Chuyên đề dirichle và bài toán chia hết

Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN LÝ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT.
A. Đặt vấn đề:
Sau khi học xong kiến thức về phép chia, phép chia hết và phép chia có dư. Các
học sinh sẽ được học chuyên đề về phép chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số
hay chuyên đề áp dụng tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên.
Sau khi học về Nguyên lý Dirichle, học sinh sẽ được học nâng cao thông qua
chuyên đề về áp dụng nguyên lý Dirichle vào các bài toán chia hết.
Mục đích của chuyên đề: Giúp học sinh đào sâu hơn, nắm chắc nguyên lý
Dirichle và cách vận dụng cũng như củng cố kiến thức về tính chia hết.

B. Kiến thức cơ bản.
Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên.
* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy nghĩ để làm
xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhưng khi trình bày lời giải ta
cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường.
Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu của
chúng chia hết cho 8.
Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ. Chín con thỏ này được nhốt trong mấy lồng ?
Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
5 ; 6 ; 7 . Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo nguyên lí điriclê thì
cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số dư . Hiệu 2 số này chia hết cho 8.
Trình bày lời giải:
Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 8 giá trị
là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo

ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

1


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số dư.Hiệu 2 số này chia hết
cho 8.
Đưa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn ra hai số
mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n ∈ N* ).

C.Bài tập áp dụng:
Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ
số tận cùng giống nhau.
Hướng dẫn:
Cách 1: Xét trong phép chia cho 10.
Có 11 số chia cho 10 có ít nhất hai số có cùng số dư ⇒ hiệu hai số này chia hết cho 10.
Hay hiệu hai số có chữ số tận cùng là 0 ⇒ hai số này có chữ số tận cùng giống nhau.
Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một trong 10 số
đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.
⇒ đpcm.

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Hướng dẫn: Xét dãy số gồm 14 số hạng:
22............2
2 ; 22 ; 222 ; 2222 ;...;     
14 chữ số 2.
Có 14 số xét , trong phép chia cho 13 → có hiệu hai số chia hết cho 13.
Mà hiệu hai số ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng:
22 ... 2000 ... 0 = 22 ... 2 . 10n.
⇒ 22 ... 2 . 10n 13 mà ( 10n , 13 ) =1.
⇒ 22 ... 2  13 ( đpcm ).

ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

2


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết

Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ... ;1020.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1.
Hướng dẫn:
Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19 ⇒ có ít nhất hai số có cùng số dư
⇒ hiệu hai số chia hết cho 19. Mà hiệu hai số có dạng:
10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ).
⇒ 10n (10m-n -1 )19 mà (10n, 19 ) =1.
⇒ 10m-n -1 19.
Hay 10k chia 19 dư 1( 0 < k < 20 ).

Bài 4: cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.
Hướng dẫn:
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta chia 4 số
dư này làm 2 nhóm ( hai lồng ).
Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7.
Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5.
Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai số cùng
thuộc một nhóm ⇒ đpcm.

Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 12.
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một trong 4

số 1 ; 5 ; 7 ; 11. (Có dạng 12k + 1, 12k + 5, 12k + 7, 12k + 11)
chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5 hoặc dư 7.
ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

3


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
Như vậy có 3 số, mà chỉ có hai nhóm => Tồn tại 2 số thuộc cùng 1 nhóm, khi đó hai số
này chia 12 sẽ có số dư là 1+ 11 hoặc 5+7. Hay tổng hai số đó chia hết cho 12.
⇒ đpcm.

Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có tổng
chia hết cho 2.
Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ.
Và có ba thỏ là ba số.

Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có tổng chia
hết cho 4.
Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 .
Theo bài tập trên ta chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn
a 1 + a 2 = 2k 1 .Còn 5 số lại chọn được hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a 3 + a 4 = 2k 2 .
Còn ba số , lại chọn được 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3. Xét ba
số k1, k2,k3 ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn k1+k2=2m như vậy:
2k1+2k2 = 4m.
Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hết cho 4

Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng chia hết
cho 3

Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2
( k∈N)
Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho
3.
ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

4


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một
số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3.

Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có tổng chia
hết cho 4.

Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ chỉ có một
trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+3.
Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4.
Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2 số
ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4.

Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc
sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được 1 hay nhiều mặt để
tổng các số trên đó chia hết cho 5.

Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5.
Xét 5 tổng:

S1= a1.
S2= a1+a2
S3=a1+a2+a3.
S4=a1+a2+a3+a4.
S4=a1+a2+a3+a4+a5.
- Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song.
- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia
cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5. Gọi 2 tổng là Sivà Sj (1≤i < J≤5)
ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

5


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
thì Sj -Si chia hết 5 hay (a1+a2+.....+aJ) - (a1+a2+...+aJ) = ai+1+ai+2+...+aJ chia hết cho 5

Bài 11. Có tồn tại hay không số có dạng
20072007....200700...0 chia hết cho 2005.

Hướng dẫn:
    ...2007
 
Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007,..., 20072007
2006 so 2007

trong phép chia cho 2005..... có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 . Hiệu hai số này
( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007...200700...0.

Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho

25x -1  17

Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :
25 ; 252 ; 253 ;........; 2517
Chia số hạng của dãy (1) cho 17
Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀ n ∈ N và n ≥ 1 .
Xét trong phép chia cho 17 ....dãy số trên có ít nhất hai số chia cho 17 có
cùng số dư .
Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n ∈ N và 1 ≤ m ⇒ 25n - 25m 17
⇔ 25m ( 25n - m -1 ) 17 vì ( 25m , 17 ) = 1 ⇒ đpcm.

ChuTieuThichHocToan
ToanCap2.com

6


Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết
D.Kết luận
Như vậy chúng ta đã đi qua việc giải các bài toán ví dụ để hiểu được cách xây dựng
”lồng” và ”thỏ” trong bài toán áp dụng phương pháp Dirichle.
Các em học sinh chú ý 1 số điểm sau:
1. Chỉ ra được đâu là số lồng, thỏ.
2. Chỉ ra tính chất của các lồng (ví dụ: có cùng số dư, ...)
3. Chỉ ra ít nhất 1 số thỏ cùng thuộc vào lồng đó (tức là cùng có tính chất nào đó...)

Chúc các em học sinh học tập tốt.

ChuTieuThichHocToan

ToanCap2.com

7