Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối chuyên năm học 2005 2006 tỉnh quảng bình

sở gd-đt quảng bình
đề chính thức

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
Môn : Toán chuyên

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho biết phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có một nghiệm x0 .
b c
Chứng minh rằng: x0 < 1 + max ,
a a
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Giải hệ phơng trình: x2 + a2 = y2 + b2 = (x - b)2 + (y - a)2
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các hàm số f : Q Q thoả mãn các điều kiện:
f (1) = 2

f ( xy ) = f ( x) f ( y ) f ( x + y ) + 1 ;

x, y Q

Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB không cùng
thuộc một mặt phẳng nào. Tìm các điểm M, N trên d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
và NA NB có giá trị lớn nhất.

sở gd-đt quảng bình
đề chính thức

Câu 1 ( 2,5 điểm ) :

đáp án môn toán chuyên

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006

i) Nếu b = c = 0 thì x0 = 0. Ta có ngay đpcm
b c
b c
ii) Nếu b2 + c2 > 0 thì max , > 0. Đặt M = max , > 0
a a
a a

0,5
0,25
0,25


Ta phải chứng minh: x0 < 1 + M

0,25

(*)

Nếu x0 1: (*) đợc chứng minh
Nếu x0 > 0 : Do x0 là nghiệm phơng trình nên :- x02 =
x 02 =

b
c
x0 +
a

a

b
c
b
c
x0 +
. x0 +
M x 0 + M M ( x 0 + 1) =
a
a
a
a

x 02 1
x02
M
<<
x0 1
x0 1
1
1< M
x0 - 1 < M đpcm.
x0 1

=M

Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Đặt x2 + a2 = y2 + b2 = (x - b)2 + (y - a)2 = R2,
x = Rcos , a = R sin , y = Rcos , b = Rsin
Từ (x - b)2 + (y - a)2 = R2 suy ra:

(Rcos - Rsin )2 + (Rcos - R sin )2 = R2

1
2




+ = + k 2
= + + k 2


1
6
6
sin( + ) =


5

5
2
+ =
= + + k 2
+ k 2


6
6

i) = + + k 2 : x = Rcos = Rcos( + + k 2 )
6
6

= Rcos( + ) =
6


= Rcos cos + Rsin sin =
6
6
1
1
= Rcos . 3 + Rsin . = 3 y + b
2
2
2
2


a = Rsin = Rsin( + + k 2 ) = Rsin( + ) =
6
6


= Rcos sin - Rsin cos =
6
6
1

1
= Rcos . - Rsin . 3 = - 3 b + y
2
2
2
2

0,5
0,5
0,25
------------0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

sin cos + sin cos =

0,25

0,25

0,25

Suy ra: x = 2b + 3 a, y = 2a + 3 b
5
5
ii) = +
+ k 2 : x = Rcos = Rcos( +
+ k 2 )

6

6
5
= Rcos( + ) =
6
5
5
= Rcos cos
+ Rsin sin
=
6
6

0,25
0,25
----------------


1
1
= Rcos .(- 3 ) + Rsin . = - 3 y + b

2
5
5
a = Rsin = Rsin( +
+ k 2 ) = Rsin( + ) =
6
6

5
5
= Rcos sin
- Rsin cos
=
6
6
1
1
= Rcos . - Rsin .(- 3 ) = 3 b + y
2
2
2
2
2

2

2

Suy ra: x = 2b - 3 a, y = 2a - 3 b

0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25

Câu 3 ( 2,5 điểm ) :

Với y = 1: f(x) = f(x).f(1) - f(x + 1) + 1, (x Q )
hay f(x + 1) = f(x) + 1.
Từ đó, với mọi x Q , mọi n Z ta có:
f(x + n) = f(x) + n
f(n) = f(1) + n - 1 = n + 1
Với x = 1/n (n Z*) và y = n (n Z) ta có:

1
1
1
f( .n) = f( )f(n) - f( + n) + 1
n
n
n
1
1
Suy ra: 2 = f( )(n + 1) - f( ) - n + 1
n
n
1
1
hay: f( ) = 1 +
n
n
1
Cuối cùng, cho x = p, y = , với p Z, q N* ta có:
q
1
1

1
f(p. ) = f(p)f( ) - f(p + ) + 1
q
q
q
1
1
1
p
Suy ra: f( ) = (p + 1)( + 1) - - p = +1
q
q
q
q
1
p
Hay: f( ) = +1
q
q
Vậy: f(x) = x + 1, mọi x Q.

Câu 4(2,5 điểm):

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d). Gọi giao điểm của
( d) và (P) là O. Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA). Gọi
B' là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Đờng thẳng qua O và B' cắt (O,
OA) tại A' và A" sao cho A" và B' cùng phía đối với O.
Khi đó M d thì MA = MA' .
MA + MB bé nhất khi chỉ khi MA' + MB bé nhất
A', B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng. A' và B khác phía đối với (d).

Từ một bài toán quen thuộc suy ra M là giao điểm của (d) và đờng thẳng
A'B .
Tơng tự thế khi đó N d thì NA = NA".
NA NB lớn nhất khi chỉ khi NA" NB lớn nhất
A", B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng. A" và B cùng phía đối với (d).
Từ một bài toán quen thuộc suy ra N là giao điểm của (d) và đờng thẳng

0,25
0,25
0,25
-----------------

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


A"B.

(d)

• H×nh vÏ:

B
M
O
A'

B'
A"

A

N
***Chó ý: Häc sinh cã thÓ gi¶i theo c¸c c¸ch kh¸c, nÕu ®óng cho ®iÓm
tèi ®a.