Tóm tắt kiến thức toán 11

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian:
0

( 180 ) = π (rad ) ;
0

10 =

π
 180 
(rad); 1(rad ) = 
÷
180
 π 

2. Các hệ thức cơ bản:
* tan α =

sin α
cosα

( cosα ≠ 0 ) ;

* cot α =

cosα
sin α

( sin α ≠ 0 )

1
cos2 α



π
 α ≠ + kπ , k ∈ Z ÷
2




kπ
, k ∈ Z ÷.
* tan α .cot α = 1  α ≠
2


2
* 1 + tan α =

* sin 2 α + cos2 α = 1, ∀α ;
1
(α ≠ kπ , k ∈ Z)
sin 2 α
3. Các hệ quả cần nhớ:
* 1 + cot 2 α =

sin(α + k 2π ) = sin α ;
tan(α + kπ ) = tan α ;

cos(α + k 2π ) = cosα
cot(α + kπ ) = cot α

π
+ kπ , k ∈ Z
2
cot α xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1
tan α xác định khi α ≠

1
* sin 4 x + cos4 x = 1 − sin 2 2 x
2
Dấu các giá trị lượng giác:
Góc phần tư
GTLG
sinα
cosα
tanα
cotα
4. Các cung liên kết:

3
* sin 6 x + cos6 x = 1 − sin 2 2 x
4
I

II

III

IV

+
+
+
+

+
–
–
–

–
–
+
+

–
+
–
–

a. Cung đối: α và −α
cos(−α ) = cos α ;
tan(−α ) = − tan α ;

sin(−α ) = − sin α

cot(−α ) = − cot α

b. Cung bù: α và π − α
sin(π − α ) = sin α ;
tan(π − α ) = − tan α ;

cos(π − α ) = − cos α
cot(π − α ) = − cot α

π
c. Cung phụ: α và − α
2
π

sin  − α ÷ = cosα ;
2

π

tan  − α ÷ = cot α ;
2


π

cos  − α ÷ = sin α
2

π


cot  − α ÷ = tan α
2



 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

d. Cung hơn kém nhau π : α và π + α
tan(π + α ) = tan α ;
sin(π + α ) = − sin α ;
e. Cung hơn kém nhau

cot(π + α ) = cot α
cos(π + α ) = − cosα

π α
π
:
và + α
2
2
π

sin  + α ÷ = cosα ;
2

π

tan  + α ÷ = − cot α ;
2



π

cos  + α ÷ = − sin α
2

π

cot  + α ÷ = − tan α
2


5. Các công thức biến đổi:
a. Công thức cộng:
•

sin(a ± b) = sina cosb ± cosa
sinb
cos(a ± b) = cosa cosb m sina
sinb

•
•

tan(a ± b) =

tan a ± tan b
1 mtan a tan b

•

cot(a ± b) =

1 mtan a tan b
tan a ± tan b

b. Công thức nhân đôi:

* Công thức tính theo t = tan

•
•

sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 –
2sin2a

•

tan2a =

cot2a =

cot 2 a − 1
2 cot a

x
2
tan x =

c. Công thức hạ bậc:
cos2a =

2 tan a
;
1 − tan 2 a

1 + cos2a
;
2

2t
2t
1 − t2
;sin
x
=
;cos
x
=
1 − t2
1 + t2
1 + t2
sin2a =

1 − cos2a
;
2

tan2a =

1 − cos2a
1 + cos2a

Lưu ý:
x
2
d. Công thức biến đổi tích về tổng:
* 1 + cos x = 2 cos2

* 1 − cos x = 2sin 2

x
2

1
[sin(a + b) + sin(a − b)]
2
1
cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sina.sinb = − [cos(a + b) − cos(a − b)]
2
sina.cosb =

e. Công thức biến đổi tổng về tích:
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

2

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

•

sinA + sinB = 2sin

A+B
A−B
cos
2
2

•

sinA – sinB= 2cos

A+B
A−B
sin
2
2

•

cosA + cosB = 2cos

A+B
A−B
cos
2
2

•

cosA – cosB = –2sin

A+B
A−B
sin
2
2

•

tanα ± tanβ =

sin(α ± β ) 

π
α ; β ≠ + kπ , k ∈ Z ÷

cos α .cos β 
2


Chú ý:


π
π
* sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
4
4




π
π
* sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
4
4


f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
00
Góc

0

sin

0

cos

1

tan

0

cot

||

300
π
6
1
2

450
π
4

600
π
3

900
π
2

1200

2π
3

1350
3π
4

2
2

3
2

1

3
2

3
2

2
2

1
2

0

–

2
2
–
2
2

||

− 3

0

−

1
3
3

1
1

3
1
3

1
2

1

3

1500
5π
6
1
2
–

1800

π
0

3
2

−1

1

−1

–

−1

– 3

0

3

||



HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Các hàm số lượng giác:
y = cos x

y = sin x
- TXĐ: D= ¡
- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2π
- Tập giá trị: T =  −1;1
- Hàm số đồng biến trong
 π

π
 − + k 2π ; + k 2π ÷
2
 2

- Hàm số nghịch biến trong
π

3π
+ k 2π ÷
 + k 2π ;

2
2


- TXĐ: D= ¡
- Là hàm số chẳn
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2π
- Tập giá trị: T =  −1;1
- Hàm số đồng biến trong
( −π + k 2π ; k 2π )

- Hàm số nghịch biến trong
( k 2π ;π + k 2π )

y = tan x
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

y = cot x
3

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

π

- TXĐ: D= ¡ \  + kπ 
2


- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì π
- Tập giá trị: T = ¡
- Hàm số đồng biến trong
 π

π
 − + kπ ; + kπ ÷
2
 2

- Có các đường tiệm cận x =

π

- TXĐ: D= ¡ \  + kπ 
2

- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì π
- Tập giá trị: T = ¡
- Hàm số nghịch biến trong
( kπ ;π + kπ )

π
+ kπ
2

- Có các đường tiệm cận x = kπ

2. Tập xác định của hàm số:
a) y =

P( x)

Q( x)

xác định khi Q ( x ) ≠ 0

b) y = P ( x ) xác định khi P ( x ) ≥ 0
c) y =

P( x)

Q( x)

xác định khi Q ( x ) > 0

d) y = sin f ( x ) ; y = cos f ( x ) xác định khi f ( x ) xác định.

π
+ kπ
2
f) y = cot f ( x ) xác định khi f ( x ) ≠ kπ
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
e) y = tan f ( x ) xác định khi f ( x ) ≠

a) Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức, và với mọi x ta có:
−1 ≤ sin x ≤ 1; − 1 ≤ cos x ≤ 1; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1; 0 ≤ cos2 x ≤ 1
b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = a sin x + b cos x + c

∀x ∈ ¡ ta có − a2 + b 2 ≤ ainx + b cos x ≤ a 2 + b 2
⇔ c − a 2 + b2 ≤ a sin x + b cos x + c ≤ c + a 2 + b 2
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu 
 f (− x ) = f ( x )
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu 
 f (− x ) = − f ( x )



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
a) Phương trình sin x = m
* Điều kiện có nghiệm: m ≤ 1
* Tìm góc a sao cho sin a = m (sử dụng MTCT: a = sin −1 m ). Ta được: sin x = sin a và áp dụng công thức:
u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π ( k ∈ Z)
u = v + k 3600
Hay
nếu trong phương trình có cho độ.

0
0
u = 180 − v + k 360
* Trường hợp đặc biệt:
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

4

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

osin u = 0 ⇔ u = kπ
π
osin u = 1 ⇔ u = + k 2π
2
π
osin u = −1 ⇔ u = − + k 2π
2
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
 u = arcsin m + k 2π
 π
π
sin u = m ⇔ 
 − ≤ arcsin m ≤ ÷
2
 u = π − arcsin m + k 2π  2
π


π
* − sin u = sin ( −u ) ; cos u = sin  − u ÷; − cos u = sin  u − ÷
2
2



b) Phương trình cos x = m
* Điều kiện có nghiệm: m ≤ 1
* Tìm góc a sao cho cos a = m (sử dụng MTCT: a = cos−1 m ). Ta được: cos x = cos a và áp dụng công thức:
 u = v + k 2π
cos u = cos v ⇔ 
( k ∈ Z)
 u = −v + k 2π
u = v + k 3600
Hay
nếu trong phương trình có cho độ.

0
u = − v + k 360
* Trường hợp đặc biệt:
π
ocos u = 0 ⇔ u = + kπ
2
ocos u = 1 ⇔ u = k 2π
ocos u = −1 ⇔ u = π + k 2π
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u = arccos m + k 2π  π
π
cos u = m ⇔ 
 − ≤ arcsin m ≤ ÷
2
u = − arccos m + k 2π  2
π



π
* − cos u = cos ( π − u ) ; sin u = cos  − u ÷; − sin u = cos  u + ÷
2
2




π
c) Phương trình tan x = m  x ≠ + kπ ÷
2


* Tìm góc a sao cho tan a = m (sử dụng MTCT: a = tan −1 m )
Ta được: tan x = tan a và áp dụng công thức
tan u = tan v ⇔ u = v + kπ
Hay
u = v + k180 0 nếu trong phương trình có độ.
* Đặc biệt:
otan u = 0 ⇔ u = kπ
π
otan u = ±1 ⇔ u = ± + kπ
4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
 π
π
tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ  − < arctan m < ÷
2
 2

π

π

* − tan u = tan ( −u ) ; cot u = tan  − u ÷; − cot u = tan  + u ÷
2

2

d) Phương trình cot x = m ( x ≠ kπ )
−1  1 
* Tìm góc a sao cho cot a = m (sử dụng MTCT: a = tan  ÷)
m
Ta được: cot x = cot a và áp dụng công thức
cot u = cot v ⇔ u = v + kπ
Hay
u = v + k180 0 nếu trong phương trình có độ.

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

5

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

* Đặc biệt:

π

+ kπ
2
π
otan u = ±1 ⇔ u = ± + kπ
4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
cot u = m ⇔ u = arccot m + kπ ( 0 < arccot m < π )
ocot u = 0 ⇔ u =

π

π

* − cot u = cot ( −u ) ; tan u = cot  − u ÷; − tan u = cot  + u ÷
2

2

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Dạng

Điều kiện

asin x + b sin x + c = 0

Đặt
t = sinx

a cos x + b cos x + c = 0

t = cosx

−1 ≤ t ≤ 1

a tan 2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cotx

2

2

−1 ≤ t ≤ 1

π
+ kπ (k ∈ Z )
2
x ≠ kπ (k ∈ Z )

x≠

Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản.
Chú ý:
ocos2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
osin 2 x = 1 − cos2 x

ocos2 x = 1 − sin 2 x
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
a) Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c
b) Điều kiện có nghiệm: a 2 + b2 ≥ c2
c) Phương pháp giải:
Chia hai về của phương trình cho a 2 + b 2
Ta được phương trình:
Đặt cosα =

a
a2 + b 2

a
2

a +b

2

sin x +
b

⇒ sin α =

sin x cosα + sin α cos x =

a2 + b2

c
2

2

b
2

a +b

2

cos x =

c
2

a + b2

. Ta được phương trình:

⇔ sin ( x + α ) =

a +b
(*) là phương trình dạng cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

c
2

a + b2

(*)

2
2
a) Dạng: a.sin x + b.sinx.cosx + c.cos x = d   ( 1)
b) Phương pháp giải:
* Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
π
Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x = + kπ ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2
* Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:
* Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a − d )t 2 + b.t + c − d = 0
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng:

a.tan 2 x + b.tan x + c = d (1 + tan 2 x )

a) Dạng: a.(sinx ± cosx ) + b.sinx.cosx + c = 0
b) Phương pháp giải:

π
* Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos  x m ÷; t ≤ 2.
4

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

6

: 0987. 503.911

 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

1
⇒ t 2 = 1 ± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1).
2
* Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2.
Suy ra x.
Chú ý:


π
π
* cos x + sin x = 2 cos  x − ÷ = 2 sin  x + ÷
4
4




π
π
* cos x − sin x = 2 cos  x + ÷ = − 2 sin  x − ÷
4
4


6. Phương trình lượng giác khác:
Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng
giác để đưa phương trình về dạng quen thuộc, có thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp

dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng:
* Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản đã biết (đưa về cùng một cung hoặc
cùng một hàm số lượng giác,...).
A = 0
* Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: A.B = 0 ⇔ 
B = 0
x
* Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt t = tan ,…)
2



ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1. Phép đếm:
a) Qui tắc cộng:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta có thể thực hiện qua các trường hợp A hoặc B hoặc C ... (mỗi trường
hợp đều hoàn thành công việc)
Nếu A có m cách, B có n cách, C có p cách thì có m + n + p ... cách để hoàn thành (H).
b) Qui tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta phải qua nhiều công đoạn (bước) A, B, C liên tiếp nhau.
Công đoạn A có m cách, công đoạn B có n cách, công đoạn C có p cách... Khi đó để hoàn thành (H) thì có
m.n. p ... cách
2. Hoán vị:
a) Hoán vị:
Cho tập A có n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của A gọi là một hoán vị.
b) Số các hoán vị n phần tử: Pn = n!
Chú ý: Giai thừa
* n! = n. ( n − 1) ...3.2.1

* Qui ước: 0! = 1
3. Chỉnh hợp:

a) Chỉnh hợp:
Cho tập A có n phần tử, mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy trong n phần tử của A ( k ∈ ¥ ,0 < k ≤ n ) gọi là một
chỉnh hợp chập k của n.
b) Số các chỉnh hợp chập k của n:
n!
Ank =
= n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)
( n − k)!
4. Tổ hợp:
a) Tổ hợp:
Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ n ) gọi là một tổ hợp chập k của n.
n!
k
b) Số các tổ hợp chập k của n: Cn =
k !( n − k ) !
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

7

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Cnk = Cnn − k
c) Tính chất: Cn0 = Cnn = 1
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:

Cnk + Cnk +1 = Cnk++11

* Chỉnh hợp có tính đến thứ tự của k phần tử.
* Tổ hợp không tính đến thứ tự của k phần tử.


NHỊ THỨC NEWTON
1. Khai triển nhị thức Newton:

( a + b)

n

= Cn0 a b + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2 b 2 + ... + Cnk a n −k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n Số hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển:

Tk +1 = Cnk a n −k b k
2. Tam giác Pascal: (cho biết giá trị của Cnk )
n\k
0
1
2
3
4
0
1
1
1
1
2

1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
6
1
6
15
20
15
k
3
Muốn tìm Cn ta tìm số ở dòng n, cột k. Ví dụ: C6 = 20 (dòng 6, cột 3)
3. Giải phương trình:

5

6

1
6

1

Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng công thức hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa về
phương trình đại số để giải.
Chú ý chỉ lấy những nghiệm thỏa mãn điều kiện.


XÁC SUẤT
1. Tập hợp Ω tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu.
n
a) Gieo n con súc sắc thì Ω = 6
n
b) Gieo n đồng tiền thì Ω = 2
k
c) Lấy k viên bi trong hộp có n viên bi thì Ω = Cn
k h
d) Hộp 1 có m viên bi, hộp 2 có n viên bi. Lấy k viên ở hộp 1 và h viên ở hộp 2 thì Ω = CmCn

2. Một biến cố A liên quan tới phép thử T là Ω A ⊂ Ω . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc Ω A . Mỗi
phần tử của Ω A gọi là kết quả thuận lợi cho A.
3. Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B không đồng thời xảy ra.
4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biế cố nay không ảnh hưởng đến xác suất xảy

ra của biến cố kia.
ΩA
5. Xác suất của A là P ( A ) =
Ω
6. A1 , A2 ,..., Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì

P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( Ak )

7. A1 , A2 ,..., Ak là các biến cố độc lập thì
P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) ...P ( Ak )

( )

8. A là biến cố đối của biến cố A thì: P A = 1 − P ( A )
9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là { x1 , x2 ,..., xn }
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

8

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
n

a) Kỳ vọng của X là E ( X ) = ∑ xi pi với pi = P ( X = xi ) , i = 1,2,3,..., n
i =1

n

n

2
2
b) Phương sai của X là V ( X ) = ∑ ( xi − µ ) pi hay V ( X ) = ∑ x pi − µ trong đó pi = P ( X = xi ) , i = 1,2,..., n và
2

i =1

µ = E( X)

i =1

c) Độ lệch chuẩn: σ ( X ) = E ( X )



DÃY SỐ
1. Tính đơn điệu của dãy số:
a) Định nghĩa: Cho dãy số ( un ) nếu ∀n ∈ ¥ * ta có:
* un < un +1 thì dãy số ( un ) là dãy số tăng.

* un > un +1 thì dãy số ( un ) là dãy số giảm.
* Một dãy tăng (hay giảm) gọi là dãy số đơn điệu.
b) Cách xét tính đơn điệu của dãy số:
Để xét tính đơn điệu của một dãy số ta có thể áp dụng tính chất bất đẳng thức để suy trực tiếp. Hoặc xét hiệu
T = un +1 − un
* Nếu T > 0, ∀n ∈ ¥ * thì ( un ) là dãy số tăng.

* Nếu T < 0, ∀n ∈ ¥ * thì ( un ) là dãy số giảm.

Nếu un > 0, ∀n ∈ ¥ ta có thể xét

un
un +1

*

un
> 1 thì ( un ) là dãy số giảm.
un +1

*

un
< 1 thì ( un ) là dãy số tăng.
un +1

2. Tính bị chặn của dãy số:
a) Định nghĩa: Cho dãy số ( un ) nếu ∀n ∈ ¥ * ta có:
* ∃M : un ≤ M thì dãy số ( un ) bị chặn trên.

* ∃m : un ≥ m thì dãy số ( un ) bị chặn dưới.
* Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn.

CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa:

(u )

là một cấp số cộng nếu ∀n ∈ ¥ * tồn tại số d sao cho un +1 = un + d

d: công sai
un : số hạng tổng quát thứ n.
2. Tính chất:
n

a) Số hạng tổng quát thứ n: un = u1 + ( n − 1) d

b) ( un ) là cấp số cộng ⇔ un −1 + un +1 = 2un , ∀n > 1
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Sn =

n ( u1 + un )
2

n  2u1 + ( n − 1) d 
= 
2

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN


9

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa:

(u )

là một cấp số nhân nếu ∀n ∈ ¥ * tồn tại số q sao cho un +1 = un .q
q: công bội
un : số hạng tổng quát thứ n.
2. Tính chất:
n

a) Số hạng tổng quát: un = u1 .q n −1

b) ( un ) là cấp số nhân ⇔ un −1 .un +1 = un  , ∀n > 1
3. Tổng n số hạng đầu tiên:
2

* q = 1 thì Sn = n.u1
* q ≠ 1 thì Sn = u1 .

qn − 1
q −1

* CSN lùi vô hạn là CSN có công bội q < 1 có tổng S =

u1
1− q



GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa:

a) lim un = 0 ⇔ ∀n, un nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
b) lim un = L ∈ ¡ ⇔ lim ( un − L ) = 0

c) lim un = +∞ ⇔ ∀n, un lớn hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
d) lim un = −∞ ⇔ ∀n, un nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
2. Tính chất:
a) lim ( un ± vn ) = lim un ± lim vn

b) lim ( un .vn ) = lim un .lim vn

c) lim ( k .un ) = k .lim un

d) lim

un lim un
=
( lim vn ≠ 0 )
vn lim vn

e) lim un = L ∈ ¡ ⇒ lim 3 un = 3 L ;lim un = L ( L ≥ 0)
un < vn 
 ⇒ lim un = 0
lim vn = 0 
3. Một số giới hạn cơ bản:
f)

1
=0
nα
 0,

q <1
n
c) lim q = 
q >1
 +∞,
4. Cách tìm giới hạn:
a) lim

(

α
*
b) lim n = +∞ α ∈ ¥

e) lim

1
3

n

)

=0

a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao nhất trong cả tử số và mẫu số, sau đó đơn giản thừa số chung đó rồi áp dụng
các tính chất và các giới hạn cơ bản để tính.
b) Khi trong giới hạn có căn thức ta có thể nhân chia cho biểu thức liên hợp.



GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
u ± lim v
( u ± v ) = lim
1. lim
x →a
x →a
x →a
u .lim v
( u.v ) = lim
2. lim
x →a
x →a
x →a

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 10 

: 0987. 503.911


GIO KHOA & PP GII TON 11

u
u lim
x a
=
lim v 0
3. lim

ữ
x a v
v x a
lim
x a
u=
4. lim
x a

(
)
lim u ( lim u 0 )
x a

x a

g( x ) f ( x ) h( x )
lim f ( x ) = L
5.
x a
g( x ) = lim h( x ) = L
lim
x a
x a
1
f ( x ) = + lim
=0
6. lim
x a
x a f ( x )

7. Qui tc tớnh gii hn:
lim f ( x ) =
x a
f ( x ) v L .
lim f ( x ).g( x ) = () (tựy theo du ca lim

xa
x a
lim
g
(
x
)
=
L
x a
8. Hm s liờn tc:
f ( x ) = f ( a)
Hm s y = f ( x ) liờn tc ti a lim
x a

9. Hm s y = f ( x ) liờn tc trong (a; b) v f (a). f (b) < 0 thỡ phng trỡnh f ( x ) = 0 cú nghim trong (a; b) .
10. Gii hn mt bờn:
lim f ( x ) x < a
a) lim+ f ( x ) x > a;
x a

x a

b) Gii hn vụ cc:

f (x)
f ( x)
f ( x)
=
lim
khi f (a) 0, g(a) = 0 . Phõn tớch
.
x a g( x )
g( x ) ( x a).g1 ( x )
f (a )
f (x)
= M .()
. Ta cú: lim
x

a
g(a)
g( x )
11. Mt s dng vụ nh:
0
a) Dng vụ nh
0
f ( x)
Phng phỏp: Tỡm lim
m f (a) = g(a) = 0
x a g( x )
Phõn tớch t s v mu s thnh cỏc tha s trong ú cú cha ( x a) sau ú n gin t v mu cho ( x a) .
Chỳ ý:
* Phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 cú nghim x0 thỡ
Tớnh M =

c
ax 2 + bx + c = ( x x0 ) ax ữ
x0 ữ


* Cng cú th thc hin phộp chia a thc cho ( x x0 )
* Khi trong gii hn cú cn thc ta cú th nhõn chia cho biu thc liờn hp.

b) Dng vụ nh

Phng phỏp: p dng cỏc cụng thc
1
x = + Ơ *
* xlim
* lim = 0
+
x x
+ neỏu n chaỹn
xn =
* xlim

neỏu n leỷ
* Nu tớnh gii hn dng hu t ta t nhõn t x ly tha cao nht c t s v mu s, n gin v ỏp dng
cỏc cụng thc trờn.
Chỳ ý:

b c
x. a + + 2 khi x +

x x

2
Nu a > 0 thỡ ax + bx + c =
b c

x. a + x + x 2 khi x


(

)

GV: NGUYN THANH NHN

11

: 0987.503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

c) Dạng vô định ∞ − ∞ và 0.∞
0
∞
hoặc
0
∞

Phương pháp: Thực hiện phép biến đổi đưa về dạng



HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại x0
* Tính f ( x0 ) (nếu f ( x0 ) không tồn tại thì hàm số không liên tục)
f ( x ) , khi cần có thể tính giới hạn 1 bên.
* Tìm xlim
→ x0
f ( x ) để kết luận.
* So sánh f ( x0 ) và xlim
→ x0

2. Tìm m để hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm đã chỉ ra
Phương pháp:
f ( x)
* Tính f (a) và tìm lim
x→a
f ( x ) = f (a) . Từ điều kiện này tìm m, khi cần có thể tìm giới hạn 1 bên.
* Hàm số liên tục tại x = a ⇔ lim
x→a
3. Chứng minh phương trình có nghiệm:
Phương pháp:
* Đặt f ( x ) là vế trái của phương trình, f ( x ) liên tục trong D.
* Tìm hai số a, b ∈ D sao cho f (a). f (b) < 0 thì phương trình có nghiệm x ∈ (a; b)



 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 12 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
1. Bảng các đạo hàm:
Hàm số y = f ( x )
(C )' = 0 C: hằng số

Hàm số hợp y = f (u), u = g( x )
y x = y / u .u/ x
/

( x )/ = 1

( x)

/

=

( u)

1
2 x

/

α

/

/

(u )
α

/

2 u

= α .uα −1 .u '
/

= − sin x

1
= 1 + tan 2 x
cos2 x
/
( cot x ) = − sin12 x
2. Các qui tắc tính đạo hàm:

( tan x )

/

( sin u )
( cos u )

= cos x
/

u'

1
u'
 ÷ =− 2
u
u

= α .xα −1

( sin x )
( cos x )

=

/

1
1
 ÷ =− 2
x
x

(x )

/

= u '.cos u
/

= −u '.sin u

u'
cos2 u
/
( cot u ) = sin−u2 'u

( tan u )

=

/

=

Cho các hàm số u, v, w lần lượt có đạo hàm u / , v / , w / . Ta có:
a) ( u + v − w ) = u / + v / − w /
/

b) ( u.v ) = u / v + uv / Hệ quả: ( C .u ) = C .u / (C: hằng số)
/

/

/

 u  u / v − uv /
c)  ÷ =
v2
v
d) u = u( x ) có đạo hàm theo x là ux/ , y = f (u) có đạo hàm theo u là yu/ thì hàm số y = f [u( x )] có đạo hàm theo x
là y x/ = yu/ .ux/
3. Đạo hàm cấp cao:
* Đạo hàm của y / gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu y / /
* Đạo hàm của y / / gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu y / / /

* Đạo hàm của đạo hàm cấp ( n − 1) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu y ( n )
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
- Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) có phương

trình là:

y − y0 = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 )


TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) :
Có 7 dạng sau:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) (với y0 = f ( x0 ) )
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y − y0 = f ' ( x 0 ) ( x − x0 )
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 13 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Dạng 2: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x0 thuộc (C)
-

Tìm y0 = f ( x0 ) và f ' ( x0 )

Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) và trục tung thì x0 = 0
Dạng 3: Tiếp tuyến tại điểm có tung độ y = y0 thuộc (C)
-

Giải phương trình f ( x ) = y0 tìm x = x0
Tìm f ' ( x0 )

Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) và trục hoành thì y0 = 0
Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y ' = f ' ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) = k tìm nghiệm x = x0
-

Tính y0 = f ( x0 )

Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = ax + b
-

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp tuyến bằng a (tức là ktt = a , viết như
dạng 4)
Dạng 6: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b
1
- Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên ktt .a = −1 ⇔ ktt = − (viết như dạng 4)
a
y
=
ax
+
b
ϕ
,
0
<
ϕ
≤
90
Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
một góc
α
,
β
- Gọi
lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ∆ ) với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số
-

góc của tiếp tuyến, khi đó ta có: ϕ = α − β suy ra:
tan α − tan β
k−a
=
(1)
1 + tan α tan β
1 + ak
- Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến (như dạng 4)
tan ϕ = tan α − β = tan ( α − β ) =

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 14 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11



CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
I. Các phép biến hình:

r
1. Phép tịnh tiến theo vectơ v :

uuuuur ur
a) Định nghĩa và kí hiệu: Trv ( M ) = M / ⇔ MM / = v

ur
b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), v = (a; b) . Ta có:

x ' = x + a
Tvur ( M ) = M / ⇔ 
y ' = y + b
2. Phép đối xứng trục d:
a) Định nghĩa và kí hiệu: Ñd ( M ) = M / ⇔ d là đường trung trực của MM / .
b) Biểu thức tọa độ:
x ' = x
* M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Ox: 
y ' = −y
x ' = −x
* M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Oy: 
y ' = y
3. Phép đối xứng tâm I:
a) Định nghĩa và kí hiệu: ÑI ( M ) = M / ⇔ I là trung điểm của MM /
b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) . Ta có:
 x ' = 2a − x
ÑI ( M ) = M / ⇔ 
 y ' = 2b − y
4. Phép quay tâm O, góc quay α :
Định nghĩa và kí hiệu:
Q(O ,α ) ( M ) = M / ⇔ (OM , OM / ) = α ( α là góc định hướng)
5. Phép vị tự tâm I, tỷ số k:
a) Định nghĩa và kíuuhiệu:
uu
r
uuu
r

V( I ,k ) ( M ) = M / ⇔ IM / = kIM
b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) . Ta có:
 x '− a = k ( x − a )
V( I ,k ) ( M ) = M / ⇔ 
 y '− b = k ( y − b)
Chú ý:
F
 M 
→M/

F
→(H / ) ⇒ M / ∈ (H / )
(H ) 
 M ∈ (H )

II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình:
1. Vẽ ảnh của một điểm:
uuuuur ur
a) Qua phép tịnh tiến: Lấy M / sao cho MM / = v
b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy M / sao cho d là đường trung trực của MM /
c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy M / sao cho I là trung điểm MM /
/
d) Qua phép Vị tự V( I ,k ) : Trên đường thẳng IM lấy M / sao cho đoạn IM = k .OM
* M , M / cùng phía đối với I nếu k > 0
* M , M / khác phía đối với I nếu k < 0
2. Vẽ ảnh của tam giác: Lần lượt vẽ ảnh của các đỉnh.
3. Vẽ ảnh của đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh A / , B / của A,B. Ảnh của d là đường thẳng A / B /
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 15 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

4. Vẽ ảnh của một đường tròn:
* Vẽ I / là ảnh của tâm I qua phép biến hình.
* Vẽ đường tròn tâm I / có bán kính bằng R (nếu là phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép
quay), bán kính bằng k .R (nếu là phép vị tự)
III. Tìm phương trình của ảnh:
Phương pháp:
Cho hình (H) có phương trình f ( x; y ) = 0 , viết phương trình (H / ) là ảnh của (H) qua phép biến hình F có biểu
 x ' = u( x )
thức tọa độ 
 y ' = v( y )
Cách giải:
* Gọi M ( x; y ), M / ( x '; y ') = F ( M )
 x ' = u( x )
* Khi đó: 
tính x theo x’, y theo y’
 y ' = v( y )
* M ( x; y ) ∈ (H ) ⇔ f ( x; y ) = 0 thay x,y vừa tìm được vào phương trình f ( x; y ) = 0 ta được phương trình
g( x '; y ') = 0 . M / ( x '; y ') ∈ ( H / ) nên phương trình của (H / ) là g( x '; y ') = 0 .


ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Cách 1: Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta tìm hai điểm chung phân biệt A,B. Giao tuyến là
đường thẳng AB.

* A ∈ (P ), A ∈ (Q) ⇒ A là điểm chung thứ nhất.
* B ∈ (P ), B ∈ (Q) ⇒ A là điểm chung thứ hai.
Vậy (P ) ∩ (Q) = AB
b) Cách 2: (Khi đã học xong chương quan hệ song song)
* Tìm một điểm chung S của (P) và (Q) ⇒ (P ) ∩ (Q) = Sx
* Chứng minh Sx song song với 1 đường thẳng cho trước.
 A ∈ (d ),(d ) ⊂ ( P) ⇒ A ∈ ( P)

 A = (d ) ∩ ( a) ⇒ A ∈ (d ) vaø A ∈ (a)
Chú ý: 
 A = (d ) ∩ ( P) ⇒ A ∈ ( d ) vaø A ∈ ( P )
(d ) = (P ) ∩ (Q) ⇒ (d ) ⊂ (P ) vaø (d ) ⊂ (Q)
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
a) Cách 1:
* Tìm một mặt phẳng phụ (Q) chứa d
* Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
* Trong mặt phẳng (Q) tìm M = a ∩ d . Suy ra M = d ∩ (P )
b) Cách 2: Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a ∩ d = M
 M ∈ a, M ∈ ( P )
⇒
⇒ M = d ∩ (P )
M ∈ d
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt nào đó.
 A ∈ (P ), A ∈ (Q)

 B ∈ (P ), B ∈ (Q) ⇒ A, B, C thẳng hàng.
C ∈ (P ), C ∈ (Q)

4. Tìm thiết diện:

Để tìm thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với một khối đa diện ta tìm các giao điểm của mặt phẳng đó với các cạnh
của khối đa diện (nếu có). Các giao điểm đó chính là đỉnh của thiết diện. Ta cũng có thể tìm các đoạn giao tuyến của
mặt phẳng đó với các mặt của đa diện.
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 16 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11


QUAN HỆ SONG SONG
I. Các định nghĩa:
1. Hai đường thẳng song song: a // b ⇔ a, b cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // (P ) ⇔ a ∩ ( P ) = ∅
3. Hai mặt phẳng song song: (P ) // (Q) ⇔ (P ) ∩ (Q) = ∅
II. Các tính chất:
 a Pc
⇒ a Pb
1. 
 b Pc
 a Pc;( P ) ∩ (Q) = b
⇒ a Pb Pc
2. 
 a ⊂ (P ); c ⊂ (Q)
3. Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó song song hoặc đồng qui.
 a Pb; a ⊄ (P )
⇒ a P(P )

4. 
b ⊂ (P )
 a P( P ); a ⊂ (Q)
⇒ a Pb
5. 
( P ) ∩ (Q) = b
 a P( P ), a P(Q)
⇒ a Pb
6. 
( P ) ∩ (Q) = b
 a ⊂ (Q)
⇒ a P( P )
7. 
(Q) P( P )

8. Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song mặt phẳng (Q) thì (P ) P(Q)
( P ) P( R)
⇒ ( P ) P(Q)
9. 
(Q) P( R)
(P ) P(Q )

10. (P ) ∩ ( R) = a ⇒ a Pb
(Q) ∩ ( R ) = b

III. Chứng minh hai đường thẳng song song:
Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
 a Pc
⇒ a Pb
1. 

 b Pc
 a P( P ), a ⊂ (Q)
⇒ a Pb
2. 
( P ) ∩ (Q) = b
 a ⊂ (P ), c ⊂ (Q)
⇒ a Pb
3. 
 a Pc,( P ) ∩ (Q) = b
 a P( P ), a P(Q)
⇒ a Pb
4. 
( P ) ∩ (Q) = b
( P ) P(Q)

5. ( P ) ∩ ( R) = a ⇒ a Pb
(Q) ∩ ( R) = b

6. Chứng minh ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt và 3giao tuyến không đồng qui thì chúng song
song nhau.
7. Sử dụng các tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét, tính chất hình bình hành,..
a ⊥ (P )
⇒ a Pb
8. Chứng minh 
b ⊥ (P )
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 17 

: 0987. 503.911

 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:
 a Pb
⇒ a P(P )
1. 
b ⊂ (P )
 a ⊂ (Q)
⇒ a P( P )
2. 
(Q) P( P )
a ⊥ b

3.  b ⊥ (P ) ⇒ a P(P )
a ⊄ (P )

 a ⊥ (Q)

4. ( P ) ⊥ (Q) ⇒ a P( P )
 a ⊄ (Q)

V. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
 a, b ⊂ (P ), a ∩ b = I
⇒ (P ) P(Q)
1. 
 a P(Q).b P(Q)
( P ) P( R)
⇒ ( P ) P(Q)

2. 
(Q) P( R)
( P ) ⊥ a
⇒ (P ) P(Q)
3. 
(Q) ⊥ a
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau:
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử a, b không chéo nhau suy ra a và b cùng nằm trong mặt phẳng. Từ các điều kiện đã cho dẫn đến điều trái với
giả thiết.


QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
1. Sử dụng các phương pháp của Hình học phẳng: Góc nột tiếp, định lí Pitago
2. a ⊥ b ⇔ góc giữa 2 đường thẳng a, b bằng 90 0
ur ur
3. a ⊥ b ⇔ a .b = 0
 a Pc
⇒a⊥b
4. 
b ⊥ c
a ⊥ (P )
⇒a⊥b
5. 
b ⊂ (P )
 a P( P )
⇒a⊥b
6. 
b ⊥ (P )

7. Áp dụng định lí 3 đường vuông góc: a / là hình chiếu của a lên (P ) , b ⊂ (P ), a ⊥ b ⇔ b ⊥ a /
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
 a ⊥ b, a ⊥ c

1.  b, c ⊂ (P ) ⇒ a ⊥ (P )
b ∩ c = I

(Q) ⊥ ( P )

⇒ a ⊥ (P)
2. ( R ) ⊥ (P )
(Q) ∩ ( R) = a


 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 18 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

( P ) ⊥ (Q)

3. ( P ) ∩ (Q) = b ⇒ a ⊥ (P )
 a ⊂ (Q), a ⊥ b

 a Pb
⇒ a ⊥ (P )

4. 
b ⊥ (P )
 a ⊥ (Q)
⇒ a ⊥ (P)
5. 
(Q) P( P )
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
a ⊥ (P )
⇒ (P ) ⊥ (Q)
1. 
 a ⊂ (Q)
a ⊥ (P )

2.  b ⊥ (Q) ⇒ (P ) ⊥ (Q)
a ⊥ b

3. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90 0 .



GÓC

1. Góc ϕ giữa hai đường thẳng a, b:
Từ một điểm O tùy ý dựng a / Pa, b / Pb (thường chọn O trên a hoặc b) thì ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a / và
b/ .
2. Góc ϕ giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P):
* Nếu a vuông góc với (P) thì ϕ = 90 0

* Nếu a không vuông góc với (P) thì ϕ = góc giữa a và a / ; trong đó a / là hình chiếu của a lên (P) (Tìm
·

M = a ∩ (P ) , trên a lấy điểm A khác M, H là hình chiếu của A lên (P) thì ϕ = AMH
)
3. Góc ϕ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
a ⊥ (P )
⇒ ϕ = góc giữa hai đường thẳng a, b.
a) 
 b ⊥ (Q)
(P ) P(Q)
⇒ ϕ = 00
b) 
(P ) ≡ (Q)
c) Khi (P ) ∩ (Q) = d , trong (P) dựng a ⊥ d , trong (Q) dựng b ⊥ d thì ϕ = góc giữa hai đường thẳng a, b.
Chú ý:
* Với ϕ là góc giữa a và b, a và (P), (P) và (Q) thì 0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0
* Cho hình chóp S.ABCD có SH là đường cao thì ta có:
·
- SAH
là góc giữa cạnh bên SA với (ABCD).
·
- M là hình chiếu của S lên AB ta có MH ⊥ AB nên SMH
là góc giữa (SAB) và (ABCD).


KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a:
H là hình chiếu của O lên đường thẳng a thì d (O, a) = OH
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P):
H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) thì d (O,( P )) = OH

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 19 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

3. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song nhau:
 a P( P )
⇒ d ( a,(P ) ) = d ( O,( P ) )

O ∈ a
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau:
(P ) P(Q )
⇒ d ( (P ),(Q) ) = d ( O,(P ) )

O ∈ (Q)
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Đường vuông góc chung: của hai đường thẳng a, b là đường thẳng c vuông góc với a, b và cắt a, b tại hai điểm
A, B. AB gọi là đoạn vuông góc chung của a, b. d ( a, b ) = AB .
b) Cách dựng:
* Dựng (P) chứa b và (P) song song a.
* Dựng a / là hình chiếu của a lên (P).
* Dựng B = b ∩ a / . Qua B dựng c vuông góc với (P), c cắt a tại A.
Chú ý: d ( a, b ) = d ( a,(P ) )
Đặc biệt: Khi a ⊥ b
* Qua b dựng (P ) ⊥ a , dựng A = a ∩ (P ) , trong (P) dựng c qua A và c ⊥ b , c cắt b tại B.



HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. Định lí cô sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c , ta có:
•

a 2 = b 2 + c 2 − 2b.c.cos A

•

b 2 = a 2 + c 2 − 2a.c.cos B

•

c 2 = a2 + b 2 − 2a.b.cos C

Hệ quả:
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
a2 + b2 − c2
; cos B =
; cos C =
cos A =
2bc
2ac
2ab
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến lần
lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

•

ma2 =

2(b2 + c2 ) − a2
4

•

mb2 =

2(a2 + c2 ) − b2
4

•

mc2 =

2(a2 + b2 ) − c2
4

 20 

: 0987. 503.911


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Công thức tính diện tích tam giác:

•

1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
S = ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
abc
S=
4R

S = pr

•

S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Hê – rông)

•
•
•

với p =

a+b+c
2

4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

* Các hệ thức lượng giác:
AC
AB
sin B = cos C =
cos B = sin C =
BC
BC
AC
AB
tan B = cot C =
cot C = tan C =
AB
AC

* Các hệ thức về cạnh, đường cao, hình chiếu:
AB.AC = BC. AH = 2.S∆ ABC

AB 2 + AC 2 = BC 2 (Pi ta go)
AB 2 = BH .BC
AC 2 = CH .BC

AH 2 = HB.HC

 GV: NGUYỄN THANH NHÀN

1
1
1
+
=
2
2
AB
AC
AH 2

MA = MB = MC = R



 21 

: 0987. 503.911