Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Mục lục
Trang
Lời nói đầu

5

Chơng 1. Lý thuyết giới hạn

6
6

Đ1. Giới hạn dy số

1. Tập số thực

6

2. Giới hạn của dãy số

12

1. Hàm số biến só thực

23
23

2. Giới hạn của hàm số

31

Đ2. Giới hạn hm số

39

Đ3. Hm số liên tục

1. Các khái niệm cơ bản

39

2. Phép toán trên các hàm số liên tục

42

3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

43

4. Liên tục đều

46

5. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp

47

Chơng 2. Phép tính vi phân của hm số một biến số

49

Đ1. Đạo hm

49

1. Khái niệm về đạo hàm, đạo hàm một phía

49

2. Các quy tắc lấy đạo hàm

52
55

Đ2. Vi phân

1. Khái niệm về vi phân của hàm số

55

2. Các quy tắc lấy vi phân

57

3. Tính bất biến của dạng thức vi phân

57

4. Đạo hàm và vi phân cấp cao

57

3


Đ3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

59

1. Các định lý về giá trị trung bình

59

2. Công thức Taylo

62

Đ4. ứng dụng của đạo hm

64

1. Quy tắc Lôpitan để khử giới hạn dạng vô định

64

2. Khảo sát hàm số

66

Chơng 3. Phép tính tích phân

74

74

Đ1. Tích phân không xác định

1. Khái niệm về nguyên hàm và tích phân không xác định

74

2. Các phơng pháp tính nguyên hàm

76

3. Tích phân các biểu thức hữu tỷ

78

4. Tích phân các biểu thức vô tỷ

80

5. Tích phân các biểu thức lợng giác

83

6. Tích phân các hàm số siêu việt

84
85

Đ2. Tích phân xác định

1. Khái niệm về tích phân xác định

85

2. Điều kiện khả tích

89

3. Các lớp hàm khả tích

91

4. Tính chất của tích phân xác định

93

5. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm

98

6. Các phơng pháp tính tích phân xác định

101

7. ứng dụng của tích phân xác định

105
110

Đ.3. Tích phân suy rộng

1. Tích phân suy rộng với cận vô tận

110

2. Tích phân của hàm số không bị chặn

117

4


Lời nói đầu

Giải tích cổ điển là một môn học cơ sở, cần thiết đợc đa vào giảng dạy ở
các trờng Đại học và Cao đẳng khối khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật. Bộ
Giáo trình cơ bản và tài liệu tham khảo của môn này cho ngành S phạm Toán
đã có nhiều. Đặc biệt phần bài tập giải tích cổ điển I đã đợc viết nhiều ở các
sách khác nhau. Song để thuận lợi và phù hợp cho sinh viên khoa Toán ĐHSP ĐHTN chúng tôi đã viết đề cơng bài giảng này nhằm đáp ứng yêu cầu đó.
Nội dung đề cơng đợc trình bày trong 3 chơng, bao gồm:
Chơng 1. Lý thuyết giới hạn
Chơng 2. Phép tính vi phân của hàm số một biến số
Chơng 3. Phép tính tích phân
Chúng tôi đã sử dụng tài liệu này trong quá trình giảng dạy và đã hết sức
cố gắng khi biên soạn nhng chắc chắn đề cơng bài giảng còn có những khiếm
khuyết. Chúng tôi rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp của độc giả.
Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo, các đồng
nghiệp trong tổ bộ môn Giải tích - khoa Toán trờng ĐHSP - ĐHTN đã cho
chúng tôi những góp ý quý báu trong quá trình biên soạn.

Thái Nguyên, ngày tháng 5 năm 2009
Các tác giả
ThS Nguyễn Thị Ngân
ThS Nguyễn Thị Minh

5


Chơng 1. Lý thuyết giới hạn

Đ1. Giới hạn dy số

1. Tập số thực
1.1. Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỷ
Nếu chỉ trong phạm vi các số hữu tỷ thì nhiều phép toán, chẳng hạn phép
khai căn số hữu tỷ (thậm chí ngay cả số nguyên) không thể thực hiện đợc.
Chẳng hạn ta dễ chứng minh đợc
giả sử

2 không thể là số hữu tỷ. Thật vậy,

2 là số hữu tỷ thì p, q  sao cho

2 =

p
với p, q là cặp số nguyên
q

tố cùng nhau. Suy ra p2 = 2q2 p2 là số chẵn, thành thử p là số chẵn (chẳng hạn

p = 2k) thay vào ta đợc q2 = 2k2 q2 là số chẵn q là số chẵn, điều này vô lý
vì p, q đều là chẵn thì nó không thể nguyên tố cùng nhau.
Về phơng diện hình học, ví dụ trên cho ta thấy việc chỉ xét trong tập số
hữu tỷ thì không thể có hình vuông nào có cạnh bằng 1 (đờng chéo bằng

2 ).

Để đáp ứng những yêu cầu tính toán trong đời sống và kỹ thuật, ngời ta
phải mở rộng thêm tập số hữu tỷ.
1.2. Định nghĩa số vô tỷ
Nhát cắt Đêđơkin
Định nghĩa. Cho A và B là hai tập số hữu tỷ, ta nói rằng chúng làm thành nhát
cắt Đêđơkin nếu thoả mãn:
i) A, B , AB = , A B = Q.
ii) a A, b B ta luôn có a < b
Kí hiệu (A/B) trong đó A là tập dới, B là tập trên.

6


Ví dụ 1.
1) A = {x Q, x < 10}, B = {x Q, x 10} A/B làm thành nhát cắt.
2) A = {x Q, x 10}, B = {x Q, x > 10} A/B làm thành nhát cắt.
3) A = {x Q+, x2 < 2} Q- , B = {x Q+, x2 > 2} (A/B) làm thành
nhát cắt.
Đối với nhát cắt (A/B) chỉ có thể xảy ra 1 trong 4 khả năng sau:
1) Lớp dới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất
(VD1) nhát cắt loại 1.
2) Lớp dới A có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ nhất
(VD2) nhát cắt loại 2.

3) Lớp dới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ
nhất (VD3) nhát cắt loại 3.
4) Lớp dới A có phần từ lớn nhất r1, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất r2, khả
năng 4 không xảy ra.
Thật vậy, r =

r1 + r2
, thế thì r1 < r < r2 và r A, r B (A/B) không làm
2

thành nhát cắt.
Nh vậy mỗi số hữu tỷ xác định một nhát cắt loại 1 hoặc loại 2 và ngợc
lại. Riêng nhát cắt loại 3 còn khuyết phần tử nằm trên biên giữa lớp trên và lớp
dới, ta sẽ nói mỗi nhát cắt loại 3 xác định một số vô tỷ (chính là số nằm vào
chỗ khuyết đó). Tập số vô tỷ kí hiệu là I. Tập số vô tỷ và hữu tỷ ta gọi là tập số
thực, kí hiệu là Ă .
Từ định nghĩa ta thấy mỗi nhát cắt xác định 1 số thực và ngợc lại mỗi số
thực xác định một nhát cắt.
1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong tập số thực
Định nghĩa. Cho hai số và xác định bởi hai nhắt cắt (A/B) và (A/B)
tơng ứng. Ta nói rằng = nếu lớp dới A = A, lớp trên B = B.

7


Ta nói rằng < (đọc là nhở hơn ) nếu lớp dới A A, lớp trên A
A.
Ta nói rằng > nếu < .
Ta nói rằng nếu > hoặc = .
Số thực > 0 ( < 0) ta gọi là số dơng (số âm).

Tập số dơng và số 0 ta kí hiệu Ă +.
Tập số âm và số 0 ta kí hiệu Ă

-

1.4. Biểu diễn số thực
a) Trục số: Trên đờng thẳng cho trớc, ta chọn điểm 0 làm điểm gốc, ta thiết
lập mối quan hệ giữa tập các số thực với các điểm trên đờng thẳng nh sau:
Số 0 Ă ta cho ứng với điểm O đã chọn. Mỗi số dơng a Ă ta cho
tơng ứng với điểm A nằm bên phải điểm O sao cho OA có độ dài bằng a. Mỗi
số âm b Ă ta cho tơng ứng với điểm B nằm bên trái điểm O sao cho OB có
độ dài bằng b. Mỗi số thực tơng ứng với 1 điểm trên đờng thẳng và
ngợc lại. Đờng thẳng ta gọi là trục số.
b) Biểu diễn thập phân của số thực. Số thực a Ă đợc biểu diễn dới dạng một
số thập phân a = n, c1c2 ... ck ... trong đó n  , ci = 0...9 (i = 1, ..., k, ..)
1.5. Tính liên tục và trù mật của số thực
Định lý 1.1 (Định lý Đêđơkin). Đối với mỗi nhát cắt (A/B) trên tập số thực hoặc
lớp dới A có số lớn nhất hoặc lớp trên B có số nhỏ nhất.
Bổ đề. Với hai số thực < luôn tồn tại ít nhất 1 số hữu tỷ r sao cho Hệ quả. Nếu số thực thoả mãn -r < < r với mọi số hữu tỷ dơng r thì r = 0.
Nhận xét .
1) Bổ đề trên khẳng định giữa hai số thực khác nhau có ít nhất 1 số hữu tỷ
xen giữa có vô số hữu tỷ xen giữa 2 số thực đó tính chất này gọi là tính
chất trù mật của tập hợp số hữu tỷ tính chất trù mật của tập hợp số thực.

8


2) Trên tập hợp số hữu tỷ Ô ta chỉ ra rằng tồn tại những nhát cắt loại 3,
đó là nguyên nhân để mở rộng tập số hữu tỷ. Trên tập số thực, định lý Đêđơkin

khẳng định không có nhát cắt loại 3 thành thử dùng phơng pháp Đêđơkin không
thể mở rộng thêm những số mới nữa.
3) Trong tập số thực không còn chỗ khuyết nh trong tập số hữu tỷ.
Tính chất này gọi là tính đầy đủ hay tính liên tục của tập hợp số thực.
1.6. Tập bị chăn, cận của tập hợp
Định nghĩa 1. Cho tập A Ă . Ta nói rằng tập A bị chặn trên (hoặc bị chặn
dới) nếu tồn tại M Ă (hoặc m Ă ) sao cho a M (hoặc a m) với

a

Ă . Số M (hoặc m) ta sẽ gọi là cận trên (hoặc cận dới) của tập A. Ngợc lại ta
nói rằng tập A không bị chặn trên (hoặc không bị chặn dới).
Nếu tập A vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dới thì ta nói tập A bị chặn.
Nhận xét .
1) Từ định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh đợc mệnh đề sau: Để tập
A bị chặn điều kiện cần và đủ là tồn tại c > 0: a A ta luôn có - c a c.
2) Nếu tập A bị chặn trên (hoặc bị chặn dới) thì nó sẽ có vô số cận trên
(hoặc cận dới).
Định nghĩa 2. Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc bị chặn dới). Ta nói rằng số
M* (hoặc m*) là cận trên đúng (hoặc cận dới đúng) của A nếu nó là cận trên
nhỏ nhất (hoặc cận dới lớn nhất) của tập ấy. Tức là nó thoả mãn:
i) a A ta luôn có a M* (hoặc a m*)
ii) Nếu M (hoặc m) là một cận trên (hoặc cận dới) của A thì M* M
(hoặc m* m)
Đôi với cận trên đúng (hoặc cận dới đúng) ta ký hiệu
M* = sup A (hoặc m* = inf A).
Định lý 1.2. Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc dới). Để M* (hoặc m*) là cận
trên đúng (hoặc cận dới đúng) của A điều kiện cần và đủ là

9

i) a M* (hoặc a m*) với a A.
ii) > 0, a A sao cho M* - < a M* (hoặc m* a < m* + )
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử M* = supA, điều kiện i) hiển nhiên thoả mãn.
Giả sử > 0, a A ta luôn có a M*- . Vậy M*- là 1 cận trên của A
M* = supA M* - điều này vô lý do đó M* - < a M*.
Điều kiện đủ: Điều kiện i) chứng tỏ M* là một cận trên.
Giả sử tồn tại cận trên M < M*. Đặt = M* - M > 0 theo ii) a A sao
cho M = M* - (M* - M) = M* - < a điều này vô lý. Suy ra M* là cận trên đúng
của A.
1.7 Phép tính số học trên tập số thực
1.7.1. Định nghĩa
Định nghĩa phép cộng. Giả sử cho hai số thực và xác định bởi hai nhát cắt
(A/B) và (A/B) tơng ứng.
Đặt A = {a '+ a ": a ' A ', a " A "} , B = {b '+ b ": b ' B ', b " B "} .
Ta có (A/B) làm thành một nhát cắt thành thử nó xác định một số thực .
Ta gọi là tổng của hai số thực và . Kí hiệu: = + .
Định nghĩa phép trừ. Ngời ta chứng minh rằng với mỗi cặp số thực , tồn
tại duy nhất số thực sao cho + = , ta gọi là hiệu của trừ , kí hiệu là
= - .
Tơng tự nh trên ta định nghĩa các phép toán còn lại.
1.7.2 Tính chất
1) Phép cộng và phép nhân thoả mãn tính chất giao hoán, phân phối, kết
hợp : a + b = b + a; ab = ba (a, b R); a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c; (ab)c
= a(bc), a, b, c

.

2) Tồn tại phần tử trung lập trong phép cộng và phép nhân:

10


! 0

: a

!1

:1

,a+0=0+a=a
, a.1 = 1.a = a

3) Tồn tại phần tử đối trong phép cộng và phần tử nghịch đảo trong phép
nhân

a
a

, ! (-a)

: a + (-a) = 0

, a 0, ! a-1

: a. a-1 = 1

4) Giữa phép cộng và phép nhân thoả mãn định luật phân phối
a(b + c) = ab + ac, a, b, c

.

5) Quan hệ sắp thứ tự thoả mãn:

Tính chất phản xứng: a b và b a a = b
Tính chất bắc cầu: a b và b c a c
6) a

a.a 0, a.a = 0 a = 0

7) a> b a+ c > b+ c, ac > bc (nếu c > 0), ac < bc (nếu c < 0), a, b
1.7.3. Giá trị tuyệt đối

a khi a 0
Đối với mỗi số thực a ta gọi số a =
là giá trị tuyệt đối của a.
a khi a < 0
Tính chất 1. a a a
Tính chất 2. a 0, a = 0 a = 0
Tính chất 3. a b b a b
Tính chất 4. a + b a + b , a b a b

ab = a . b ,

a a
=
b b

Tính chất 5. a b a b
1.7.4. Một số quy ớc
a) Số thực mở rộng: Mở rộng thêm hai phần tử + và - .

11


+ Nếu a là số thực thì - < a < +
+ = +
+ a = + a =
+ - là biểu thức không xác định
+
+ a(+) = (+) a =



nếu a R, b =
nếu a = , b > 0
nếu a = 0

+ a(-) = (-a)(+)

khi a R, b =
0
a
+ = khi a = , b > 0
b
khi a, b = , a = b = 0
b) Khoảng, đoạn, lân cận

[ a, b] = { x R : a x b}

[ a, b ) = { x R : a x < b}

( a, b ) = { x R : a < x < b}

( a, b] = { x R : a < x b}

U ( x0 , ) = ( x0 , x0 + ) gọi là lân cận của x0.
P ( x0 , ) = ( x0 , x0 ) U ( x0 , x0 + ) gọi là lân cận khuyết (hở, thủng) của
x 0.
2. Giới hạn của dãy số
2.1. Các khái niệm cơ bản
2.1.1. Khái niệm về dãy số
Định nghĩa. Cho ánh xạ f: N* -->

ta có bảng giá trị

f(1), f(2), ..., f(n), ...

(1)

Đặt xn = f(n) với n = 1, 2, 3, ... ta có bảng x1, x2, x3, ..., xn , ...

(2)

Ta sẽ gọi (2) là dãy số, xn là số hạng tổng quát hay phần tử thứ n của dãy, n là
chỉ số của số hạng đó. Kí hiệu {xn} = x1, x2, x3, ..., xn ,...

12


Dãy {xn} đợc gọi là bị chặn trên (hoặc dới) nếu C (hoặc c) sao cho xn

C (hoặc xn c), n.
Dãy {xn} vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dới đợc gọi là bị chặn.
Dãy {xn} đợc gọi là đơn điệu tăng (hoặc giảm) nếu n, m N: n < m
xn xm (hoặc xn xm).
Ví dụ.

{ xn } =

1
là dãy đơn điệu giảm, bị chặn.
n
2

{ xn } = {n3 } là dãy đơn điệu tăng, không bị chặn trên.
{ xn } = {( 1) } là dãy bị chặn, không đơn điệu.
n

2.1.2. Khái niệm về giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng { xn } có giới hạn hữu hạn là a (hay tiến tới a khi n tiến
tới ) nếu > 0, n N, n > n: xn a < .
Kí hiệu: lim xn = a hoặc xn a khi n.
n

Dãy { xn } có giới hạn hữu hạn ta gọi là dãy hội tụ, ngợc lại ta nói dãy
phân kỳ.

Ví dụ.

1
1) Dãy { xn } = n có giới hạn bằng 0.
2
1

Thật vậy, > 0 cho trớc, chọn n0 = log 2 thì n > n0 ta có:


xn 0 =

1
1
< lim xn = lim n = 0 .
n
n
n 2
2

2) Dãy { xn } = {n3 } phân kỳ. Thật vậy, giả sử dãy { xn } hội tụ đến a, chọn

= 1, với n đủ lớn: n3 > 1 + a, điều này vô lý vì luỹ thừa bậc 3 của các số tự
nhiên không bị chặn.
13


Định lí 1.3. Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử { xn } hội tụ đến 2 giới hạn khác nhau a và b.

Chọn = a - b > 0, n1, n2 N sao cho x n a <


2

với n > n1

xn b <


2

với n > n2

Chọn n0 = max{n1, n2} ta có

= a - b a - xn + xn - b <


2

+


2

= , n > n0. Điều này vô lý

Vậy định lý đợc chứng minh.
Định lí 1.4. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh. Giả sử lim xn = a , với = 1, n N sao cho x n a < = 1
n

a - 1 < xn < a + 1, n > n.
Chọn C = max{ 1 + a , 1 a , x1 , x 2 ,..., x n ,...} x n

C, n.

Vậy định lý đợc chứng minh.
Định nghĩa. Cho {xn} và dãy đơn điệu nghiêm ngặt các số tự nhiên
n1< n2 < n3 < ... < nk < nk+1 < ...

{ }

{ }

Ta sẽ gọi dãy xnk là dãy con của dãy {xn}. Kí hiệu: xnk { xn } , nk n.
Nếu dãy con hội tụ thì ta sẽ gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng của dãy
{xn}. Số bé nhất gọi là giới hạn dới, số lớn nhất gọi là giới hạn trên.

{ }

1 1
1
Ví dụ. xnk = 1, , ,...,
,... là dãy con của dãy của dãy
3 5
2k + 1

{ xn } = 1,

1 1
, ,...
2 3

Định lí 1.5. Nếu dãy { xn } hội tụ về a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a.

Chứng minh. Giả sử lim xn = a, > 0, n sao cho xn a < , n n . Vì
n

nk n > n nên ta có xnk a < lim xnk = a .
nk

14


{( 1) } phân kỳ
n

áp dụng Chứng minh dãy

Xét dãy con {x2k} = {1} hội tụ về 1
{x2k + 1} = {-1} hội tụ về -1.

Vậy

{( 1) } phân kỳ.
n

2.2. Các phép toán và tính chất của dãy hội tụ
2.2.1. Các phép toán trên giới hạn của dãy số
Định lí 1.6. Giả sử dãy { xn } hội tụ đến a và {yn} hội tụ đến b. Khi đó
i) { xn } hội tụ và lim xn = a
n

ii) Dãy { xn yn } hội tụ và lim ( xn yn ) = a b
n

iii) Dãy { xn . yn } hội tụ và lim xn . yn = a.b
n

x
x
a
iv) Nếu b 0 thì dãy n hội tụ và lim n = .
n y
b
n
yn

Chứng minh.
i) Sinh viên tự chứng minh.
ii) Giả sử lim xn = a,lim yn = b > 0, n1 , n2 N sao cho
n

n

n > n1 : xn a <

2

, n > n2 : yn b <


2

.

Chọn n0 = max{n1, n2}, n > n0 :

( xn + yn ) ( a + b )


xn a + yn b <


2

+


2

=

lim ( xn + yn ) = a + b .
n

Tơng tự ta chứng minh đợc rằng lim ( xn yn ) = a b .
n

iii) Theo định lí 1.4, dãy {xn} bị chặn, tức là C > 0 sao cho xn C , n .

15


Mặt khác, lim xn = a,lim yn = b , nếu với > 0 ta chọn 1 =
n

n


C+ b

>0,

n1, n2 N sao cho x n a < 1 và x n b < 1 với n > n1, n > n2
Chọn n0 = max{n1, n2} với n > n0 ta có:
xn yn ab = xn ( yn b ) + ( xn a ) b

xn yn b + b xn a < C.1 + b .1 =


lim xn yn = ab .
n

1 1
=

n y
b
n

iv) Trớc hết ta chứng minh lim

Từ (1) suy ra lim yn = b > 0 , với > 0, ta chọn 1 =
n

n > n0 ta có:

b
2

1
b , n0 sao cho
2

= b 1 < yn < b + 1 và yn b <

1 1 b yn

2
=
<
= 2
b b
yn b
b yn
b

2



1
1 1
1 1
< , n > n0 lim = .
Với > 0, chọn = b 2
n y
yn b
b
2
n
áp dụng iii) ta có điều phải chứng minh.

Chú ý.
1) Nếu cả hai dãy hội tụ thì tổng, hiệu, tích, thơng của chúng cũng hội tụ.
2) Nếu một dãy hội tụ, một dãy phân kỳ thì tổng, hiệu, tích, thơng phân
kỳ.
3) Cả hai dãy phân kỳ cha kết luận đợc.
4) Sự hội tụ hay phân kỳ của một dãy hoàn toàn không phụ thuộc vào hữu
hạn các số hạng ban đầu của nó.

16


Hệ quả. Nếu dãy {xn} hội tụ thì lim ( C + xn ) = C + lim xn với C là hằng số.
n

n

lim C.xn = C.lim xn .
n

n

2.2.2. Tính chất
Định nghĩa. Ta nói rằng {xn} nhỏ hơn hoặc bằng dãy {yn}, kí hiệu {xn} {yn}
nếu n0 với n > n0 ta có xn yn.
Định lí 1.7.
i) Giả sử {xn} và {yn} là các dãy hội tụ và {xn} {yn}. Khi đó

lim xn lim yn .
n

n

ii) Nếu lim xn < lim yn thì {xn} < {yn}.
n

n

iii) Giả sử {xn} {zn} {yn} và lim xn = lim yn = a thì lim zn = a .
n

n

n

Chứng minh.
i) Giả sử lim xn = a > lim yn = b .
n

n

Chọn = a - b > 0, n0 sao cho 0 = a - b - < xn - yn < a b + , n > n0



xn > yn, n > n0 , trái với giả thiết đpcm.
ii) Chọn =

1
b+a
( b a ) > 0, n0 : a < xn < a + =
2
2

b+a
= b < yn < b +
2

(2) với n > n0.

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
iii) Giả sử lim xn = lim yn = a
n

n

> 0, n1 , n2 N , n > n1 : a < xn < a +
n > n2 : a < yn < a +
Chọn n0 = max{n1, n2}: n > n0: a < xn zn yn < a +



zn a < lim zn = a .
n

17

(1)


Hệ quả.
1) Nếu lim xn = a và {xn} C thì a C.
n

2) Nếu lim xn = a < C thì n0 sao cho xn < C với n > n0.
n

3) lim xn = 0 khi và chỉ khi lim xn = 0 .
n

n

( 1)

áp dụng. lim
n

n

n

=0

sin n
=0
n 2 n

lim

n

1)
(
1
lim
= lim = 0
n n
n n

sin n 1 n

0 .
2n 2n



2.3. Điều kiện hội tụ của dãy số
2.3.1. Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu
Định lí 1.8
i) Nếu {xn} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và

xn lim xn , n .
n

ii) Nếu {xn} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới thì nó hội tụ và

xn lim xn , n .
n

Chứng minh.
i) Giả sử {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên. Khi đó a = sup{xn}



xn a, n.
Theo định lí 1.2, > 0, n0 sao cho a - < xn0 a. Mặt khác vì {xn} đơn

điệu tăng nên n > n0 ta có a - < xn0 xn a < a +

xn a < , n > n0 lim xn = a .
n

ii) Chứng minh tơng tự.
2.3.2. Bổ đề về các dãy đoạn thắt
18


Định nghĩa. Ta sẽ gọi dãy các đoạn thẳng {[an, bn]} là dãy các đoạn lồng thắt
nếu [ an+1 , bn+1 ] [ an , bn ] và lim ( bn an ) = 0 .
n

Bổ đề Căngto. Với mỗi dãy lồng thắt các đoạn thẳng tồn tại duy nhất điểm C
sao cho C [an, bn], n.

Chứng minh. Từ giả thiết [ an+1 , bn+1 ] [ an , bn ] {an} là dãy tăng, còn {bn} là
dãy giảm và đều bị chặn. Định lí 1.8 lim an = a và lim bn = b . Vì
n

n

lim ( bn an ) = 0 nên ta suy ra a = b.
n

Chọn C = a = b. Hiển nhiên an C bn , n hay C [an, bn], n.
Định lí 1.9. (Bônxanô - Wâyơtrát) Mỗi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ.

Chứng minh. Giả sử {xn} là dãy bị chặn a, b R sao cho a xn b, n .
Ta chia đôi [a, b] thì ít nhất một trong hai nửa của [a, b] chứa vô số phần
tử của dãy {xn}, kí hiệu nửa đó là [a1, b1]. Ta lại chia đôi [a1, b1], cũng lý luận
tơng tự ta nhận đợc nửa [a2, b2] của đoạn [a1, b1] chứa vô số phần tử của {xn}.
Cứ tiếp tục mãi quá trình trên đây ta nhận đơch dãy {[an, bn]} các đoạn thẳng có
tính chất [an+1, bn+1] [an, bn] và bn an =

1
( b a ) 0 khi n . Mỗi đoạn
2n

[an, bn] chứa vô số phần tử của {xn}. Theo bổ đề Căngto,

! c R sao cho

lim an = lim bn = c . Ta chọn dãy { xnk } nh sau:
n

n

Trong đoạn [a1, b1] chọn xn1 , trong [a2, b2] chọn x2 sao cho n2 > n1, cứ tiếp
tục quá trình nh trên ta đợc

{x } {x } .
nk

n

Mặt khác: ank xnk bnk mà

ank c , bnk c khi nk lim xnk = c .
nk

Định lí 1.10. (Nguyên lý Bôxanô - Côsi về dãy hội tụ) Để dãy {xn} hội tụ, điều
kiện cần và đủ là > 0, nhỏ tuỳ ý, n0 N sao cho xn xm < , n, m > n0 .

Chứng minh.
19


Điều kiện cần. Giả sử lim xn = a , thế thì > 0, n0 sao cho xm a <
n

xn a <




2


2

và

, n, m > n0.

xn xm = ( xn a ) ( xm a ) xn a + xm a <

+

2


2

= , m, n > n0

Ta có điều phải chứng minh.

Điều kiện đủ. Trớc hết ta chứng minh dãy {xn} bị chặn. Thật vậy với = 1, n0
sao cho xn xn0 +1 < 1 , n > n0 hay xn0 +1 1 < xn < xn0 +1 + 1, n > n0 . Điều này
chứng tỏ {xn} bị chặn.
Theo Định lí 1.9, dãy con { xnk } của dãy { xn } hội tụ đến a. Ta sẽ chứng
minh lim xn = a .
n



Ta có lim xn k = a > 0, m1 sao cho xnk a < , nk > m1
nk
2
Theo giả thiết m2 sao cho xn xnk <


2

(1)

(2), n > m2 (theo định nghĩa

dãy chứng minh nk n). Chọn n0 = max{m1, m2}.
Từ (1) và (2) xn a xn xnk + xnk a <



2

+


2

= , n > n0 .

lim xn = a (đpcm).
n

2.4. Đại lợng vô cùng bé - đại lợng vô cùng lớn
2.4.1. Đại lợng vô cùng bé (VCB)
Định nghĩa 1. Ta sẽ gọi dãy số 1 , 2 ,..., n ,... là một đại lợng vô cùng bé khi
n nếu lim n = 0 > 0, n0 N sao cho n < , n > n0.
n

Chú ý. Nếu { n } là VCB thì { n } , { n } là VCB khi n .

20

1
Ví dụ. n là VCB,
2

1 + ( 1)n

là VCB.
n



* Tính chất và phép toán
1) Tổng của hai đại lợng VCB là một đại lợng VCB.
2) Tích của hai đại lợng VCB là một đại lợng VCB.
3) Tích của một đại lợng VCB và một dãy hội tụ là một đại lợng VCB.
4) Tích của một đại lợng VCB và một đại lợng bị chặn là một đại lợng
VCB.

Chú ý.
1) Nếu lim n = 0 thì lim c n = 0 , với c là hằng số.
n

n

2) Thơng của hai đại lợng VCB cha chắc là VCB.


5
1

Ví dụ. n = , n = là hai VCB nhng n = 5 là hằng số.
n
n
n
3) Nếu lim an = a thì {an a} là VCB và ngợc lại.
n

2.4.2. Đại lợng vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa 1. Dãy số 1 , 2 ,..., n ,... đợc gọi là một đại lợng VCL khi

n

, nếu với mỗi số dơng M lớn tuỳ ý, n0 sao cho n > M , n > n0 .
Định nghĩa 2. Cho { n } , nếu với mỗi M > 0, lớn tuỳ ý, n0 N sao cho

n > M với n > n0 ta sẽ nói rằng dãy { n } có giới hạn bằng + và viết
lim n = + .
n

Tơng tự ta có lim n = nếu với n đủ lớn ta có n < M .
n

Ví dụ.

{( 1) .n} là một VCL, {n 5} là VCL.
n

2

Tính chất.

1) Nếu { n } là một VCL và n n , n thì { n } là một VCL.

21


2) Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL.

1
3) Nếu { n } là một VCL thì là một VCB.
n
1
4) Nếu { n } là một VCB và n 0 , n thì là một VCL.
n
2.5. Số e
n

1
Ta chứng minh đợc {an } = 1 + là dãy tăng và bị chặn trên bởi 3.
n


Thật vậy,

n ( n 1) ...( n n + 1) 1
1
1 n.( n 1) 1

an = 1 + = 1 + n. +
. 2 + ... +
. n

n
n
1.2
n
1.2...n
n

n

=1+1+

1
1
1
1 n 1
1
+ ... + 1
...1
+
n! n + 1 n + 1
2! n + 1
+



n
1
1
1
...1

( n + 1)! n + 1 n + 1

an < an+1
Ta có an < 1 + 1 +

1 1
1
1 1
1
1
+ + ... + < 2 + + + ... + n1 < 2 + + ...
2! 3!
2 4
2
2
n!

1 1
=2+ .
=3
2 1 1
2


{an }

n

1

hội tụ và lim an = lim 1 + = e = 2,71828828459015...
n
n
n

n

1
Ta chứng minh đợc lim 1 = e 1 .
n
n
2.6. Giới hạn trên - giới hạn dới

22


Định nghĩa. Số lớn nhất trong các giới hạn riêng của dãy { xn } đợc gọi là giới
hạn trên của nó. Kí hiệu: limxn .
n

Số bé nhất trong các giới hạn riêng của dãy { xn } đợc gọi là giới hạn dới
của nó. Kí hiệu: lim xn .
n

Định lí 1.11. Mọi dãy số { xn } đều có giới hạn trên và giới hạn dới trong tập số
thực mở rộng.
Định lí 1.12. Điều kiện cần và đủ để dãy { xn } có giới hạn (hữu hạn hoặc bằng

) là limxn = lim xn .
n

n

Chứng minh.
Điều kiện cần là hiển nhiên.
Điều kiện đủ. Giả sử limxn = lim xn = M. Khi đó n0 sao cho n > n0 ta
n

n

có: M - < xn < M + xn M < , với > 0 lim xn = M .
n

2
2
n
Ví dụ. { xn } = sin có giới hạn riêng 0,
,1, 1,
2
2
4

limxn = 1 , lim xn = 1 .
n

n

Đ2. Giới hạn hm số
1. Hàm số biến só thực
1.1. Định nghĩa

* Cho X

. Nếu ứng với mỗi giá trị của đại lợng x biến đổi trong

miền X tơng ứng 1 giá trị xác định của đại lợng biến đổi y thì ta nói rằng giữa
x và y đợc thiết lập một tơng quan hàm số, trong đó x là đại lợng biến đổi

23


độc lập (hay còn gọi là đối số) còn y là đại lợng biến đổi phụ thuộc. Ta gọi y là
hàm số của biến số x hay đối số x. Kí hiệu: y = f(x), y = (x).
Tập X gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm số. Kí hiệu Df, Dy.
f(X) = {f(x): x X} gọi là tập giá trị của hàm số.
* Ta gọi ánh xạ f: X
x a y = f(x)
là một hàm số, X là tập nguồn hay tập xác định,
Y = f(X) là tập đích hay tập giá trị.
Muốn xác định hàm số phải cho tập xác định, cho quy luật tơng ứng, y
= f(x) là giá trị của hàm số tại điểm x.
Ví dụ 1. y = 1 x 2 , Dy = [-1, 1], Tập giá trị : [0, +).
Ví dụ 2.

1 với x hữu tỷ
D( x) =
0 với x vô tỷ

TXĐ: Dy =

(Hàm Đirichlê)

, TGT = {0, 1}.

Ví dụ 3. Tổng của n số tự nhiên đầu tiên S ( n ) =

n ( n + 1)
, DS = N*.
2

1.2. Các phơng pháp biểu diễn hàm số
1.2.1. Phơng pháp giải tích. Quy tắc xác định giá trị của hàm số đợc cho
bằng một hay nhiều biểu thức toán học.
Ví dụ: y = ax + b; a, b

1 khi x > 0

signx = 0 khi x = 0
1 khi x < 0


(Hàm dấu)

Hàm phần nguyên y = [x] = n nếu n x < n + 1
[- 3,1] = - 4, [3, 1] = 3, [1] = 1.

24


1.2.2. Phơng pháp đồ thị. Trong mặt phẳng ta chọn hệ trục toạ độ Đềcác
vuông góc Oxy. Mỗi cặp giá trị x và y = f(x) sẽ ứng với điểm M(x, f(x)) trong hệ

trục Oxy.
Khi cho điểm x chạy khắp trong miền xác định Dy của hàm số tập tất cả
các điểm M(x, g(x)) sẽ tạo thành 1 đờng cong trong mặt phẳng, ta gọi đó là đồ
thị của hàm số y = f(x).
Khi hàm số y = f(x) đợc cho bằng đồ thị, muốn xác định các giá trị của
hàm số khi biết giá trị của đối số x ta tiến hành nh sau:
Từ điểm trên trục Ox có hoành độ x ta kẻ đờng thẳng song song với Ox
cắt Oy tại điểm có tung độ y. Giá trị tung độ đó chính là giá trị f(x) của hàm số.
Để đờng cong là đồ thị của hàm số nào đó cần đảm bảo tính chất mỗi
đờng thẳng song song với trục tung cắt đờng cong không quá 1 điểm.
y

y

y

y = f(x)
f(x)
O

2

M(x, f(x))
-1

x

1

1

O

x

1

2

O

x

x
-1
Hàm dấu

Hàm phần nguyên

1.2.3. Phơng pháp lập bảng. Giá trị của đối số x và giá trị tơng ứng của hàm
số y đợc liệt kê thành bảng
Hàm số S ( n ) =

n ( n + 1)
, n N đợc biểu diễn nh sau:
2
n

1

2

3

4

...

S(n) 1

3

6

10

...

Nhận xét. Từng phơng pháp có u điểm, nhợc điểm.
1.3. Các phép toán trên các hàm số
25


1.3.1. Tổng, hiệu, tích, thơng của các hàm số
Định nghĩa. Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên miền Df và Dg tơng ứng.
Ta nói rằng hàm số h(x) xác định trên Dh là tổng của g và f nếu thoả mãn:
i) Dh = Df Dg
ii) h(x) = g(x) + f(x), x Dh.
Tơng tự ta định nghĩa cho hiệu, tích, thơng, của hai hàm số (thơng ta
loại vì giá trị x làm cho g(x) = 0).
1.3.2. Hàm hợp

Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trong miền Df, g(x) xác định trong
miền Dg sao cho f(x) Dg, x Df. Ta sẽ gọi hàm xác định bởi quy tắc

h(x)

= g(f(x)), x Df là hàm hợp của f và g.
Kí hiệu h = gf hay h(x) = g(f(x)) trong đó f gọi là hàm trong, g gọi là hàm
ngoài.
Ví dụ. g ( y ) =

1
; Dy = ( 0, + ) , f ( x ) = 3 x + 1, D f = R.
y

Hàm hợp h ( x ) =

1
1
xác định với x > .
3
3x + 1

1.3.3. Hàm ngợc
Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, Y = f(X) thoả mãn tính
chất với mỗi y Y tồn tại duy nhất giá trị x X sao cho f(x) = y. Ta nói
rằng hàm x = (y) là hàm ngợc của hàm f nếu
i) MXĐ của hàm số là Y.
ii) (y) = x nếu f(x) = y, y Y. Kí hiệu f -1.

(

)

Chú ý. Từ định nghĩa ta có f f 1 ( y ) = y, f 1 ( f ( x ) ) = x , x X , y Y .
Ví dụ. Hàm số y = 2x + 1 có hàm số ngợc là x =

26

y 1
2


y = ax có hàm số ngợc là x = log a y
y = sinx không có hàm số ngợc trên cả trục số.
1.3.4. Quan hệ giữa các hàm số
Định nghĩa 1. Ta nói rằng hai hàm số f và g bằng nhau nếu:
i) Df = Dg
ii) f(x) = g(x), x Df.
Định nghĩa 2. Ta nói rằng hàm số f lớn hơn hàm số g trên X nếu chúng đều xác
định trên X và f(x) > g(x), x X. Kí hiệu: f > g.
1.4. Một số hàm số đặc biệt
1.4.1. Hàm bị chặn
Định nghĩa 1. Ta nói rằng hàm số y = f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dới) trên
miền X nếu tồn tại hằng số C (hoặc c) sao cho f(x) C (hoặc g(x) c), x X.
Hàm số đồng thời bị chặn trên và bị chặn dới đợc gọi là hàm bị chặn.

Nhận xét. Từ định nghĩa suy ra mệnh đề:
Để y = f(x) bị chặn trên X, điều kiện cần và đủ là K > 0 sao cho
f ( x ) K , x X .

Định nghĩa 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên X, ta sẽ gọi giá trị supf(X)
(hoặc inff(X)) là cận trên đúng (hoặc cận dới đúng) của hàm số trên X.
Kí hiệu: sup f ( x ) ( inf f ( x ) ).
xX

xX

Ví dụ. Hàm Đirichlê bị chặn sup f ( x ) = 1, inf f ( x ) = 0 .
xR

xR

Hàm số

y = x2 bị chặn dới bởi 0, không bị chặn trên

y=

1
bị chặn trên bởi 0, không bị chặn dới.
x2

1.4.2. Hàm đơn điệu
Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng:
+ Hàm số đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên X nếu với x1, x2 X, ta luôn có
x1 < x2 f(x1) f(x2) (hoặc f(x1) f(x2)).
27