Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m



ph¹m hiÕn b»ng




ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)






Thái Nguyên, 2011



®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m

ph¹m hiÕn b»ng




ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)

SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15)




Thái Nguyên, 2011



1

MỞ ĐẦU

Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ
bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không
gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải
tích phức nói riêng
Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến
thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp

theo.
Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ
khả tổng và
e
- tôpô cũng như
p
- tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập
tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền
kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ
hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình
bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên.
Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu
chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa
phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của
một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về

ánh xạ loại
p
l
và loại
s
.
Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên
cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày
ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp
đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành
toán.

.

2

Chương 1
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG
Lý thuyết 04 Thảo luận 02

Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm:
không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ
tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung
của các chương tiếp theo.
1.1. Không gian lồi địa phương
1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ
Giả sử
E
là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực
p
trên
E
gọi
là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn
1
) ( ) 0
N p x
³
với mọi
x E
Î
.
2

) ( ) ( ), ( , )
N p x p xl l l= Î =
¡ £
K K
, với mọi
x E
Î
.
3
) ( ) ( ) ( )
N p x y p x p y
+ £ +
với mọi
,
x y E
Î
.
Nửa chuẩn
p
gọi là chuẩn nếu
( ) 0 0
p x x
= Þ =
.
Từ
2
)
N
và
3

)
N
suy ra
( ) ( ) ( )
p x p y p x y
- £ -
với
,
x y E
Î
.
1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski
Tập con
A
trong không gian véctơ
E
gọi là
)
a
lồi nếu
(1 )
tx t y A
+ - Î
với mọi
,
x y A
Î
và
0 1
t

£ £
.
)
b
cân nếu
x A
l
Î
với mọi
x A
Î
và
1
l
£
.
)
c
hút nếu với mọi
x E
Î
tồn tại
0
e
>
sao cho
x A
l
Î
với mọi

l e
£
.
1.1.2.1. Rõ ràng nếu
p
là nửa chuẩn trên
E
thì
{ }
: ( ) 1
p
U U x E p x
= = Î <

hay
{ }
: ( ) 1
U x E p x
= Î £
%

là các tập lồi, cân, hút trong
E
. Ngoài ra

( ) inf{ 0 : }
x
p x U
l
l

= > Î
inf{ 0 : }.
x
U
l
l
= > Î
%

1.1.2.2. Giả sử
U
là tập lồi, cân, hút trong
E
. Khi đó công thức

3

( ) { 0 : }
U
x
p x inf U
l
l
= > Î

xác định một nửa chuẩn trên
E
, Nửa chuẩn
U
p

gọi là phiếm hàm Minkowski
kết hợp với
U
. Ta có
{ } { }
: ( ) 1 : ( ) 1
U U
x E p x U x E p xÎ < Ì Ì Î £

và nếu
{ }
: ( ) 1
U
W x E p x
= Î <
thì
U W
p p
=
.
1.1.2.3. Một cách tổng quát nếu
A
là tập con lồi, cân của
E
và
( )
E A
ký hiệu
không gian con véctơ sinh ra bởi
A

, thì công thức
( ) { 0 : }, ( )
A
x
p x inf A x E A
l
l
= > Î Î

xác định một nửa chuẩn trên
( )
E A
.
1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương
1.1.3.1. Không gian lồi địa phương
E
là không gian véctơ
E
cùng với một
họ
( )
CS E
F
các nửa chuẩn trên
E
sao cho với mọi
1
, , ( )
n
p p CS E

Î
F
đều
tồn tại
( )
p CS E
Î
F
để:

( )
1
( ), , ( ) ( )
n
max p x p x p x
£
với mọi
x E
Î
.
Sau này ta chỉ xét họ
( )
CS E
F
thỏa mãn

( )
H

, 0, ( ) : ( ) 0.

x E x p CS E p x
" Î ¹ $ Î ¹
F

Từ 1.1.2.1. và 1.1.2.2. suy ra không gian lồi địa phương
E
là không gian
véctơ
E
cùng với một họ
( )
E
F
U
các tập con lồi cân hấp thụ của
E
thỏa
mãn
1
, , ( )
n
U U E
" Î
F
U
,
( )
U E
$ Î
F

U
:
1

n
U U U
Ì Ç Ç

và
( )
H
tương đương với

( ) , 0, ( ) : .
H x E x U E x U
¢
" Î ¹ $ Î Ï
F
U

1.1.3.2. Rõ ràng mọi không gian lồi địa phương là không gian tôpô, với tôpô
xác định bởi
V
là lân cận của
( )
x E U E
Î Û $ Î
F
U
:

x U V
+ Ì
.

( )
H
¢
có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff.
1.1.3.3. Dễ thấy rằng nửa chuẩn
p
trên
E
là liên tục khi và chỉ khi
{ }
: ( ) 1
x E p x
Î <
hay tương đương
{ }
: ( ) , 0
x E p x r r
Î < >
là o- lân cận
(lân cận của
0
E
Î
).

4

1.1.4. Khụng gian con v khụng gian thng
1.1.4.1. Gi s
E
l khụng gian li a phng v
F E
è
. Ta núi
F
l
khụng gian con ca
E
nu
F
l khụng gian con vect ca
E
v
F
c xột
vi tụpụ cm sinh bi tụpụ ca
E
.
Nh vy
F
cng l khụng gian li a phng vi tụpụ xỏc nh bi
{ }
0
( ) : ( )
F
F U F U U U E

= = ầ ẻ
F
U
.
1.1.4.2. Gi s
F
l khụng gian con úng ca
E
. Khi ú khụng gian vect
thng
E
F
l khụng gian li a phng vi tụpụ cho bi
{ }
( ) ( ) : ( )
E
U F U E
F
= ẻ
F F
U U
,
õy
{ }
( ) : ,
U F U F x y x U y F
= + = + ẻ ẻ
.
Do
F

l úng nờn
( )
E
F
F
U
tha món
( )
H
Â
ngha l
E
F
l Hausdorff.
1.1.5. Tp b chn, hon ton b chn
1.1.5.1. Tp con
A
trong khụng gian li a phng
E
gi l
)
a
b chn nu
( )
U E
" ẻ
F
U
, 0 : .
A U

e e$ > è


)
b
hon ton b chn nu

1
1
( ), , , : ( ).
n
n i
i
U E x x E A x U
=
" ẻ $ ẻ è +
U
F
U

Rừ rng mi tp hon ton b chn l b chn.
1.1.5.2. H
( )
E
F
B
cỏc tp b chn gi l h c bn cỏc tp b chn nu vi
mi tp b chn
A E
è

tn ti
( )
B E
ẻ
F
B
sao cho
A B
è
.
Do bao li cõn ca tp b chn
A
:
1
1 1
( ) : | | 1, , ,
n n
i i i n
i i
A x x x A
l l
= =
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
G = Ê ẻ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ

ồ ồ

l tp b chn nờn sau ny cỏc tp thuc
( )
E
F
B
ta luụn coi l li cõn.
1.1.5.3. Vi
( )
U E
ẻ
F
U
, gi s
U
p
l phim hm Minkowski kt hp vi
U
.
Khi ú

5

{ }
: ( ) 0
U U
Ker p x E p x= Î =

là không gian con véctơ của

E
.
1.1.5.4. Một dãy suy rộng trong
E
là một họ các phần tử
{ }
I
x
a
a
Î
với
I
là tập
chỉ số định hướng:
, , : , .
I I
a b g a g b g
" Î $ Î < <

Dãy suy rộng
{ }
I
x
a
a
Î
gọi là
)
a

hội tụ tới
x
nếu
( )
U E
" Î
F
U
, : , .
U U
x x U
a
a a a
$ - Î " >


)
b
dãy Cauchy nếu
( )
U E
" Î
F
U
, : , , .
U U
x x U
a b
a a b a
$ - Î " >

Hiển nhiên mọi dãy suy rộng hội tụ đều là dãy suy rộng Cauchy. Không gian
lồi địa phương
E
gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy suy rộng đều hội tụ .
Mệnh đề. Mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian lồi địa
phương đầy là compact.
1.2. Không gian đối ngẫu với không gian lôi địa phương.
1.2.1. Định lý (Hahn-Banach). Giả sử
F
là không gian con của không gian
véctơ
E
và
p
nửa chuẩn trên
E
. Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính
f

trên
F
sao cho
( ) ( )
f x p x
£
với mọi
x F
Î
,

tồn tại phiếm hàm tuyến tính
ˆ
f
trên
E
sao cho
ˆ
F
f f
=
và
ˆ
( ) ( )
f x p x
£
với mọi
.
x E
Î

Định lý 1.2.1 là cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trong
không gian lồi địa phương.
1.2.2. Định nghĩa. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Không gian vectơ
E
¢
tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
E
gọi là đối ngẫu tôpô của

E
.
1.2.3. Trên
E
¢
thường xét ba tôpô lồi địa phương sau

)
a
Tôpô yếu
( , )
E E
s
¢
sinh bởi hệ các nửa chuẩn

6

{
}
1 1
( ) , , , , , , ,
n n
p f max x f x f x x E
= Î


)
b
Tôpô Mackey

( , )
E E
m
¢
sinh bởi hệ các nửa chuẩn
{
}
( ) , : ,
p f sup x f x K K E
= Î Ì
compact.

)
c
Tôpô yếu
( , )
E E
b
¢
sinh bởi hệ các nửa chuẩn
{
}
( ) , : ,
p f sup x f x B B E
= Î Ì
bị chặn.
Ở đây ta viết
,
x f
thay cho

( )
f x
.
Rõ ràng
( , ) ( , ) ( , )
E E E E E E
s m b
¢ ¢ ¢
£ £
và lần lượt là các tôpô hội tụ đều
trên các tập hữu hạn, compact, bị chặn.
1.2.4. Đổi vai trò
E
và
E
¢
ta có thể xét trên
E
tôpô
( , )
E E
s
¢
xác định bởi họ
các nửa chuẩn
{
}
1 1
( ) , , , , , , ,
n n

p x max x f x f f f E
¢
= Î

( , )
E E
s
¢
gọi tôpô yếu của
E
.
Ta có kết quả sau
Định lý.
( , ( , ))
E E E E
s
¢ ¢ ¢
=
và
( , ( , ))
E E E E
s
¢ ¢ ¢
=
.
1.2.5. Định lý (Mackey). Mọi tập con bị chặn yếu trong một không gian lồi
địa phương là bị chặn.
1.2.6. Cho
E
là không gian lồi địa phương và

M E
Ì
. Tập
{
}
0
: , 1,
M f E x f x M
¢
= Î £ " Î

gọi là pôla của
M
(trong
E
¢
).
Định lý (song pôla) Nếu
M
là tập lồi cân trong
E
thì
00
M
là bao đóng của
M
, trong đó

{
}

00 0
: , 1,M x E x f f M= Î £ " Î
.
1.2.7. Định lý (Alaoglu – Bourbaki). Nếu
U
là o- lân cận trong không gian
lồi địa phương
E
, thì
0
U
là
( , )
E E
s
¢
– compact.
1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt.
1.3.1. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Ta nói
E
là

)
a
Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong
E
¢
là đồng liên tục.

7


)
b

s
- tựa thùng nếu mọi tập đếm được bị chặn mạnh trong
E
¢
là đồng
liên tục.
Ở đây
A E
¢ ¢
Ì
gọi là đồng liên tục nếu tồn tại o– lân cận
U
trong
E

để
0
A U
¢
Ì
.
1.3.2. Nếu
E

là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các
o- lân cận, thì
E
là khả mêtric hay còn gọi là mêtric. Không gian lồi địa
phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay
( )
F
- không gian.
Mệnh đề. Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng.
1.3.3. Một không gian
s
- tựa thùng
E
trong đó có một dãy cơ bản các tập bị
chặn gọi là đối ngẫu mêtric. Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là
( )
F
¢
–
không gian.
1.3.4. Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa
phương cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề.
)
a
Nếu
E
là mêtric lồi địa phương thì
E
¢

là
( )
F
¢
– không gian.
)
b
Nếu
E
là đối ngẫu mêtric thì
E
b
¢
, nghĩa là
E
¢
xét với tôpô mạnh
( , )
E E
b
¢
là
( )
F
– không gian.
1.4. Không gian Banach.
1.4.1. Không gian lồi địa phương
E
gọi là không gian định chuẩn nếu tôpô
của nó có thể xác định bởi một chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là

không gian Banach.
1.4.2. Định lý (Conmogorov). Không gian lồi địa phương
E
là không gian
định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn.
1.4.3. Định lý (Riesz). Không gian lồi địa phương
E
là hữu hạn chiều nếu nó
có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn.
1.5. Không gian Hilbert.
1.5.1. Giả sử
E
là không gian véctơ phức. Một hàm
( )
. . :
E E
´ ®
£
gọi là
nửa tích vô hướng nếu.

( )
( )
( )
1
)
H x y z x z y z
a b a b+ = +
, với mọi
,

a b
Î
£
và
, ,
x y z E
Î
.

( )
(
)
2
)
H x y y x
=
với mọi
,
x y E
Î
.

8


( )
3
) 0
H x x
³

với mọi
x E
Î
.
Nếu
( )
0 0
x x x
= Þ =
thì (. .) gọi là tích vô hướng.
Nếu (. .) là tích vô hướng trên
E
thì công thức

( )
1
2
( ) | ,
U
p x x x x E
= Î

xác định một chuẩn trên
E
gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
1.5.2. Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô
hướng.
1.5.3. Định lý (Riesz). Nếu
E
là không gian Hilbert thì với mọi

f E
¢
Î
tồn
tại duy nhất
y E
Î
sao cho
( )
, ,
x f x y x E
= Î
.
1.5.4. Hai vectơ
,
x y E
Î
gọi là trực giao và viết là
x y
^
nếu
(
)
0.
x y
=

Một họ các phần tử
{ }
i

i I
e
Î
(viết là
[
]
,
i
e I
) gọi là hệ trực chuẩn nếu
( )
1,
0,
i j ij
i j
e e
i j
d
ì
=
ï
ï
= =
í
¹
ï
ï
î

Nếu

[
]
,
i
e I
là hệ trực chuẩn thì ta có bất đẳng thức sau
2
2
, ,
i
I
e x x x E
£ Î
å
. (bất đẳng thức Bessel)
Hệ trực chuẩn
[
]
,
i
e I
gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu

,
i
x e
^
với mọi
i

Þ

0
x
=
.
Mệnh đề. Hệ trực chuẩn
[
]
,
i
e I
là đầy đủ nếu và chỉ nếu

( )
| , .
i i
i I
x x e e x E
Î
= Î
å

1.6. Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương.
1.6.1. Giả sử
E
và
F
là không gian lồi địa phương. Ánh xạ
:

T E F
®

gọi là tuyến tính liên tục nếu
T
là ánh xạ tuyến tính, nghĩa là

( )
T x y T x T y
a b a b
+ = +
, với mọi
,
a b
Î
K
,
,
x y E
Î
,
và
T
là ánh xạ liên tục.
1.6.2. Cho
:
T E F
®
ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó công thức
, ,

x T b T x b
¢
=
, với mọi
,
x E b F
¢
Î Î
,

9

xác định ánh xạ
:
T F E
¢ ¢ ¢
®
gọi là ánh xạ đối ngẫu của
T
.
Nếu
E
và
F
là các không gian Hilbert, thì thay cho
:
T F E
¢ ¢ ¢
®
ta xét ánh

xạ liên hợp
*
:
T F E
®
xác định bởi
(
)
(
)
*
x T y T x y
=
,
x E
Î
,
y F
Î
.
1.6.3. Đối với hai không gian lồi địa phương
E
và
F
ta ký hiệu
( , )
E F
L
là
không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ

E
vào
F
.
1.6.4. Trên
( , )
E F
L
thường xét tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn và ký hiệu
là
( , )
E F
b
L
. Tôpô này xác định các họ nửa chuẩn
{ }
( , )
( ) ( ) : , ( ), ( )
A V V
p T sup p T x x A A E V F
= Î Î ÎB U

ở đây
( )
E
B
ký hiệu là họ tất cả các tập lồi cân bị chặn trong
E
còn
( )

F
U
là
họ tất cả các o- lân cận lồi cân trong
F
.
Khi
E
và
F
là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị
U

và
V
thì
( , )
E F
b
L
là không gian định chuẩn với chuẩn.

{ }
( ) ( ) :
V
T sup p T x x U
b = Î


{ }

0 : ( )
inf T U V
d d
= > Ì
.
Mệnh đề. Nếu
E
là không gian định chuẩn còn
F
là không gian Banach thì
( , )
E F
b
L
là không gian Banach.
1.6.5. Ánh xạ
( , )
T E F
Î L
, trong đó
E
và
F
là hai không gian định chuẩn
được gọi là
a) Hữu hạn chiều nếu
ImT
là không gian con hữu hạn chiều của
F
.

b) Compact nếu
( )
T U
hoàn toàn bị chặn, với
{
}
: 1
U x E x
= Î £
.
1.7. Không gian định chuẩn kết hợp với không gian lồi địa phương.
1.7.1. Cho
U
là o- lân cận tùy ý trong không gian lồi địa phương
E
. Khi đó

{ }
( ) : ( ) 0
U
N U x E p x= Î =

là không gian con vectơ của
E
. Đặt
( )
( )
E
E U
N U

=
. Dễ thấy rằng công
thức
( ( )) ( )
U
p x U p x
=
với mọi
( ) ( )
( )
E
x U x N U
N U
= + Î

xác định một chuẩn trên
( ).
E U


10
Giả sử
A
là một tập lồi, cân, đóng, bị chặn trong
E
. Ký hiệu
( )
E A
là
không gian con sinh bởi

A
. Ta có
{ }
( ) :
E A x E x A
d
= Î Î
với
0
d
>
nào đó
và công thức
{ }
( ) 0 :
A
p x inf x A
d d
= > Î

xác định một chuẩn trên
( )
E A
. Không gian này gọi là không gian định chuẩn
kết hợp với
A
.
1.7.2. Cho
( )
U E

Î U
và
0
( )
f E U
¢
Î
. Khi đó đẳng thức
ˆ
( ), , ,
x U f x f x E
= Î

xác định
ˆ
( )
f E U
¢
Î
thỏa mãn
{
}
0
ˆ ˆ
( ) ( ), : ( ( )) 1 ( ).
U
p f sup x U f p x U p f
¢
= £ =

Ngược lại, nếu
( ( ))
g E U
¢
Î
thì đẳng thức
( ) ( ( )), .
f x g x U x E
= Î

Xác định
0
( )
f E U
¢
Î
với
ˆ
.
f g
=
Như vậy
0
( ( )) ( ).
E U E U
¢ ¢
=

1.7.3. Cho
( )

A E
Î B
. Khi đó mọi
f E
¢
Î
công thức
ˆ
, , ( )
x f x f x E A
= Î

xác định
ˆ
( )
f E A
¢
Î
với
{ }
0
0
ˆ
( ) , : ( ) ( ( )).
A
p f sup x f x A p f p f A
¢
= Î = =

Như vậy

0
( )
E A
¢
có thể xét như không gian con của
( )
( ) .
E A
b
¢

1.7.4. Nếu
, ( )
U V E
Î U
thì các công thức
( ) ( )
U x x N U
p = +
,
x E
Î

và
( , )( ( )) ( )
V U x U x V
p =
,
x E
Î

xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục

( ) : ( )
U E E U
p ®
và
( , ) : ( ) ( )
U V E V E U
p ®

thỏa mãn

11
( ) ( , ) ( ).
U V U V
p p p= o

Tương tự nếu
, ( ),
A B E A B
Î Ì
B
thì các ánh xạ đồng nhất
( ) , ( )
e A x x x E A
= Î

và
( , ) , ( )

e A B x x x E A
= Î

xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục từ
( )
E A
vào
E
và từ
( )
E A
vào
( )
E B

thỏa mãn
( ) ( ) ( , ).
e A e B e A B
= o

1.8. Độ đo Radon
1.8.1. Giả sử
M
là không gian compact và
( )
M
C
ký hiệu là không gian
Banach các hàm thực hoặc phức liên tục trên
M

với chuẩn supremum, nghĩa
là nếu
( )
M
j
Î C
thì
{
}
( ) : .
sup x x M
j j= Î

1.8.2. Phiếm hàm tuyến tính liên tục
m
trên
( )
M
C

gọi là độ đo Radon trên
M
. Độ đo Radon
m
gọi là dương nếu
, 0,
j m
³
với mọi
( )

M
j
Î C
,
0.
j
³

Với mọi độ đo Radon
0
m
³
ta có
, ,
j m j m
£
với mọi
( )
M
j
Î C
,
0.
j
³

Nếu chuẩn của
m
ký hiệu là
( )

M
m
, thì

( ) 1,
M
m j
=
,
ở đây 1 là hàm đồng nhất trên
M
.
1.8.3. Giả sử
m
là độ đo Radon tuỳ ý trên
M
. Khi đó công thức
{
}
, , : ( ), ( ) ( )
sup M x x
j m y m y y j= Î £C

xác định một hàm giá trị thực
m
trên
{ }
( ) ( ) : 0 .
M Mj j
+

= Î ³C C

Hàm
m
có hai tính chất sau

, , ,
j y m j m y m
+ = +
với mọi
, ( )
M
j y
+
Î C


12

, ,
a j m a j m
=
với mọi
( )
M
j
+
Î C
và
0

a
³
.
Hàm này có thể mở rộng tới độ đo Radon dương trên
M
. Độ đo này cũng ký
hiệu là
m
. Ta có
, , ,
j m j m
£
với mọi
( )
M
j
Î C
.
1.8.4. Giả sử
m
là độ đo Radon dương trên
M
. Khi đó tồn tại duy nhất độ đo
(cũng ký hiệu là
m
) trên
s
-
đại số
m

å

sao cho

,
M
d
j m j m
=
ò
với mọi
( )
M
j
Î C
.
Ngoài ra
s
-
đại số
m
å
bao hàm
s
-
đại số Borel sinh bởi các tập con
đóng của M.
1.8.5. Đối với mỗi độ đo Radon dương
m
trên

M
, xác định nửa tích vô
hướng(..) trên
( )
M
C

( ) ( ) ( )
M
f g f x g x d
m
=
ò

và nửa chuẩn kết hợp
1
2
2
( ) ( )
M
f f x d
a
l m
ì ü
ï ï
ï ï
=
í ý
ï ï
ï ï

î þ
ò
.
Như vậy ta có không gian định chuẩn

( )
C M
Z
với
{ }
( ) : ( ) 0
Z f M f
a
l= Î =C
.
Kí hiệu
2
( )
L M
m
bao đầy của
( )
C M
Z
. Đó là không gian các hàm bình phương
khả tích theo độ đo
m
với đồng nhất.
0 ( ) 0.
f f

a
l
= Û =

1.8.6. Hàm f
A
(x) = 1 với x  A và f
A
(x) = 0 với x  A gọi là hàm đặc trưng
của A. Hàm có dạng
1
( ) ( )
i
n
i A
i
f x f x
a
=
=
å
.
Với
i
A
m
Î
å
rời nhau gọi là hàm
m

-
bậc thang. Tập hợp các hàm
m
-
bậc
thang là trù mật trong
2
( )
L M
m
.

13
Chương 2
ÁNH XẠ KHẢ TỔNG TUYỆT ĐỐI
Lý thuyết 12 tiết Thảo luận 04 tiết Kiểm tra 2 tiết

Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về ánh xạ khả tổng tuyệt
đối, ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt, mối liên hệ giữa
các loại ánh xạ nêu trên.
2.1. Các họ khả tổng
2.1.1. Họ số khả tổng
Cho
I
là tập chỉ số tuỳ ý. Họ số
[
]
,
i
I

x
đó là tập hợp các số thực hoặc
phức
i
x
, với
i I
Î
. Ký hiệu
( )
I
F

là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của
tập hợp
I
với quan hệ thứ tự theo bao hàm:
1 2
s s
£
khi và chỉ khi
1 2 1 2
; , ( )
I
s s s sÌ Î F
. Khi đó với mỗi
( )
I
s Î F

đặt
i
i
s
s
s
x
Î
=
å
ta nhận
được một dãy suy rộng
{ }
( )
I
s
s
s Î F
.
2.1.1.1. Định nghĩa. Nếu dãy suy rộng
{ }
( )
I
s
s
s Î F
có giới hạn hữu hạn
s
, thì
họ số

[
]
,
i
I
x
được gọi là khả tổng và có tổng là
s
và ký hiệu là
i
i I
s
x
Î
=
å
.
2.1.1.2. Bổ đề. Nếu với mỗi họ số
[
]
,
i
I
x

tồn tại số dương
r
sao cho

i

s
x r
£
å
với mọi
( )
I
s Î F
,
thì

4
i
s
x r
£
å
với mọi
( )
I
s Î F
.
Chứng minh. Giả sử
[
]
,
i
I
x
là họ số thực. Khi đó mỗi tập hợp

( )
I
s Î F
có thể
tách thành hai tập hợp

{ }
: 0
i
is s x
+
= Î ³
và
{ }
: 0
i
is s x
-
= Î <
.
Vì

14

i i
s s
x x r
+ +
= £
å å

và
i i
s s
x x r
- -
= - £
å å
,
nên

2
i i i
s s s
x x x r
+ -
= + £
å å å

Nếu
[
]
,
i
I
x
là họ các số phức, thì với các họ số thực
[
]
Re ,
i

I
x
và
[
]
Im ,
i
I
x
ta
có

Re( )
i i
Re
s s
x x r
= £
å å
và
Im Im( )
i i
vs
x x r
= £
å å

theo trên ta có

Re 2

i
s
x r
£
å
và
Im 2
i
s
x r
£
å
.
Từ đó

4
i
s
x r
£
å
.
2.1.1.3. Định lý. Họ số
[
]
,
i
I
x

là khả tổng khi và chỉ khi tồn tại số dương
r

sao cho
i
s
x r
£
å
với mọi
( )
I
s Î F
.
Chứng minh. Giả sử
s
là tổng của họ khả tổng
[
]
,
i
I
x
. Khi đó tồn tại tập hợp
0
( )
I
s Î F
sao cho
1

s s
s
- £
với mọi
( )
I
s Î F
,
0
.
s s
³
Khi đó với mọi
( )
I
s Î F
ta có đánh giá sau
0 0 0
\
1 .
i i i i
s s s
s s s s s s
x x x x
È
£ - + - £ + +
å å å å

Do đó theo bổ đề 2.1.1.2 với mọi
( )

I
s Î F
ta có

0
4(1 )
i i
s
s s
x x
£ + +
å å

Ngược lại, giả sử với họ số
[
]
,
i
I
x
tồn tại số dương
r
sao cho
i
s
x r
£
å
với mọi
( )

I
s Î F
.

15
Khi ú

0
sup : ( )
i
I
s
r x s r
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
= ẻ Ê < + Ơ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ
F
. (1)
Do ú tn ti dóy n iu tng
1 2

n
s s s
< < < <

cỏc tp hp thuc
( )
I
F
sao cho

0
1
n
i
n
s
x r
Ê -
ồ
(2)
T (1) v(2) ta cú

1
i
n
s
x
Ê
ồ
vi mi
( )
I
s ẻ F
,

.
n
s s
ầ = ặ
. (3)
Gi s

.
n
n i
s
s
x
=
ồ

Do (3) vi mi s t nhiờn
, ;
m n m n

ta cú
\
1
.
m n
m n i
s s
n
s s
x- Ê Ê

ồ

T ú
{ }
n
s
l dóy Cụsi nờn hi t n
s
. Vỡ th vi mi
0
d
>
, tn ti s t
nhiờn
n
sao cho
2
n
d

v
2
n
s s
d
- Ê
. Nhng khi ú vi mi tp hp
( )
I
s ẻ F

,
n
s s

,ta cú
\
1
.
2
n
i n
s s s s
n
s
s s
d
x d
- = + - Ê + Ê
ồ

Vy h
[
]
,
i
I
x

kh tng v cú tng l
s

.
2.1.1.4. Mnh . Mi h kh tng cú khụng quỏ m c cỏc s khỏc
khụng.
Chng minh. Cho h s
[
]
,
i
I
x

kh tng. Ký hiu nh trong 2.1.1.3 v t

16
0
1
n
n
s s
¥
=
=
U
. Khi đó
0
s
hữu hạn hoặc đếm được và nếu
0
i
s

Ï
, thì
1
i
n
x
£

với mọi số tự nhiên
n
. Vậy
0
i
x
=
với mọi
0
i
s
Ï
.
2.1.1.5. Định nghĩa. Họ số
[
]
,
i
I
a
được gọi là hội tụ đến 0, nếu với mỗi số
0

d
>
tồn tại tập hợp
0
( )
I
s Î F
sao cho
i
a d
£
với mọi
0
i
s
Ï
.
Tập hợp
I
c
tất cả các họ số như thế tạo thành không gian Banach đối với các
phép toán
[ ] [ ] [
]
,
i i i i
I
a b a b+ = +
và
[ ] [

]
,
i i
I
l a l a=

và chuẩn
[ ]
{
}
, sup : .
i i
I i I
l a a
¥
= Î

Vì mỗi dạng tuyến tính liên tục
x
trên
I
c
có thể biểu diễn dưới dạng
[ ]
, ,
i i i
i
I x
a a x
á ñ=

å
,
trong đó
[
]
,
i
I
x
là họ khả tổng xác định duy nhất, nên không gian đối ngẫu với
I
c
được đồng nhất với không gian Banach
1
I
l
tất cả các họ số khả tổng với
chuẩn
[ ]
1
, .
i i
i
I
l x x
=
å

Ta cũng có khẳng định tương tự sau đây: không gian đối ngẫu với
1

I
l
được
đồng nhất với không gian Banach
I
m
tất cả các họ số bị chặn.
2.1.1.6. Bổ đề. Nếu
[
]
,
i
I
x
là họ số có tính chất
i i
i
a x
< + ¥
å
với mọi
[ ]
,
i I
I c
a
Î
, thì
.
i

i
x
< + ¥
å

Chứng minh. Giả sử
.
i
i
x
= + ¥
å
Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các tập
hợp
( )
r
I
s Î F
bắt đầu với
0
s
= Æ
sao cho
2
.
r
i
r
s
x ³

å
Khi đó họ số

17
[
]
,
i
I
a
,
1
i
n
a
=
vi
1
\
n n
i
s s
-
ẻ

( 1,2, )
n =
v
0
i

a
=
vi
1
n
n
i
s
Ơ
=
ẽ
U

thuc vo
I
c
. Do ú
i i
i
a x
< + Ơ
ồ
. Nhng iu ú khụng th xy ra, bi vỡ
r
i i i i
r
s s
a x a x

ồ ồ

vi mi
r
.
2.1.1.7. nh ngha. H s
[
]
,
i
I
x
c gi l bỡnh phng kh tng nu
2
.
i
I
x
< + Ơ
ồ

Tp hp
2
I
l
tt c cỏc h s nh th to thnh khụng gian tuyn tớnh i vi
cỏc phộp toỏn
[ ] [ ] [
]
,
i i i i
I

x h x h
+ = +
v
[ ] [
]
,
i i
I
l x l x
=
,
trờn ú ta a vo tớch vụ hng
[ ][ ]
( , , , ) ,
i i i i
I
I I
x h x h
=
ồ

ú v phi tn ti theo bt ng thc Holder
1/ 2 1/ 2
2 2
i i i i
I I I
x h x h
ỡ ỹ ỡ ỹ
ù ù ù ù
ù ù ù ù

Ê < + Ơ
ớ ý ớ ý
ù ù ù ù
ù ù ù ù
ợ ỵ ợ ỵ
ồ ồ ồ
,
vi mi cp h s bỡnh phng kh tng. D chng minh rng
2
I
l
l khụng
gian y trong tụ pụ li a phng sinh bi chun
[ ]
1/ 2
2
2
,
i i
I
Il x x
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
=
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ

,
xỏc nh tớch vụ hng ú. Nh vy
2
I
l
l khụng gian Hilbert.
2.1.1.8. B . Nu
[
]
,
i
I
a
l h s cú tớnh cht

1/ 2
2
i i i
i I
a x a x
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
Ê
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ ồ
vi mi

[ ]
2
,
i I
I l
x
ẻ
,
thỡ
2
2
.
i
i
a a
Ê
ồ


18
2.1.2. H kh tng yu trong khụng gian li a phng
2.1.2.1. nh ngha. H
[ ]
,
i
x I
cỏc phn t ca khụng gian li a phng
E

c gi l h kh tng yu, nu

,
i
I
x a
ỏ ủ < + Ơ
ồ
vi mi dng tuyn tớnh
liờn tc
.
a E
Â
ẻ

T nh ngha trc tip suy ra tp hp
[
]
1
I
l E
gm tt c cỏc h kh tng yu
[ ]
,
i
x I
trong
E
to thnh khụng gian tuyn tớnh i vi cỏc phộp toỏn
[ ] [ ] [
]
,

i i i i
x y x y I
+ = +
v
[ ] [
]
,
i i
x y I
a a=
.
Gi s
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
ẻ
, tp hp
: 1, ( )
i i i
I
A x I I
a a
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
= Ê ẻ

ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ
F

l b chn yu trong
E
, vỡ
, ,
i i i
I I
x a x aa
ỏ ủ Ê ỏ ủ < + Ơ
ồ ồ

vi bt k dng tuyn tớnh liờn tc
.
a E
Â
ẻ
Theo nh lý Macki 1.2.5 suy ra
A
l tp b chn trong
E
. Do ú vi mi lõn cn ca khụng
( )
U E
ẻ U

tn ti
s dng
r
sao cho

i i
I
x U
a r
ẻ
ồ
vi mi
( )
I I
ẻ F
v
i
a
vi
1.
i
a
Ê

Núi riờng, sau khi chn
i
a
vi
1
i

a
Ê
sao cho
, ,
i i i
x a x a
a
ỏ ủ= ỏ ủ
vi mi
dng tuyn tớnh liờn tc
0
a U
ẻ
, ta nhn c

, ,
i i i
i i
x a x a
a r
ỏ ủ =ỏ ủÊ
ồ ồ
vi mi
( )
I I
ẻ F
v
0
a U
ẻ

.
Do ú

[ ]
0
, sup , : .
U i i
i
x I x a a Ue r
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
= ỏ ủ ẻ Ê < + Ơ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ


19
Dễ thấy rằng khi
U
chạy khắp
( )
E
U
,
U
e

tạo thành hệ các nửa chuẩn trên
[
]
1
I
l E
, xác định tôpô lồi địa phương trong
[
]
1
I
l E
và được gọi là
e
-
tô pô.
2.1.2.2. Mệnh đề. Nếu
E
là không gian đầy đủ thì
[
]
1
I
l E
là không gian đầy
đủ.
Chứng minh. Giả sử
{
}
( )

,
i
x I
a
é ù
ë û
là hệ Côsi tuỳ ý trong
[
]
1
I
l E
. Khi đó
{
}
( )
i
x
a

với mỗi chỉ số
i I
Î
là hệ Côsi trong
E
, sao cho tồn tại phần tử
i
x E
Î
sao

cho

( )
lim .
i i
x x
a
a
=
(1)
Ta sẽ chứng minh rằng hệ Côsi
{
}
( )
,
i
x I
a
é ù
ë û
hội tụ trong
e
-
tô pô tới họ
[ ]
,
i
x I
.
Thật vậy, với mỗi lân cận của không

( )
U E
Î U
tồn tại chỉ số
0
b
sao cho

( ) ( )
, 1
i i
i
x x a
a b
á - ñ £
å
với mọi
0
a U
Î

và
0
, .
a b b
³
(2)
Từ (1) và (2) ta nhận được bằng cách qua giới hạn

( )

, 1
i
i
x x a
b
á - ñ £
å
với mọi
0
a U
Î

và
0
.
b b
³
(3)
Do đó với mỗi
0
a U
Î

ta có

( ) ( ) ( )
, , , 1 ,
i i i i i
i i i i
x a x x a x a x a

b b b
á ñ £ á - ñ + á ñ £ + á ñ < + ¥
å å å å
.
Vì mỗi dạng tuyến tính liên tục
a E
¢
Î
được chứa trong
0
U
với lân cận của
không
( )
U E
Î U
,
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
Î
. Nhưng khi đó từ (3) trực tiếp suy ra
[ ]
( )
, lim ,
i i

x I x I
b
b
e
é ù
= -
ë û
.
Vậy
[
]
1
I
l E
là không gian đầy đủ.
2.1.3. Họ khả tổng trong không gian lồi địa phương
Giả sử
E
là không gian lồi địa phương và
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
Î
. Với mỗi
( )
I

s Î F
đặt

20
,
( )
0,
i
i
x i
x
i
s
s
s
Î
ì
ï
ï
=
í
ï
Ï
ï
î
.
Khi đó ta nhận được dãy suy rộng
[ ]
{
}

[
]
1
( ),
i I
x I l E
s Ì
.
2.1.3.1. Định nghĩa. Họ
[ ]
,
i
x I
các phần tử của không gian lồi địa phương
E

được gọi là họ khả tổng, nếu
[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -
.
Từ định nghĩa suy ra tập hợp
1
( )
I
l E

gồm tất cả các họ khả tổng
[ ]
,
i
x I
trong
E

tạo thành một không gian con tuyến tính của
[
]
1
I
l E
với các phép toán
[ ] [ ] [
]
,
i i i i
x y x y I
+ = +
và
[ ] [
]
,
i i
x y I
a a=
.
1

( )
I
l E
được xét với tô pô cảm sinh của
[
]
1
I
l E
.
2.1.3.2. Mệnh đề. Với mỗi không gian lồi địa phương
E
, không gian
1
( )
I
l E
là
không gian con tuyến tính đóng của
[
]
1
I
l E
.
Chứng minh. Giả sử họ
[ ]
[
]
1

,
i I
x I l E
Î
thuộc vào bao đóng của
1
( )
I
l E
. Khi đó
với mỗi lân cận của không
( )
U E
Î U
đều tồn tại họ
[ ]
1
, ( )
i I
y I l E
Î
sao cho
[ ]
1
,
3
U i i
x y Ie
- £
.

Giả sử
0
( )
I
s Î F
sao cho

[ ]
1
( ),
3
U i i
y y Ie s
- £
với mọi
( )
I
s Î F
,
0
s s
³
.
Khi đó từ
[ ] [ ] [ ] [
]
( ), , ( ), ( ) ( ),
U i i U i i U i i U i i
x x I x y I y y I y x I
e s e e s e s s- £ - + - + -

suy ra
[ ]
( ), 1
U i i
x x Ie s
- £

với mọi
( )
I
s Î F
,
0
s s
³
.

Do đó
[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -
,
tức là
[ ]
1

, ( )
i I
x I l E
Î
.

21
Từ các mệnh đề 2.1.2.2 và 2.1.3.2 ta có
2.1.3.3. Mệnh đề. Nếu
E
là không gian đầy đủ, thì
1
( )
I
l E
là không gian đầy
đủ.
2.1.3.4. Mệnh đề. Nếu
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
Î
và
[ ]
,
i I

I c
a
Î
, thì
[ ]
1
, ( )
i i I
x I l E
a Î
.
Chứng minh. Với bất kỳ lân cận của không
( )
U E
Î U
đều tồn tại tập hợp
0
( )
I
s Î F
sao cho
[ ]
1
( , 1)
i U i
x Ia e
-
£ +
với mọi
0

i
s
Ï
.
Khi đó với mỗi tập hợp
( )
I
s Î F
,

0
s s
³
và
0
a U
Î
ta có
[ ]
1
\
, ( , 1) , 1
i i U i i
I I
x a x I x a
s
a e
-
á ñ £ + á ñ £
å å

.
Từ đó suy ra

[ ] [
]
, lim ( ),
i i i i
x I x I
s
a e a s= -
.
2.1.3.5. Định lý. Họ
[ ]
,
i
x I
trong không gian lồi địa phương
E
là khả tổng
khi và chỉ khi họ các tổng riêng hữu hạn

i
s x
s
s
=
å
,
( )
I

s Î F

tạo thành một dãy Côsi suy rộng.
Chứng minh. Nếu
{
}
s
s
là dãy Côsi thì với mỗi lân cận của không
( )
U E
Î U

đều tồn tại
0
( )
I
s Î F
sao cho

1 2
1
4
s s U
s s
- Î
với mọi
1 2
, ( )
I

s s Î F
,
1 2 0
,
s s s
³
.
Khi đó với bất kỳ
0
a U
Î
và
0
( \ )
I
s s
Î F

ta có bất đẳng thức

0 0
1
, ,
4
i
x a s s a
s s s
s
È
á ñ = á - ñ £

å
.
Do bổ đề 2.1.1.2 suy ra với mọi
0
a U
Î
ta có

0
0
\
, , : ( \ ) 1
i i
I
x a sup x a I
s s
s s
ì ü
ï ï
ï ï
á ñ = á ñ Î £
í ý
ï ï
ï ï
î þ
å å
F
.

22

Điều đó có nghĩa là với mọi
( )
I
s Î F
,
0
s s
³
ta có

[ ]
( ), 1
U i i
x x Ie s
- £
.
Vì
( )
U E
Î U
tuỳ ý nên

[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -
, tức là

[ ]
1
, ( )
i I
x I l E
Î
.
Ngược lại, nếu
[ ]
,
i
x I
là họ khả tổng tuỳ ý trong
E
, thì

[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -

và dãy suy rộng
[ ]
{
}
( )
( ),

i
I
x I
s
s
Î F

là dãy Côsi trong
1
( )
I
l E
. Do đó với mọi
( )
U E
Î U
đều tồn tại
0
( )
I
s Î F
sao cho

[ ]
1 2
( ) ( ), 1,
U i i
x x Ie s s
- £

với mọi
1 2
, ( )
I
s s Î F
,
1 2 0
,
s s s
³
.
Từ đó suy ra với mọi
0
a U
Î
ta có bất đẳng thức

[ ]
1 2
1 2
, ( ) ( ),
i i
I
s s a x x a
s s
s s
á - ñ = á - ñ
å

[ ] [ ]
1 2 1 2
( ) ( ), ( ) ( ), 1
i i U i i
I
x x a x x Is s e s s
£ - £ - £
å
.
Theo định lý song pôla suy ra

1 2
s s U
s s
- Î
với mọi
1 2
, ( )
I
s s Î F
,
1 2 0
,
s s s
³
.
Vậy
{
}
s

s
là dãy Côsi suy rộng đối với mọi họ khả tổng
[ ]
,
i
x I
.
2.1.4. Họ khả tổng tuyệt đối trong không gian lồi địa phương
2.1.4.1. Định nghĩa. Họ
[ ]
,
i
x I
các phần tử của không gian lồi địa phương
E

được gọi là họ khả tổng tuyệt đối, nếu

( )
U i
I
p x
< + ¥
å
với mọi lân cận của không
( )
U E
Î U
,
ở đây ký hiệu

U
p
là nửa chuẩn kết hợp với
U
:

{
}
0 : .
U
x
p inf U
l
l
= > Î