Tổng hợp đề thi của đội tuyển HSG toán nam định

Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh

Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chun
Năm học 2009 − 2010
Mơn: Tốn − Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút

ðỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 (4 ñiểm):
Cho a, b, c là các số ngun dương đơi một phân biệt, thỏa mãn điều kiện:
ab + bc + ca ≥ 3k 2 − 1

Chứng minh rằng:

(k ∈ ℝ)

a 3 + b3 + c 3
− abc ≥ 3k
3

Bài 2 (4 ñiểm):

Giả sử ( an )n≥1 là dãy tăng các số nguyên dương thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện:
i)

a2 n = an + n

∀n ≥ 1

ii) an là số nguyên tố khi n là số nguyên tố.
Chứng minh rằng an = n

∀n ≥ 1 .

Bài 3 (4 ñiểm):

Cho số nguyên k và ña thức p ( x) = x 2010 + x 2009 + x 2 + 12kx − 12k + 1
a) Chứng minh rằng p ( x ) khơng có nghiệm ngun.
b) Tìm ước số chung lớn nhất của p (n) và p (n) + 3 với n là số nguyên dương cho trước.
Bài 4 (4 ñiểm):

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy ñiểm P. Qua P kẻ các ñường thẳng song song với các
cạnh AC, AB cắt AB, AC tương ứng tại R, Q. Chứng minh rằng khi ñiểm P thay ñổi trên cạnh
BC thì đường trịn ngoại tiếp tam giác ARQ ln ñi qua một ñiểm cố ñịnh khác A.
Bài 5 (4 ñiểm):

Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz, ñiểm M(x;y;z) ñược gọi là ñiểm nguyên nếu x;y;z ñều là các số
nguyên. Giả sử trong khơng gian cho 37 điểm ngun trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng. Tồn tại hay khơng một tam giác (có ba đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho) có trọng tâm
là điểm ngun? Giải thích.
HẾT


Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh
ðỀ CHÍNH THỨC

Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2009 − 2010

Mơn: Tốn − Ngày thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. (4 điểm)
Tìm tất cả các số ngun dương x;y;z thỏa mãn:
2010
2010
2010
+
+
là số nguyên dương.
x+ y
y+z
z+x

Bài 2. (4 ñiểm)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện:
i)

a≤b≤c

ii) a + b + c = 2
iii) ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: 0 ≤ a ≤

1
4
≤ b ≤1≤ c ≤ .
3
3

Bài 3. (4 ñiểm):
Cho Ω = {1; 2;3;...; 2009} là tập 2009 số nguyên dương ñầu tiên. Có bao nhiêu ánh xạ
f : Ω → Ω thỏa mãn ñiều kiện: f ( f (k ) ) = ( f (k ) ) − 2 f (k ) + 2 với mọi k ∈ Ω .
2

Bài 4. (5 ñiểm)

Giả sử M là trọng tâm tam giác ABC thỏa mãn ∠AMB = 2∠ACB .
Chứng minh rằng:
a) AB 4 = AC 4 + BC 4 − AC 2 ⋅ BC 2
b) ∠ACB ≥ 600
Bài 5. (3 ñiểm)

Cho phương trình: x 2 + ( x + 1) 2 = y 2 (x;y là các ẩn số)

(*)

Chứng minh rằng phương trình (*) có vơ hạn nghiệm ngun dương.
HẾT


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 1)
Thời gian: 120 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. Tìm tất cả các cặp số khơng âm (a, b) sao cho 3a + 7b là số chính phương.
Câu 2. Cho dãy số ( xn ) n≥1 ñược xác ñịnh bởi:
x1 = 2008 , xn +1 =

2009
1
xn + 2009 ∀n ∈ ℕ*
2010
xn

Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm lim xn .
n →∞

Câu 3. Cho tam giác ABC; ñường phân giác trong AA1 ( A1 ∈ BC ). Gọi M là trung ñiểm của
ñoạn thẳng AA1 . Lấy các ñiểm P ∈ BM và Q ∈ CM sao cho ∠APC = ∠AQB = 900 . Chứng
minh rằng các ñiểm A1 , P, M , Q cùng nằm trên một ñường tròn.

Câu 4. Cho P ( x ) là ña thức bậc chẵn có các hệ số nguyên, hệ số của hạng tử cao nhất bằng 1.
Giả sử tồn tại vô số số nguyên dương k sao cho P(k ) là số chính phương. Chứng minh rằng tồn
tại đa thức Q ( x ) với các hệ số nguyên thỏa mãn P( x) = ( Q( x) ) với mọi x ∈ ℝ .
2

Câu 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:

1
a + ab + b
2

2

+

1
b + bc + c
2

2

+

1
c + ca + a
2

2

≥ 4+

2
.
3


TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 2)
Thời gian: 180 phút

Câu 1. Giải phương trình:
x 2 + x − 6 + 3 1 − x − 3 x 2 − 6 x + 19 = 0

Câu 2. Cho đường trịn (O1; r) tiếp xúc trong với đường trịn (O2) tại S. Một dây cung AB của
(O2) tiếp xúc với (O1) tại C. Gọi M là điểm chính giữa cung AB khơng chứa S; N là trung ñiểm
ñoạn AB. Chứng minh rằng AC ⋅ BC = 2r ⋅ MN.
Câu 3. Tìm tất cả các hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn ñiều kiện:
 x2 + y2 
2
f ( xy ) = f 
 + ( x − y ) với mọi x, y ∈ ℝ
2



Câu 4. Giả sử a1 , a2 ,..., a100 là các số thực thỏa mãn:
i)

a1 ≥ a2 ≥ ⋯ ≥ a100 ≥ 0 ;

ii) a12 + a2 2 ≥ 100 ;
iii) a32 + a4 2 + ⋯ + a100 2 ≥ 100 .
Tìm GTNN của tổng S = a1 + a2 + ⋯ + a100 .

Câu 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao cho ( n 2 − n + 1) chia hết cho mn − 1 .
2

Câu 6. Với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , kí hiệu f (n) là số các hoán vị (a1 , a2 ,… , an ) của tập
hợp {1; 2;… n} thỏa mãn ñiều kiện a1 = 1 , ai − ai +1 ≤ 2 với mọi i ∈ {1; 2;… ; n − 1} . Chứng minh

rằng f (2006) chia hết cho 3.


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 3)
Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. Giải hệ phương trình:

 x 2 ( x + 1) = 2( y 3 − x) + 1
 2
3
 y ( y + 1) = 2( z − y ) + 1
 z 2 ( z + 1) = 2( x3 − z ) + 1

Câu 2. Tìm tất cả các hàm f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn ñiều kiện:

xf ( xf ( y ) ) = f ( f ( y ) )

với mọi x, y ∈ ℝ +

Câu 3. Cho dãy số ( xn ) với 0 < x0 < x1 và thỏa mãn:

(

)

(

1 + xn 1 + xn −1 xn +1 = 1 + xn −1 1 + xn xn +1

)

Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm lim xn .
n →+∞

Câu 4. Cho tam giác ABC. M là trung ñiểm của BC và N là chân đường phân giác của góc BAC.
ðường thẳng vng góc với NA tại N cắt AB, AM tại P, Q tương ứng. Gọi I là giao ñiểm của
AN và đường thẳng vng góc với AB tại P. Chứng minh rằng IQ vng góc với BC.
Câu 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) sao cho x 2 + y chia hết cho xy 2 − 1 .
Câu 6. Chia hình trịn tâm O thành n hình quạt khơng đều nhau bằng n bán kính. Hỏi có bao
nhiêu cách tơ các ơ quạt sao cho mỗi ơ quạt được tơ bởi 1 trong 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng và
khơng có 2 ơ quạt nào kề nhau được tơ cùng màu.


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 5)
Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. Giải hệ phương trình:
 12 − 2 x 2 = 4 + y


2
 1 − 2 y − y = 5 − 2 x
n

Câu 2. Xét phương trình

∑k
k =1

2

1
1
=
x −1 2

(1)

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất
lớn hơn 1, kí hiệu nghiệm đó là xn .
b) Tìm lim xn .
n →+∞

Câu 3. Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với mọi bộ số thực dương a, b, c :

a 2b + b 2 c + c 2 a a 2 + b 2 + c 2 4
+
≥
3 ( a 3 + b3 + c3 ) ab + bc + ca 3
Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC và AD không song song với BC. Các ñiểm E, F

chuyển ñộng trên các ñoạn BC, AD tương ứng sao cho BE = DF. ðặt P = AC ∩ BD; Q = EF ∩
BD; R = EF ∩ AC. Chứng minh rằng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR di chuyển trên
một ñường cố ñịnh.
Câu 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao cho 3m + 1 và 3n + 1 ñều chia hết cho mn .
Câu 6. Giả sử (a1 , a2 ,… , a2010 ) là 1 hoán vị của {1, 2,… , 2010} thỏa mãn a1 = 1 và
2009

∑ a −a
i =1

i

i +1

= 2019045 . Tìm tất cả các giá trị có thể có của a2010 .


TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 6)
Thời gian: 180 phút

Câu 1. Cho hai dãy số ( xn ) , ( yn ) ñược xác ñịnh bởi:
x1 = y1 = 3 , xn+1 = xn + 1 + xn2 , yn+1 =

yn
1+ 1+ y

2
n

với mọi n ∈ ℕ* .

a) Tìm lim yn .
n →+∞

b) Chứng minh rằng 2 < xn yn < 3 với mọi n ∈ ℕ, n ≥ 2 .

Câu 2. Giả sử a1 , a2 ,… , a1999 là các số thực khơng âm thỏa mãn đồng thời các ñiều kiện:

i.

a1 + a2 + … + a1999 = 2 ;

ii. a1a2 + a2 a3 + … a1998 a1999 + a1999 a1 = 1 .
2
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = a12 + a22 +… a1999
.

Câu 3. Tìm tất cả các hàm f : ℝ → ℝ thỏa mãn:

f ( f ( x) − y ) = f ( x) + f ( f ( y ) − f (− x) ) + x với mọi x, y ∈ ℝ .
Câu 4. Cho tam giác ABC có AB < AC. ðiểm M trên tia BA sao cho BM = AC. ðiểm N trên tia
CA sao cho CN = AB. Gọi P là giao ñiểm của MN với ñường trung trực của BC.

Chứng minh ∠ BPC + ∠ BAC = 180o.

Câu 5. Tìm tất cả các cặp các số nguyên tố p sao cho

2 p −1 − 1
là số chính phương.
p

Câu 6. Tìm tất cả các số ngun dương n sao cho n ! + 8 chia hết cho 2n + 1 .


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 7)
Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
≥ 2.
1 1
1 1
1 1
a+ +
b+ +
c+ +

b 2
c 2
a 2

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn:
x2 + 5 = y3 .

Câu 3. Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn x1 > 0 , xn +1 = xn +

1
với mọi n ∈ ℕ* .
n +1

Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ .

Câu 4. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. ðường thẳng AH cắt đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC tại K khác A. Các ñường thẳng OK và BC cắt nhau tại P. ðiểm Q ñối
xứng với P qua trung ñiểm của OH. Các ñường thẳng AQ và BC cắt nhau tại R.
Chứng minh rằng: BP = CR.
Câu 5. Cho các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng:

an

2

+1

+ bn

2

+1

+ cn

2

+1

chia hết cho a 2 + b 2 + c 2 với mọi số nguyên dương n .

Câu 6. Tìm tất cả các ña thức f ( x) với hệ số thực sao cho:

f ( x) f (2 x 2 − 1) = f ( x 2 ) f (2 x − 1)

với mọi x ∈ ℝ .


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 8)
Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. Giải hệ phương trình:
 x − y2 = z −1



2
 y − z = x −1

2
 z − x = y − 1

Câu 2. Cho các số thực a, b, c ∈ [1; 2] . Chứng minh rằng:
b
c 
1 1 1
 a
(a + b + c)  + +  ≥ 6 
+
+
.
a b c
b+c c+a a+b 

Câu 3. Cho hàm số f ( x) = x 2 − 2010 x − 1 .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , phương trình

(

)

f f (… ( f ( x) )…) = 0

( n lần f )

có nghiệm thực.

Câu 4. Cho hình thang ABCD (AB || CD). Gọi O là giao ñiểm của AC và BD.
Gọi M, N là các giao điểm của các đường trịn đường kính AD, BC.
Chứng minh rằng O nằm trên ñường thẳng MN.
Câu 5. Tìm số nguyên a ≥ 2 nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên b ≥ 2 và số nguyên tố p thỏa
mãn

ap − a
= b2 .
p

Câu 6. Cho số nguyên dương n sao cho p = 4n + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng:

p2 −1


kp
=
∑


12
k =1
n

trong đó [x] là số ngun lớn nhất khơng vượt q x .


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 9)

Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
 x3 + 3 xy 2 = 49
 2
2
 x + 8 xy + y = 8 y + 17 x

Câu 2. (2 ñiểm)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =

yz
2 3 −3
. Chứng minh rằng x ≤
( y + z) .
3x
6

Câu 3. (4 ñiểm)
Giả sử a là một số thực. Xét dãy ( xn ) ñược xác ñịnh bởi: x1 = a , xn+1 = 2 xn3 − 5 xn2 + 4 xn với mọi
n ∈ ℕ* . Tìm a để dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ .

Câu 4. (5 điểm)
Cho đường trịn (O) và dây cung AB khơng phải là đường kính của đường trịn. ðiểm C thay ñổi
trên cung AB lớn của (O). Lấy các ñiểm E ñối xứng với A qua BC, ñiểm F ñối xứng với B qua

AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung ñiểm các ñoạn thẳng EF, AB. Chứng minh rằng ñộ dài ñoạn
thẳng MN là một số không ñổi khi C thay ñổi trên cung AB lớn của (O).

Câu 5. (3 ñiểm)
Cho 3 số nguyên a, b, c khác 0 và có tổng bằng 0.

1) Chứng minh rằng (ab)5 + (bc)5 + (ca )5 chia hết cho (ab) 2 + (bc) 2 + (ca ) 2 .
2) Chứng minh rằng a n + b n + c n chia hết cho a 4 + b 4 + c 4 với mọi số nguyên dương n chia
cho 3 dư 1.
3) Chứng minh răng (ab) n + (bc) n + (ca ) n chia hết cho (ab) 2 + (bc) 2 + (ca ) 2 với mọi số
nguyên dương n chia cho 3 dư 2.
Câu 6. (3 ñiểm)

Cho các số nguyên dương k , n thỏa mãn n ≥ 2 và k > n !.
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên tố p1 , p2 ,… , pn khác nhau từng ñôi một, lần lượt là ước
số của các số k + 1, k + 2,… , k + n .


ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN
NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 10)
Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
------***------

Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 x3 + 3 x 2 − 18 = y 3 + y

 3
2
3
2 y + 3 y − 18 = z + z
2 z 3 + 3 z 2 − 18 = x3 + x

Câu 2. (2 điểm)

Cho 2 số thực khơng âm a, b có tích khơng nhỏ hơn 3. Chứng minh rằng:

1
1+ a2

+

1
1 + b2

≥

2
.
1 + ab

Câu 3. (4 ñiểm)

Cho dãy số ( xn ) ñược xác ñịnh bởi: x1 = 1 , xn+1 =

xn n
với mọi n ∈ ℕ* .

+
n xn

 x 
a. Tìm lim  n  .
n →+∞
 n
2
b. Tính [x2010
].

Câu 4. (5 điểm)
Cho đường trịn (O;R) và đường thẳng d khơng có điểm chung với (O). Gọi E là hình chiếu của
O trên d . ðiểm M thay ñổi trên d (M khác E). Các tiếp tuyến kẻ từ M ñến (O) tiếp xúc với (O)
tại A, B. Gọi C, D lần lượt là các hình chiếu của E trên MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng
CD ln ñi qua một ñiểm cố ñịnh.

Câu 5. (3 ñiểm)
Tìm tất cả các bộ bốn số nguyên dương (a, b, c, d ) thỏa mãn 2a = 3b5c + 7 d .

Câu 6. (3 điểm)

Trong một đại hội tốn học có 2001 người, mỗi người trong số họ bắt tay với ít nhất 1600 người
khác. Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho tồn tại n người mà bất kì 2 trong n người đó đều bắt
tay nhau.