Khoá luận tốt nghiệp phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGÔ THỊ THÙY LIÊN

PHƯƠNG PHÁP TỌA Đ ộ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
C huyên ngành: Đ ại số

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGÔ THỊ THÙY LIÊN

PHƯƠNG PHÁP TỌA Đ ộ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP

ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
C huyên ngành: Đ ại số

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ KIÊU NGA

HÀ NỘI - 2015



LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga khóa luận của em đến nay đã hoàn
thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Nguyễn Thị
Kiều Nga - người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm
quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do
thời gian và năng lực của bản thân con hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song khóa luận vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, thảng 05 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Thùy Liên


LỜI CAM ĐOAN
Qua một thời gian nghiên cứu được sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của cô
giáo hướng dẫn, tôi đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin cam đoan rằng: Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do
chính tôi nghiên cún và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài
liệu tham khảo. Nó không trùng với bất cứ tài liệu nào khác.

Hà Nội, thảng 05 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Thùy Liên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị ............................................................ 2
1.1. Mặt phẳng tọa độ.............................................................................................2
1.1.1. Trục tọa đ ộ ................................................................................................... 2
1.1.2. Hệ trục tọa đ ộ .............................................................................................. 2
1.1.3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ..................................................... 2

1.1.4. Tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ..................................................... 2
1.1.5. Tọa độ trung điểm của đoạn thắng..............................................................3
1.1.6. Tọa độ trọng tâm của tam giác....................................................................3
1.2.

Các phép toán trên các vectơ ...................................................................... 3

1.2.1. Tổng hai vectơ.............................................................................................3
1.2.2. Hiệu hai vectơ............................................................................................ 3
1.2.3. Nhân vectơ với một số thực........................................................................ 3
1.3. Tích vô hướng của hai vectơ........................................................................ 4
1.4. Các bất đẳng thức hình học............................................................................ 4
1.4.1. Bất đẳng thức vectơ.................................................................................... 5
1.4.2. Bất đắng thức tam giác...............................................................................5
1.5. Phương trình các đường................................................................................ 5
1.5.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng................................................... 5
1.5.2. Phương trình đường tròn............................................................................ 5
1.6. Phương trình các m ặt......................................................................................5
1.6.1. Phương trình tổng quát mặt phẳng..............................................................6


1.6.2. Phương trình mặt cầu.................................................................................. 6
1.7.

Khoảng cách................................................................................................. 6

1.7.1. Khoảng cách tù’ một điếm đến một đường thẳng...................................... 6
1.7.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng......................................... 6
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁPTỌAĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI
TOÁN ĐẠI SÓ....................................................................................................... 7

2.1. Phương pháp tọa độ trong bàitoánbất đẳng th ứ c........................................ 7
2.1.1. Cơ sở lý thuyết.............................................................................................7
2.1.2. Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng th ứ c................................... 7
2.2. Phương pháp tạo độ trong giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số .................................................................................................... 19
2.2.1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số............................................19
2.2.2. Sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số .............................................................................................22
2.3. Phương pháp tọa độ trong bàitoán giảiphương trình, giải bất phương
trình và giải hệ phương trình............................................................................... 35
2.3.2. Phương pháp tọa độ trong bài toán giải bất phương trình..................... 42
2.3.3. Phương pháp tọa độ trong bài toán giải hệ phương trìn h ...................... 45
KẾT LUẬN...........................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 52


MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một môn quan trọng của Toán học. Đại số là môn học có tính
chất hệ thống, chặt chẽ, tính logic và trùn tượng hóa cao. Đe giải một bài toán
đại số có rất nhiều phương pháp trong đó sử dụng phương pháp tọa độ để giải
là một trong các phương pháp hay và độc đáo. Phương pháp tọa độ cho phép
ta chuyển một bài toán đại số sang bài toán hình học và ngược lại. Với lòng
ham mê toán học và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một phương pháp đổi
mới để giải các bài toán đại số và được sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị
Kiều Nga em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ Phương pháp tọa độ trong việc giải
các bài toán đại số” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
Khóa luận chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên CÚ01 khoa học đồng thời muốn
đi sâu, tìm tòi, nghiên cún về phương pháp tọa độ trong việc giải các bài tập
đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Nghiên cứu về sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán đại số
trong chương trình toán phố thông.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp, đánh giá.

1


CHƯƠNG 1. KIÉN THỨC CHUẨN BỊ•
1.1. Mặt phẳng tọa độ
1.1.1. Trục tọa độ
a. Khái niệm trục tọa độ
Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác
định một điểm о và một vectơ i có độ dài bằng 1. Điểm о gọi là gốc tọa độ,
vectơ i gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Kĩ hiệu: (0;!Ị
b. Tọa độ của vectơ và điểm trên trục
•

Cho vectơ ủ nằm trên trục

. Khi đó có số a xác định để и - a i . số a

như thế gọi là tọa độ của vectơ ũ đối với trục ( ơ ; ỉj .
•

Cho điểm M nằm trên trục (ơ;ĩ) • Khi đó có số m xác định để
OM = m. ĩ . Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục

1.1.2. Hệ trục tọa độ
•

Hai trục tọa độvà (O;}') vuông góc với nhau gọi là hệ trục tọa độ.

Ký hiệu: Oxy hay
•

•

Khi mặt phẳng đã cho ( hay đã chọn) 1 hệ trục tọa độ ta sẽ gọi mặt phẳng

đó là mặt phang tọa độ.
1.1.3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục tọa độ ịO;ĩ, j ^, nếu a = xỉ + ỵ j thì (x,ỵ) được gọi là tọa độ
của a . Kí hiệu: a =(x,y)haỵa =(x;y).
1.1.4. Tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phang tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của

2


điểm M.
1.1.5. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
cho 2 điểm A , B trong đó

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Уд ) và

В (*B ’ Ув ) • Khi đó trung điểm M ( x M; y M) của đoạn A B có tọa độ
XM ~
Ум =

Xạ +XB
2

Уа +У в

1.1.6. Tọa độ trọng tâm cùa tam giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác A B C trong đó ^ (Я/рУд )'
В ( xß ’ Ув ) » С ( хс ’ Ус ) • Trọng tâm G ( XG; y G) của tam giác A B C có tọa độ
XA + X B + X C

v
Ус

Уа +У в + Ус
3

1.2. Các phép toán trên các vectơ
1.2.1. Tổng hai vectơ
Cho hai vectơ и và V. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ A B —и và A C = V. Vectơ
A C được gọi là tổng của hai vectơ и và V.
Ta ký hiệu tổng của hai vectơ и và V là и + V. Vậy AC = u + v .
1.2.2. Hiệu hai vectơ

Cho hai vectơ и và V. Ta gọi hiệu của hai vectơ и và V là vectơ M+ (-v j.
Kí hiệu u - v .
1.2.3. Nhân vectơ vói một số thực
Cho số к Ф0 và vectơ и Ф 0 . Tích của vectơ и với số k là một vectơ, kí hiệu
3


là k u , cùng hướng với u nếu k > 0 , ngược hướng với u nếu k < 0 và có độ
dài bằng ịkị.ịu .
1.3. Tích vô hướng của hai vectơ
•

Định nghĩa: Cho hai vectơ u và V đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của

hai vectơ u , V là một số. Kí hiệu là u.v được xác định theo công thức
—— —
* —
u.v = u • V
•

Tính chất của tích vô hướng

Cho 3 vectơ bất kỳ u , V, w và mọi số thực k ta có
i.

u.v = V.U

i\ . u > 0 , u = 0 <=>«=0.
•

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (O; i , j ) , cho hai vectơ w(w,;w2), v(vpv2). Khi đó
tích vô hướng u.v là: u.v =u]vị + U 2V2 .
1.4. Các bất đẳng thức hình học
•

Khái niệm bất đẳng thức
Giả sử A và B là các biểu thức. Các mệnh đề " A > B ' \

" A > B", " A < B " được gọi là bất đẳng thức.
•

Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức
i.

a > b và b > c suy ra a > c

ii.

a > b tương đương a + o b + c

iii.

Nếu c > 0 thì a > b khi và chỉ khi ac > bc
4

"A < B '\

iv. Neu c < 0 thì a > b khi và chỉ khi ac < bc
1.4.1. Bất đẳng thức vecto’
Cho vectơ a độ dài của vectơ a kí hiệu là
Khi đó:
a)

<

b)

< u.v <

c)

u +V

<

+

Tổng quát: Cho các vectơ u],u2,...,un . Ta có
< u, +

1.4.2. Bất đẳng thức tam giác
•

Với 3 điểm A, B,

a)

AB + BC > AC

c bất kì ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B nằm trong đoạn thẳng AC.
b) I AC - AB I < BC
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c nằm ngoài đoạn thẳng AC.
•

....... , An ta luôn có

Trong không gian cho n điểm Ạ ,

AA, -

+ A A + .....+ Ai-iAi*

1.5. Phương trình các đường
1.5.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng: ax+bỵ + c = 0 (a 2 +b2 ^ ó).
1.5.2. Phương trình đường tròn
Dạng tổng quát của phương trình đường tròn tâm I (a\b) , bán kính R :
( x - t ì) 2 + ( y —bỸ = R2
1.6. Phương trình các mặt

5


1.6.1. Phương trình tống quát mặt phẳng
ax + by + cz + d = 0 [a1 +b2 +c2 ìt o).

1.6.2. Phưong trình mặt cầu
Phương trình tổng quát của mặt cầu tâm

bán kính R :

( x - a ) 2+ ( y - b ) 2+ ( z - c ) 2 = R 2
1.7.

Khoảng cách

1.7.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phang Oxy cho đường thẳng À có phương trình ax+by + c = 0
(a2+b2 * 0 ) và điểm M 0 ( W o ) . Khoảng cách từ điểm M

đến đường

thẳng À kí hiệu là d (M0, à ) , được tính bởi công thức

1.7.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm M ữ(x0;;y0;Z0)và mặt phẳng ( ^ ) c ó
phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (Ả2 +B 2 +c 2 ^ o ) . Khoảng cách từ điểm
M 0 đến mặt phẳng ( p ) kí hiệu là d (Af0,(p )), được tính bởi công thức
(,a 2+ b 2+ c 2 ^ o )

6


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI
CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SÓ
Tọa độ hóa các bài toán để giảm bớt quá trình tính toán và thấy được rõ

hơn mối liên quan giữa hình học và đại số. Vì vậy, sử dụng phương pháp tọa
độ để giải các bài toán đại số là phương pháp hay dùng và hiệu quả.
2.1. Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng thức
Vận dụng phương pháp tọa độ ta có thể giải quyết được các bài toán bất
đẳng thức đại số có chức căn bậc hai, trong đó ta có thể đưa về tổng bình
phương của các số hạng. Sau đó sử dụng công thức tính độ dài vectơ đưa bất
đẳng thức cần chứng minh về dạng độ dài tổng của các đoạn thẳng trong
đường gấp khúc lớn hơn độ dài đoạn thẳng nối hai đầu mút.
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
u=0
+

> u + v dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi V= Õ
u = k v ( k > o)

u.v <

, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi u = k v ( k > o).

2.1.2. Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng thửc
Bài 1: Chứng minh rằng \la2+a + \ +yỊa2- a + 1 > 2 với mọi ứ e l .
Lời giải:
Ta có:
(1 + ũ. +1 — a +— +
V

2y

V

/

2 r /T\2
a - a + 1= 1a — I +
2

7


Đặt u a +

. Khi đó ta có u + vịl;>/3).

Mặt khác ta lại có

+

> «+V

Suy ra \la2 +a +1+ \ [ ĩ —a + 1 > 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 -2- = 1<=> a = 0.
-a
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Chứng minh rằng yja2 +6a + 4b2 +9 + sla2 +4b2 - 2 a - \ 2 b + \0 >5
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với

Ậ a + 3 f + ( 2 b ) 2 + ^ j ( \ - a ) 2 + { 3 - 2 b f >5.
Đặt u[a + 3 ; 2 b ) , v ( \ - a ; 3 - 2 b y

= Ậ a + 3)2 +(2bf + Ậ i - a f + ( 3 - 2 b f .

Khi đó ta có
Mặt khác ta lại có

+

> u +v

Suy ra Ậ a + 3 ) 2 +(2b f + Ậ ì - a ý + ( 3 - 2 b f >5.
a +3
2b
Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi -------- - ——
*
1- a
3 -2 b
hay 3tf-8fr+9 = 0
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 3: Chứng minh rằng
4~a + cib b~
Lò'/ giải:

*\Jỉ?~ + bc +~c +

~ Cữ + CI

"N/3 ị^ci + b +

.

Ta có
+

a2 +ab + b2 = a +
V

^ J

b
V2

,

\2 í r : \ 2
r
c
b2 +bc + c2 = b + - +
c
V 2y
V2 ,
+

c2 + ca + a2 =

£
V2

2

,

-5c
a -J3
ơ1 + ^— -V1, H' c + —Ị-1—a
2 2
2z 2z, y

2

3
/3
Khi đó ta có M+ V+ w —(<2 + z?+ c ),— -(<2 + z?+ c)
Mặt khác ta lại có

+

+ vv >

suy ra

yja2 +ab + b2 + *Jb2 +bc + c2 +\Ịc2 +ca + a2 >s/3(a + b + c)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 4: Chứng minh rằng \/a,b
^ 4 c o s2 a cos2b + sin2 ( a - b ) + ^ 4 sin2 ứ sin2b + sin2 ( a - b ) > 2
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với
^(2C0S<3C0S/?)2 +sin2( a - b ) + ^(2sintfsinZ?)2 + sin2( a - b ) > 2.

Xét w(2 cos<2 Cos/?;sin(<2 —/?)), v(2sin<3sinfr;sin(<2 —/7)).

Khi đó
|w| + |v| = Ậ 2 c o s a c o s b f + sin2(ếz-Z?) + ^(2sinízsin/?)2+ s in 2(íz-Z?)

Mặt khác ta lại có

9

=2


Suy ra
^(2cos a cos/7)2 + sin2(a—b) + ^(2sin a sin b)2+ sin2( a -b)> 2

-

cosacosb sin (x -y )
Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi —:——= -T “7----------- 7
smasinb sin^x-;yj
Hay cotxcot y = \.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 5: Cho a],a2,....,an và bị,b2,....,bn là 2/2 số tùy ý. Chứng minh rằng
■\/o |2 + b ,2 +

4 a ỉ

+ t> 22 + . . . + > / 0 7 + V

^

^ (a , + ÍỈ,

) 2 + ( è , + i> 2 +

Lờ’/ giải:
Đặt M ,[a];b]),M 2ị^a]+a2\bị +b2),M n (aị + a2+ ...+an\bx+b2+ ...+bn).
Khi đó ta có
OM, (ứ,;/?,)
M

2

(^ 2’^2)

Ta có OM, + M,M7 + ... + M n_xM n = OM
Suy ra O M n

+ ỡ 2 + ... + a/j;Z?1+z ?2 + ... + Z?z).

Mặt khác ta lại có
1<

OM., =

+ a 2 + — + a „)

+ ( A + ^2 + — + ^ ,ỉ )

+ M,M2

-

%la \2 + K

+ *Ja 2

+ ^2 2 + — + yỊa„ 2 + K

D ấu “= ” x ảy ra khi và chỉ khi: O M ỉ, M ỉM 2, . . . , Mn_ỉM n cùng hướng.

Hay

Í/ị
è,

ếỉ')

10

)3


Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 6: Cho a , b , c > 0 và ab+bc + ca = abc. Chứng minh rằng
slb2 +2a2
ab

Vc2 +2b2
bc

%la2 +2c2

>3
ca

Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với:

LỂ]
tì!* b

u+v+w=

y

’ V/? ’ c

1

+

2

1

2

Khi đó ta có

= ( l; ^ ) ( v ì —+ -^-+- = 1)
v
’

a b c

- + —4
a b c

Mặt khác ta lại có
1

vcc ’ a ,

’

+ w > u + v + w suy ra
1

2

„

íiĩ+# +# +Ặ +# +Ặ - 3
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 7: Cho a,b,c> 0, trong đó a > c và b > c. Chứng minh rằng
yjc(a —c^ + ^ c { b —c^ < \[ãb .
Lời giải:
Đặt u Ụ a-c\* Jc^, v Ụ c ^ b - c Ỵ Khi đó
u.v = yỊcị^a-c) + yỊc(b-c^
Mặt khác ta lại có u.v <
Suy ra J c ( a - c ) + y Ịc ị b - c ) < y/ãb .

11

yỊa-c
у/с
Dâu ‘ ” xảy ra khi và chỉ khi — 7=—= Ị
\Ịc \ Ị b - c

(do с >0, a - c > 0, b - c > 0)

«> (a —c)(b —c) = c2 <=> ab = c(a + b) <=> — f —= —.
y
;
a b с
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 8: Giả sử hê

íúf 4- ũb 4- b = 3
,
>
có nghiêm
|62+6c + c2 =16
&

Chúng minh rằng ab + bc + ca< 8.
Lời giải:
Đặt и

2

2

J

2

• Khi đó

f

\2
+ —b2 = \ja2 +ab + b2 = л/з
bI + -ö
4
V 2y
= J - c 2 + Ị^b + -

=y[b* +bc + c2 = 4

Ta có w.v = - ^ ( f l f c + fcc + c a )v à |и|.|у| = 4>/з

Mặt khác

u .v< и .V

Suy ra ab + be + ca< 8
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi so

ta có

abc (a + b + c ) < a 4+b4+c4

(*)

Lời giải:

vế trái của bất đẳng thức (*) tương đương a2bc +ab2c +abc2
Xét các vectơ u ịab\b c\cà) , v(ca\ab\bcỴ Khi đó ta có

12


= %la2b2 +b2c2 +c2a2
= +Jc2a2 +a2b2 +b2c2
u.v = a 2bc + ab2c + abc2
Mặt khác ta lại có

u.v

<ì

<=> abc (a+b + c)< a2b2 + b2c2 + c2a 2

( 1)

Đặt x(a2;b2;c2y, ~ỳịb2\c2\a2} . Khi đó
= yja4 +b4 +c4
y = yjb4 + c 4 +a4
Mặt khác ta lại có
x.y <

<=>

a2b2 +b2c2 +c2a2
( 2)

Từ (1) và (2) ta có: abc(a + b + c)< a +b4 +CA
a2 = kb2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

b2 = kc2 <=> a = b = c.
c2 = ka2

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài

10:

Cho

a +b +c = 2;

ax + by + cz = 6. Chứng

minh

\j\6a2 +a2x 2 + Ạ ô b 2 +b2y 2 W l6 c 2+ c V >10
Lời giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxỵ đặt A(Aa ;ax), B(4b\by), C(4c;cz)

Khi đó ta có OA + OB + o c - (4a + 4b + 4c;ax + by + cz) —(8;6)
=> ÕĂ + ÕB + ÕC =10.

13

rằng


Mặt khác ta lại có OA + OB + o c < OA + OB + o c
+b2y 2 + *\Ị\ 6c2 + c V

<^> 10< %/l 6 £Z2 + <32x2 +«y^l6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ƠA, ơz?, ơ c cùng hướng
i. Trong 3 vectơ OA,OB,OC có 1 vectơ là vectơ 0
—-

->

Giả sử OA = 0

í 4 a= 0
ax = 0

Khi đó OC + OB

OB + o c

j 4 c = 4Ả:/?

Ị c = kb

\ acz = 4/:/?>’ ^

Ịcz = /:/?v ^

^

OC = kOB ( k > 0)
[c = kb
y

Mặt khác theo giả thiết ứ+£ + c = 2 => b + c = 2
ịc = kb
& >0vàc>0vH .
- k> 0 =>
\b + c - 2

cùng dấu; b,c > 0

Khi đó k = —- ì .
b
Lại có by + cz = 6. Do

;y = z
b +c = 2

y = z= 3

a=0

Vậy /? + c = 2
y=z=3
ii.

Trong 3 vectơ OÁ,OB,OC có 2 vectơ là vectơ 0
Giả sử OA = OB = õ

a —b —0
c=2

Theo giả thiết ta có: ax + bỵ + cz = 6 => z = 3

14


a = b = 0

Vậy ] c = 2
z =3
iii. Cả 3 vectơ OA,OB,OC khác vectơ õ .
a-kb
<

f

a - kby

OA = kOB
(m,k > o)

OB = mOC

'

b = mc

^

x= ỵ= z= 3

>0

by = mcz
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 11: Cho ci,b,c tùy ý. Chứng minh rằng
4- V«2~

+bc -hc^

~

Lời giải:

'n2Ẽ
0;-^—. c + -!—b

Đặt A

2

c|

2

2 2

Khi đó ta có

í b Vã
BA CI+ - ; —— c
2
2
c

\Í3

AC —-~CI\—— b
2 J
V 2
■

BC
2

2’

2

°

2

fylà 5^4 + y4C ^ BÁ + j4C —BC
b)
2J

3, 2
+
4

£Z+ — H—

-~ + a

2

Ỵ

3 2
+—C >

4

>/ a 2 + a b + b 2 + s ] a 2 + Ũ C + C1 > * J b 2 + b c + c 2

15

J

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BA , AC cùng hướng.
b ( с
a + — = k\ - —-Cl
2 Ị, 2

Hay BA —к AC (&>0)

' - £ b =- k £ c
2

2

k> 0

b - kc
2a+b b í с
——— = - ------ а
2
2V 2
k> 0

ab+bc + cz = 0.

Bài 12: Cho ba số thực a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh
\a-b\

\b~c\

\a-c\

л/l + ß2.%j\+b2

ф + ь 2л/l + c2

+ a2.*sl\ + с2

^^

Lòi giải:
Bất đẳng thức (I) tương đương với
\a-b\ .л/l + c2 + \b - c\ л/l + a2 > \a - c\ ЛỊ\ + b2
Ậ a - b Ỵ (l + c 2) + Ậ b - c Ỵ ị l + a 2) > ^ ( ú t - c ) 2 (a b - b c )2

^ Ị ( a - b ) 2 (a c - b c ) 2 +^J(b-c)2 [ b a - c a ) 2 >

a - с )2(a b - b c ỹ

Đặt A(a;bc), B(b\ac), c[c\ab).
Khi đó điều phải chứng minh tương đương AB + ВС > AC.
Mặt khác với ba điểm bất kỳ ta luôn có A C < AB + ВС
Ta có A B ị b —a \ a c —bc)

ВС ( с - b ; a b - а с )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB , ВС cùng hướng.

16

b -a =k (c -b )
Hay AB = k B C ( k > 0)

ac-bc =k{ab-ac)
c-a
£_

k (c —à){b —c ) = 0

=^> c k ( b - c ) = k a ( b - c )

( mâu thuẫn giả thiết).

Dấu “=” không xảy ra. Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng.
Bài 13: Cho các số thực a,b,c,m,n thỏa mãn biểu thức ma + nb = c với
/
\2
/
\2
(2 a - b - c ) 2
a +b > 0. Chứng minh rằng ( m - 2 ) +(n + l) > ----- ———
Lời giải:
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng A có phương trình tổng quát:
cix + by + c = 0 ( a 2 +b2 ^ 0 ) và điểm / ( 2 ; —l).
Khi đó điểm M (ra; n) thuộc đường thẳng A vì ma + nb = c (theo giả thiết)
Khoảng cách từ điểm / ( 2 ;-l) đến đưòng thẳng A

I

A

1
H

/X
/
\2
/
\2
(2a-b-cỴ
Ta có IM > c /(/,à ) nên ( m - 2) +(w + l) > v 2 ,
D ấu “= ” x ảy ra khi v à chỉ khi điểm M = H

17


Bài 14: Cho a , b , c , d thỏa mãn

Chứng minh rằng

a 2 +b2 = a

(l)

c2+ d 2 = 0

(2)

a - c f + ( b - d f <2-JĨ.

(II)

Lời giải:
Đặt M («;& ), N [ c \ d )
Ta có ( 1 ) tương đương ữ ——
V 2y

+

b—

1V 1
2

V

Do đó điêm M nằm trên đường tròn tâm ĩ

Í---Ì

(
0 2
Tương tự ta có ( 2 ) tương đương c + — +
l

1
+
T3

, 2 ;2 y

Do đó điêm N nằm trên đường tròn tâm K f

bán kính R =

2)

1 ^
2’2

2

bán kính R = -T2

Nối ỈK cắt đường tròn tại hai điểm M* vầ N* suy ra MN = > Ậ a - c ý + ( b - d f <2-JĨ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm M = M* và N = N*
18