Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối chuyên năm học 2003 2004 (vòng 1) tỉnh quảng bình (2)

kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh
Môn : TOáN - lớp 11 chuyên
Năm học : 2003 - 2004

sở giáo dục và đào tạo
quảng bình

( vòng 1)

đề chính thức

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm):
Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 5x x 2 + x m
luôn luôn nhỏ hơn 7 ?
Bài 2 (2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

(

f(x) = x 2003 +

2005 x 2

)

Bài 3 (2,0 điểm): Giải phơng trình :
1 x 2

2

x2

1 2x

2

Bài 4 (2,0 điểm): Tính giới hạn :

x2

(
(

sin x 2003
x 1 sin x 2004

L = lim

=

1
1

2
x

)
)

Bài 5 (2,0 điểm): Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n 3 thì :

log n 1n > log n (n + 1)
Họ và tên : ................................................................................
Số BD : .........................................................................................


sở gd-đt quảng bình

kỳ thi chọn học sinh giỏi

1)

Môn : toán - lớp 11 chuyên (vòng
Năm học : 2003 - 2004

tỉnh

Đề chính thức

đáp án, hớng dẫn chấm
yêu cầu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Thí sinh giải cách khác đáp án nhng
đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài. Trong bài làm của thí sinh,
yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.
* Nếu thí sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan
trong lời giải của từng bài.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm
thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25
điểm.

* Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh.
nội dung lời giải

điểm

Bài 1 ( 2,0 điểm) : Ta có : maxf(x) < 7 f(x) < 7 , x
0,25
Tức là : 5x - x2 + x m < 7 , x x m < x2 - 5x + 7 , x (1)
0,25
Nhận xét : x2 - 5x + 7 > 0 , x . Do đó :
x 2 6x + 7 + m > 0 , x
(1) 2

x 4x + 7 - m > 0 , x
0,5
'1 = 9 (7 + m) < 0
'

2 = 4 (7 m) < 0
0,5
m > 2

2 < m <3
m
<
3

0,5
Bài 2 ( 2,0 điểm) : Tập xác định của hàm số f(x) là :

[

D = 2005 ; 2005

0,25

]

Nhận xét : f(x) là hàm số lẻ trên D nên chỉ cần xét f(x) trong từng nửa
khoảng xác định D.
+ Với x 0 ; 2005 :

[

(

]

)

(

f(x) = x 2003 + 2005 x 2
= x 2003. 2003 + 1. 2005 x 2
0,25
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốp xki :

f(x) x (2003 + 1).(2003 + 2005 x 2 )
0,25

=

2004 . x. 4008 x 2

)


0,25

áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
x 2 + 4008 x 2
f(x) 2004 .
= 2004 2004
2
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi :



2005 x 2 = 1


2
x = 4008 x

x 2 = 2004

2
x = 2004

x = 2004

0,25
+ Với x 2005 ; 0 : Hoàn toàn tơng tự, ta có :
f(x) 2004 2004 .
0,25
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : x = 2004
0,25
Kết luận : maxf(x) = 2004 2004 , đạt đợc khi x = 2004
minf(x) = - 2004 2004 , đạt đợc khi x = 2004

[

]

0,25

Bài 3 ( 2,0 điểm) : Điều kiện : x 0
0,25
1
1
2
x 2 2x
1 2x
1 x2

Ta có : 2 = 1
=
=

x

x
x2
x2
x2
2
0,25
Phơng trình đã cho trở thành :
1 x 2

2

x2

0,25
1 x 2



2

x2

0,25
Xét hàm số :

12x

2

x2

1 1 2x 1 x 2

= 2
2 x
x 2
12x

1 1 x2
+ ì 2
2
x
f(x) = 2 t +

= 2

x2

+

1 1 2x
ì
2
x2

1
t
2

Nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến (bằng tổng của hai hàm số đồng biến).

0,25
Do đó :

1- x2
1- x2
1 - 2x
1 - 2x
f 2 = f 2
=
2
x
x2
x
x



x 2 2x = 0

0,25
x = 0 hoặc x = 2 . Đối chiếu với điều kiện đã đặt, loại nghiệm x = 0.
0,25


0,25

Kết luận : Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 4 ( 2,0 điểm) : Ta có :

(
(
(
(

) (
)
) (
)

)

sin x m -
ì xm 1
m
x 1
L = lim
x 1 sin x n -
ì xn 1
n
x 1

0,5
Nhận xét :
0,25

)

sin ( x m )
lim

= 1
x 1
( x m 1)
sin ( x n )
lim
=1
x 1
( x n 1)

0,25
Do đó : L = lim
x 1

xm 1
(x 1)(1 + x + + x m-1 )
= lim
x 1 (x 1)(1 + x + + x n -1 )
xn 1

=

0,5
Thay: m = 2003 , n = 2004. Kết quả :

L=
0,5

m
n

2003
2004

Bài 5 ( 2,0 điểm) : Với mọi số tự nhiên n 3 , ta luôn có :

1+
0,5
Do đó :
0,5

0,25
0,5
0,25

1
1
> 1+ > 1
n 1
n

1

1
1
log n 1 1 +
> log n 1 1 + > log n 1 +
n 1
n
n

n
n +1
log n 1
> log n

n 1
n





log n 1n 1 > log n (n + 1) 1

log n 1n

> log n (n + 1)