Cách gải các bài toán thể tích khối đa diện trong các đề thi đại học từ năm 2002 đến nay

S GIO DC & O TO THA THIấN HU
trường trung học phổ thông vinh xuâ
&

sáng kiến kinh nghiệm

B mụn: Toỏn hc
đề tài :

ứng dụng của phương pháp xác
định hình chiếu một điểm lên mặt
phẳng để giảI các bài toán hình
học không gian
trong các đề thi đại học

H v tờn: lê-viết-hòa
T: Toỏn
n v: Trng THPT Vinh Xuõn
Vinh Xuõn, thỏng 03 nm 2013


MỤC LỤC
Trang
Phần 1 -MỞ ĐẦU………………………………........……......…….....……2
1.1 - Lý do chọn đề tài
1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần 2 -NỘI DUNG …………………………………….............…......…....4
2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT…………………………………….........……4

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT
ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG.....………………………………….…..5
2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA…………………………………......……6
2.4 - BÀI TẬP ………………………………………………….......…..15
Phần 3 -KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ …………………........……..........…16
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................17

−−−−−—&–−−−−−

Trang 2


Phần 1 -

MỞ ĐẦU

1.1 - Lý do chọn đề tài
Bài toán “Tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” trong
chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông (THPT) thường xuất
hiện trong các đợt kiểm tra cuối học kỳ, kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển
sinh Đại học−Cao đẳng. Tuy nhiên nhiều bài toán tính thể tích của khối đa
diện, tính khoảng cách và góc đòi hỏi người học phải nắm vững cách xác định
hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách, từ đó mới tính
được thể tích của khối đa diện; xác định được khoảng cách và góc.
Mặt khác, các dạng toán về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng
cách và góc lại đa dạng, phong phú mà trong thời lượng có hạn ở lớp thì giáo
viên cũng khó truyền đạt hết được. Hơn nữa kỹ năng xác định hình chiếu của
một điểm lên mặt phẳng đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kỹ năng cơ bản
về quan hệ vuông góc, quan hệ song song ở chương trình môn toán lớp 11 mà
đa số học sinh không theo kịp.

1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”
này sẽ giúp học sinh hệ thống được cách xác định hình chiếu của một điểm
lên mặt phẳng; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết các bài
toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường gặp trong
chương trình Toán THPT thông qua việc xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng.
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.3.1. Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.
1.3.2. Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại
học-cao đẳng”
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”
cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính
Trang 3


thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra
trong các đề thi Đại học-Cao đẳng.
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý
thuyết.

Trang 4


Phần 2 -

NỘI DUNG

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2. 1.1. Khái niệm về hình chiếu
a. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α).
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng
đi qua M và song song với ∆ sẽ cắt (α) tại điểm M’ xác định. Điểm M’
được gọi là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (α) theo phương của
đường thẳng ∆ hay nói gọn là theo phương ∆.
(Hình học 11, trang 72, nxb GD 2007)
b. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng
(α). Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên
mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc
lên mặt phẳng (α).
(Hình học 11, trang 102, nxb GD 2007)
2. 1.2.Nhận xét: Từ khái niệm về phép chiếu vuông góc, ta có nhận xét sau:
+ Nếu điểm A’ là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (α) thì AA’⊥(α).
Như vậy để chứng tỏ A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mp(α)
thì ta phải chứng minh đường thẳng AA’⊥(α) và điểm A’∈(α).
+ Cho đường thẳng d không vuông góc với
mp(α). Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại
điểm O, ta lấy điểm A tùy ý trên đường thẳng d
khác điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
điểm A trên mp(α) và ϕ là góc giữa d và (α).
Khi đó ·AOH = ϕ .
+ Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo
giao tuyến d và ϕ là số đo góc của hai mặt phẳng
(α) và (β). Khi đó từ một điểm M∈(α) (mà

Trang 5


M∉d) ta xác định hình chiếu I của điểm M trên đường thẳng d và xác định
hình chiếu H của M trên mp(β). Khi đó

·
=ϕ
( (·α ) , ( β ) ) = MIH

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA
MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG
2. 2.1.Ba bài toán cơ bản về xác định hình chiếu của một điểm lên mặt
phẳng
a. Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết một đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) đó.
b. Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết điểm S thuộc mặt phẳng (Q) mà (Q)⊥(P).
c. Bài toán 3: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết hai mặt phẳng (Q) và (R) cắt nhau, cùng vuông góc với (P).
2. 2.2.Các bước xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P)
Bước 1. Xác định đường thẳng ∆⊥(P);
+ Ở bài toán 1 thì đường thẳng ∆ đã có sẵn;

+ Ở bài toán 2 thì đường thẳng ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(Q) qua S và ∆ vuông góc với giao tuyến m của hai
mặt phẳng (P) và (Q);
m

+ Ở bài toán 3 thì đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q)

và (R).

Trang 6


Bước 2. Xác định giao điểm H của đường thẳng d với mặt phẳng (P),
trong đó d là đường thẳng qua S và d song song với ∆;
2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Trong các đợt kiểm tra định kỳ, kiểm tra học kỳ, thi tốt nghiệp THPT,
thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng các bài toán hình học không gian thường
được khai thác nhiều là hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ. Do đó các ví
dụ sau đây chủ yếu sẽ xoay quanh hai loại hình (khối) chóp và hình (khối)
lăng trụ.
2. 3.1.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm. Tính khoảng cách từ A tới
mp(BCD).
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối D)
Giải:
+ Gọi I là hình chiếu của A trên BC. Khi đó DI ⊥BC.
Suy ra: (ADI)⊥(BCD) (*).
Gọi H là hình chiếu của A trên DI. Từ (*) suy ra
AH⊥(BCD).
Do đó d(A,(BCD))=AH.
Xét tam giác ADI vuông tại A có AH là đường cao
nên ta có:

1
1
1

= 2+
(1)
2
AH
AI
AD 2

+ Xét tam giác ABC có BC2= AC2+ AB2 nên tam giác ABC vuông tại A có AI
là đường cao. Do đó, ta có:
Từ (1) và (2), ta có:

1
1
1
=
+
(2)
2
2
AI
AB
AC 2

1
1
1
1
1
1 1 1
=

+
+
= 2+ 2+ 2
2
2
2
2 ⇒
2
AH
AB
AC
AD
AH
3 4 4

6 34
Vậy d( A,( BCD ) ) = AH =
( cm ) •
17
Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ hay phương pháp
Trang 7


thể tích để tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BCD).
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của
đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối chóp A'.ABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng AA’
và B’C’.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối A)

Giải:
+ Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó A’H⊥(ABC).
Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A nên
1
BC=2a và AH = BC = a .
2
Xét tam giác AHA’ vuông tại H nên A ' H = a 3 .
Do đó VA '. ABC

1
a3
= S ABC . A ' H = ( ®vtt )
3
2

+ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng A’A và B’C’.
Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên B’H=2a, do đó tam giác BB’H cân tại
B’.
· ' BH (vì A’A//BB’). Suy ra cos ϕ = 1 •
Từ đó, ta có ϕ = B
4
Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải.
2. 3.2.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt
bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM
vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối A)
Giải:
+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD. Khi đó

H là trung điểm của AD và SH⊥(ABCD)
Trang 8


⇒SH⊥BP (1).
Trong hình vuông ABCD, ta có BP⊥HC (2).
Từ (1) và (2), ta có: BP⊥(SHC)⇒BP⊥SC.
 AN // HC
Mà 
⇒BP⊥(AMN)
 MN // SC
Vậy BP⊥AM (đpcm)
+ Ta có SH⊥(ABCD)⇒ (SHB)⊥(ABCD) và (SHB)∩(ABCD)=HB. Do đó, ta
gọi K là hình chiếu của điểm M trên HB thì MK⊥(ABCD)⇒ MK⊥(CNP).
Xét °SAD đều cạnh a có SH là đường cao nên SH =

a 3
.
2

Xét °SHB có MK//SH (vì SH và MK cùng vuông góc với (ABCD)) nên
MK =

SH a 3
.
=
2
4

Do đó, ta có VCPMN

Ví dụ 2:

1
1  1 a a  SH a 3 3
= SCNP .MK = . . . ÷.
=
( ®vtt ) •
3
3 2 2 2 2
96

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a,
SB = a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung
điểm của AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và
tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B)

Giải:
+ Do ABCD là hình vuông nên BD⊥AC⇒BD⊥MN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó
SH⊥(ABCD).
Xét tam giác SAB có AB 2 = SA2 + SB 2 ⇒tam giác
SAB vuông tại S; có SH là đường cao của tam giác
SAB nên

1
1
1
= 2 + 2 ⇒ SH = a 3 .
2

SH
SA SB
2

Trang 9


Do vậy, ta có VS .BMDN

3
1
1 1
 a 3 a 3
= S BMDN .SH = . .a 2.2a 2 ÷.
=
( ®vtt )
3
3 2
3
 2

+ Trong mặt phẳng (ABCD), ta kẻ đường thẳng qua M song song với DN cắt
AD tại E, khi đó SA⊥AE và AE =

(

a
. Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SM
2

) (

)

· , DN = SM
· , ME .
và DN. Khi đó ϕ = SM
Xét tam giác SAE vuông tại A, nên SE = SA2 + AE 2 =

a 5
(1).
2

Xét tam giác MAE vuông tại A, nên ME = MA2 + AE 2 =

a 5
(2).
2

a
2
·
Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên ϕ = SME
⇒ cos ϕ =
a 5
2
Vậy cos ϕ =

5
•

5

Ví dụ 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác
A'AC vuông cân, AC'=a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ') theo a.
(Đề thi Đại học năm 2012-Khối D)
Giải:
+ Theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' là hình hộp đứng
có đáy là hình vuông, nên ta có B’C’⊥(ABA’B’)
Vì tam giác A’AC vuông cân tại A nên
A ' A = AC =

A ' C AC ' a
a
=
=
⇒ AB = A ' B ' = .
2
2
2
2

1
1  1 a a  a a3 2
Vậy VABB ' C ' = S ABB ' .B ' C ' = . . . ÷. =
( ®vtt )
3
3 2 2 2 2
48
+ Do A’D’//BC⇒(BCD’)≡(BCD’A’)

Xét hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCD’A’) có BC⊥(ABB’A’)
Trang 10


⇒(ABB’A’)⊥(BCD’A’).
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên BA’=(ABB’A’)∩(BCD’A’). Suy ra
AH⊥(BCD’A’) (BCD’).
Do đó, ta có: d( A,( BCD ') ) = d( A,( BCD ' A ') ) = AH .
Xét tam giác ABA’ vuông tại A có AH là đường cao nên
1
1
1
a 6
=
+
2
2
2 ⇒ AH =
AH
AB
AA '
6
a 6
Vậy d( A,( BCD ') ) =
( ®v®d ) •
6
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính theo a diện
tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối A)

Giải:
+ Xét tam giác SBC có MN là đường trung bình nên
MN =

a
.
2

Gọi E là trung điểm của BC, gọi I=MN∩SE. Khi đó I
là trung điểm của MN và là trung điểm của SE.
Do S.ABC là hình chóp đều nên ∆SAB = ∆SAC ⇒AM=AN. Do đó AI⊥MN
(1).
Theo giả thiết, ta có (AMN)⊥(SBC) (2).
Từ (1) và (2), ta có AI⊥(SBC)⇒ AI⊥SE. Nên tam giác SAE cân tại A.
Xét tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao AE =

SA = SB = SC =

a 3
⇒
2

a 3
.
2

Xét tam giác SEC vuông tại E nên SE = SC 2 − CE 2 =

a 2
.

2
Trang 11


Xét tam giác AIE vuông tại I nên AI = AE 2 − IE 2 =
Vậy S AMN

a 10
.
4

1
1  a 10  a a 2 10
= AI .MN = .
( ®vdt ) •
÷. =
2
2 4  2
16

2. 3.3.Hình (khối) chóp, lăng trụ khi có hai mặt cắt nhau cùng vuông góc
với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D; AB=AD= 2a , CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
(Đề thi Đại học năm 2009-Khối A)
Giải:
+ Ta có (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy

nên SI⊥(ABCD).
Gọi K là hình chiếu của I trên BC, khi đó
·
= 60
( (·SBC ) , ( ABCD ) ) = SKI

0

Ta có S ABCD = 3a ; S ABI = a ; S ICD
2

S IBC = S ABCD − S IAB − S ICD

2

a2
=
2

⇒

3a 2
.
=
2

Gọi F là trung điểm của AB khi đó BC = DF = a 5 .
1
2S
3a 5

Xét tam giác IBC, ta có S IBC = BC.IK ⇒ IK = IBC =
.
2
BC
5
·
=
Xét tam giác SIK vuông tại I, ta có: tan SIK

SI
3a 15
⇒ SI = IK tan 600 =
IK
5

1
3a 3 15
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là V = S ABCD .SI =
( ®vtt ) •
3
5
2. 3.4.Một số bài toán khác về hình (khối) đa diện liên quan đến hình
Trang 12


chiếu
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2a, AB=a. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông
góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo
a.

(Đề thi Đại học năm 2012-Khối B)
Giải:
+ Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), D là
trung điểm của cạnh AB. Khi đó O là trọng tâm của
tam giác đều ABC và DO⊥AB.
 AB ⊥ DC
⇒ AB ⊥ ( SDC ) . Do đó AB⊥SC.
Ta có 
AB
⊥
SO

 SC ⊥ AH
⇒ SC ⊥ ( ABH ) ( ®pcm )
Từ đó, ta có: 
 SC ⊥ AB
+ Xét tam giác SOC vuông tại O, ta có: SO = SC 2 − OC 2 =
Xét hai tam giác đồng dạng ∆SOC # ∆DHC ⇒
Nên DH =

a 33
3

DH SO
=
DC SC

SO.DC a 11
=
SC

4

Xét tam giác DHC vuông tại H nên HC = DC 2 − DH 2 =
SH = SC − HC =
Vậy VS . ABH

a
⇒
4

7a
4

1
1 1
7 a 3 11
= S ABH .SH = . . AB.DH .SH =
( ®vtt ) •
3
3 2
96

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp đều nên nó có hình chiếu của đỉnh lên
mặt đáy trùng với tâm của đáy.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB=a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt
Trang 13


phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai

mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng
trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
(Đề thi Đại học năm 2011-Khối B)
Giải:
+ Gọi O=AC∩BD, khi đó A1O⊥(ABCD).
Gọi

E

là

hình

chiếu

( (·ADD A ) , ( ABCD ) ) = ·A EO = 60
1 1

của

O

trên

AD.

Khi

đó:

0

1

Xét tam giác ABD có OE là đường trung bình nên
OE =

AB a
= .
2
2

Xét

tam

(

giác

A1OE

vuông

tại

O

nên

)

AO
tan ·A1EO = 1 ⇒ A1O = EO tan ( 600 ) = a 3 .
EO
2

Do đó VABCD. A1B1C1D1

3a 3
= S ABCD . A1O = AB. AD. A1O =
( ®vtt )
2

+ Ta có B1C // A1D ⊂ ( A1BD ) nên d( B1 ;( A1BD ) ) = d( C ;( A1BD ) ) (1)
Do A1O⊥(ABCD) nên (A1BD)⊥(ABCD).
Gọi H là hình chiếu của C trên BD khi đó, ta có: CH⊥(A1BD) (2)
Từ (1) và (2), ta có: d( B1 ;( A1BD ) ) = CH
Xét tam giác BCD vuông tại C có CH là đường cao nên

⇒ CH =

1
1
1
=
+
2
2
CH

CB CD 2

a 3
2

a 3
Vậy d( B ;( A BD ) ) = CH =
•
1
1
2
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với
AB=AC=3a,BC=2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với
Trang 14


mặt đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA⊥BC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
(Đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2001)
Giải:
a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mp(ABC)
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên các cạnh AB, BC, CA. Từ đó, suy ra:
HI⊥AB, HJ⊥BC, HK⊥CA; góc của các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy

· , SJH
·
·
·
·

·
(ABC) lần lượt là SIH
và SIH
, SKH
= SJH
= SKH
= 600 .
Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có:

HI = SH cot 600 (1);
Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có:

HJ = SH cot 600 (2);
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

HK = SH cot 600 (3);
Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. (đpcm)
Do tam giác ABC cân tại A nên ba điểm A, H, J thẳng hàng, suy ra: AH⊥BC

 AH ⊥ BC
⇒BC⊥(SHA). Suy ra: BC⊥SA. (đpcm)
 BC ⊥ SH

Từ đó, ta có 

b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của
tam giác ABC, do đó JA =
Từ đó S ∆ABC =

AB 2 − BJ 2 = 2a 2

1
BC. AJ = 2a 2 2
2

Chu vi của tam giác ABC là 2p=AB+BC+CA=8a⇒p=4a.
Ta có S∆ABC = p.HJ ⇒ HJ =

S∆ABC a 2
=
p
2

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có HS = JH tan 600 ⇒ HS =
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là VS . ABC

a 6
.
2

1
2a 3 3
= S∆ABC .HS =
( ®vtt ) •
3
3
Trang 15

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy các
góc bằng nhau nên nó có hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường
tròn nội tiếp đa giác đáy.

Trang 16


2.4 - BÀI TẬP
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD = a 2 ,
SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng
(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2006-Khối B)
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và

·
SBC
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC) theo a.
(Đề thi Đại học năm 2011-Khối D)
3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh
bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối D)
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm
của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa
hai đường thẳng MN và AC.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối B)

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là
4

trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
(Đề thi Đại học năm 2010-Khối D)
6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và

·
mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC
= 600 . Hình
chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối B)
Trang 17


Phần 3 -

KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1. Đề xuất-Kiến nghị.
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại
học” đã đề cập đến ứng dụng của ba bài toán cơ bản về vấn đề xác định
hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính thể tích của khối đa diện,

tính khoảng cách và góc. Tuy nhiên, vấn đề tính thể tích của khối đa diện,
tính khoảng cách và góc lại phong phú, đa dạng và được khai thác nhiều
trong các đợt kiểm tra, thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng. Do
đó chúng ta cần thiết dạy kỹ cho học sinh kỹ năng xác định hình chiếu của
một điểm lên mặt phẳng ngay từ lớp 11 mà không phải đợi đến lớp 12 mới
dạy.
2. Kết luận.
Qua đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm
lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi
đại học” đã giới thiệu được ứng dụng của ba bài toán cơ bản về vấn đề xác
định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính thể tích của khối đa
diện, tính khoảng cách và góc. Các dạng toán liên quan đến thể tích của
khối đa diện, tính khoảng cách và góc vẫn là chủ đề được quan tâm, khai
thác nhiều qua các đợt kiểm tra và thi cử.
Trong khi viết đề tài này, tôi chân thành cám ơn quý đồng nghiệp, đặc
biệt là các giáo viên trong tổ đã động viên và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu để đề tài được hoàn thành.
Rất mong quý thầy cô trong tổ và đồng nghiệp vui vẻ đóng góp ý kiến
để các đề tài lần sau tôi viết được tốt hơn.
Một lần nữa tôi chân thành cám ơn!
Vinh Xuân, tháng 03 năm 2013
Người thực hiện

Lê Viết Hòa
Trang 18


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 11, nxb GD 2007
2. Hình học Nâng cao 11, nxb GD 2007

3. www.moet.edu.vn

Trang 19


PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………