giải tích hàm một biến và các ứng dụng

 
 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ  
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN  
BỘ MÔN TOÁN
------------ 

 

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
VÀ CÁC ỨNG DỤNG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

TS. NGUYỄN HỮU KHÁNH

VÕ NGỌC NỮ_ 1100182

(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG K36

CẦN THƠ - 12/2013
 


 

 

LỜI CẢM ƠN
----------- 

Đầu tiên, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Hữu Khánh. Thầy đã 
trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. 
Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, quý Cô trong bộ môn Toán khoa Khoa học 
Tự nhiên trường Đại học Cần Thơ đã truyền kiến thức cho em trong suốt thời gian học 
tập. Đó là nền tảng cho quá trình nghiên cứu viết luận văn và đó còn là hành trang quí 
báo để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin. 
Em cũng không quên gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ, động viên 
và giúp đỡ em về mọi mặt để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.  
Cuối  cùng  em  kính  chúc  quý  Thầy,  Cô  dồi  dào  sức  khỏe  và  thành  công  trong 
công việc và cuộc sống. 
 
 

Cần Thơ, tháng 12 năm 2013 

 

Sinh viên thực hiện 

 
 

Võ Ngọc Nữ

ii

 


 
 

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang

 

            Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013) 

4 

            Bảng 2  Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương 

22 

Bảng 3  Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc 

50 

 

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang

 

Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối 

4 

Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học 

4   

 Hình 3. Đồ thị hàm lũy thừa y  x (   )  

6 

Hình 4  Đồ thị hàm mũ y  a x (0  a  1)

7 

Hình 5  Đồ thị hàm logarit  y  log a x (0  a  1)

7 

Hình 6  Đồ thị hàm giới hạn  g ( x)

10

Hình 7   Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti 

13 

Hình 8  Đồ thị tiếp tuyến với đường cong 

30 

Hình 9  Đồ thị hàm số   y 

x2  1
 
x3

41 

Hình 10  Đồ thị phương trình  r  a (1  cos ), a  0  
3
 x  a cos t
(a  0)  
3
 y  a sin t

43 

Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số  

45 

Hình 12  Diện tích hình thang cong 

64 

Hình 13  Diện tích hình thang cong vô hạn 

69 

iii

 


 
 

MỤC LỤC  

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài  ---------------------------------------------------------------------------------- 1
II.  Mục đích nghiên cứu ------------------------------------------------------------------------ 1
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu --------------------------------------------------------- 2
IV.  Phương pháp nghiên cứu ------------------------------------------------------------------ 2
 
PHẦN NỘI DUNG
 
CHƯƠNG 1

HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC ----------------------------------- 3

1.1  Hàm số -------------------------------------------------------------------------------------------- 3
1.1.1  Các khái niệm cơ bản --------------------------------------------------------------------- 3
1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm ---------------------------------------------------- 5
1.1.3  Hàm hợp ------------------------------------------------------------------------------------ 5
1.1.4  Hàm ngược --------------------------------------------------------------------------------- 5
1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản -------------------------------------------------------------------- 6

1.1.6  Hàm sơ cấp --------------------------------------------------------------------------------- 8
1.1.7 Ứng dụng của hàm số --------------------------------------------------------------------- 8
1.2  Giới hạn của dãy số và hàm số -------------------------------------------------------------  10
1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ---------------------------------------------------------  10
1.4.2 Bài tập ứng dụng -------------------------------------------------------------------------  19
1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp ------------------------------------------------------------------------  22
CHƯƠNG 2

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ------------- 25

2.1  Đạo hàm-----------------------------------------------------------------------------------------  25
2.1.1  Đạo hàm tại một điểm ------------------------------------------------------------------  25
2.1.2 Đạo hàm một phía -----------------------------------------------------------------------  25
2.2  Các phương pháp tính đạo hàm ------------------------------------------------------------  27
2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản -------------------------------------------------  27
2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương ------------------------------------------------  27
2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp ------------------------------------------------------------------  27
iv

 


 
 
v( x)

2.2.4 Đạo hàm của hàm  y  u ( x)

,  (u ( x )  0)  -----------------------------------------  28

2.2.5 Đạo hàm lôgarit --------------------------------------------------------------------------  28
2.2.6  Đạo hàm của hàm ẩn -------------------------------------------------------------------  28
2.3  Vi phân ------------------------------------------------------------------------------------------  29
2.3.1  Khái niệm vi phân -----------------------------------------------------------------------  29
2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân ----------------------------------------------------  30
2.3.3 Các qui tắc tính vi phân -----------------------------------------------------------------  30
2.3.4 Ý nghĩa hình học -------------------------------------------------------------------------  30
2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng ---------------------------------------------  31
2.4  Các định lí giá trị trung bình ----------------------------------------------------------------  31
2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat --------------------------------------------------  31
2.4.2 Các định lý giá trị trung bình ----------------------------------------------------------  31
2.4.3 Quy tắc L’Hospital ----------------------------------------------------------------------  34
2.5  Một số ứng dụng của đạo hàm -------------------------------------------------------------  35
2.5.1 Công thức Taylor ------------------------------------------------------------------------  35
2.5.2 Một số khai triển quan trọng -----------------------------------------------------------  35
2.5.3 Ứng dụng ----------------------------------------------------------------------------------  36
2.6  Ứng dụng của đạo hàm ----------------------------------------------------------------------  37
2.6.1  Tính đơn điệu ----------------------------------------------------------------------------  37
2.6.2  Khảo sát hàm số -------------------------------------------------------------------------  37
2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực ----------------------------------------------------------  42
2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số -----------------------------------------  44
2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất -------------------------------------------------------  46
2.6.9 Tốc độ biến thiên -------------------------------------------------------------------------  48
2.6.5 Vận tốc và gia tốc ------------------------------------------------------------------------  49
2.7  Ứng dụng của đạo hàm một biến trong kinh tế -----------------------------------------  51
2.7.1   Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế -------------------------------------------  51
2.7.2   Hàm trung bình và hàm chi phí biên -----------------------------------------------  52
2.7.3   Doanh thu trung bình và doanh thu biên -------------------------------------------  54
2.7.4   Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh  
thu, tổng lợi nhuận ------------------------------------------------------------------------------  56

2.7.5   Độ co dãn của một hàm số------------------------------------------------------------  58
v

 


 
 
2.7.6   Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá  p  và  QD  f ( p)  --------------------------------  58
2.7.7    Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá  p  và  Qs  G ( p)  --------------------  58
2.7.8    Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu --------------------------------------------  60
CHƯƠNG 3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ---------------------- 61

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định ---------------------------------------------------------  61
3.1.1 Nguyên hàm -------------------------------------------------------------------------------  61
3.1.2 Tích phân bất định -----------------------------------------------------------------------  61
3.3.3 Các phương pháp tính tích phân ------------------------------------------------------  63
3.2 Tích phân xác định ----------------------------------------------------------------------------  64
3.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong ---------------------------------------------  64
3.2.2 Khái niệm tích phân xác định ---------------------------------------------------------  65
3.2.3 Công thức Newton-Leibnitz -----------------------------------------------------------  67
3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định-------------------------------------------  68
3.3 Tích phân suy rộng ----------------------------------------------------------------------------  69
3.3.1 Tích phân với cận vô hạn (loại 1) -----------------------------------------------------  70
3.3.2 Tích phân của hàm không bị chặn (loại 2) ------------------------------------------  71
3.4  Ứng dụng của tích phân xác định ----------------------------------------------------------  72
3.4.1  Tính giá trị trung bình của hàm trên một đoạn ------------------------------------  72
3.4.2 Diện tích hình phẳng --------------------------------------------------------------------  72

3.4.3  Tính độ dài đường cong ----------------------------------------------------------------  73
3.4.4  Tính thể tích ------------------------------------------------------------------------------  74
3.5 Ứng dụng hình học của tích phân suy rộng -----------------------------------------------  76
3.6  Ứng dụng tích phân xác định trong khoa học kĩ thuật ---------------------------------  76
3.6.1  Tổng thay đổi của đại lượng ----------------------------------------------------------  76
3.6.2  Công của lực sản sinh ------------------------------------------------------------------  77
3.7  Ứng dụng trong xác suất – thống kê ------------------------------------------------------  78
3.7.1 Kỳ vọng ------------------------------------------------------------------------------------  78
3.7.2  Phương sai --------------------------------------------------------------------------------  79
3.8 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế -----------------------------------------------------  80
3.8.1   Xác định hàm chi phí ------------------------------------------------------------------  80
3.8.2   Xác định hàm tổng doanh thu --------------------------------------------------------  82
3.8.3  Giá trị tương lai --------------------------------------------------------------------------  83
vi

 


 
 
3.8.4  Giá trị tích lũy tương lai của dòng thu nhập liên tục -----------------------------  84
3.8.5  Giá trị hiện tại ----------------------------------------------------------------------------  84
3.8.6   Giá trị tích lũy hiện tại của dòng thu nhập liên tục ------------------------------  85
3.8.7   Tiêu thụ tài nguyên thiên nhiên ------------------------------------------------------  86
3.8.8   Tìm hàm tổng chi phí khi biết chi phí biên ----------------------------------------  87
3.8.9  Xác định nguồn vốn đầu tư K(t) từ tốc độ thay đổi đầu tư I(t)-----------------  87
3.8.10  Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng ----------------------------------------  88
3.8.11  Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất --------------------------------------------  89
CHƯƠNG 4

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT ----------------------- 90

4.1  Phương trình tách biến -----------------------------------------------------------------------  90
4.2  Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ------------------------------------------------  91
4.3 Phương trình dẳng cấp ------------------------------------------------------------------------  92
4.4  Phương trình Bernoulli-----------------------------------------------------------------------  94
4. 5  Phương trình vi phân toàn phần -----------------------------------------------------------  95
KẾT LUẬN   ----------------------------------------------------------------------------------------  97
TÀI LIỆU THAM KHẢO  ------------------------------------------------------------------- 98
 
 
 
 

vii

 


 

PHẦN MỞ ĐẦU  
 
I. Lý do chọn đề tài
Từ xưa giải tích đã được con người biết đến. Vì thế ứng dụng của  giải tích vào 
cuộc  sống  là  điều  mà  con  người  luôn  quan  tâm.  Giải  tích  có  các  ứng  dụng  đáng  kể 
trong  nhiều  lĩnh  vực  đặc  biệt  trong  kinh  tế  trên  dưới  một  thế  kỉ  nay,  nhưng  chúng 
không được ứng dụng rộng rãi bởi các nhà  kinh tế cổ điển chỉ dùng thí dụ  minh họa 
cho các lý thuyết của mình hay các công thức toán học và đồ thị. Ngày nay Khoa học 
kĩ thuật và Kinh tế ngày càng phát triển dựa vào sử dụng rất nhiều công cụ toán học, 

đặc biệt là giải tích.  
Phép tính vi phân và tích phân, hai phép tính này đóng vai trò rất quan trọng và là 
nền  tảng  cho  sự phát  triển  của  giải  tích  toán  học.  Ngoài  ra  chúng  còn  được  đưa  vào 
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lí, y học, khoa học kĩ thuật, thống kê,... Đặc 
biệt trong ứng dụng  kinh tế ngày một nhiều. Nó giúp cho  kinh tế diễn giải, trình bày 
được nhiều vấn đề mà các phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu 
quả.  Giải  tích  dường  như rất  khô  khan  về  mặt  lý  thuyết  nhưng  ứng  dụng  của  chúng 
trong  một  số  lĩnh  vực cũng  như trong  các  bài  toán  kinh  tế  rất  thú  vị  và  hấp  dẫn.  Sử 
dụng  giải  tích  để  phân  tích  kinh  tế,  phân  tích  tình  huống  và  nghiên  cứu  kinh  tế  thị 
trường. 
Nghiên cứu ứng dụng của giải tích sẽ giúp ta hiểu sâu hơn các kiến thức giải tích 
đã học, thấy được lợi ích của toán học và làm quen với việc áp dụng toán học vào đời 
sống.  Đó là lí do mà em chọn làm nghiên cứu đề tài: “ GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN 
VÀ CÁC ỨNG DỤNG “ cho luận văn tốt nghiệp. 
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu ứng dụng giải tích trong một số lĩnh vực 
Nhằm vận dụng giải tích vào trong phân tích các mô hình kinh tế để nắm rõ hơn 
các nguyên tắc và các quy luật kinh tế. 

 

1


 
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của Giải tích vào một số hàm kinh tế cơ bản. 
Phạm  vi nghiên cứu: Đề tài tập trung  vào những nội dung cơ bản của hàm  một 
biến. 
IV. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích và trình bày các kiến thức cơ bản của hàm một biến. 
Phương pháp thực nghiệm: Vận dụng các  kiến thức vào trong các  ví dụ cụ thể.

 

2


 

CHƯƠNG 1

HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
a. Hàm số
 Định nghĩa 1.1.1 Cho tập  X  ,X   . Hàm số (hay hàm)  f  xác định trên  X  là 
một quy tắc cho tương ứng mỗi số  x  X  với một số thực xác định duy nhất  f ( x ) . 
Kí hiệu  f : x  f  x   hay  y  f ( x ) . 

 

X  được gọi là miền xác định, kí hiệu là  D f  hay  D ( f ) . Nếu hàm  f được cho bởi 

biểu thức giải tích  y  f ( x )  và không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định  D f  là tập 
các số thực làm cho biểu thức  f ( x )  có nghĩa. 
Tập hợp  f  X    f  x  : x  X   được gọi là miền giá trị của hàm  f . 
Ta gọi  x  là biến độc lập (hay đối số),  y  là biến phụ thuộc (hay hàm). 
Giá trị của hàm  f  tại x = a được kí hiệu là  f (a )  hay  f  x  |x  a . 
 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số  y  f  x   với miền xác định  X là tập hợp các điểm  ( x, f ( x))  
trong mặt phẳng tọa độ với  x  X . 
b. Các phương pháp cho hàm
i. Phương pháp giải tích
Hàm được cho dưới dạng một hay nhiều biểu thức giả tích. 
 Ví dụ 1 Hàm trị tuyệt đối cho bởi 
 x   , x  0
. 
y x 
 x  , x  0

 

 

Hàm xác định trên  D   ,    và có miền giá trị f  D    0, ) . 

3


 

Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối 
 
ii. Phương pháp bảng
Hàm được cho bởi một bảng trong đó một hàng (cột) ghi các giá trị của biến số 
và một hàng (cột) còn lại ghi các giá trị tương ứng của hàm. 
 Ví dụ 2   Dân số trung bình của Việt Nam qua các mốc thời gian từ năm 1976 đến 
2013 được cho bởi bảng sau (đơn vị tính là triệu người): 
Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013)

1976 

1980 

1985 

1990 

1995 

2000 

2005 

2009 

2011 

2013 

49.16  53,72  59,87  66,02  71,99  77,63  83,12  85,70  87,84  90,00 
Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn 
dân số như là hàm của năm. 
iii. Phương pháp đồ thị
  Hàm  được  cho  bởi  đồ  thị.  Phương  pháp  này  cho  ta  thấy  được  dáng  điệu  của 
hàm. 
 Ví dụ 3    Điện tâm đồ trong y học. 

 
Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học

 

4


 
1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm
Với  x  D f  Dg , các hàm  f  + g,  f - g,  fg và 
i.

f
 cho bởi 
g

 f  g  x   f  x   g  x   

ii. fg  x   f  x  .g ( x)  
iii.

f
f ( x)
, g ( x )  0 . 
 x 
g
g ( x)

1.1.3 Hàm hợp
Giả sử  y  f (u )  là hàm số của biến số  u  và  u  g ( x)  là hàm số của biến số  x . 
Khi đó  y  f  u   f  g ( x)   gọi là hàm số hợp của biến độc lập  x  thông qua biến trung 

gian  u , kí hiệu  f  g . Ta có:  

 f g  x  

f  g  x   , x  Dg  

 Nhận xét 
Hàm hợp  f  g  xác định với mọi  x  tại đó  g ( x)  xác định và  g ( x)  thuộc miền xác 
định của  f , tức là   D  f  g    x : x  D  g  , g ( x )  D( f )  và  f g  g f . 
 Ví dụ 4 Cho các hàm  f  x   2 x 2  1  và  g  x   x  1 . Ta có  

 f g  x  

2

f  g  x    2  g  x    1  2  x  1  1  2 x  1  

 g f  x   g  f  x  

f  x 1 

 2x

2



 1  1  2 x . 

Ta thấy   g f  0   0   f  g  0   1 . 

1.1.4 Hàm ngược
 Định nghĩa 1.1.2  Giả sử hàm  f xác định trên  X  và có miền giá trị là Y và là hàm 
1  1 , tức là nếu  x1  x2  thì  f ( x1 )  f ( x2 ) . Khi đó với mỗi  y  Y  tồn tại duy nhất  x  X  

sao cho f  x   y . 
Coi  x  Y  là biến độc lập thì với mọi  x  Y  tồn tại duy nhất  y  f 1 ( x )  X  để 
f  y   x . Ta có hàm  y  f 1  x  , x  Y , gọi là hàm ngược của hàm  y  f ( x ) . 

 

5


 
 Chú ý : Chỉ có hàm  1  1  mới có hàm ngược. 
 Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1  1 ) 
Một hàm được gọi là tương ứng  1  1  giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là 
hàm  1  1 ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là: 
f  x1   f  x2   khi  x1  x2 . 

 Ví dụ 5
i. Hàm  y  x3  có hàm ngược  x  3 y , cả hai cùng xác định trên  . 
ii. Hàm  y  a x  (0  a  1)  xác định trên   và có miền giá trị. Hàm này có hàm 
ngược  x  log a y  xác định trong khoảng  D  (0, )  và có miền giá trị  f  D    . 
iii. Hàm  y  x 2  không có hàm ngược trên   vì không là hàm  1  1 . 
1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa: y  x α (α  )
Nếu   vô tỉ ta quy ước xét:  x  0  nếu    0 và  x  0  nếu    0 . 
Miền xác định của hàm phụ thuộc vào    
Đồ thị của tất cả các hàm  y  x (  )  đều đi qua điểm (1, 1), chúng đi qua gốc  O  

nếu    0 và không đi qua  O  nếu    0 . 

Hình 3 Đồ thị hàm lũy thừa y  x α (α  )

b. Hàm mũ: y  a x (0  a  1)
Hàm xác định với mọi  x  và luôn nhận giá trị dương. 
Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1 . 
Đồ thị luôn đi qua hai điểm  0,1 , nằm trên trục  Ox và tiệm cận với trục  Ox . 

 

6


 

Hình 4 Đồ thị hàm mũ y  a x (0  a  1)

c. Hàm logarit: y  log a x (0  a  1)
Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ. 
Hàm xác định với mọi  x  0 . 
Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1 . 
Đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm  y  a x   qua đường phân giác thứ nhất, luôn đi 
qua điểm  (1, 0) , nằm bên phải trục  Oy và tiệm cận với  Oy . 

Hình 5 Đồ thị hàm logarit y  log a x (0  a  1)
d. Các hàm lượng giác
Các hàm  y  sin x, y  cos x, y  tan x, t  cot x . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.      
Hàm  y  sin x, y  cos x  là hai hàm có tập xác định là   và tập giá trị là [-1, 1]. 




Hàm y  tanx  có tập xác định là   x   | x 




 k  và tập giá trị là     ;   .                      
2


Hàm y  cotx  có tập xác định là   x   | x  k  và tập giá trị là     ;   .                             
e. Các hàm lượng giác ngược
 Hàm y  acrsinx
  
y  acrsinx  với miền xác định   1,  1 và miền giá trị    ,   . 
 2 2
 

7


 
 Hàm y  arccosx  
y  arccosx  với miền xác định là   1,  1 , miền giá trị là  [0,  ] .  

 Hàm y  arctan x  
  
y  arctan x có miền xác định là   , miền giá trị    ,   . 
 2 2

 Hàm y  arc cot x
y  arc cot x  có miền xác định là   , miền giá trị   0,   . 

1.1.6 Hàm sơ cấp
 Định nghĩa 1.1.4 Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép 
lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng.  
Chẳng hạn  f  x   e  cosx lnx  2 x3arcsinx 2  là hàm sơ cấp. 
1.1.7 Ứng dụng của hàm số
Phần này giới thiệu ứng dụng của hàm số thông qua các ví dụ.  
 Ví dụ 6 (Giá tiền đi xe taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong 
2km đầu tiên trả 20 000đ, 3km kế tiếp phải trả thêm 8 000đ/km, sau km thứ năm phải 
trả thêm 5 000đ/km. 
Gọi  x  là số km taxi đã chạy và  f ( x )  là giá tiền phải trả ứng với  x  km đó. Ta có  
20 000 , 0  x  2


f  x   20 000  8 000  x  2   , 2  x  5  
 44 000  5 000  x  5   , x  5.


Giá đi 4 km là :  f (4)  20000  2.8000  36000 đ 
 Ví dụ 7 (Liên hệ giữa độ C và độ F) Có hai đơn vị phổ biến để đo nhiệt độ: Celcius 
(C) và Fahrenheit (F). Nước đông đặc ở  00 C  và  320 F . Nước sôi ở 1000 C  và  2120 F . 
a. Giả sử nhiệt độ Celcius  TC  và nhiệt độ Fahrenheit  TF  liên hệ với nhau 
bởi một phương trình tuyến tính. Tìm sự biểu diễn  TF  như là hàm  TC . 
b. Nhiệt độ bình thường của người là  37 0 C . Hỏi ở nhiệt độ F nó là bao 
nhiêu? 

 

8


 
Giải
a. Vì  TC  và  TF  liên quan với nhau một cách tuyến tính nên ta có thể giả sử 
 32  0.a  b
TF  aTC  b . Theo giả thiết ta có hệ phương trình  
 
 212  100.a  b
9
5

9
5

Giải hệ ta được  a   ,  b  32 . Do đó  TF  TC  32  
9
5

b. Ta có  TF  37   .37  32  98, 6 nên ở nhiệt độ F nhiệt độ trung bình 
thường của người là  98, 600 F . 
 Ví dụ 8 (Giá nguyên liệu).  Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên 
với thể tích là 10m3 . Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm 
đáy là 10$ một  m 2 ; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ trên  m 2 . Giá nguyên liệu để 
làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng 
một công thức. 
Giải
Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, chiều dài mặt đáy là  2w ;  h  là chiều cao của 

container. 
Diện tích của mặt đáy là  2w( w)  2w2 nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy là:  
10(2w2 )$.  

Hai mặt bên có diện tích là  2 wh và hai mặt bên còn lại có diện tích  wh  nên giá 
nguyên liệu để làm các mặt bên là: 
6  2  wh   2(2 wh)  $  

Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là 





C  10 2w2  6  2  wh   2  2wh    20 w2  36 wh  

Mặt khác, thể tích của nó là 10m3  nên ta có  w  2 w  h  10 , tức là  h 

5
 
w2

Thay vào công thức tính C, ta được:   
 5
C  20w2  36wh  2
w

180

2

  
  20 w 
w


Vậy giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau: 
C  20w2 

 

9

180
, w  0.  
w


 
1.2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
a. Khái niệm dãy số.
 Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm  f  xác định trên tập   . Khi đó tập các giá trị 
f 1 , f  2  , , f  n  ,   lập thành một dãy số (hay dãy). 

Đặt  xn  f (n) , ta được dãy số  x1 , x2 , , xn , , kí hiệu là   xn n . 
xn  được gọi là số hạng tổng quát (hay số hạng thứ n) của dãy. 

 Ví dụ 9


n
 n 
1 2 3

i. 
,   
   ,  ,  , , 
n 1 
 n  1 n 1  2 3 4



ii.    1
1
 n n

n

  1,1 , 1,1 ,, 1  , . 
n

n

1 1
 2 3

  

       1,  ,  ,  


b. Giới hạn của dãy số thực
 Định nghĩa 1.2.2 Số a (hữu hạn) được gọi là giới hạn của dãy số   xn   khi n dần ra 
vô cùng nếu với mọi số    0  bé tùy ý tồn tại số tự nhiên  N  phụ thuộc vào    sao cho 
với mọi  n  N  ta có  xn  a   . Kí hiệu
lim xn  a  hay  xn  a  

n 

c. Các phép tính giới hạn
 Định lý 1.2.1  Nếu các dãy số   xn   và   yn   có giới hạn thì 
i. lim  xn  yn   lim xn  lim yn  
x 

x 

x 

ii. lim  xn . yn   lim xn .lim yn  
x 

iii. lim
x 

x 

x 

xn
xn lim

 x       (lim yn  0) . 
x 
yn lim yn
x 

 

10


 
d. Dãy bị chặn, dãy đơn điệu
Dãy   xn   được gọi là tăng nếu  xn  xn1 , n  1 , tức là  x1  x2  x3   . Nó được 
gọi là dãy giảm nếu  xn  xn 1 , n  1 . Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung 
là dãy đơn điệu. 
xn  M , n  1  

Một dãy   xn   được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho 
xn  m, n  1 . 

Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói   xn   là dãy bị chặn 
1.2.2 Giới hạn của hàm số
a. Giới hạn của hàm tại một điểm
 Định nghĩa 1.2.3 Giả sử hàm  f ( x )  xác định ở lân cận  x0 , không nhất thiết phải xác 
định tại  x0 .
Số L (hữu hạn) được gọi là giới hạn của hàm  y  f ( x )  khi x dần đến  x0  nếu 
  0,      0  sao cho  x  X , 0  x  x0    ta có  f  x   L   . 

Kí hiệu  lim f  x   L    hay    f  x   L   khi     x  x0 . 
x  x0

b. Giới hạn một phía
 Định nghĩa 1.2.4
Khi  x  dần về  x0  bên trái ( x  x0  và  x  x0 ) thì giới hạn của  f ( x )  được gọi là 
giới hạn trái của  f ( x )  tại  x0 , kí hiệu là  lim f ( x )  hay  f ( x0  0) . 
x  x0

Khi  x  dần về  x0  bên phải ( x  x0  và  x  x0 ) thì giới hạn của  f ( x )  được gọi là 
giới hạn phải của  f ( x )  tại  x0 , kí hiệu là  lim f ( x)  hay  f ( x0  0) . 
x  x0

 Định lý 1.2.2
lim f  x   L   lim f  x  ,  lim f  x    và   lim f  x   lim f  x   L

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

 Ví dụ 10 Đồ thị hàm  g được cho trong hình dưới đây 
 
 
 

11

x  x0

 
 
 
 
 
 
Hình 6 Đồ thị hàm giới hạn g ( x)

c. Tính chất
i.   Giới hạn của hàm  f ( x )  khi  x  x0  (hay  x   ) nếu có là duy nhất. 
ii.   Nếu  f  x   C  (const) thì  lim f  x   C . 
x  x0

iii.  Nếu  lim f  x   L  và  A  f  x   B  x  X  thì  A  L  B . 
x  x0

  Đặc biệt, nếu  f  x   0  f  x   0    x  X  thì  L  0 ( L  0) . 
v.  Nếu  lim f  x   L  thì  lim f ( x)  L . 
x  x0

x  x0

d. Các phép toán về giới hạn
 Định lý 1.2.3 (Giới hạn hữu hạn) 
Giả sử:  lim f  x   L ,  lim g  x   M  hữu hạn. Khi đó: 
x  x0

x  x0

i. lim  f  x   g ( x)   L  M  
xx
0

ii. lim  f  x  .g ( x)   L.M  
xx
0

iii. lim

x  x0

f ( x) L

( M  0)  
g ( x) M

 Định lý 1.2.4 (Giới hạn của hàm hợp) 
Xét hàm hợp  f u  x  .  Nếu  
i.  lim u  x   u0 . 
x  x0

ii.  f  u   xác định tại  u0  và lân cận  u0  và  lim f  u   f (u0 )  thì 
x  x0





lim f u ( x)   f (u0 )       f lim u  x   . 
x  x0
x  x0



 

12


 
1.2.2 Ứng dụng của giới hạn
Dùng giới hạn ta có thể nhận biết dáng điệu của qui luật trong khoảng vô hạn. 
 Ví dụ 11
Một công ti dự tính rằng khi dùng x triệu USD để quảng cáo sản phẩm thì lợi 
nhuận R (theo triệu USD) được cho bởi hàm: 
R  x   500 

1000
 
x4

a. Tìm  lim R( x)  và   lim R( x )  
x0

x 

b. Công ti đang chi 30 triệu cho quảng cáo. Hỏi công ti có nên tăng số tiền đó lên 
đến 40 triệu USD hay không? 

Giải

Hình 7 Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti
a.  Ta có  

 

  lim R  x   500 
x0

1000
 250  
04

lim R  x   500  0  500  

x 

b. Ta thấy  R  x   tăng và  R  x   500 ,  x  0 . Khi  x  30  thì  R  x   tăng chậm. 
Vì  R  30   470,59  và  R  40   477, 27  nên  R  40   R  30   6, 69  triệu USD. Hiệu số 
này nhỏ hơn 10 triệu USD chi cho quảng cáo nên việc chi thêm tiền cho quảng cáo là 
không có lợi. 

 

13


 
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 

1.3.1 Liên tục tại một điểm
 Định nghĩa 1.3.1  Cho hàm  f ( x )  xác định trong khoảng  (a, b)  và  x0  (a, b) . 
f  được gọi là liên tục tại  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) . 
x  x0

f  liên tục trong  (a, b)  nếu f liên tục tại mọi  x0  (a, b) . 

Tức là    0, n  0, x :  x  x0  n   f  x   f  x0    . 
 2 1
 x sin  , x  0
 Ví dụ 12 Xét tính liên tục của hàm  f ( x )  
     tại  x  0 . 
x
 0 , x  0

Ta có  f  0   0 . 
 
 

Vì  0  x 2 sin

1
2
 x  0 nên  lim f  x   0  
x0
x

Do  lim f  x   f (0)  nên  f  liên tục tại  x  0 . 
x0

1.3.2. Liên tục tại một phía
 Định nghĩa 1.3.2  Cho hàm  f ( x )  xác định trong khoảng  [a, b]  và  x0  [a, b] . 
Hàm  f  liên tục bên phải tại điểm  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) . 
x  x0 

Hàm  f  liên tục bên trái tại điểm  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) . 
x  x0 

Để hàm  f  liên tục tại  x0  điều kiện cần và đủ: 
lim f  x   lim f  x   f ( x0 )  

x  x0 

x  x0

 Ví dụ 13  Xét tính liên tục một phía của hàm 
 x 2  , x  1
       tại  x  1 . 
f ( x) 
3
x

1 , 
x

1


Giải
Ta có  f 1  1 .  

lim f  x   lim  3 x  1  4  f (1) . 

x 1

x 1

Do đó  f không liên tục trái tại  x  1 . 

 

14


 
lim f  x   lim x 2  f (1) . 

x 1

 

x 1

 Suy ra  f  liên tục phải tại  x  1 . 

1.3.3 Hàm liên tục trong một khoảng
 Định nghĩa 1.3.3  Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại 
mọi điểm thuộc khoảng đó. 
 Ví dụ 14  Chứng minh hàm  f  x   1  1  x 2   liên tục trên [-1; 1]. 
Giải
Nếu  1  a  1  thì sử dụng các định lý về giới hạn tại một điểm ta được: 





lim f  x   lim 1  1  x 2  1  lim
x a

x a

x a





1  x 2  1  1  a 2  f (a ) . 

Tức là hàm  f  liên tục tại mọi điểm thuộc   1;1 . 
Nếu  a  1  thì  lim f  x   1  f (1) .  
x  1



Nếu  a  1  thì  lim f  x   1  f (1)  
x 1

Vậy hàm liên tục phải tại -1 và liên tục trái tại 1. 
Nên hàm đã cho liên tục tại [-1; 1]. 
1.3.4. Điểm gián đoạn. Phân loại điểm gián đoạn

 Định nghĩa 1.3.4  Cho hàm  f ( x )  xác định trong  (a, b)  và  x0  (a, b) . Nếu  f ( x )  
không liên tục tại  x0  thì ta nói  f ( x )  gián đoạn tại  x0 . 
 Phân loại:
Gián đoạn loại 1: Nếu tồn tại  lim f  x  và  lim f  x   hữu hạn. 
x  x0 

x  x0

Đặc biệt, khi  lim f  x   lim f  x   L  f ( x0 )  thì ta gọi  x0  là điểm gián đoạn bỏ 
x  x0 

x  x0 

được. Nếu thay  L  bởi  f ( x0 )  thì hàm liên tục tại  x0 . 
Gián đoạn loại 2: Ít nhất một trong các giới hạn  lim f  x  ,  lim f  x   không tồn 
x  x0 

x  x0

tại hoặc tồn tại nhưng bằng   . 
 Ví dụ 15  Chứng minh hàm  y  arctg

 

1
 gián đoạn tại  x  4 . 
x4

15

 
Giải
Nếu  x  4  thì 

1
1

   và  lim
  . 
x 4 x  4
x4
2

Nếu  x  4  thì 

1
1

   và  lim
 . 
x 4 x  4
x4
2

Vậy khi  x  4  hàm này có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải hữu hạn, nhưng 
giới hạn này khác nhau nên  x  4  là điểm gián đoạn loại 1.   
1.3.5 Các phép toán đại số của hàm liên tục
 Định lý 1.3.1 Nếu các hàm số f và  g liên tục tại điểm  x0 , thì các hàm số 
f  x   g  x  ,   f  x   g  x  , f  x  .g ( x )  cũng liên tục tại  x0  và  f ( x ) / g ( x )  cũng liên tục 

tại  x0  nếu  g ( x)  0 . 
 Định lý 1.3.2 Nếu hàm  f ( x )  liên tục tại  x0 , hàm  g ( y )  xác định trong khoảng chứa 
y0  f ( x0 )  và liên tục tại  y0  thì hàm hợp  g o f ( x )  liên tục tại  x0 . 

 Định lý 1.3.3  Mọi hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. 
 Định lý 1.3.4 (Weierstrass) Hàm số  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  thì đạt giá trị lớn nhất 
và giá trị nhỏ nhất trên  [a, b] , nghĩa là: 
xm , xM   a, b  , x  [a, b]  có  f  xm   f  x   f ( xM ) . 

 Định lý 1.3.5 (Bolzano-Cauchy 1) 
Nếu  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  khi đó  f ( x )  nhận giá trị trung gian giữa  f  a   và 
f  b  , nghĩa là:    f  a  , f  b   , c   a, b  , f (c)   . 

1.3.6 Ứng dụng của hàm liên tục để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình
 

Ta có thể dùng tính liên tục của hàm để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương 

trình trong khoảng mà không cần thiết giải phương trình. 
 Định lý 1.3.6 (Bolzano-Cauchy 2) 
Nếu  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  và  f  a  . f  b   0  thì tồn tại điểm  c   a, b   sao cho 
f  c   0 . 

 

16


 

 Ví dụ 16  Hãy chứng minh rằng  2 x  1  tanx  0  có một nghiệm duy nhất nằm thuộc 
 
 0;   . 
 3

Giải
f  x   2 x  1  tanx  

 Ta có: 

 
f  0   1, f    3  
3

Và  

 
f  0  . f     3  0  
3

Suy ra   

 
x0   0;   : f  x0   0  
 3

Với  x  x0  ta có: 

 
f  x   f  x   f  x0   2  x  x0   tanx  tanx0  0  

Với  x  x0  
f  x   f  x   f  x0   2  x  x0   tanx  tanx0  0  

 
Vãy  f  x   0 có một nghiệm thuộc   0;   . 


3

1.4  ỨNG DỤNG HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC TRONG KINH TẾ
1.4.1 Các hàm cơ bản
a. Hàm chi phí
Tổng chi phí  C  của sản xuất và đơn vị  x  của sản phẩm phụ thuộc số lượng các 
đơn vị  x . Nên hàm liên quan  C  và  x  được gọi là hàm chi phí và được viết:  
C  C ( x)  

Tổng chi phí sản xuất đơn vị  x  của sản phẩm bao gồm 2 phần: 
Chi phí cố định: Chi phí cố định là tất cả các loại chi phí mà không thay đổi với 
mức sản xuất . Ví dụ: Giá thuê của các cơ sở, bảo hiểm, thuế,… 
Chi phí biến đổi: Chi phí biến đổi là tổng tất cả các chi phí phụ thuộc mức độ sản 
xuất. Ví dụ: Chi phí vật liệu, chi phí lao động, chi phí bao bì,… 
C  ( x )   F   V
   ( x)  

 

17

 
b. Hàm yêu cầu
Một phương trình có liên quan đến một đơn vị giá và số lượng giá được gọi là 
hàm yêu cầu. 
Nếu  p  là giá trên một đơn vị của một sản phẩm nhất định và  x  là số lượng đơn vị 
yêu cầu thì ta có thể viết hàm yêu cầu: 
  x  f ( p)  hoặc  p   g  ( x)  giá  p  thể hiện như một hàm của  x . 
c. Hàm doanh thu
Nếu  x  là số lượng đơn vị của sản phẩm nhất định bán ở mức giá. Giá  p  trên một 
đơn vị, số tiền thu được từ việc bán  x  đơn vị của một sản phẩm là tổng doanh thu. Do 
đó, nếu  R đại diện cho tổng doanh thu từ  x  đơn vị của sản phẩm ở mức giá. Giá  p  
trên một đơn vị thì  
                                  R  p.x  là tổng doanh thu 
Do đó, hàm doanh thu    R( x )  p.x  x. p( x)  
d. Hàm lợi nhuận
Lợi nhuận được tính bằng cách trừ đi tổng chi phí từ tổng doanh thu bằng bán  x  
đơn vị của sản phẩm. Do đó, nếu  P( x )  là hàm lợi nhuận thì 
P  ( x)   R  ( x) – C  ( x)  

e. Điểm hòa vốn
Điểm hòa vốn là gía trị của  x  (số đơn vị của sản phẩm bán ra) mà chúng không 
có lợi nhuận hoặc lỗ. 
Điểm hòa vốn   
    Hoặc     

P( x)  0  

R( x )  C ( x )  0  hoặc  R  ( x)   C  ( x)  

f. Hàm cung và hàm cầu

+  Hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa số cầu đối với một hàng hóa nào đó ( QD ) 
và giá của nó ( P ) được gọi là hàm số cầu. 
QD  a  bP  

 

18