

n và k nguyên tố cùng nhau. Ngợc lại, giả sử n và k nguyên tố cùng
nhau. Theo Hệ quả 1.4.4, ta có biểu diễn 1 = kt + nq với t, q Z. Suy ra

a = a1 = (ak )t (an )q = (ak )t . Vì thế a (ak ). Suy ra G (ak ). Rõ ràng
G (ak ). Suy ra G = (ak ), tức ak là phần tử sinh của G.

Bài tập
16. Tìm cấp của các phần tử trong nhóm Z6 ; H y liệt kê các nhóm con của
nhóm Z6 .
17. Giả sử H, K là các nhóm con của nhóm G sao cho H K là nhóm con
của G. Chứng minh rằng H K hoặc K H.

18. Chứng minh rằng tập các phần tử có cấp hữu hạn của một nhóm giao
hoán G là nhóm con của G. Điều này còn đúng không khi G là nhóm không
giao hoán.
19. Chứng minh rằng mọi bộ phận khác rỗng ổn định của một nhóm hữu
hạn G là nhóm con. Điều này còn đúng không khi G là nhóm vô hạn.
20. Cho A là nhóm con của nhóm G. Đặt xA = {xa : a A} với mỗi
x G. Chứng minh rằng xA là nhóm con của G nếu và chỉ nếu x A.

21. Cho G là nhóm và a, b G. Chứng minh rằng ab và ba có cùng cấp.


25

22. Cho G là nhóm và a, b, c là các phần tử của G. Chứng minh rằng
abc, bca, cab có cùng cấp.
23. Cho G là một nhóm. Với các tập con A, B = của G ta kí hiệu
A1 = {a1 : a A}, AB = {ab : a A, b B}. Chứng minh rằng
(a) A(BC) = (AB)C với mọi tập con A, B, C của G.

(b) (A1 )1 = A và (AB)1 = B 1 A1 .
(c) Nếu A là nhóm con của G thì A1 = A.

(d) A là nhóm con của G nếu và chỉ nếu AA1 = A.
24. Tìm nhóm con sinh bởi tập tất cả các số nguyên tố của nhóm nhân các
số hữu tỷ dơng.
25. Cho A, B là các nhóm con của một nhóm G. Chứng minh rằng
(a) Nếu AB là nhóm con của G thì BA cũng là các nhóm con của G.
(b) AB là nhóm con của G nếu và chỉ nếu AB = BA.
26. Cho G = (a) là nhóm xyclic cấp n và k Z. Chứng minh rằng cấp

của phần tử ak là n/d, trong đó d là ớc chung lớn nhất của n và k. Hơn
nữa, ak là phần tử sinh của G nếu và chỉ nếu n và k nguyên tố cùng nhau.
Từ đó suy ra rằng số phần tử sinh của G là (n), trong đó là hàm Euler.
27. Cho G = (a) là nhóm xyclic cấp n và m là một ớc nguyên dơng của
n. Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con H cấp m. Hơn nữa, mọi
phần tử cấp m của G đều thuộc H.
28. Cho X, Y là các nhóm xyclic có cấp lần lợt là m, n. Chứng minh rằng
X ì Y là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu m và n nguyên tố cùng nhau.

29. Cho G là một nhóm và a, b G có cấp lần lợt là r, s. Chứng minh

rằng nếu r và s nguyên tố cùng nhau và ab = ba thì cấp của ab là rs và
(a) (b) = {e}. Nếu bỏ giả thiết ab = ba thì bài toán còn đúng không?
30. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con.