Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý

Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý
Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Thành Tiên
SV Thực Hiện: Nguyễn Thị Thuý Nhi


Lời cảm ơn
Được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Thành Tiên, cùng sự giúp
đỡ của Thầy Cô và các bạn trong bộ môn sư phạm Vật Lý, tôi đã hoàn thành
đề tài “Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý”.
Tôi vô cùng cảm ơn thầy Nguyễn Thành Tiên, người đã trực tiếp hướng
dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Và có được sự hoàn thành này cũng
là nhờ sự dẫn dắt tận tình của quý Thầy Cô trong Bộ môn sư phạm Vật Lý,
Khoa sư phạm, trường Đại học Cần Thơ và bạn bè đã cung cấp những kiến
thức hữu ích cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì kiến thức còn hạn hẹp cùng với những
khó khăn trong quá trình thu thập và tham khảo tài liệu, nên đề tài này không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp trao đổi của quý Thầy
Cô cùng các bạn để tôi hoàn thiện hơn đề tài này.


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý học. Vì thế, người ta thường cho rằng, toán
học là ngôn ngữ của khoa học. Vật lý học là khoa học thực nghiệm. Nhưng
muốn trình bày các nội dung vật lý học một cách chính xác ta thường phải
sử dụng các phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ
lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Trong lịch

sử phát triển, người ta đã ghi nhận được rằng, toán học và vật lý học hổ trợ
nhau cùng phát triển.
Toán học đã nghiên cứu cực trị của các phiếm hàm. Nhiều bài toán khoa
học được đưa về bài toán cực trị của phiếm hàm như bài toán đẳng chu, bài
toán đường trắc địa,. . . Bài toán đường đoản thời xem là bài toán đã thúc đẩy
sự phát triển của phép tính biến phân (PTBP): tìm đường cong nối liền hai
điểm A, B cho trước trong một mặt phẳng thẳng đứng để cho một chất điểm
trượt trên đường cong ấy dưới tác dụng của trọng lực sẽ đi từ A đến B trong
thời gian ngắn nhất. Bài toán này đã được Becnuli (J. Bernoulli) giải. Các
phương pháp tổng quát đầu tiên của PTBP được Ơle L (L. Euler) và Lagrăng
L. D (L. D. Lagrange) xây dựng nên.
Các phương pháp biến phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của cơ học và kỹ thuật, do vậy các sinh viên ngành Cơ học
và các ngành kỹ thuật cần được trang bị về phép tính biến phân. Ngày nay,
phương pháp biến phân vẫn được xem là phương pháp quan trọng, nó có mặt
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý, cả vật lý hiện đại và các ngành
khoa học khác.


iv

Bước đầu khám phá và sử dụng công cụ toán học ứng dụng nó trong vật
lý. Chúng tôi nghiên cứu đề tài: “phép tính biến phân và ứng dụng vật lý”
nhằm cung cấp những khái niệm cơ bản nhất về phép tính biến phân và các
phương pháp của phép tính biến phân, đặc biệt chú ý đến những ứng dụng
trong cơ học như phương trình chính tắc, các nguyên lý biến phân trong cơ
học 1 , quang học..., các phương pháp trực tiếp giải bài toán biến phân.
2. Mục đích của đề tài
Đề tài này nhằm nghiên cứu tìm hiểu và trang bị cho mình kiến thức mới về
phép tính biến phân. Nắm được những khái niệm cơ bản nhất và các phương

pháp của phép tính biến phân. Khảo sát về các điều kiện cần để phiếm hàm
đạt cực trị và các điều kiện đủ của cực trị phiếm hàm.
Đề tài cũng vận dụng phương pháp biến phân để giải các bài toán vật lý.
Qua đó thấy rằng, phương pháp biến phân là phương pháp hiệu quả và phổ
biến của vật lý.
3. Giới hạn đề tài
Phương pháp biến phân được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của
cơ học và kỹ thuật, trong đề tài này chỉ là bước đầu khám phá công cụ toán
học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Phép tính biến phân là một khái
niệm còn khá mới mẻ đối với sinh viên đại học. Vì những hạn chế trên, nên
đề tài chỉ dùng lại ở mức độ tìm hiểu về mặt lý thuyết như khái niệm cơ bản
và các phương pháp tính của phép tính biến phân và vận dụng phương pháp
biến phân để giải một số bài tập vật lý điển hình.

Cần Thơ, ngày 30 tháng 04 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuý Nhi
1

Chúng ta cũng cần nhớ rằng, đối tượng nghiên cứu cơ bản của vật lý học là nghiên cứu chuyển
động, vì thế các bài toán cơ học là các bài toán cơ bản của vật lý học.


Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Phần mở đầu

iii

Chương 1. Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân
1.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . 3
1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler 5
1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Một vài trường hợp đối với phương trình Euler . . . . . . 7
1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Đạo hàm biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Các bài toán biến phân
2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần
2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao . . .
2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện . . . . . .
2.4 Công thức biến phân cơ bản . . . . . . . . . . . .
2.5 Bài toán với biên di động . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. Điều kiện đủ của cực trị
3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp
3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi .
3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu . . . . . . . . .
3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh . . . . . . . .
3.4.1 Trường các đường cực trị. . . . . . .

hai
. .

. .
. .
. .

.
.
.
.
.

tìm
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

14
14

16
18
21
23

.
.
.
.
.

26
26
30
33
37
37

1


MỤC LỤC

vi

3.4.2
Chương 4.
4.1 Bài
4.2 Bài
4.3 Bài

4.4 Bài
4.5 Bài

Hàm Weierstrass. Điều kiện đủ của cực trị mạnh

. . . . 38

Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp biến phân 43
toán 1. Bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
toán 2. Bài toán đường đoản thời . . . . . . . . . . . . . . . 44
toán 3.Ứng dụng của bài toán đường đoản thời trong hiện tượng sóng biển. 4
toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. 49
toán 5. Hàm sóng Fang - Howard . . . . . . . . . . . . . . . 52

Kết Luận Chung

57


Danh sách bảng
3.1

Tóm tắt các điều kiện đủ đạt cực trị của phiếm hàm (3.19). . . 42


Danh sách hình vẽ
2.1

Hình ảnh minh hoạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Một đường cong đơn giản . . .
Một hạt trượt xuống một đường
Đường Cycloid đi từ (0, 0). . . .
√
Đối với sóng nước cạn, v = gh
Hình minh hoạ. . . . . . . . . .

. . .
cong
. . .
. . .
. . .

. .
ma
. .
. .
. .

. .
sát
. .
. .
. .

. . . . . . . . . . .
từ điểm O đến B.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

43
45
47
48
53


Chương 1.
Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của
phép tính biến phân
1.1

Khái niệm chung

Phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu
của phiếm hàm. Phiếm hàm cũng là một hàm, trong đó vai trò của biến độc
lập là đường cong hoặc là hàm.
Để hiểu rõ hơn khái niệm phiếm hàm chúng ta xét các ví dụ sau:
i) Trên mặt phẳng xét tất cả các đường nối 2 điểm A, B. Giả sử có 1 vật
rắn có thể chuyển động trên 1 đường bất kì của các đường này và tại mỗi điểm
(x, y) có một vận tốc xác định v(x, y). Vậy ta có 1 phiếm hàm tương ứng mỗi
thời gian mà vật đi qua đường đó.
ii) Giả sử y(x) là hàm bất kì khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Vậy phiếm

hàm J[y] trên tập hợp này là
∫ b
J[y] =
y ′2 (x)dx,
(1.1)
a

hoặc tổng quát hơn
∫
J[y] =

b

F (x, y(x), y ′ (x))dx.

(1.2)

a

iii) Trong số tất các đường thẳng nối 2 điểm cho trước A và B, tìm đường
có độ dài ngắn nhất; tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm
∫ b√
J[y] =
1 + y ′2 dx,
(1.3)
a


1.2 Không gian hàm

2

đạt cực tiểu. Đường phải tìm là đường thẳng nối A và B.
iv) Giả sử A và B là 2 điểm cố định. Thời gian để 1 chất điểm chịu tác
dụng của trọng lực lăn dọc theo 1 đường nào đó nối 2 điểm phụ thuộc vào
cách chọn đường, tức là 1 phiếm hàm. Tìm đường để chất điểm lăn từ A đến
B với thời gian ngắn nhất. Đường đoản thời là đường cycloide.
v) Trong số các đường cong kín có chiều dài cho trước S, tìm đường có diện
tích bị giới hạn lớn nhất. Đường đó là đường tròn.
Trong các ví dụ nêu trên ta gặp các phiếm hàm có dạng
∫ b
J[y] =
F (x, y, y ′ )dx.

(1.4)

a

1.2

Không gian hàm

Mỗi hàm y(x) thuộc tập hợp nào đó có thể xem như 1 điểm của không
gian. Không gian như vậy gọi là không gian hàm.
Khi nghiên cứu phiếm hàm ta phải xét chúng trong không gian hàm và tuỳ
thuộc và đặc tính của chúng ta chọn không gian hàm tương ứng. Chẳng hạn
∫b
với phiếm hàm dạng a F (x, y, y′)dx ta phải xét nó trong tập hợp các hàm có
∫b
đạo hàm cấp 1 liên tục, còn trường hợp a F (x, y, y ′ , y ′′ )dx ta phải xét không

gian hàm của các hàm khả vi liên tục hai lần.
1.2.1

Định nghĩa

• Không gian hàm tuyến tính là tập R các phần tử x, y, z, ... trên đó
xác định các toán tử cộng và nhân với 1 số và thoã mãn các điều kiện
sau:
i) x + y = y + x,
ii) (x + y) + z = x + (y + z),
iii) Tồn tại phần tử 0 sao chox + 0 = x,
iv) Với mỗi x ∈ R tồn tại phần tử −x sao cho x + (−x) = 0,
v) 1.x = x,
vi) α(βx) = (αβ)x,
vii)(α + β)x = αx + βx,
viii)α(x + y) = αx + αy.


1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị

3

• Không gian tuyến tính định chuẩn: Không gian R được gọi là định
chuẩn, nếu với mỗi phân tử x ∈ R tương ứng với 1 số không âm ∥ x ∥
thoả 3 tính chất sau:
i) ∥ x ∥= 0 chỉ khi x = 0,
ii) ∥ αx ∥=| α | . ∥ x ∥,
iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥.

Trong không gian tuyến tính định chuẩn xem khoảng cách giữa 2 phần

tử x và y là đại lượng ∥ x − y ∥. Các phần tử của không gian tuyến tính định
chuẩn có thể là các số, các vectơ, các ma trận, các hàm,...
1.2.2

Một số không gian hàm

i) Không gian C - gồm tất cả các hàm liên tục xác định trên đoạn [a, b]. Chuẩn
trong không gian C được xác định:
∥ y ∥= max | y(x) |.
a≤x≤b

(1.5)

ii) Không gian D1 - gồm các hàm xác định được trê đoạn [a, b] liên tục với đạo
hàm cấp 1 của nó. Chuẩn trong D1 xác định bằng công thức:
∥ y ∥1 = max | y(x) | + max | y′(x) |.
a≤x≤b

a≤x≤b

(1.6)

iii) Không gian Dn - gồm các hàm xác định trên đoạn [a, b] có đạo hàm liên
tục đến cấp n. Chuẩn được xác định bởi công thức:
∥ y ∥n =

n
∑

max | y (k) (x) | .

(1.7)

k=0

1.3

Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực
trị

• Định nghĩa: Giả sử cho phiếm hàm φ[h] với h là phần tử của không gian
tuyến tính định chuẩn. Phiếm hàm φ[h] gọi là tuyến tính nếu:
- Nó liên tục.
- Với h1 , h2 ∈ R thoả điều kiện:
[h1 + h2 ] = φ[h1 ] + φ[h2 ].
và [λh] = λφ[h], λ = const.


1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị

• Bổ đề 1. Nếu a(x) là hàm liên tục và
∫ b
a(x)h(x)dx = 0

4

(1.8)

a

với mọi hàm h(x) liên tục, có đạo hàm liên tục và thoả mãn điều kiện:
h(a) = h(b) = 0, thì a(x) ≡ 0.
• Bổ đề 2. Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1
∫ b
b(x)h′ (x)dx.

(1.9)

a

Nếu

∫

b

b(x)h′ (x)dx = 0,

(1.10)

a

với mọi hàm h(x) ∈ D1 sao cho h(a) = h(b) = 0 thì b(x) = const.
Chứng minh. Ta có
∫ b
∫ b
∫ b
′
′
0=

b(x)h (x)dx =
[b(x)h(x)] dx −
b′ (x)h(x)dx.
a

Tích phân

a

∫

b

(1.11)

a

[b(x)h(x)]′ dx = b(x)h(x) |ba = 0,

(1.12)

a

vậy

∫
−

b

b′ (x)h(x)dx = 0.

(1.13)

a

Theo bổ đề 1 suy ra −b′ (x) = 0 hay b(x) = const.
• Bổ đề 3. Nếu

∫

b

[a(x)h(x) + b(x)h′ (x)]dx = 0,

(1.14)

a

với mọi hàm h(x) ∈ D1 sao cho h(a) = h(b) = 0 thì b(x) vi phân được và
a(x) − b′ (x) = 0.
• Khái niệm vi phân của phiếm hàm.
Xét phiếm hàm J[y] và gia số của nó:
△J = J[y + h] − J[y],


1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler

tương ứng với gia số h của "biến" y. Nếu y cố định thi △J là phiếm hàm của
h.

i) Vi phân của phiếm hàm △J[h] = φ[h] + α ∥ h ∥.
Ta gọi vi phân hay biến phân △J là phiếm hàm của J là phần tuyến tính φ[h]
của gia số △J của phiếm hàm J.
Ở đây α → 0; khi h → 0.
ii) Khái niệm cực trị yếu và cực trị mạnh
• Cực trị yếu của phiếm hàm J là nói đến cực trị tại 1 lân cận nào đó.
• Cực trị mạnh là xét trên cả tập xác định.
iii) Định lý. Để phiếm hàm J[y] đạt cực trị tại y = y0 thì điều kiện cần là vi
phân của nó bằng 0 khi y = y0 .

1.4

Bài toán đơn giản của phép tính biến phân.
Phương trình Euler

1.4.1

Thiết lập bài toán biến phân đơn giản

Giả thiết F (x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của
nó đến cấp hai.
Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm
y(x) có đạo hàm liên tục và thoả mãn các điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B,
hãy tìm hàm để cho phiếm hàm:
∫ b
J[y] =
F (x, y, y ′ )dx,
(1.15)
a

đạt cực trị yếu.
Nói cách khác, bài toán đơn giản của phép tính biến phân là tìm cực trị
yếu của phiếm hàm J trên tập hơp các đường cong nối 2 điểm cho trước.
Cho hàm y(x) một số gia h(x) nào đó. Để hàm:

y(x) + h(x)
vẫn thoả mãn điều kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên
ta phải có

h(a) = h(b) = 0.

5


1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler

6

Tính gia số của phiếm hàm
∫

b

△J =

′

′

∫

F (x, y + h, y + h )dx −
a

∫
=

b

F (x, y, y ′ ),

(1.16)

a
b

[Fy (x, y, y ′ )h + Fy′ (x, y, y ′ )h′ ]dx,

(1.17)

a

các dấu chấm biểu thị những số hạng bậc cao hơn một đối với h và h′ , Fy , Fy′
là kí hiệu đạo hàm riêng tương ứng đối với y và y ′ .
Biểu thức:
∫ b
[Fy (x, y, y ′ )h + Fy′ (x, y, y ′ )h′ ]dx,
(1.18)
a

chính là vi phân của phiếm hàm J.
Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức
∫ b
δJ =
(Fy h + Fy′ h′ )dx = 0.

(1.19)

a

Từ bổ đề 3 suy ra
d
Fy′ = 0.
dx
Hệ thức này có tên là phương trình Euler.
Fy −

1.4.2

(1.20)

Phương trình Euler

Định lý. Để cho phiếm hàm
∫
J[y] =

b

F (x, y, y ′ )dx,

(1.21)

a

xác định trên tập các hàm y(x) có đạo hàm cấp 1 liên tục và thoả mãn điều
kiện y(a) = A, y(b) = B đạt cực trị trên hàm y(x), thì điều kiện là hàm này
thoả phương trình Euler
d
Fy − Fy′ = 0.
(1.22)
dx
Đường cong tích phân của phương trình Euler là đường cực trị.
Phương trình Euler là phương trình vi phân cấp 2. Nghiệm của nó phụ
thuộc vào 2 điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B.
Điều kiện (1.22) là điều kiện cần, chứ không phải là đủ để phiếm hàm đạt
cực trị.


1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler

7

Định lý. Giả sử y = y(x) là nghiệm phương trình Euler
Fy −

d
Fy′ = 0.
dx

(1.23)

Nếu F (x, y, y ′ ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai, thì tại mỗi điểm (x, y)
ở đó
Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) ̸= 0,
(1.24)
hàm y = y(x) có đạo hàm cấp hai liên tục.
1.4.3

Một vài trường hợp đối với phương trình Euler

i) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào y
Giả sử phiếm hàm có dạng
∫ b
F (x, y ′ )dx.

(1.25)

a

Vì là hàm không phụ thuộc vào y nên
∂F
= 0.
∂y
Phương trình Euler có dạng
d
dx

(

∂F
∂y ′

(1.26)

)
= 0,

(1.27)

suy ra
∂F
= C1 .
∂y ′

(1.28)

Đây là phương trình cấp 1 không chứa y. giải nó với y ′ ta được phương trình
dạng
y ′ = f (x, C1 ),
(1.29)
từ đó suy ra

∫
y=

Xét

f (x, C1 )dx + C2 .
∫

J[y] =
1

2

√
1 + y′2
dx,
x

với y(1) = 0, y(2) = 1.
Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y, nên
∂F
= C1 ,
∂y ′

(1.30)


1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler

tức là

∂
∂y ′

8

( √

)
1
y′
2
′
1+y
= √
= C1 ,
x
x 1 + y′2

suy ra

√
y = C1 x 1 + y ′ 2 .
′

Bình phương y ′ ta được
y ′ = C1 2 x2 (1 + y ′ ).
2

2

C1 2 x2
⇔y =
,
(1 − C1 2 x2 )
′2

hay

C1 x
y′ = √
.
2 2
(1 − C1 x )
∫

Do đó
y=

√

C1 x
(1 − C1 2 x2 )

−1
dx =
C1

√
(1 − C1 2 x2 ) + C2 ,

hay là
(y − C2 )2 + x2 =

1
.
C1 2

Cho thoả mãn điều kiện biên y(1) = 0, y(2) = 1, ta tìm được C1 =

Vây nghiệm của bài toán là

√1 , C2
5

= 2.

(y − 2)2 + x2 = 5
.
ii) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào x
∫
J[y] =

b

F (y, y ′ )dx.

(1.31)

a

Vì hàm không phụ thuộc vào x nên
∂F
= 0,
∂x

(1.32)

và F là một hàm của y và y ′ . y = y(x), vì thế F vẫn phải ngầm phụ thuộc vào
x qua y và y ′

dF
∂F
∂F dy ∂F dy ′
∂F ′ ∂F ′′
=
+
+ ′
=
y + ′y .
dx
∂x
∂y dx ∂y dx
∂y
∂y

(1.33)


1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler

Ngoài ra,

(
(
)
)
d
∂F
′ ∂F
′′ ∂F

′ d
y ′ =y
+y
.
dx
∂y
∂y ′
dx ∂y ′

9

(1.34)

(1.33) trừ (1.34), ta được:

hoặc
[

∂F
∂y

−

d
dx

(

∂F
∂y ′

)]

(
(
)
)
dF
d
∂F
∂F
d
∂F
−
y′ ′ =
y′ − y′
,
dx
dx
∂y
∂y
dx ∂y ′

(1.35)

(
) [
(
)]
∂F

∂F
d
∂F
d
F − y′ ′ =
−
y′.
dx
∂y
∂y
dx ∂y ′

(1.36)

y ′ = 0, vì phương trình Euler, do đó
(
)
d
′ ∂F
F − y ′ = 0,
dx
∂y

(1.37)

suy ra
F − y′
Xét

∫

x2

I=
x1

Ta có

∂F
= C.
∂y ′

(1.38)

√
1 + y′2
dx.
1+y

∂F
=C
∂y ′
√
√
1 + y′2
1 + y′2
∂
′
−y ′
= C,

1+y
∂y 1 + y
F − y′

hoặc

√
2
1 + y′2
y′
1
√
√
⇔
−
=
= C.
1+y
(1 + y) 1 + y ′ 2
(1 + y) 1 + y ′ 2

Như vậy
(1 + y)2 (1 + y ′ ) =
2

Hay là
y′ =
2

1

.
C2

1
1 − C 2 (1 + y)2
−
1
=
,
C 2 (1 + y)2
C 2 (1 + y)2
√

và
′

y =

1 − C 2 (1 + y)2
.
C(1 + y)


1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến

Do đó

10

C(1 + y)

√
dy = dx.
1 − C 2 (1 + y)2

Lấy tích phân 2 vế, ta được
−

1√
1 − C 2 (1 + y)2 = x + C ′ ,
C

hoặc
1 − C 2 (1 + y)2 = C 2 (x + C ′ )2 .
Ta được phương trình đường tròn
(x + C ′ ) + (1 + y)2 =

1
,
C2

Với C và C ′ là 2 hằng số.
iii) Hàm F không phụ thuộc vào y ′ .
Phương trình Euler có dạng
Fy (x, y) = 0,

(1.39)

hệ thức hữ hạn xác định một hoặc một vài đường cong.
Xét
∫ b

J[y] =
(x, y)2 dx.
a

Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y ′ . Phương trình Euler có dạng
Fy (x, y) = 0,
Ta được
−2(x − y) = 0,
Nghiệm của nó là một đường thẳng
y = x.

1.5

Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến

Trong các mục trên ta xét phiếm hàm phụ thuộc vào các hàm một biến,
tiếp theo ta sẽ xét các phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến.


1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến

11

ở đây ta xét trường hợp hai biến, trường hợp n biến ta lập luận tương tự. ta
xét phiếm hàm có dạng
∫∫
F (x, y, z, zx , zy )dxdy,
(1.40)
J[z(x, y)] =
G

Trong đó zx , zy là đạo hàm riệng của z = z(x, y) tương ứng theo x và y. Giả
thuyết rằng phải tìm hàm z = z(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm của nó
đến cấp hai trong miền G, nhận các giá trị đã biết trên biên của miền này và
làm cho phiếm hàm này đại cực trị.
Bổ đề. Nếu tích phân
∫∫
f (s, t)v(s, t)dsdt = 0,
(1.41)
G

trong đó hàm f (s, t) xác định, liên tục trong miền G, với mọi hàm v(s, t) liên
tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của nó và bằng không trên biên L của
miền G, thì f (s, t) ≡ 0 trong toàn miền G.
⋆ Tính biến phân của phiếm hàm: Nếu h(x, y) - hàm bất kỳ khả vi
hai lần liên tục và bằng không trên biên miền G, thì z(x, y) và z(x, y) + h(x, y)
cũng thhuộc miền xác định phiếm hàm. Gia số của phiếm hàm bằng
∫∫
J[z + h] − J[z] =
[F (x, y, z + h, zx + hx , zy + hy ) − F (x, y, z, zx , zy )]dxdy
G

∫∫
(Fz h + Fzx hx + Fzy + hy )dxdy + · · ·

=
G

trong đó tích phân bên vế phải là phần tuyến tính của gia số, tức là biến phân
của phiếm hàm.

Sử dụng công thức Green
)
∫∫ (
∫
∂Q ∂P
dxdy =
P dx + Qdy
−
∂x
∂y
L
G

vào biểu thức

∫∫
(Fzx hx + Fzy hy )dxdy
G

(1.42)


1.6 Đạo hàm biến phân

∫∫ [
=

12

)

]
∫∫ (
∂
∂
∂
∂
(hFzx ) + (hFzy ) dxdy −
h
Fz + Fz dxdy
∂x
∂y
∂x x ∂y y

G

G

∫

∫∫
hFzx dy − hFzy dx −

=
L

)
∂
∂
Fz + Fz dxdy.
h

∂x x ∂y y
(

G

∫
Vì h(x, y) bằng không trên biên miền G nên L hFzx dy − hFzy dx = 0. Do
đó biến phân của phiếm hàm có dạng
)
∫∫ (
∂
∂
Fz − Fz h(x, y)dxdy.
δJ =
Fz −
∂x x ∂y y
G

Để mặt z = z(x, y) là cực trị thì điều kiện cần là δJ = 0 với mọi h(x, y) thoả
mãn các điều kiện đã nêu trên; theo bổ đề 1 tích phân trên bằng không suy ra
phương trình Euler - Ostrogradsky
Fz −

1.6

∂
∂
Fzx − Fzy = 0.
∂x
∂y

(1.43)

Đạo hàm biến phân

Đạo hàm của biến phân có thể được định nghĩa, đạo hàm của biến phân
δJ
kí hiệu là
:
δy
δJ
d
= Fy (x, y, y ′ ) − Fy′ (x, y, y ′ ).
(1.44)
δy
dx
Ta thấy rằng biểu thức nhận được trùng với vế trái của phương trình Euler.
Vậy khi cho đạo hàm biến phân bằng không ta thu được phương trình Euler.
Ta có thể mở rộng định nghĩa đạo hàm biến phân cho phiếm hàm J[y] bất
kỳ. Cho y một gia số h(x) khác không trong lân cận của điểm x nào đó và tính
gia số phiếm hàm
J[y + h] − J[y].
(1.45)
Chia gia số này cho diện tích ∆s, giới hạn bởi đường cong h(x) và trục x
J[y + h] − J[y]
.
∆s

(1.46)

1.6 Đạo hàm biến phân

13

Ta được đạo hàm biến phân của phiếm hàm
J[y + h] − J[y]
.
x→0
∆s
lim

(1.47)


Chương 2.
Các bài toán biến phân
2.1

Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm
cần tìm

Xét phiếm hàm

∫

b

J=

F (x, yi , yi ′ )dx,

(2.1)

a

phụ thuộc vào n hàm yi (i = 1, 2, . . . , n), trong đó yi (x) thoả mãn các điều kiện
biên
yi (a) = Ai , yi (b) = Bi (i = 1, 2, . . . , n)
(2.2)
và thiết lập điều kiện biên để phiếm hàm này đạt cực trị.
Nhằm mục đích đó ta tính biến phân của phiếm hàm. Thay các hàm yi (x)
bằng các hàm gần đúng yi (x) + hi (x) trong đó hi (a) = hi (b) = 0, ta được:
∫

b

∆J =

[F (x, yi + hi , yi′ + h′i ) − F (x, yi , yi′ )]dx

a

=

∫ b (∑
n
a

)

(Fyi hi + Fyi′ hi ′ ) dx + . . . .

i=1

Do đó
∫ b∑
n
δJ =
(Fyi hi + Fyi′ hi ′ )dx.
a

i=1

Các biến phân hi (x) độc lập với nhau, khi đó từ điều kiện δJ = 0, suy ra
∫
a

b

(Fyi hi + Fyi′ h′i )dx = 0.


2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm

15

Với mọi i = 1, 2, . . . , n. Áp dụng bổ đề 3 chương I ta được hệ phương trình vi
phân Euler
d
Fyi − Fyi′ = 0(i = 1, 2, . . . , n).

(2.3)
dx
Vậy để đường cong
yi = yi (x)(i = 1, 2, . . . , n),
đem lại cực trị cho phiếm hàm
∫

b

F (x, yi , yi′ )dx,

a

thì điều kiện cần là các hàm này thoả mãn hệ phương trình Euler (2.3). Đây
là hệ n phương trình cấp hai, do đó nghiệm chứa 2n hằng số sẽ được xác định
từ điều kiện (2.2).
Nếu thêm vào biểu thức dưới dấu tích phân của phiếm hàm (2.1) một đại
lượng vi phân toàn phần của một hàm nào đó, tức là thêm vào F biểu thức
dạng
∂Φ ∑ ∂Φ ′
Ψ=
+
yi .
∂x
∂y
i
i=1
n

Trong đó Φ = Φ(x, y1 , · · · , yn ), thì phương trình Euler tương ứng không thay

đổi, vì biểu thức
(
)
d ∂Ψ
∂Ψ
−
′
dx ∂yi
∂yi
đồng nhất bằng không.
Ta hãy tìm cực trị của phiếm hàm sau
∫
J[y, z] =
với

y(0) = 0,

y

(π )

b

(y ′ + z ′ + 2yz)dx,
2

2

a

= 1,

2
Hệ phương trình Euler là

z(0) = 0,

z

y ′′ − z = 0,

(π )
2

= −1.


2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao

16

z ′′ − y = 0.
Khử z ta được y iv − y = 0, nghiệm tổng quát có dạng
y = C1 ex + C2 e−x + C3 cosx + C4 sinx.
Thay y vào hệ phương trình Euler tính z
z = y ′′ = C1 ex + C2 e−x − C3 cosx − C4 sinx.
Từ điều kiện biên ta được C1 = C2 = C3 = 0, C4 = 1. Vậy nghiệm của bài
toán là
{
y = sinx,

z = −sinx.

2.2

Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao

Xét phiếm hàm
∫
J[y] =

b

F (x, y, y ′ , · · · , y (n) )dx,

(2.4)

a

trong tất cả đường cong y = y(x) thuộc không gian Dn trên đoạn [a, b] và thoả
mãn điều kiện:

y(a) = A0 , y ′ (a) = A1 , · · · , y (n−1) (a) = An−1 ,

(2.5)

y(b) = B0 , y ′ (b) = B1 , · · · , y (n−1) (b) = Bn−1 ,
hãy tìm đường mà dọc theo nó tích phân (2.4) nhận giá trị cực trị.
Từ định lý tổng quát: để hàm J[y] đạt cực trị thì điều kiện cần là biến
phân của nó bằng không.
Thay y(x) bằng y(x) + h(x) vào phiếm hàm, trong đó y(x) + h(x) cũng thoả

điều kiện biên (2.5), tức là

h(a) = h′ (a) = · · · = h(n−1) (a) = 0,

(2.6)


2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao

17

h(b) = h′ (b) = · · · = h(n−1) (b) = 0.
Tính gia số ∆J
∫
J[y+h]−J[y] =

b

[F (x, y + h, y ′ + h′ , . . . , y (n) + h(n) ) − F (x, y, y ′ , . . . , y (n) )]dx

a

∫
=

b

(Fy h + Fy′ h′ + · · · + Fy(n) h(n) )dx + . . . .

a

Vậy điều kiện cần cực trị của phiếm hàm là
∫
δJ =

b

Fy h + Fy′ h′ + · · · + Fy(n) h(n) )dx = 0.

a

Tích phân từng phần và nhờ vào điều kiện đối với h(x) ta được
∫ b(
δJ =
a

)
n
d
d2
n d
Fy − Fy′ + 2 Fy′′ + · · · + (−1)
F (n) h(x)dx = 0.
dx
dx
dxn y

Với hàm h(x) tuỳ ý có đạo hàm đến cấp n liên tục và thoả mãn điều kiện
(2.6). Từ bổ đề 1 chương 1 suy ra
n

d
n d
′
Fy − Fy + · · · + (−1)
F (n) = 0.
dx
dxn y

(2.7)

Phương trình này gọi là phương trình Euler- Poisson. Đây là phương trình cấp
2n, do vậy nghiệm tổng quát chứa 2n hằng số tuỳ ý. Chúng được xác định từ
điều kiện (2.5).
Chú ý. Để cho việc biến đổi trong biểu thức của δJ chặt chẽ ta giả thiết
tồn tại các đạo hàm
d
dn
Fy′ , . . . , n Fy(n) .
dx
dx
Ta tìm cực trị của phiếm hàm
∫ b(
)
′′ 2
J[y] =
1 + y dx
a

y(0) = 0,

y ′ (0) = 1,