skkn2010(chuyen de phan loại bài toán ptđt không gian)

Sở giáo dục & đào tạo hà nội
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng
thẳng trong không gian


sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Hoàng Văn Tơi
- Ngày sinh: 23 / 07 / 1980
- Năm vào ngành: 2001
- Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mỹ Đức
- Trình độ chuyên môn: Cử nhân s phạm Toán học
- Hệ đào tạo: Từ xa
- Bộ môn giảng dạy: Môn Toán THPT
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Hà nội năm 2010
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
2
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
A. Lý do chọn đề tài
Bài toán viết phơng trình đờng thẳng là dạng toán hay và không quá khó trong
chơng trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức
hình học không gian, mối quan hệ giữa đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ
t duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. Những phát hiện lời giải hay và
hấp dẫn ngời học.
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ không gian
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở
mức trung bình yếu, mức độ t duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài
toán dạng này, để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đa

ra phơng pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn
giản dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn đề.
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh bớc
tiếp vào tơng lai.
B. Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 12A, 12TD trung tâm GDTX Mỹ
Đức .
C. Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song chơng phơng pháp toạ độ
trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2009 -2010
d. quá trình thực hiện đề tài
* Tr ớc khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M( 1; 2; 3 ) và có chỉ phơng là
d
u
= ( 2; -4 ; 1)
b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đờng thẳng d
1

:
13
2
2
1 zyx
=
+
=

+
c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc (P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d đi qua 2 điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)
*/Số liệu cụ thể tr ớc khi thực hiện đề tài
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
3
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Kết quả của lớp 12A ( sĩ số 53)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Câu a 12 33 8
Câu b 4 26 23
Câu c 4 21 28
Câu d 2 20 31
Kết quả của lớp 12TD ( sĩ số 35)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Câu a 4 15 16
Câu b 2 18 15
Câu c 2 17 16
Câu d 2 10 23
Nh vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu lên
lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú.
Nội dung thực hiện đề tài:

Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1. Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng
*
u
0

và có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng d thì
u
là chỉ phơng của
đờng thẳng d.
*
u
là chỉ phơng của d thì k.
u
cũng là chỉ phơng của d ( k 0 )
2. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
*
n

0

và có giá vuông góc với mặt phẳng (

) thì
n
là pháp tuyến của (

)
*
n
là pháp tuyến của (

) thì k.
n
cũng là pháp tuyến của (

),( k 0 )
3. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Phơng trình tổng quát của (

) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A
2
+ B
2
+ C
2

0)
* Nếu (

) có phơng trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của (

) là

n
( A;B;C)
* Nếu (

) đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận

n
(A;B;C) làm pháp tuyến thì phơng
trình của (

) là : A(x- x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
* Nếu (

) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phơng
a
=(a
1
;a
2
;a
3
)

b
(b
1
;b
2
;b
3

) thì pháp tuyến của (

) là

n
= [
a
,
b
] = ( a
2
.b
3
- a
3
.b
2
; a
3
.b
1
-a
1
.b
3
; a
1
.b
2
- a

2
.b
1
)
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
4
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
* Nếu (

) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì (

) có phơng trình là :
1
=++
c
z
b
y
a
x
; (a.b.c

0 )
( phơng trình trên gọi là phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
4. Phơng trình của đờng thẳng
Nếu điểm M(x
0

; y
0

; z
0
)

d và véc tơ chỉ phơng của d là
u
(a; b ; c ) thì
* phơng trình tham số của đờng thẳng d là :





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
;( t là tham số)
* phơng trình chính tắc của d là :
c
zz
b
yy
a

xx
000

=

=

; (a.b.c

0 )
* Phơng trình tổng quát của đơng thẳng có dạng:



=+++
=+++
0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
( Bản chất d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phơng trình lần lợt trong hệ)
5. Các kiến thức khác
* Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và điểm B(x
B

; y
B
; z
B
)
- véc tơ
AB
= (x
B
-x
A

; y
B
-y
A
;
z
B
-z
A

)
- Toạ độ trung điểm I của AB là I=
)
2
;
2
;
2

(
BABABA
zzyyxx
+++
*
a
= (a
1
;a
2
;a
3
)

b
= (b
1
;b
2
;b
3
)
- Tích có hớng của
a
và
b
là một véc tơ ký hiệu là [
a
,
b

]
[
a
,
b
] = ( a
2
.b
3
- a
3
.b
2
; a
3
.b
1
-a
1
.b
3
; a
1
.b
2
- a
2
.b
1
)

Chú ý:- [
a
,
b
]

a
và [
a
,
b
]

b
- Nếu
a
và
b
cùng phơng thì
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b

a
==
Quy ớc : Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là
n
Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là
u

Phần 2: Nêu phơng pháp chung để giải toán:
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
5
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác
định véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng ( gọi tắt là chỉ phơng) và toạ độ một điểm
mà đờng thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83
sgk hh12) để viết phơng trình đờng thẳng.
Phần III: các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phơng của một đờng
thẳng cho trớc .
Hớng dẫn:
Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).
Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phơng
u
của đờng thẳng d trong các
trờng hợp sau:
a/ d :

=
=
+=
tz
ty
tx
25
3
32
;( t là tham số)
b/ d:
42
1
3
2 zyx
=
+
=

c/ d:



=++
=++
)2(0323
)1(0132
zyx
zyx
(d là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 và 2 )

Lời giải
a/ Ta có M(2 ;-3 ;5)

d, chỉ phơng của d là
u
=(3; -1; -2)
b/ Ta có M(2 ;-1 ;0)

d, chỉ phơng của d là
u
=(3; 2; 4)
c/ Ta có
n
1
= (2; 3; -1)

n
2
= (3; -1; 2)
Véc tơ chỉ phơng của d là
u
=[
n
1,

n
2
] = (5; -7 ; -11)
Cho x = 0 ta có

=++
=+
032
013
zy
zy




=
=
2
1
z
y
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
6
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Vậy điểm M(0 ; -1 ; -2)

d
Dạng 2 : Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của đờng thẳng d
biết d đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z

0
) và có chỉ phơng
u
= (a; b; c).
Hớng dẫn:
* phơng trình tham số của đờng thẳng d là :





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
;( t là tham số)
* phơng trình chính tắc của d là :
c
zz
b
yy
a
xx
000

=

=

; (a.b.c

0 )
Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc
của d trong các trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phơng là
u
=(3; -1; -2)
b/ d đi qua điểm M(1;0;3) và có chỉ phơng là
u
=(0; -1; -2)
c/ d đi qua gốc toạ độ và có chỉ phơng là
u
=(3; 1; -2)
Lời giải
a/ Ta có phơng trình tham số của d là :





=
=
+=
tz
ty

tx
23
1
32
( t là tham số )
phơng trình chính tắc của d là:
2
3
1
1
3
2


=


=

zyx
b/ phơng trình tham số của d là:





=
=
=
tz

ty
x
23
1
( t là tham số )
Không có phơng trình chính tắc .
c/ phơng trình tham số của d là





=
=
=
tz
ty
tx
2
3
( t là tham số )
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
7
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
phơng trình chính tắc của d là
213

==
zyx
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

8
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Dạng 3: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d biết d đi qua hai điểm
A,B cho trớc.
Hớng dẫn: - Chỉ phơng của d là
AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B
( Đa bài toán về dạng 2)
Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của d trong các trờng
hợp sau:
a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phơng của d là
AB
=(-3; -1; -5)
lấy A(2; 3; 5)

d . phơng trình tham số của d là





=
=
=
tz
ty

tx
55
3
32
( t là tham số )
b/ Do d đi qua M và N nên chỉ phơng của d là
MN
=(3; 0; -4)
phơng trình tham số của d là:





=
=
+=
tz
y
tx
43
1
32
( t là tham số )
c/ Do d đi qua M và O nên véc tơ chỉ phơng của d là
OM
=(-1; 2; 3)
phơng trình tham số của d là:

+=
+=
=
tz
ty
tx
33
22
1
( t là tham số )
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
9
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
Dạng 4 : Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (

) .
Hớng dẫn: - pháp tuyến của mặt phẳng (

)

n
là chỉ phơng của d


đa bài toán về dạng 2
Ví dụ : Trong không gian Oxyz . Viết phơng trình tham số của d trong các trờng

hợp sau :
a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với (

): x + 2y 3z + 1 = 0
b/ d đi qua gốc toạ độ và vuông góc với (

): 3x - 5y + 2z -2 = 0
c/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
d/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)
e/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
a/ Do d

(

) nên chỉ phơng của d là
u
=(1; 2; -3)

phơng trình tham số của d là





=
+=
+=
tz
ty

tx
31
23
2
( t là tham số)
b/ Do d

(

) nên chỉ phơng của d là
u
=(3; -5; 2)

phơng trình tham số của d là





=
=
=
tz
ty
tx
2
5
3
( t là tham số)
c/ Do d

(Oxy) nên chỉ phơng của d là
k
=(0; 0; 1)

phơng trình tham số của d là





+=
=
=
tz
y
x
1
3
2
( t là tham số)
d/ Do d

(Oxz) nên chỉ phơng của d là
j
=(0; 1; 0)

phơng trình tham số của d là

=
+=
=
1
3
2
z
ty
x
( t là tham số)
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
10
Phân loại bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không gian
e/ Do d

(Oyz) nên chỉ phơng của d là
i
=(1; 0; 0)

phơng trình tham số của d là





=
=

+=
1
3
2
z
y
tx
( t là tham số)
Dạng 5: Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với đờng thẳng d.
Hớng dẫn: - chỉ phơng của d chính là chỉ ph ơng của d

đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d trong các
trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với d





=
+=
+=
tz
ty
tx
31
23
2
( t là tham số)

b/ d đi qua điểm M(-1;2;3) và song song với d :
42
1
3
2 zyx
=
+
=

c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d



=++
=++
)2(0323
)1(0132
zyx
zyx
d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Lời giải
a/ Do d // d

chỉ phơng của d là
u
= (1; 2; -3)


phơng trình tham số của d là:

=
+=
+=
tz
ty
tx
31
22
2
( t là tham số)
b/ Do d // d

chỉ phơng của d là
u
= (3; 2; 4)


phơng trình tham số của d là:





+=
+=
+=

tz
ty
tx
43
22
31
( t là tham số)
c/ Ta có
n
1
= (2; 3; -1)

n
2
= (3; -1; 2)
Véc tơ chỉ phơng của d là
u
=[
n
1,

n
2
] = (5; -7 ; -11)
Hoàng Văn Tơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội
11