Một số bài toán dao động cơ học SKKN2015

Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình bồi dưỡng HSG vật lý phổ thông, Dao động cơ học là một
trong những nội dung quan trọng. Để góp phần giúp học sinh tiếp cận và hướng dẫn
các em tự nghiên cứu sâu thêm chuyên đề Dao động cơ học trong chương trình
chuyên, tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài: “Một số bài toán dao động cơ học”
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu phần Dao động cơ học.
Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán Dao động cơ học
trong chương trình bồi dưỡng HSG
Hướng dẫn HS giải quyết các bài toán Dao động cơ học thông qua hệ thống bài
tập ví dụ và bài tập tự giải.
3. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng HSG, các đề thi HSG cấp tỉnh,
HSG QG, kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và các đồng nghiệp.
4. Thời gian và đối tượng nghiên cứu
Thời gian: Năm học 2014-2015.
Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải bài tập Cơ học.
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 Chuyên lý trường THPT Chuyên Võ
Nguyên Giáp.

Trang 1


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

B. NỘI DUNG
1.Khái niệm dao động cơ học
- Dao động cơ học: Là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng xác định.

- Dao động tuần hoàn: Dao động lặp đi lặp lại liên tiếp và mãi mãi.
- Dao động điều hòa: Là dao động mà phương trình được mô tả dưới dạng hàm số sin
hoặc cosin của thời gian x = A cos ( ωt + ϕ )
Trong đó: A là biên độ dao động.
ω là tần số góc của dao động.
φ pha ban đầu.
- Trong giới hạn của đề tài, tôi chỉ nghiên cứu dao động điều hòa. Phương trình động
lực học của dao động điều hòa có dạng : x '' + ω 2 x = 0 .
2. Các phương pháp giải bài toán dao động cơ học
Để chứng minh dao động điều hòa, có hai phương pháp cơ bản nhất, một là
dùng phương pháp động lực học và hai là phương pháp năng lượng.
a. Phương pháp động lực học
Trong phương pháp này, chúng ta dùng đinh luật 2 Niu tơn và phép gần đúng để đưa
phương trình động lực học về dạng x '' + ω 2 x = 0 .
Bản chất của phương pháp này đó là tìm cho được hợp lực tác dụng lên vật đóng vai
trò lực hồi phục F = −kx.
b. Phương pháop năng lượng
Trong phương pháp này, chúng ta thường viết phương trình năng lượng của vật dưới
dạng
W = Wd + Wt =

1 2 1 2
mv + kx
2
2

Sau đó, dùng định luật bảo toàn năng lượng

dW
= 0 ⇒ mx ' x '' + kxx ' = 0 . Từ đó suy ra

dt

x '' + ω 2 x = 0 . Đây chính là phương trình động lực học của dao động.

Bản chất của phương pháp này đó là tìm cho được thế năng duy trì dao động điều hòa
tương ứng với lực thế là lực hồi phục.

Trang 2


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

Trong đề tài này, tôi sẽ trình bày cả hai phương pháp này trong các bài tập vận dụng
và minh họa sau đây.
3. Bài tập vận dụng và minh họa
Bài 1:
Con lắc lò xo được bố trí như hình vẽ, lò xo nhẹ, độ cứng k; vật
nhỏ khối lượng m. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây nối, dây nối
không giãn. Chứng minh rằng dao động nhỏ của vật là dao động điều
hòa, tìm chu kì dao động đó.
Hướng dẫn giải:
Phương pháp động lực học
Chọn trục tọa độ Ox có gốc tại VTCB, chiều dương hướng xuống.
Tại vị trí cân bằng :
mg = T0
k ∆l0 = 2T0

Tại vị trí vật lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x nhỏ thì lò xo giãn thêm đoạn x/2 :
mg − T = mx ''
x

k (∆l0 + ) = 2T
2
k
4

''
''
Từ đó: mx + x = 0 ⇔ x +

T = 2π

k
x = 0 . Chứng tỏ vật dao động điều hòa với chu kì
4m

4m
k

Phương pháp năng lượng
Chọn gốc tính thế năng tại vị trí cân bằng, khi vật nhỏ lệch đoạn x, cơ năng của
hệ
2

1
1 x
W = mv 2 − mgx + k  ÷
2
2 2

Bảo toàn cơ năng:

'

2
dW
k  x
2


= 0 ⇒ mvv ' − mgx ' +  + ∆l0 ÷ − ( ∆l0 )  = 0
dt
2  2



kx

⇔ mx '' − mg +  + ∆l0 ÷ = 0
22

Trang 3


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

k
2

Chú ý đến điều kiện cân bằng mg = ∆l0 ta thu được
⇔ mx '' +

kx
kx
= 0 ⇔ x '' +
=0
4
4m

Đây là phương trình mô tả dao động điều hòa với chu kì T = 2π

4m
.
k

Thảo luận:
Kết quả trên chúng ta có thể tìm được bằng cả hai con đường, động lực học và
năng lượng. Tuy nhiên, cần chú ý là để có được kết quả đó, chúng ta chỉ xét dao động
1
2

2
nhỏ sao cho lực đàn hồi thỏa mãn F = −kx hay thế năng tương ứng là Wt = kx .

Bài 2:
Cơ hệ được bố trí như hình vẽ. Vật nhỏ gắn tại A, khối lượng
thanh cứng OA chiều dài khối lượng không đáng kể. Lò xo nhẹ, độ
cứng một đầu được gắn cố định vào điểm C, đầu kia được nối vào
điểm B là trung điểm của OA. Ở vị trí cân bằng, thanh OA thẳng

O

B

đứng, lò xo nằm ngang, có chiều dài tự nhiên. Kích thích cho vật m
dao động nhỏ trong mặt phẳng OBC, chứng minh vật dao động điều

A

hòa. Tính chu kì dao động đó. Lấy
Hướng dẫn giải:
Đặt OA = l ; OB = l1 .

O

Góc lệch α nhỏ: sin α ≈ tan α ≈ α ( rad ) .
B

Phương trình mô men:
α

−mglα − k ( l1α ) .l1 = ml 2α / /
 g  l1 2 k 
⇒ α +  +  ÷ α = 0 .
 l  l  m 
//

A

Đây là phương trình mô tả dao động điều hòa.
Chu kì :

T=

2π
2

g  l1  k
+
l  l ÷
 m

=

2π
≈ 1, 26 s
5

Thảo luận:

Trang 4

C

C


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

Kết quả trên chúng ta có thể tìm được bằng cả hai con đường, động lực học và
năng lượng, phương pháp năng lượng bạn đọc tự giải. Điều cần chú ý là để có được
kết quả đó, chúng ta chỉ xét dao động nhỏ, sao cho sin α ≈ tan α ≈ α ( rad ) .

Bài 3 :

uur

Một nam châm nhỏ, khối lượng m, mômen từ M được treo cứng ở đầu P của
thanh cứng OP. Thanh OP chiều dài l, khối lượng không đáng kể, có thể quay tự do
quanh trục vuông góc mặt phẳng hình vẽ. Trong quá
uur

trình chuyển động M luôn vuông góc OP. Hệ đặt

O

ur

trong từ trường đều B theo phương Ox. Bỏ qua các

x

u
r
B

u
r
g

lực ma sát. Tìm vị trí cân bằng bền của nam châm và
chu kì dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng đó. Biện

P

luận các giá trị trên theo giá trị đại số của B.
Hướng dẫn giải:

uur

uu
r
M

ur

Mô men ngẫu lực từ có tác dụng đưa M và B cùng chiều:
uur

ur

Mngẫu lực=M.B.sinα, trong đó α là góc giữa hai vec tơ M và B .
Mô men của trọng lực có tác dụng đưa OP theo phương thẳng đứng.
a. Với B>0
Vị trí cân bằng là vị trí OP thẳng đứng hướng xuống (α=0).
Khi lệch khỏi vị trí cân bằng góc α nhỏ: ml 2α / / = −mglα − MBα ⇒ T = 2π

ml 2
mgl + MB

b. Với B<0. Có hai khả năng xảy ra
Thứ nhất : mgl + MB>0. Vị trí cân bằng bền và chu kì tính như câu a.
Thứ hai : mgl + MB<0. Vị trí cân bằng bền là α = π , OP lúc đó hướng lên, chu

kì dao động lúc này là : T = 2π

ml 2
−mgl − MB

Thảo luận:
Qua bài toán trên, chúng ta thấy, vật chỉ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng bền
của nó.

Trang 5


Mt s bi toỏn dao ng c hc - Giỏo viờn: Trng ỡnh Hựng

Bai 4:
Cho vật nhỏ A có khối lợng m và vật B khối lợng M.
Mặt trên của B là một phần mặt cầu bán kính R (xem
hình vẽ). Lúc đầu B đứng yên trên mặt sàn S, bán kính
của mặt cầu đi qua A hợp với phơng thẳng đứng một
góc 0 ( 0 có giá trị nhỏ). Thả cho A chuyển động với
vận tốc ban đầu bằng không. Ma sát giữa A và B không đáng kể. Cho gia tốc trọng trờng là g. Giả sử khi A dao động, B đứng yên (do có ma sát giữa B và sàn S).
a) Tìm chu kỳ dao động của vật A.
b) Tính cờng độ của lực mà A tác dụng lên B khi bán kính qua vật A hợp với phơng
thẳng đứng một góc ( 0 ) .
Hng dn gii:
a) Khi bán kính nối vật với tâm lệch góc (nhỏ) :



N + mg = ma (1)

Chiếu (1) lên trục Os (coi nh vuông góc với bán kính):
mgs / R = ms
s + 2 s = 0 với = g / R .

Vậy A dao động điều hoà với T = 2 R / g
b) Chiếu (1) trên phơng bán kính:
N = mg cos + mv 2 / R .

Theo định luật bảo toàn năng lợng:
mv 2 / 2 = mgR( cos cos 0 ) ;
N = 3mg cos 2mg cos 0

Bai 5:
Cho c hờ gụm hai võt co khụi lng m1 va m2 c nụi vi nhau bng mt lũ
xo rõt nh co cng k, chiu dai t nhiờn l0. Hờ c t trờn mt mt phng ngang
r

trn nhn. Mt lc F khụng ụi co phng nm
ngang (dc theo truc cua lũ xo) bt õu tac dung

m 1

k

m 2

F

vao võt m2 nh hinh v.

a, Chng t cac võt dao ng iu hoa. Tinh biờn va chu k dao ng cua mi
võt.

Trang 6


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

b, Tính khoảng cách cực đại và khoảng cách cực tiểu giữa hai vật trong quá trình dao
động.
Hướng dẫn giải:
- Xét trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm G của cơ hệ.
- Gia tốc của khối tâm: a G =

F
m1 + m 2

- Gọi O1 và O2 lần lượt là vị trí của m1 và m2 khi lò xo ở trạng thái tự nhiên :
O1O2 = l0;
- Vị trí O1 và O2 lần lượt cách G những đoạn l1 và l2, thoả mãn điều kiện :
m1l1 = m2l2 = m2(l0 - l1) ⇒ l1 =

m 2 l0
m1l0
; l2 =
.
m1 + m 2
m1 + m 2

- Ta coi hệ trên gồm : vật m 1 gắn vào một đầu lò xo có chiều dài l 1, đầu kia của l1

được gắn cố định vào G và vật m 2 gắn vào một đầu của lò xo có chiều dài l 2, đầu kia
của l2 được gắn cố định vào G.
- Độ cứng của các lò xo l1 và l2 : k1 =

k(m1 + m 2 )
k(m1 + m 2 )
và k 2 =
;
m2
m1

* Phương trình dao động của các vật:
Chọn các trục toạ độ cho mỗi vật gắn với khối tâm G của cơ hệ như trên hình vẽ.
- Vật m1 : Fqt - Fdh = m1a1
m 2
m 1
1

1

m1F
Fq t 1
- k1x1 = m1x1′′
hay
m1 + m 2
k
m1F
)=0
x1
⇒ x1′′ + 1 (x1 m1

(m1 +m 2 )k1
k1
m1F
2
⇒
Đặt : ω1 =
; X1 = x1 m1
(m1 + m 2 )k1

Fd h 1

F q t2

F
Fd h 2
O 1

O 2

X1′′ + ω12 X1 = 0 (*):

x 2

vật m1 dao động

điều hoà. Nghiệm phương trình (*) có dạng : X1 = A1sin (ω1t + ϕ1 )
- Vật m2 : F - Fqt - Fdh = m 2 a 2 hay F 2

2
Đặt : ω2 =

2

m2F
- k 2 x 2 = m 2 x 2′′ .
m1 + m 2

k2
m1F
; X2 = x 2 m2
(m1 + m 2 )k 2

⇒

X 2′′ + ω22 X 2 = 0 : vật m2 dao động điều

hoà. Nghiệm phương trình (*) có dạng : X 2 = A 2sin (ω2 t + ϕ2 )
* Chu kì dao động của các vật:
- Vật m1 : T1 =

2π
m1m 2
= 2π
;
ω1
(m1 + m 2 )k

- Vật m2 : T2 =

2π

m1m 2
= 2π
.
ω2
(m1 + m 2 )k

* Biên độ dao động của các vật:
m1m 2 F
+ A1sin(ω1t + ϕ1 )
(m1 + m 2 ) 2 k
v1 = Aω
1 1cos(ω 1t + ϕ1)

- Vật m1 : x1 =

Trang 7


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

m1m 2 F
(m1 + m 2 ) 2 k
ϕ1 = −π / 2

A1 =

Khi t = 0
⇒

x1 = 0

v1 = 0

m12 F
+ A 2sin(ω2 t + ϕ2 )
(m1 + m 2 ) 2 k
v 2 = Aω
t2 + ϕ 2)
2 cos(ω
2

- Vật m2 : x 2 =

Khi t = 0

m12 F
A2 =
(m1 + m 2 ) 2 k
ϕ2 = −π / 2

⇒
x2 = 0
v2 = 0
b, Khoảng cách cực đại và cực tiểu giữa hai vật trong quá trình dao động : Hai vật
dao động cùng pha trên hai trục toạ độ cùng phương ngược chiều nên

lmax = l0 + 2(A1 + A2) = l0 + 2

m1F
;
(m1 + m 2 )k

lmin = l0
Thảo luận:
Qua bài toán trên, chúng ta thấy, việc chọn hệ qui chiếu trong giải các bài toán cơ nói
chung và bài toán dao động nói riêng là khá quan trọng. Chọn hệ qui chiếu phù hợp
giúp ta giải nhanh và gọn bài toán.

Trang 8


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

C. KẾT LUẬN
Qua quá trình hoàn thiện đề tài, tôi đã hệ thống hóa kiến thức phần Dao động
cơ học chương trình Chuyên lí THPT một cách ngắn gọn, đầy đủ. Đồng thời đề tài
cũng hệ thống các phương pháp giải các dạng bài tập Dao động cơ học một cách rõ
ràng, dễ hiểu đối với học sinh. Các bài tập minh họa từ cơ bản đến nâng cao, trong đó
có cả các bài toán trích trong các đề thi HSG QG các năm gần đây là hệ thống bài tập
có thể giúp học sinh rèn luyện, nâng cao kĩ năng giải bài tập phần Dao động cơ học
học.
Đây là một chuyên đề giúp HS chuyên Lý làm quen và rèn luyện phương pháp
giải các bài toán Dao động cơ học trong chương trình Chuyên lí THPT, giúp các em hệ
thống và chuẩn bị cho các kì thi HSG.
Quá trình thực hiện đề tài trong phạm vi thời gian hạn hẹp nên không thể tránh
khỏi những hạn chế và thiếu sót, vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân
thành của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

Trang 9

Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tô Giang, Cơ học 1, NXB GD 2010.
2. Nguyễn Thế Khôi, Vật lý 12, NXB GD 2009.
3. Tạp chí Vật lý tuổi trẻ.
4. Irodop, Tuyển tập các bài tập Vật lý Đại cương, NXB GD 1992.

Trang 10


Một số bài toán dao động cơ học - Giáo viên: Trương Đình Hùng

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
1. Đánh giá, nhận xét của Tổ Vật lí – KTCN:

2. Đánh giá, nhận xét của HĐKH Nhà trường:

Trang 11