luận văn tốt nghiệp : mô hình toán học

 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ 
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
BỘ MÔN TOÁN
------------ 

 

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ HÌNH TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

TS. NGUYỄN HỮU KHÁNH

TRẦN THỊ ÚT THI_100189

(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

CẦN THƠ - 12/2013


 

 

 

LỜI CẢM ƠN
----------- 

Lời  đầu  tiên,  em  xin  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  thầy  TS.Nguyễn  Hữu  Khánh. 
Thầy đã tận tình hướng dẫn cho em trong suốt quá trình làm luận văn này.  
Em xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Khoa Học Tự Nhiên trường 
Đại  Học  Cần  Thơ,  đã  trang  bị  những  kiến  thức là  nền  tảng  quan  trọng  cho  em  trong 
suốt quá trình học tập. 
Xin cám ơn anh chị và các bạn đã sẵn sàng giúp đỡ em tìm hiểu thêm một số vấn 
đề liên quan đến luận văn. 
Măc  dù  đã  có  cố  gắng  thực hiện  đề  tài  một  cách  tốt  nhất,  nhưng  do  có  những 
vấn đề còn mới đối với em nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót, kính mong 
thầy cô và bạn bè góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. 
Xin chân thành cám ơn! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Cần Thơ, tháng 12 năm 2013 

 

 
 

 

Trần Thị Út Thi

ii


 

 

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT/ KÝ HIỆU

 

SST   

Tổng biến thiên của biến phụ thuộc. 

 

 SSR   

Biến thiên của hồi quy. 

 

 SSE   

Biến thiên của phần dư. 

 

 

 

iii


 

 

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang 

 

Bảng 1. Các tham số trong mô hình ......................................................... 32 
Bảng 2. Dân số Việt Nam từ năm 2000 đến năm 2013 ............................ 34 
Bảng 3. Bảng dữ liệu cho biểu thức  

ln P (t )  ln P (0)
  .............................. 35 
t

Bảng 4. Số thí sinh dự thi Đại học từ năm 1991 đến 1998 ....................... 44 
Bảng 5. Các thông tin cần thiết để xây dựng mô hình hồi  

 

quy tuyến tính đơn ...................................................................... 45   
Bảng 6. Các thông tin quan trọng để đánh giá sự phù hợp  
của mô hình ................................................................................ 45 
Bảng 7. Độ tuổi , tỷ trọng cơ thể và cholesterol  ...................................... 48 
Bảng 8. Các thông tin cần thiết để xây dựng mô hình hồi  
quy tuyến tính bội ....................................................................... 49 
Bảng 9. Hàm số xn  .................................................................................. 51 
Bảng 10. Chiến trận giữa quân A và quân B ............................................ 63 
Bảng 11. Dự báo giá vàng thế giới 12 tháng năm 2012 ............................ 66 
 

 

iv


 

 

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang 

 

Hình 1. Đồ thị của nghiệm tổng quát y(t) khi C=0.5,  
k=0.175, L=100,000 .................................................................. 12   
Hình 2. Trường vector của hệ và các đường cong nghiệm ....................... 28 
Hình 3. Trường vector và đường dẫn của nghiệm của hệ  
SIR với S(0)=800 và I(0)=1 ........................................................ 30 
Hình 4. Biểu đồ mô hình lan truyền bệnh sốt rét ...................................... 31 
Hình 5. Đồ thị số lượng người bị nhiễm Ih và muỗi bị nhiễm 
 Im khi R0 < 1 .............................................................................. 33 
Hình 6. Đồ thị số lượng người bị nhiễm Ih và muỗi bị nhiễm  
Im khi R0 > 1 ............................................................................... 33 
Hình 7. Đồ thị của tập dữ liệu 
 y

ln P (t )  ln P (0)
 và hàm 
t

a0 2 a1
t  t  a2 . ................................................................... 36 
3
2

Hình 8. Đồ thị của hàm 

ln P (t )  ln P (0)
và tập dữ liệu 
t

 dân số Việt Nam ........................................................................ 36 

Hình 9. Đồ thị phân tán dữ liệu của số thí sinh thi đại học 
 mỗi năm .................................................................................... 44 
Hình 10. Biểu đồ mối liên hệ giữa ba biến độ tuổi, tỷ trọng   
và cholesterol ............................................................................. 49 
Hình 11. Đồ thị giá vàng thế giới từ năm 1990 đến 2011 ......................... 66   
Hình 12. Đồ thị cho giá vàng thế giới và dự báo năm 2012 ..................... 67   
 
 
 

 

 

v


 

 

MỤC LỤC 
Trang

 

PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 
I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 
II.  Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 1 
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 1 

IV.  Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 1 
PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................... 2
Chương 1

MÔ HÌNH LIÊN TỤC ................................................................ 3 

1.1 Mô hình cho bởi hàm ….. ................................................................................ 3 
1.1.1 Hàm một biến y=f(x)  ................................................................................ 3 
1.1.2 Hàm nhiều biến  ........................................................................................ 5 
1.2  Mô hình bằng phép lấy tích phân .................................................................... 6 
1.2.1 Tổng Riemann .......................................................................................... 6 
1.2.2  Tích phân xác định ................................................................................... 7 
1.3  Mô hình cho bởi phương trình vi phân ............................................................ 9 
1.3.1 Phương trình vi phân cấp một ................................................................... 9 
a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ............................................... 9  
b. Phương trình tách biến . ........................................................................ 11  
c. Phương trình đẳng cấp ........................................................................... 13 
d. Phương trình Bernoulli .......................................................................... 15 
e. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân ............................. 16 
i)  Phương trình vi phân toàn phần ........................................................ 16 
ii) Thừa số tích phân ............................................................................. 17 
1.3.2  Phương trình vi phân cấp cao ................................................................... 19 
a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất ............................... 20 
b. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất . .................. 22 
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng ........ 23 
1.3.3 Mô hình cho bởi hệ phương trình vi phân (Hệ động lực) ........................... 26 
a. Mô hình dã thú và con mồi (Mô hình Lotka-Voltera) ............................ 27 
 

vi

 

 
i)  Xây dựng mô hình ............................................................................ 27 
ii) Mặt phẳng pha .................................................................................. 28 
b. Mô hình lan truyền bệnh SIR . .............................................................. 29 
i)  Xây dựng mô hình ............................................................................ 29 
ii) Các tham số a và b ........................................................................... 29 
iii) Mặt phẳng pha................................................................................. 30 
iv) Động lực của mô hình SIR .............................................................. 31 
c. Mô hình lan truyền bệnh sốt rét (Mô hình dạng SIR-SI) ........................ 31 
1.3.4  Mô hình biểu diễn bởi phương trình vi phân thông qua tập dữ liệu........... 33 

Chương 2

MÔ HÌNH RỜI RẠC................................................................... 37 

2.1 Hồi quy tuyến tính …....................................................................................... 37 
2.1.1 Hồi quy tuyến tính đơn  ................................................................................. 37 
a. Mô hình ................................................................................................. 37 
b. Xây dựng mô hình hồi quy mẫu . .......................................................... 37 
c. Một số thống kê liên quan ..................................................................... 39 
2.1.2 Hồi quy tuyến tính bội  ............................................................................. 45 
a. Mô hình ................................................................................................. 45 
b. Xây dựng đường hồi quy mẫu . ............................................................. 46 
c. Đánh giá sự phù hợp của mô hình ......................................................... 47 
2.2 Mô hình cho bởi quan hệ truy hồi  ................................................................... 51 
2.2.1 Sai phân  ................................................................................................... 51 

a. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một .............................................. 52 
b. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ............................................... 53 
2.2.2 Khái niệm hàm sinh .................................................................................. 56 
2.2.3 Hàm sinh và quan hệ truy hồi  ................................................................... 56 
2.3 Mô hình cho bởi phương trình vector và ma trận chuyển vị ............................. 60 
2.3.1 Ma trận chuyển vị ..................................................................................... 60 
2.3.2  Phương trình vector ................................................................................. 61 
2.3.3  Bài toán ứng dụng .................................................................................... 63 
2.4  Mô hình hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIMA......................................... 65 
PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................... 68 
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 69 
 

vii


 

 

PHẦN MỞ ĐẦU 
 
I. Lý do chọn đề tài
Môi  trường  thực rất  đa  dạng  và  phức tạp,  các  mối  quan  hệ  giữa các  yếu  tố  đan 
xen chằng chịt ảnh hưởng lẫn nhau. Từ lâu con người đã sử dụng mô hình hóa như là 
một  công  cụ  để  khảo  sát  hoặc  nghiên  cứu các  mối  quan  hệ  đó.  Ngày  nay  do  sự phát 
triển nhanh chóng của toán học và công nghệ thông tin, mô hình toán học đã phát triển 
rất nhanh và trở thành công cụ mạnh không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực. 
Bên  cạnh  đó  nhằm  giúp  cho  người  học  am  hiểu  hơn  về  cách  toán  học  được  áp 
dụng vào các vấn đề thực tiễn của cuộc sống, và để biểu diễn cho các phần quan trọng 

của một hệ thống có sẵn (hoặc sắp được xây dựng) với mụch đích biểu diễn trí thức về 
hệ thống đó dưới một dạng có thể dùng được đã thôi thúc em chọn đề tài “MÔ HÌNH
TOÁN HỌC“ cho luận văn tốt nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
Tổng  hợp  một  sự  vật,  hiện  tượng  hay  một  quá  trình  nào  đó  có  thể  mô  tả  được 
bằng một mô hình toán học. 
Xây dựng mô hình để nghiên cứu những đặc trưng cũng như sử dụng chúng trực 
tiếp, làm đơn giản các bài toán phức tạp. 
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mô  hình  toán  học  có  thể  là  một  con  số,  một hàm  số,  một  hệ  thống  các  phương 
trình. Một quá trình tự nhiên có thể mô tả được bằng một mô hình liên tục hay rời rạc. 
- Mô hình cho bởi hàm, phương trình vi phân, tích phân. 
-  Mô  hình  hồi  quy,  mô  hình  cho  bởi  quan  hệ  truy  hồi,  ma  trận  chuyển  vị  và 
phương trình vector. 
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các mô hình. 
- Biểu diễn các quá trình tự nhiên bằng công thức toán học. 
- Sử dụng số liệu, xây dựng các mô hình dự báo phù hợp.

 

1


 

 

PHẦN NỘI DUNG
   Các bước chính cho quá trình khảo sát mô hình toán học 

 
 
 

Bài toán thực tế

 
 
 

 

Kiểm chứng
thực tế

 

Thu thập số liệu,
 dữ kiện

 
 
 
  Biều đồ mô tả mô hình
  (yếu tố, điều kiện liênquan)
 
 
 
  Xây dựng mô hình toán
  học và khảo sát dáng điệu

 
 
 
 

2


 

 

Chương 1

MÔ HÌNH LIÊN TỤC
1.1 MÔ HÌNH CHO BỞI HÀM
Trong thưc tế cũng như trong toán học ta thấy có nhiều sự tương quan mà trong 
đó đại lượng này phụ thuộc đại lượng kia. Diện tích của hình tròn phụ thuộc vào bán 
kính của nó. Khi cho bán kính khác nhau thì  diện tích tròn sẽ khác nhau. Ta nói diện 
tích tròn là hàm của bán kính. Đọan đường rơi S của một vật rơi tự do không diện tích 
1
ban đầu phụ thuộc vào thời gian t kể từ khi rơi  S =  gt 2 ,ứng với mỗi giá trị của t ta có 
2
một giá trị xác định của S. Ta nói quảng đường S là hàm của thời gian t. 
1.1.1 Hàm một biến y = f (x).
 Định nghĩa 1: Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực    , hàm số f xác định 
trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y 
duy nhất thuộc Y. Ký hiệu 

f : X  Y  hoặc   f : x  f ( x )    hoặc   y  f ( x)  

o Tập X gọi là miền xác định. 
o Tập Y gọi là miền giá trị. 
o x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số. 
o y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số. 
o f(x) được gọi là giá trị của hàm  f  tại x. 
Một số hàm cơ bản và hàm sơ cấp  
 Các hàm sơ cấp cơ bản là các hàm số : 
 Hàm số lũy thừa :   y = x   (     ).  
 Hàm số mũ :   

y = ax  (a > 0, a     1). 

 Hàm số logarithm :   y = log a x (a > 0, a     1). 
 Các hàm lượng giác : 

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x.

 Các hàm lượng giác ngược : 
 

 

 

 

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.

 Hàm  sơ  cấp  là  hàm  có  thể  biểu  thị  bằng  một  biểu  thức  giải  tích,  gồm  những 
hàm số sơ cấp cơ bản  và hằng số  ghép  với nhau bằng  một số hữu hạn các phép 

tính số học (cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn) và các phép tính về hàm của hàm. 
 

3


 

 

 Ví dụ 1 (Bài toán lượng thuốc trong máu sau một khoảng thời gian)
Khi bệnh nhân uống thuốc, thuốc sẽ đi vào máu, qua gan và thận. Nó bị chuyển 
hóa  và  hấp  thu  theo  tỷ  lệ  phụ  thuộc  vào  từng  loại  thuốc.  Đối  với  thuốc  Ampiciline 
250mg, thì 40% thuốc sẽ bị đào thải mỗi giờ. Tìm công thức cho lượng  Q  Q(t )  của 
Ampiciline (tính theo mg)  trong máu tại thời điểm t giờ sau khi uống. 
Lời giải :
Khi t = 0,  ta có Q = 250. 
Vì mỗi giờ lượng thuốc còn lại trong máu là 60% của lượng trước đó nên ta có 
 

 

 

Q(0) = 250, 

 

 

 

Q(1) = 250(0.6), 

 

 

 

Q(2) = (2500.6)0.6 = 2500.62, 

 

 

 

Q(3) = (2500.62)0.6 = 2500.63, 

 

 

 

........................................... 

Sau t giờ, ta được 
Q = Q(t) = 250(0.6)t. 

Vậy lượng thuốc Ampiciline (tính theo mg) trong máu tại thời điểm t giờ sau khi 
uống được cho bởi mô hình Q = Q(t) = 250(0.6)t.
 Ví dụ 2 (Bài toán tính tiền taxi)
Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong 2 km đầu tiên trả 20,000đ, 
3km tiếp theo trả thêm 8,000đ/km, sau km thứ năm phải trả thêm  5,000đ/km. Tính giá 
tiền mà khách phải trả khi đi x km. 
Lời giải :
Gọi x là số km taxi đã chạy và f(x) là số tiền phải trả ứng với x km. Ta có 

20, 000
; 0x2


f ( x )  20, 000  8, 000( x  2) ; 2  x  5  
44, 000  5, 000( x  5) ;
x  5.

Từ mô hình cho bởi hàm f(x) trên, ta dễ dàng tính được giá đi xe taxi trong thành 
phố. 
Ví dụ:
Giá đi 4 km là  f ( 4)  20, 000  2  8, 000   36,000đ. 
Giá đi 9 km là  f (9)  44, 000  4  5, 000  64,000đ. 
 

 

4


 

 

1.1.2 Hàm nhiều biến
Gọi   n  ( x1 , x2 ,..., xn ) : xi  , i  1, 2,..., n.   
Phần  tử  x  ( x1 , x2 ,..., xn )   của   n được  gọi  là  điểm  hay  vector,  còn 

xi (i  1, 2,..., n) gọi là tọa độ thứ i của x. 
Hai  phần  tử 

x  ( x1 , x2 ,..., xn ) và 

y  ( y1 , y2 ,..., yn )   bằng  nhau  nếu 

xi  yi (i  1, 2,..., n).  
n

Khoảng cách giữa x và y là số  d  x, y  

2

 ( x  y ) .   
i

i

i 1

 Định nghĩa 2: Cho tập  D   n .  Một hàm f của n biến  x1 , x2 ,..., xn  là qui luật cho ứng 
mỗi  phần  tử  ( x1 , x2 ,..., xn )   trong  D  với  một  số  thực duy  nhất  f ( x1 , x2 ,..., xn ).   Ký  hiệu 

u  f ( x1 , x2 ,..., xn ).   
Tập D được gọi là miền xác định của hàm f. Đó là tập các điểm  ( x1 , x2 ,..., xn )  sao 
cho giá trị  f ( x1 , x2 ,..., xn )  xác định. 
Khi n = 2 hoặc n = 3 ta thường dùng ký hiệu  z  f ( x, y )  hoặc  u  f ( x, y , z ).  
Ta  xét  chủ  yếu  ở  hàm  hai  biến  z  f ( x, y ) .  Miền  xác  định  của  hàm  là  tập  các 
điểm (x,y) trong mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức  f ( x, y )  có nghĩa. 
 Ví dụ 3.  Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Giả sử giá (ngàn đồng) 
của  x  sản  phẩm  loại  X  và  y  sản  phẩm  loại  Y  là  một  hàm  tuyến  tính.  Tìm  hàm  giá 
C(x,y), nếu biết các dữ kiệu sau: 
C(10,20)=120; 

C(30,15)=210; 

C(40,50)=330. 

Lời giải:
Bài  toán  được  qui  về  phương  trình  của  mặt  phẳng  qua  3  điểm  (10,20,120), 
(30,15,210)  và  (40,50,330).  Mặt  phẳng  qua  điểm  (10,20,120)  nên  ta  có  phương  trình 
dạng: 

z  120  a( x  10)  b( y  20)   

(1.1) 

Trong đó z là hàm giá. Thay tọa độ của điểm (30,15,210) vào (1.1) ta được  

90  20a  5b   

 

(1.2) 

Tương tự thay toa độ của điểm (40,50,330) vào (1.1) thì 

210  30a  30b  

 

(1.3) 

Giả hệ (1.2) và(1.3) ta nhận được a=5 và b=2. Thay vào (1.1) ta được  

 

5


 

 

z  C ( x, y )  30  5 x  2 y.  
Vậy hàm giá C(x,y) là  C ( x, y )  30  5 x  2 y.  
 Ví dụ 4 (Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật)
Một hình hộp chữ nhật hở phía trên có thể tích là 32 cm3. Hãy biểu diễn diện tích 
toàn phần của hình hộp như hàm theo các cạnh đáy. 
 
Lời giải:
 

z

 
 
 
y

 

x

 
Gọi x, y là độ dài các cạnh đáy và z là chiều cao của hình hộp (x, y, z > 0). 
Vì xyz = 32, ta có  z 

32
. 
xy

Vậy hình hộp có diện tích toàn phần là : 
 

S  xy  2( x  y) z  
hay 

1 1
S  xy  64    . 
x y
1.2 MÔ HÌNH BỞI PHÉP LẤY TÍCH PHÂN
1.2.1 Tổng Riemann

 

Gọi P là tập hữu hạn điểm được xếp thứ tự giữa a và b trên đường thẳng thực 

P   x1 , x2 , x3 ,...xn   
với  a  x0  x1  ...  xn1  xn  b.   

 

6


 

 

Một tập P như vậy gọi là một sự phân hoạch (hay phân chia) đoạn [a,b] thành n 
đoạn nhỏ  [ xk 1 , xk ],  k  1, 2,3,...n.  Ký hiệu độ dài của đoạn thứ k trong phân hoạch P là 

xk  xk  xk 1.  Gọi  d  max xk  hay  P  (đọc là chuẩn của phân hoạch P). 
1k  n

1.2.2 Tích phân xác định.
 Định nghĩa 3.  Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a ,b] 
Chia [a ,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia : 
a = x0 < x1 < ... < xn-1 < xn = b
Ta gọi phép chia đó là phép phân họach [a,b], ký hiệu là P. Ký hiệu  xk   là độ 
dài 
[xk-1, xk] (k = 1, 2, ..., n) và d(P) =  max  x k .  
1 k  n

Trên mỗi [xk-1 , xk] lấy điểm   k  (k = 1, 2, ..., n). 
n

Lập tổng   P   f ( k ) xk  và gọi là tổng Riemann (hay tổng tích phân) của hàm 
k 1

số f(x) ứng với phép phân hoạch P. 
Tăng điểm chia lên vô hạn sao cho d(P)   0  . Nếu trong quá trình đó   P  dần về 
giá trị  I xác định, không phụ thuộc  vào phép  phân hoạch P và cách lấy điểm   k  thì I 
gọi là tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a , b]. 
Ký hiệu : 
b

n

I   f ( x) dx  lim
a

d ( P ) 0

 f (

k

)xk  

k 1

trong đó : 

o



 gọi là dấu tích phân. 

o a, b gọi là các cận tích phân. 
o f(x) là hàm dưới dấu tích phân. 
o f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. 
o dx là vi phân của x, nó thay thế cho  x  trong tổng Riemann. 
Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a , b]. 
 
 
 
 

7


 

 

 Ví dụ 5 (Mô hình lượng nước chảy)
Lưu  lượng  nước  chảy  ở  một  con  sông  sau  khi  một  cơn  mưa  đi  qua  được  mô  tả 
như sau: lúc bình thường chưa có mưa lưu lượng là 10m3/s, đạt cực đại sau 5 giờ ở mức 
66.25 m3/s và sau đó thì giảm đi và đến 12.5 giờ sau thì trở lại mức bình thường. Đánh 
giá lượng nước do cơn mưa đem lại và nếu giả thiết rằng cơn mưa có mặt tại một vùng 
rộng 10 km2 đánh giá lượng mưa trung bình. 
Lời giải : 

Vì số dữ liệu ban đầu được cho là 4 nên  mô  hình đơn  giản nhất có dạng bậc 3. 
Giả sử lượng nước trên sông do mưa đi qua theo thời gian t có dạng 

f (t )  at 3  bt 2  ct  d . 
Lưu lượng ban đầu là 10 cho ta d = 10. 
f  cực đại tại t = 5 cho ta  f '(5)  0  hay  75 a  1 0 b  c  0    (1.4) 
và f (5) = 66.25 hay  125a  25b  5c  10  66.25  

 

(1.5) 

và  trở  lại  bình  thường  sau  12.5  giờ  cho  ta    f  (12.5)  =  10  hay 
 
 
(1.6) 
1953.125a  156.25b  12.5c  10  10    
Giải hệ (1.4), (1.5) và (1.6) ta tìm được a = 0.1;   b = -3.25;  c = 25. 
Do đó   f (t )  0.1t 3  3.25t 2  25t  10 . 
Lưu lượng nước do mưa đem lại là 
12 ,5



3, 600[ f (t )  10]dt  1.6  106 m3 . 

0

Lượng mưa trung bình là:   1.6  106 / (12.5  107 )  12.8  mm/giờ.  
 Ví dụ 6 (Bài toán giá trị hiện tại của tiền gởi)

Giả sử tiền gởi vào ngân hàng S(t) đồng tại năm t, gởi trong T năm, lãi suất hàng 
năm là r. Tiền lãi mỗi năm sẽ gộp vào vốn. Giá trị tiền vốn trong ngân hàng ở năm thứ 
T cho bởi: 
T

PV   S (t )e  rt dt . 
0

 Ví dụ. Tiền được gởi liên tục vào một tài khoản với lượng ổn định 10,000USD/năm 
cho 30 năm với lãi suất 7%/ năm. Tiền lãi mỗi năm được gộp vào vốn. Tìm số tiền ở tài 
khoản năm thứ 30. 
 
 

8


 

 
Lời giải :
Ta có S(t) = 10,000.  
Số tiền ở tài khoản năm thứ 30 là 
30

30

PV =   10, 000e
0

1.3

0.07 t

10, 000 0.07 t
e
dt  = 
    125,263 USD
0.07
0

MÔ HÌNH CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương  trình  vi  phân  là  một  phương  trình  chứa  các  biến  độc lập,  hàm  phải  tìm  
(ẩn hàm) và các đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm. 
Trong  một  phương  trình  vi  phân  có  thể  khuyết  các  biến  độc  lập,  hàm  phải  tìm 
nhưng nhất thiết có các đạo hàm hay vi phân (của hàm phải tìm). 
1.3.1 Phương trình vi phân cấp một.
 Định nghĩa 4: Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng 
F  x,  y,  y '     0.  

hay 
y '    f  x, y  .  

trong  đó  x  là  biến  độc  lập  y  là  hàm  phải  tìm,  F  là  hàm  ba  biến  liên  tục  trong  miền 

V  3 , f là hàm hai biến liên tục trong miền  D   2 . 
a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
 Định nghĩa 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng : 

y ' P ( x ) y  Q( x )     (1.7) 
trong đó P(x), Q(x) là các hàm liên tục. 
Phương trình (1.7) có nghiệm tổng quát là 
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  C   
ye 
  Q ( x)e




 Nếu  Q ( x)  0  thì từ (1.7) ta được  

y ' P ( x ) y  0  
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. 
 Nếu  Q( x )  0  thì (1.7) được gọi là vi phân tuyến tính không thuần nhất.
 

 

9


 

 

 Ví dụ 7 (Bài toán hòa tan)
Một bồn chứa đang có 100 lít nước trong đó có hòa tan 50 gram muối. Người ta 
bơm vào thùng một dung dịch muối có nồng độ 2 gram/lít với tốc độ 3 lít/phút. Giả sử 

dung dịch muối trong bồn được trộn đều tức thì và chảy ra ngoài với tốc độ 2 lít/phút. 
Nếu  thể  tích  của  bồn  đủ  lớn  để  nước  trong  bồn  không  tràn  ra  ngoài,  hãy  tính  lượng 
muối m (t) trong bồn tại thời điểm t bất kỳ? 
Khi nào thì muối trong bồn đạt tới nồng độ 1.5 gram/lít? 
Sau 30 phút thì lượng muối trong bồn là bao nhiêu? 
Lời giải :
Tốc độ biến thiên của muối trong bồn là  m '  t   gram/phút. 
Tốc độ muối bơm vào là  3  2  6   gram/phút. 
Tốc độ muối chảy ra là 

2
m(t )  gram/phút. 
100  t

Do đó ta có  

m ' t     6 

2
m(t )  . 
100  t

hay  

m '(t ) 

2
m(t )  6   
100  t

Nghiệm tổng quát của phương trình là 
2
2
dt 
dt



100 t
100 t
m(t )  e
6dt  C   
 e




 2(100  t ) 

C
  
(100  t ) 2

Từ điều kiện ban đầu m(0) = 50 suy ra  C  15  105.   

15  105
Do đó nghiệm riêng thỏa điều kiện ban đầu là  m(0)  2(100  0) 
  
(100  0) 2
Vậy lượng muối m(t) trong thùng tại thời điểm t bất kỳ là 

m(t )  2(100  t ) 

15  105
     (gram). 
(100  t ) 2

Ta có nồng độ muối trong thùng tại thời điểm t bất kỳ là 

 

10


 

 

C (t ) 

m(t )
15  105
 
 2
100  t
(100  t )3

Do  đó  để  nồng  độ  muối  trong  thùng  đạt  1.5  gram/lít  thì  ta  cần  C(t)  =  1.5 
(gram/lít) hay 

2

15 105
 1.5  
(100  t )3

Giải phương trình trên ta được  t  100



3



3  1  (phút). 

Vậy muối trong bồn đạt tới nồng độ 1.5 gram/lít khi  t  100



3



3  1  (phút). 

Lượng muối trong bồn sau 30 phút là  m(30)  171.243   (gram). 
b. Phương trình tách biến
 Định nghĩa 6: Phương  trình  tách  biến  (phương  trình  có  biến  phân  ly)  là  phương 
trình có dạng  

M ( x) dx  N ( y ) dy  0  
Từ phương trình trên ta có M(x)dx = -N(y)dy 
Tích phân hai vế ta được   M ( x )dx    N ( y )dy  C   
trong đó C là hằng số tùy ý 
Vậy ta được tích phân tổng quát là : 

 M ( x)dx   N ( y )dy  C  
 Ví dụ 8 (Bài toán dân số)
Giả sử  y(t) là số lượng dân số tại thời điểm t ( 0  y (t )  L, t ), k là hằng số sinh 
sản và L là số lượng dân số cao nhất có thể tồn tại. 
Dân số y(t) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân 

dy
y

 k.y  1   . 
dt
L

Phương trình có thể viết lại dạng 

L
dy  kdt     (dạng tách biến) 
y( L  y )
Tích phân hai vế, ta được 

 

11

 

 

L

 y( L  y) dy   kdt  C  
 

Với 0 < y < L, giải ra ta được 

ln

y
 kt  C  
L y

Giải ra theo y ta được nghiệm tổng quát 

y(t ) 

C.Le kt
  với C là hằng số. 
1  Ce kt

 
 
 

 
 
 
 
 
Hình 1. Đồ thị của nghiệm tổng quát y(t) khi C = 0.5, k = 0.175, L= 100,000
 Ví dụ 9. Một thanh kim loại được nung nóng đến 100oC, đặt trong một môi trường 
luôn  có  nhiệt  độ  không  đổi  20oC.  Giả  sử sau 20  phút  thì  nhiệt  độ  thanh  kim  loại  còn 
60oC. Hỏi sau bao nhiêu phút thì nhiệt độ thanh kim loại còn 30oC ? 
Lời giải :
Gọi T(t) là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t. Theo quy luật giảm nhiệt 
dT
của vật (quy luật Newton) thì tốc độ giảm nhiệt 
 tỷ lệ với nhiệt độ của vật và nhiệt 
dt
độ môi trường tại thời điểm đó T(t) – 20.  
Vậy ta có phương trình vi phân sau : 

dT
  k[T (t )  20] ,   k > 0. 
dt


dT
  kdt  
T  20

Giải phương trình trên ta được  

ln(T  20)  kt  C .  

Theo đề bài,   T (0)  100  C  180   
 

12


 

 
Sau 20 phút thì nhiệt độ kim loại còn 60oC. 

T (20)  60  k 
Do đó, ta có :  ln(T  20)  

ln 2
. 
20

ln 2
80
t  ln 80   hay  T  t .   
20
2 20

Khi đó  
T  30  t  60.  

Vậy sau 60 phút thì nhiệt độ thanh kim loại sẽ còn 30oC. 
c. Phương trình đẳng cấp
 Định nghĩa 7: Phương trình vi phân 

dy
 f ( x, y )  
dx
được gọi là phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất) theo các biến x và y nếu 
f(x,y) là hàm thuần nhất cấp 0 theo các biến x và y. 
Vì f(x,y) là hàm thuần nhất cấp 0 nên  

Đặt  u 

dy
 y
 f ( x, y )  g   .   
dx
 x

y
dy
du
 u  x .   
 ,  x  0  hay y = ux thì ta có 
x
dx
dx

Do đó ta có phương trình 

ux

du

 g (u )  
dx

hay 

x

du
 g (u )  u.  
dx

 Nếu  g (u )  u  0  thì phương trình trở thành phương trình tách biến : 

du
dx

 0 
g (u )  u x
Giải phương trình trên, sau đó thay u bởi  

y
  ta nhận được tích phân tổng quát 
x

của phương trình ban đầu. 
 Nếu  g (u )  u  0   tại  u = u0  thì  bằng  cách  thử  trực  tiếp  ta  thấy  y = u0x  là 
nghiệm của phương trình. 
 Ví dụ 10.   Giải phương trình 

 

dy
2 xy
 2
.   
dx x  y 2

13


 

 
Lời giải :
dy
Phương trình có thể viết lại dưới dạng 

dx

Đặt  u 

y
x , ( x  0).  
y2
1 2
x
2

y
dy

du
,   ta có 
ux  
x
dx
dx

Suy ra 

ux

du 2u

 
dx 1 u2

hay 

du u (1  u 2 )

x
 
dx
1 u2
 Khi  u  0  phương trình trở thành phương trình tách biến: 

1 u2
dx
du 
 0 

2
u (1  u )
x
Tích phân hai vế ta được : 

1 u2
 u (1  u 2 )du  ln C1x ,(C1  0)  
 

 

 

 

2u 
1
  
du  ln C1 x  
2 
 u 1 u 
   ln

u
 ln C1 x   
1 u2

u
 C1 x   
1 u2

   

 

 



   

 

 

 x2  y 2 

y
  
C1

Vậy tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là 

x 2  y 2  Cy , C 

1
 0.  
C1

 Khi u = 0 thì y = 0. Thử trực tiếp ta thấy y = 0 là nghiệm phương trình. 

 
 

14


 

 

d. Phương trình Bernoulli.
 Định nghĩa 8: Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng 

y ' P ( x ) y  Q( x ) y  

   (1.8) 

trong đó      , P(x), Q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó.   
 Khi    0  hoặc    1  thì (1.8) có dạng phương trình tuyến tính. 
 Khi    0  và    1 : 
 Ta thấy y = 0 là nghiệm của (1.8) khi    0.  
 Với  y  0.  Nhân hai vế phương trình cho  y   , ta được 

y  y ' P ( x) y1  Q ( x)  

(1.9) 

Đặt  z  y1   thì  z '  (1   ) y  y '.   Thay vào phương trình (1.9) ta được 

1

z ' P ( x ) z  Q ( x )  
1
hay 

 

 

z ' (1   ) P ( x ) z  (1   )Q ( x )  
Đây  là  phương  trình  vi  phân  tuyến  tính  cấp một  với x  là  biến  độc  lập, z  là 
hàm phải tìm.  
Giải ra ta được z, trả về theo y ta được nghiệm của phương trình Bernoulli. 
 Ví dụ 11.  Giải phương trình   y '  –  y     xy 5 .   
Lời giải:
 Ta thấy y = 0 là nghiệm của phương trình 
 Với  y  0.  Nhân hai vế phương trình cho y-5, ta được 

y 5 y ' y 4  x  
Đặt  z = y -4  thì  z '     4 y 5 y '.   
Khi đó phương trình trở thành 



z'
z  x 
4

hay 
z ' 4 z  4 x  

 

15


 

 
Phương  trình  trên  là  phương  trình  tuyến  tính,  giải  phương  trình  này  ta  có 
nghiệm tổng quát là 

z  e

4 x

 4 x e4 x
 1
 C    x  Ce 4 x  
 xe 
4

 4

Vậy tích phân tổng quát của phương trình là 

1 1
  x  Ce 4 x .  
4
y
4

 Ví dụ 12. Một loại sản phẩm mới được đưa ra thị trường. Gọi y(t) là phần trăm của 
số lượng sản phẩm được dùng ở thời điểm t. Biết tốc độ thay đổi của y(t) tỷ lệ với y(t) 
và phần trăm của sản phẩm không được dùng. 
Gọi k là hệ số tỷ lệ thì ta có phương trình vi phân: 
y '(t )  k . y (t ) 100  y (t )  . 

Phương trình có thể viết lại dạng Bernoulli: 
y ' 100 ky   ky 2 . 

 Ta thấy y = 0 là nghiệm của phương trình. 
 Khi y  0, nhân hai vế phương trình cho y -2 ta được 
y 2 y ' 100ky 1  k . 

Đặt  z = y -1 thì phương trình có dạng tuyến tính theo z:  
z ' 1 0 0 k z  k  

Phương trình trên có nghiệm tổng quát 
 100 kdt
ze 

Do đó 

  ke

100 kdt







 C  =   e100kt ke100kt  C  =  k  Ce100kt . 

1
 k  Ce100kt . 
y

Vậy   y (t ) 

1
k  Ce 100 kt

. 

e. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân.
i) Phương trình vi phân toàn phần
 Định nghĩa 9: Phương trình vi phân có dạng 

P ( x, y ) dx  Q ( x, y )dy  0      (1.10) 
 

16


 

 

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu biểu thức  P ( x, y ) dx  Q ( x, y ) dy  là vi 

phân toàn phần của một hàm số  U ( x, y )  nào đó. 
Nhận xét :
i) Biểu thức  P ( x, y ) dx  Q ( x, y ) dy là vi phân toàn phần của một hàm số  U ( x, y )  
nào đó, nghĩa là tồn tại hàm U ( x, y )  sao cho 

dU ( x, y )  P( x, y )dx  Q( x, y )dy.  
ii) Phương trình (1.10) là phương trình vi phân toàn phần khi và chỉ khi 

P Q

. 
y x
Cách giải :
Do  dU ( x, y )  P ( x, y ) dx  Q ( x, y )dy  nên từ (1.10) ta được dU(x,y) = 0. 
Lấy tích phân hai vế phương trình, ta được tích phân tổng quát của phương trình 
(1.10) là  
U(x,y) = C 
hay  



x

x0

y

P ( x, y0 )dx   Q ( x, y ) dy  C  
y0

ii) Thừa số tích phân
 Định nghĩa 10: Một phương trình vi phân cấp một có thể biểu diễn dạng vi phân 

P ( x, y ) dx  Q ( x, y )dy  0    (1.10) 
phương  trình  này  thông  thường  thì  không  vi  phân  toàn  phần.  Tuy  nhiên  có  thể  nhân 
một hàm   ( x, y )  vào hai vế phương trình để phương trình vi phân 

 ( x, y ) P ( x, y )dx   ( x, y )Q ( x, y ) dy  0    (1.11) 
là phương trình vi phân toàn phần. 
Khi  đó  hàm   ( x, y )   được  gọi  là  thừa  số  tích  phân  của  phương  trình  vi  phân 
(1.10). 
Giả sử (1.11) là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó ta có 



(  ( x, y )Q ( x, y ))  (  ( x, y ) P ( x, y ))  
x
y
hay  

 

17


 

 



Q 
P
 
Q ( x, y )   ( x, y )

P( x, y )   ( x, y )
x
x y
y
Suy ra 

P ( x, y )

 Q P 


 Q ( x, y )
  ( x, y ) 

 
y
x
 x y 

(1.12) 

Mọi  hàm   ( x, y )   thỏa  (1.12)  đều  là  thừa  số  tích  phân  của  phương  trình  (1.10). 
Nhưng  phương  trình  (1.12)  là  phương  trình  đạo  hàm  riêng  của  hàm  hai  biến   ( x, y ) . 
Việc tìm hàm   ( x, y )  rất khó khăn nên ta chỉ xét trong trường hợp đơn giản là    chỉ 
phụ thuộc vào một biến. 

 Nếu 

Q P

x y
  ( x)    (chỉ phụ thuộc vào x) 
Q( x, y )
thì thừa số tích phân là 
  ( x ) dx
 ( x)  e 
 

 Nếu 

Q P

x y
  ( y)  
P ( x, y )

(chỉ phụ thuộc vào y) 

thì thừa số tích phân là 

 ( y )  e

 (y) dy

 

 Ví dụ 13 . Giải phương trình  ( x  y 2 )dx  xydy  0  bằng cách tìm một thừa số tích 
phân là hàm theo x. 
Lời giải :
Ta có P = x + y2, Q = xy nên 

Q P

1
x y
    ( x)  
Q( x, y )
x
Do đó thừa số tích phân là 

 ( x)  e 

  ( x ) dx

 

18

1

dx
 e x  x