khóa luận tốt nghiệp nhóm hữu hạn (KL07382)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

DƢƠNG THỊ THẢO

NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

DƢƠNG THỊ THẢO

NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Ths. Dƣơng Thị Luyến

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô Dƣơng Thị

Luyến, cô đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận.
Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể
các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận .
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp
nên nội dung khóa luận này còn nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận
được sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung
khóa luận trở nên hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, ngày…tháng...năm 2015.
Sinh viên

Dƣơng Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.

Hà Nội, ngày…tháng….năm 2015.
Sinh viên

Dƣơng Thị Thảo


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU...............................................................................................1
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị.....................................................................3
1.1 Nhóm.................................................................................................. 3
1.1.1 Định nghĩa .................................................................................... 3
1.1.2 Tính chất ....................................................................................... 3
1.2 Nhóm con ........................................................................................... 4
1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương................... 4
1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc ..................................................................... 5
1.3 Nhóm thương ..................................................................................... 6
1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic ....................................................... 6
1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm ....................................... 7
1.6 Tổng trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm ..................................... 8
1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm ................................... 8
1.6.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm .............................. 8
Chƣơng 2.Nhóm hữu hạn...........................................................................10
2.1 Định nghĩa ........................................................................................ 10
2.2 Tính chất .......................................................................................... 10
2.2.1 Định lí Lagrange......................................................................... 10


2.2.2 Hệ quả ........................................................................................ 11
2.3 Một số nhóm thường gặp ................................................................. 14
2.3.1 Nhóm đối xứng ........................................................................... 14
2.3.2 Nhóm thay phiên ........................................................................ 20
2.3.3 Nhóm con Sylow ........................................................................ 23
2.3.4 Một số bài tập ............................................................................. 29
KẾT LUẬN ................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 43

LỜI NÓI ĐẦU
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán
học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày
nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung và Đại
số nói riêng cũng có những tiến bộ vượt bậc. Những tư tưởng, phương
pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của
toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất lượng tử, cũng như
một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử… Có thể
nói mọi ngành của toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển
đều cần tới cấu trúc đại số và những hiểu biết về cấu trúc này. Trong đó,
nhóm là một trong những đối tượng cơ bản nhất và cổ điển nhất của toán
học. Nhóm hữu hạn là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng
vào thực tiễn.
Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn được nghiên cứu, tìm hiểu
về Đại số nói chung và cấu trúc nhóm nói riêng, em đã chọn đề tài
“Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu.
Nội dung khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Ở chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm, tổng
trực tiếp, tích trực tiếp của hai hay nhiều nhóm.

1


Chương 2: Nhóm hữu hạn
Đưa ra khái niệm nhóm hữu hạn, các tính chất, định lí, hệ quả của
một số nhóm hữu hạn thường gặp và các bài tập áp dụng.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian
cũng như năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để

khóa luận được hoàn thiện hơn.

2


CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Nhóm
1.1.1 Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng, (.) là một phép toán hai ngôi trên
X. X là một nhóm khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

 xy  z  x  yz  với mọi

x, y, z   .

ii) Tồn tại phần tử e  có tính chất : ex  xe  x, x  X .
iii) x  X có một phần tử x   sao cho xx  xx  e .
Ví dụ. Tập hợp các số nguyên  cùng với phép cộng thông thường
là nhóm cộng các số nguyên.
Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ,nhóm cộng các số thực,
nhóm cộng các số phức.
Chú ý:


Phần tử e được gọi là phần tử đơn vị của X.



Phần tử x thoả mãn (iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của x .



Nhóm X được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu

thoả mãn điều kiện sau : xy  yx; x, y  X .


Một nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn hay vô hạn nếu tập X

hữu hạn hay vô hạn các phần tử.
1.1.2 Tính chất
Cho X là một nhóm. Ta có các khẳng định sau:
a) Phần tử đơn vị e của X được xác định duy nhất.
b) Mỗi phần tử x  X chỉ tồn tại duy nhất 1 phần tử nghịch đảo x .
c) Trong nhóm có luật giản ước có nghĩa là:
3


xy  zy  x  z
xy  xz  y  z .
d) Trong nhóm phương trình ax  b (tương ứng ya  b ) có nghiệm
duy nhất x  a 1b ( tương ứng y  ba 1 ).
e) Với mọi x1, x2 , x3 ,........., xn  X ta có :

 x1x2 ...xn 

1

 xn1.xn11........x21x11 .

Đặc biệt  x n    x 1   x  n ,( x 1 )1  x .
1

n

1.2 Nhóm con
1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương
a) Định nghĩa
Cho X là một nhóm, A là bộ phận ổn định của nhóm X. Khi đó, A
được gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lập
thành 1 nhóm.
Ví dụ. Mỗi nhóm  G,., e  có hai nhóm con hiển nhiên là G và e .
Nhóm con e gọi là nhóm con tầm thường.
b) Tính chất
 Giao của một họ tùy ý các nhóm con của X là nhóm con của X.
 Hợp của 1 họ khác rỗng các nhóm con nói chung không phải
là nhóm con của X.
c) Điều kiện tương đương
Cho X là một nhóm, A  X .Khi đó A là nhóm con của X khi và
chỉ khi:
(i)

A là một bộ phận ổn định của nhóm X: x, y  , xy   .

(ii)

x   thì x 1   (với x 1 là phần tử nghịch đảo của x trong X).

4

d) Hệ quả
Cho X- là nhóm ,   ,    .Các điều kiện sau tương đương:
i.

A là nhóm con của X.

ii.

Với mọi x, y   thì xy  , x 1   .

iii.

Với mọi x, y   thì xy 1   .

1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc
a) Định nghĩa
Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi đó A được gọi là
nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu :
Với mọi x  , a   : x1ax   .
Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn
tắc nào khác

e và X .

Ví dụ. 1)Mỗi nhóm  G,., e  có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên là
G và e .
2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc.
b) Điều kiện tương đương

Cho A là một nhóm con của X. Khi đó ta nói nhóm A là một nhóm
con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi x   ta có x  x
với x   xa a   và x  ax a   .
Chú ý :
 Một nhóm X với phần tử đơn vị e bao giờ cũng có ít nhất 2
nhóm con chuẩn tắc là e và X.
 Nếu X là nhóm Aben thì mọi nhóm con của X đều là nhóm con
chuẩn tắc.
5


1.3 Nhóm thương
Định nghĩa:
Nếu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì:
i)

Quy tắc cho tương ứng cặp  x, y  với lớp trái xyA là một

ánh xạ f : 
ii)















.

cùng với phép toán 2 ngôi :  x, y   xy là một

nhóm gọi là nhóm thương của X trên A.
Ví dụ:  là nhóm cộng các số nguyên, n là nhóm con chuẩn tắc của

 gồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho trước. Khi đó
nhóm thương 

n

là nhóm các lớp thặng dư theo môđun n.

1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic
a) Định nghĩa tập sinh của nhóm
Cho (X, . )là một nhóm , U  X :
i)

Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con nhỏ
nhất trong số các nhóm con của X chứa U.Kí hiệu là <U>.

ii)

Nếu tồn tại U, <U> = X thì U được gọi là tập sinh của X.

iii) Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của U
thì ta nói U là tập sinh cực tiểu của X.
Nhận xét:
 <  >= e ,<S> = S nếu S là một nhóm .
 Một nhóm con có thể có 2 tập sinh cực tiểu với số phần tử khác


 
 

nhau: Ví dụ:  6 = < 1 > = < 2,3 >.

6


b) Nhóm xyclic
Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,nếu X được sinh bởi một

i.

phần tử a   , phần tử a được gọi là phần tử sinh của X.
Kí hiệu:   a .
Nếu X là nhóm bất kì, a  X thì a là 1 nhóm xyclic sinh

ii.

bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh
bởi a .
Ví dụ. Nhóm    ,   gồm các số nguyên dương là xyclic với phần

tử sinh là 1.
Nhận xét:
 Nếu phép toán ngôi trong X là phép cộng
thì: a  ka k  .
 Nếu phép toán 2 ngôi trong X là phép (.) tổng quát thì

a  a k k  .
1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm
Định nghĩa
i) Cấp của một nhóm X là số phần tử của X nếu X có hữu hạn
phần tử hay bằng vô cùng nếu X có vô hạn phần tử .
Kí hiệu: Cấp của nhóm X là: X hoặc Card (X).
ii) Cấp của a  X là cấp của a .
Nhận xét :
 Nếu a m  a n

 m, n  , m  n  thì
7

a  .


 Nếu m   nhỏ nhất : a m  1 thì a  m . Kí hiệu Ord (a) để
chỉ cấp của a.
1.6 Tổng trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm
1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm
Định nghĩa :
i)

Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.) . Trên tập tích

Đề-các : A  B = (a, b) / a  , b  . Ta định nghĩa các phép toán
như sau:  a, b  c, d    ac, bd  .
Khi đó A  B cùng với phép toán hai ngôi lập thành một nhóm
gọi là tích trực tiếp của A và B. Kí hiệu là : A  B.
ii)

Tổng trực tiếp của các nhóm A và B cũng được gọi là tổng

trực tiếp của hai nhóm này. Kí hiệu là A  B.
1.6.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm
a) Định nghĩa
Giả sử G i là một nhóm ( nhân) với mỗi i  . Trên tập tích

G   a 
iI

i

i iI



: ai  Gi , i  I . Ta định

 ai iI  bi iI   aibi iI

. Khi đó

G

nhóm Gi iI và được kí hiệu là

 G , kí hiệu
iI

i

 ai iI sao

i

iI

nghĩa phép nhân

i

 Gi là nhóm con của

iI

:

được gọi là tích trực tiếp của họ

G .
iI

như sau

Tổng trực tiếp của họ nhóm

G
iI

i

gồm tất cả các phần tử

cho a i = e i (đơn vị) đối với hầu hết trừ ra 1 số hữu hạn chỉ số i.

Các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng
được áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm.
8


b) Tính chất
i)

     nhờ đẳng cấu  a, b    b, a  .

ii)

 A  B   C  A   B  C  nhờ đẳng cấu

  a, b

 , c    a, b.c   .

iii) Có thể đồng nhất A( tương ứng với B) với mỗi nhóm con

A  eB  (tương ứng với eA  B ) của A  B nhờ đơn cấu.
A  A B
a   a, eB 

 B  A B 
 b  e ,b  .
 A 


Với phép đồng nhất trên mỗi phần tử của A giao hoán với mọi
phần tử của B trong   : ab   a, eB  eA , b    a, b    eA , b  a, eB   ba .
iv)

A  B  e

v)

Nhóm A  B sinh bởi tập A  B .

 trong

  .

vi) A,B là các nhóm chuẩn tắc của   .
vii)

A  B 
A

 B , (A  B 

B

 A.

Nhận xét :
i) Giả sử N là 1 nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Nói chung

 N.

G  N G

ii) Nếu các số nguyên dương m và n là nguyên tố cùng nhau thì

   
.
m
n
mn
iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho

A  B  e và G là nhóm sinh bởi A  B . Khi đó G    .
9


2 CHƢƠNG 2. NHÓM HỮU HẠN
2.1 Định nghĩa
Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử.

Ngược lại ,nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn.
2.2 Tính chất
2.2.1 Định lí Lagrange
Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của nó. Khi
đó G là bội của H .
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh: aH  Ha  H với aH là lớp kề trái và Ha
là lớp kề phải của H trong X.
Thật vậy:
 Cho x là một phần tử tùy ý của X . Xét ánh xạ:

f:

H  Hx
h  hx

.

 F là đơn ánh vì với mọi h, h  H giả sử:

hx  hx  h  h
 Dễ thấy f cũng là 1 toàn ánh.
Vậy f là song ánh.
 Tương tự g :

H  xH
h  xh

cũng là một song ánh.

Do vậy aH  Ha  H .
Hơn nữa tất cả các lớp kề trái ( hoặc phải ) lập thành một phân hoạch trên
nhóm hữu hạn X. Do vậy X   aH   Ha tức là X là bội của H .
aX

aX

10


2.2.2 Hệ quả
2.2.2.1 Hệ quả 1
Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là ước số của cấp
của G.
Chứng minh:
Với mọi x  G , cấp x= cấp <x>, cấp<x> là ước của cấp X.
*Định nghĩa số mũ của nhóm:
Giả sử G là một nhóm.
i.

Nếu đối với phần tử a  G , có số m nguyên dương sao
cho a m  e thì m được gọi là số mũ của a.

ii.

Số nguyên dương m được gọi là 1 số mũ của nhóm nếu
nó là số mũ của mọi phần tử của G.

2.2.2.2 Hệ quả 2
Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó.

2.2.2.3 Hệ quả 3
Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. Nói cách khác ,trên
một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố có duy nhất
(sai khác đẳng cấu ) một cấu trúc nhóm , là nhóm xyclic.
Chứng minh:
Giả sử nhóm X có cấp X =p là một số nguyên tố.
Vì p>1 nên có phần tử trong a  e trong X . Nhóm xyclic <a> sinh
bởi a có cấp n>1( vì a  e ) và n là một ước của p. Nhưng p nguyên tố
nên ta có n = p.
Do đó X=<a>.
11


2.2.2.4 Hệ quả 4
Mọi nhóm với 4 phần tử đều đẳng cấu với 1 trong 2 nhóm  4 và

 2   2 . Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau.
Chứng minh:

 4 có một phần tử cấp 4 trong khi đó mọi phần tử khác không trong

 2   2 đều có cấp 2.Vì thế hai nhóm này không đẳng cấu với nhau.
Giả sử G là nhóm cấp 4.
Nếu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do đó

G   4 . Trái lại thì mọi phần tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2(theo hệ
quả 1). Trong trường hợp này G đẳng cấu với  2   2 .
2.2.2.5 Hệ quả 5 ( Định lí nhỏ của Fecma )
Nếu p là một số nguyên tố , a là số nguyên bất kì thì a p  a chia hết
cho p.

Chứng minh:

 p    1,2,................, n  lập thành

Trước hết ta chứng minh rằng 

*

một nhóm với phép nhân được định nghĩa như sau: x. y  xy
Thật vậy :
 Phép nhân được xác định như trên có tính chất kết hợp và có đơn
vị là 1 .
 Vì p là một số nguyên tố nên (p,x)=1( nếu trái lại thì x  0 trong  ).
p
Do đó có các số nguyên k và l để cho kx+lp=1. Tức là k.x  1 hay


x

1

 k trong  .
p

12


 p  . Cấp của a là một ước
  p  ). Do đó  a   1 trong

Nếu a không chia hết cho p thì a  

*

*

của p-1 ( số phần tử của nhóm

 p  hay là a


*

p 1

p 1

 1 chia hết cho p nên a p  a  a.(a p1  1) cũng vậy.

Còn nếu a chia hết cho p thì a p  a  a.(a p1  1) cũng chia hết cho p.
2.2.2.6 Tổng quát hóa của định lí Lagrange
Giả sử A là một nhóm con của B và B là một nhóm con của X,
trong đó X là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
[X : A] = [X : B] [B : A].
Chứng minh:
Đây là một chứng minh không sử dụng kết quả của định lí 3.2.1.


Giả sử





  x1, x2,.........., xm



  y1, y2 ,..........., yn 

trong đó m    : , n   :  .

Và   x1  x2  ...............  xm ,

  y1  y2   ..............  yn  .
Suy ra:
xi   xi y1  xi y2   .............  xi yn 
m

n

   xi yi .
i 1 j 1

Vậy

x y
i

j



/ i  1, m, j  1, n

là một tập các đại diện của các lớp

ghép trái của A trong X. Do đó   :   mn    :  :  .

13


2.3 Một số nhóm thường gặp
2.3.1 Nhóm đối xứng
2.3.1.1 Định nghĩa
a) Định nghĩa nhóm đối xứng
Giả sử X là một tập nào đó. Kí hiệu:

S ( X )   f / f : X  X là song ánh }.
i.

S(X) cùng với phép toán nhân ánh xạ lập thành một nhóm gọi
là nhóm đối xứng trên X. Nhóm con của S(X) gọi là nhóm các
phép thế trên X.

ii.

Nếu X  n , không giảm tính tổng quát ta xét X={ 1,2,……..,n}
thì S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử . Kí hiệu Sn.

Mỗi phần tử   Sn ta có thể biểu thị như sau:

2
. .
n 
 1
.
  (1)  (2) . .   n  

 

b) Định nghĩa xích( hay chu trình)
Giả sử x1,x2,…………..,xk là các phần tử đôi một khác nhau trong
{1,2,3,…..,n} . Phép thế   Sn được gọi là một chu trình ( hay xích )
với độ dài k trên tập nền {x1,x2,……………,xn} nếu:
 xi 1 khi1  i  k

 ( xi )   x1 khi i  k .
 x khi i  k
 i

Kí hiệu :    x1, x2 ,..............., xn  .
c) Định nghĩa phép thế sơ cấp
Ta gọi một phép thế sơ cấp( hay phép chuyển trí) là một phép thế sao
cho:
14


Với i  j; k  i, j thì

 f  xi   x j

 f  x j   xi

x
 f  xk  k

2.3.1.2 Tính chất
a) Mệnh đề 3.3.1

Sn  n!  1.2................n .
Chứng minh:
 Ta cần tính xem có bao nhiêu phép thế khác nhau   Sn .
Có n khả năng cho việc chọn  (1) từ n phần tử {1,2,…………,n}.
Khi đó cố định  1 :
 Có n-1 khả năng chọn   2  từ tập 1,2,.........., n /  1 .
 Có n-2 khả năng chọn   3 từ tập 1,2,................, n / 1,  2 .
……………………………………


Cứ tiếp tục quá trình trên đến khi :
 Có 2 khả năng chọn   n  1 .
 Có 1 khả năng chọn   n  .

 Số cách chọn ( hay số khả năng chọn)  1 ,   2  , .................,  n 
chính là số phần tử của Sn.
Do đó số phần tử của Sn là:

Sn  n. n  1 n  2 .......2.1  n!.

15


b) Định lí 3.3.1
Với mọi phép thế   Sn đều là tích của tất cả các xích khác nhau
của nó . Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập
{1,2,3,……,n}.
Chứng minh :
 Với mọi x1 1,2,..........., n , nếu   x1   x1 thì (x1) là một xích
của  .
Trái lại , nếu   x1   x1 , ta đặt x2    x 1  .
Giả sử x1, x2    x1  ,.................., xk    xk 1  là những phần tử đôi
một khác nhau còn   xk  thì trùng với một trong các phần tử
x1,x2,………..,xk.
Ta khẳng định rằng   xk   x1 .
Thật vậy, nếu   xk   xi với i>1 thì   xk     xi1  . Do đó

xi 1  xk . Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x1,x2,……..,xk đôi một
khác nhau.
Vậy (x1,x2,………..,xn) là một xích của  .
 Mỗi phần tử của tập {1,2,……….n} đều thuộc một tập con , là
tập nền của một xích của  . Hai tập con như thế nếu có thì phải trùng
nhau. Thật vậy , phương trình   x   y hoàn toàn xác định y theo x và
x theo y ( do  là một song ánh).

16


Nhận xét :
Khi viết một phép thế của Sn như là tích của các xích rời rạc , tức là

các xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích là
không quan trọng.
c) Định lí 3.3.2
Cấp của một phép thế  bằng bội chung nhỏ nhất của độ dài các
xích rời rạc của  .
Chứng minh:
Giả sử (x1,x2,…….,xk) là một xích của  . Khi đó:  j  xi   xi  j ,ở
đây i+ j được lấy theo modulo k , tức là không phân biệt i+ j với phần
dư của nó trong phép chia cho k. Do đó,  t  xi   xi ( với mọi i) nếu và
chỉ nếu t là một bội của k. Vì thế  t  x   x (x 1,2,....., n) nếu và chỉ
nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của  . Số dương nhỏ nhất có
tính chất đó chính là cấp của  .
d) Mệnh đề 3.3.2
Mọi phép thế đều là tích của một số phép thế sơ cấp.
Chứng minh:
Theo định lí 3.3.1 ta chỉ cần chứng minh mệnh đề trên cho các
phép thế có dạng xích. Ta có :

 x1, x2 ,................., xn    x1,.........., xk 1  xk 1, xk 
  x1, x2   x2 , x3 ....... xk 1, xk .

17


Ở đây , phép thế bên phải tác động trước theo định luật hợp thành
các ánh xạ.
e) Hệ quả 3.3.1
Nhóm Sn được sinh ra bởi các phép thế sơ cấp trong nó, n  2 .
f) Bổ đề 3.3.1
Cho hai phép thế  và  như sau:

   a11,.....a1r   a21,......, a2 s ....... am1,.........., amt  ;   aij   bij
Khi đó:

 1   b11,.........., b1r   b21,..........., b2 s ......... bm1,...................., bmt  .
Chứng minh:
Ta có  1  bij     aij     aij 1   bij 1 .
Trong đó j+1 được lấy theo modulo độ dài của xích chứa aij .
h) Mệnh đề 3.3.3
Hai phép thế liên hợp với nhau trong nhóm đối xứng khi và chỉ khi
chúng có cùng số xích rời rác với mỗi độ dài đã cho.
Chứng minh:
 Điều kiện cần : được suy ra từ bổ đề 3.3.1.
 Điều kiện đủ:
Giả sử rằng:

   a11 ,......, a1r   a21,..........., a2 s ... am1,.........., amt 
   b11 ,......., b1r   b21,..........., b2 s ... bm1,..........., bmt 

là hai phép

thế có cùng số xích với mỗi độ dài đã cho . Khi đó, ta định nghĩa phép
thế  bởi công thức   aij   bij .
Theo bổ đề 3.3.1 ,    1 .

18


Nhận xét:
Trong một nhóm G bất kì , phép tịnh tiến trái bởi phần tử a  G

(tức là ánh xạ x  ax ) là một song ánh từ G vào G.
i) Định lí 3.3.3
Mọi nhóm G ( hữu hạn hay vô hạn ) đều đẳng cấu với một nhóm
các phép thế nào đó trên các phần tử của G. Nói cách khác , có 1 đơn cấu
nhóm G  S  G  từ G vào nhóm đối xứng trên tập hợp G.
Chứng minh:
Với mỗi a  G , ta xét phép tịnh tiến trái bởi a: L  a  : G  G .

x  ax
Ta chứng tỏ L(a) là một song ánh. Thật vậy:
 L(a) là một đơn ánh vì: theo luật giản ước : ax=ay, kéo theo x=y.
 L(a) là một toàn ánh vì: với mọi z  G , ta có L(a)  a 1z   z .
Như thế L(a) S (G) .
 Ta chứng minh rằng ánh xạ

L : G  S (G)

là một đồng cấu nhóm.

a  L( a )
Thật vậy: với mọi a, b, x  G ta có:

L  a  L  b  x  a bx    ab  x  L  ab  x .Như thế L  ab   L  a  L  b  .

19