Tóm tắt kiến thức toán 12

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIẢI TÍCH 12
@. Bổ túc về đại số:
1. phương trình bậc 2: ax
2
+bx+c=0 với x
1,
x
2
là nghiệm thì
ax
2
+bx+c = a(x-x
1
)(x-x
2
); ∆=b
2
-4ac (∆’=b’
2
-
ac với b’=b/2)
thì









∆±−
=
∆±−
=
a
b
x
a
b
x
2
''

2
2,12,1
nếu a+b+c=0 thì x
1
=1; x
2
=c/a; nếu a-b+c=0
thì x
1
=1; x
2
= -c/a;
S=x
1
+x
2
= - b/a; P=x

1
.x
2
= c/a (đl Vieet)
2. tam thức bậc hai f(x)= ax
2
+bx+c
+ ∆<0 thì f(x) cùng dấu a +
0)(
21
<⇔<<
αα
afxx
+



<∆
>
⇔>
0
0
0)(
a
xf
+



<∆

<
⇔<
0
0
0)(
a
xf
+







>−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
+








<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
3. phương trình bậc ba: ax
3
+bx
2
+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x
1
=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x
1
= -1; dùng Hoocner

ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-1)(ax
2
+ βx + γ) = 0
với β=a+b; γ=β+c
4. các công thức về lượng giác, cấp số và
lôgarit:
);2cos1(
2
1
cos
);
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2
xx
xxxx
+=
+=+=
ππ
)2cos1(
2
1
sin
2

xx −=
; 1+tg
2
x=
x
2
cos
1

x
x
2
2
sin
1
cotg1 −=+
cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b
b
c
q ==

I. ĐẠO HÀM:
1. Qui Tắc:
1. (u ± v)’ = u’ ± v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
3.
2

'
v
u'vv'u
v
u −
=






4. (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(x
n
)’ = nx
n-1
(u
n
)’ = nu
n-1
u’
2
'
x
1
x
1
−=







2
'
u
'u
u
1
−=






( )
x2
1
x
'
=
( )
u2
'u
u
'

=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ =
xcos
1
2
(tgu)’ =
ucos
'u
2

(cotgx)’ =
xsin
1
2
−
(cotgu)’ =
usin
'u
2
−

(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ = u’e

u
(a
x
)’ = a
x
.lna (a
u
)’ = u’a
u
.lna
(lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
'u
(log
a
x)’ =
alnx
1
(log
a
u)’ =
alnu
'u
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba y = ax
3
+bx

2
+cx+d:
• Miền xác định D=R
• Tính y’= 3ax
2
+2bx+c
• y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
• tính y’’ tìm 1 điểm uốn
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- để hs tăng trên D



≤∆
>
⇔≥⇔
0
0
0'
'y
a
y
- để hs giảm trên D



≤∆

<
⇔≤⇔
0
0
0'
'y
a
y
- để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n
0
pb
- để hs không có cực trị ⇔y’=0 VN hoặc có
nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và
tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x
i
là cực trị
thì giá trị cực trị là: y
i
=mx
i
+n
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
⇔ ax
3

+bx
2
+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành
csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn
thuộc ox.
2. Hàm trùng phương y = ax
4
+bx
2
+c:
• Miền xác định D=R
• Tính y’
• y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0
có 3 n
0
pb (hoặc 1 n
0
)
- để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n
0
pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0;
S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc

⇔ ∆>0; P>0; S>0; x
2
= 9x
1
và sử dụng đlý
Vieet.
3. Hàm nhất biến
dcx
bax
y
+
+
=
• Miền xác định D=R\
{ }
c
d
−
• Tính
( )
2
'
dcx
bcad
y
+
−
=
(>0, <0)
• TCĐ

c
d
x −=
vì
0lim =
−→
y
c
d
x
• TCN
c
a
y =
vì
c
a
y
x
=
∞→
lim
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
4. Hàm hữu tỷ
edx
x

edx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
γ
βα
2
chia bằng
Hoocner
• Miền xác định D=R\
{ }
d
e
−
• Tính y’=
( ) ( )
2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d
+
++

=
+
−
γ
α
• y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
• TCĐ
d
e
x −=
vì
0lim =
−→
y
d
e
x
• TCX
βα
+= xy
vì
0lim =
+
∞→
edx
x
γ
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị

* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2
nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu x
i
là cực trị thì giá trị cực trị là
d
bax
y
i
i
+
=
2
và đó cũng là đt qua 2 điểm
cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ⇔ ax
2
+bx+c=0
có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x
0,
y
0
) ∈ y=f(x)
tính: y’=

y’(x
0
)=
pttt: y = f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x
0
thay vào
y=f(x) tìm được y
0
từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x
0
)+y
0
• pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
• pttt ⊥y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x
0,
y
0
) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x
0

)+y
0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:



=
+−=
(2)
(1)
kxf
yxxkxf
)('
)()(
00
thay (2) vào (1)
giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k
thế vào pttt d ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và
y= g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x)
giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao
điểm.
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận
nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng
f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox.
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ
thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:




=
=
(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
3/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
a/ g(x) = ax
2
+bx+c ≥ 0 trong (α,+∞) ⇔
a>0;
α
≤−
a
b
2
; g(α)≥0.
b/ g(x) = ax
2
+bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔
a<0;
α
≤−
a

b
2
; g(α)≤0.
c/ g(x) = ax
2
+bx+c ≥ 0 trong (α,β) ⇔
ag(α)≤0; ag(β)≤0
{áp dụng cho dạng có m
2
}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x
0
} thì
• tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x
0
≤α
• giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x
0
≤α
4. Cực trị:
* y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và
đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0)
* y=f(x) có cực đại tại x
0
⇔
( )
( )




<
=
0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) có cực tiểu tại x
0
⇔
( )
( )



>
=
0''
0'
0
0
xy
xy
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
• Tính y
/
Để hàm số có cực trị thì y
/
= 0 có hai n
0
pb




〉∆
≠
⇔
0
0a
2. T.Hợp 2: Hàm số
//
2
bxa
cbxax
y
+
++
=
P.Pháp: Tập xác định







=
/
/
\
a
b
RD
Tính
( )
2
//
/
)(
bxa
xg
y
+
=
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y
/
= 0
có hai nghiệm pb thuộc D






≠−
〉∆
⇔
0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b)
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• KL:
( )
;
max
CD
a b
y y=
,
( )
;
min
CT

a b
y y=

b. Trên [a;b]
• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
[ ]
;
max
a b
y M=
Chọn số nhỏ nhất m , KL:
[ ]
;
min
a b
y m=
III. Hàm số mũ và logarit:
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a

m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
; (
n
a
1
=a
−
m
;
a
0
=1; a
−
1
=
a
1
); (a
n

)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=






;
n
m
n
m

aa =
.
2. Công thức logarit :
log
a
b = c⇔a
c
=b ( 0< a≠1; b>0)
Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R
ta có: log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
;

log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a
x
2
;

xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log
a
x;

xx
a
a
log
1
log
α
α
=
; (log
a
a
x
=x);
log
a
x=
a
x
b
b
log
log
; (log
a
b=
a
b
log

1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
3. Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a ≠
)
b
≤
0 : pt vô nghiệm
b>0 :
log
x
a

a b x b= ⇔ =
* Đưa về cùng cơ số:
A
f(x)
= B
g(x)
⇔ f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
Điều kiện : x > 0
log
b
a
x b x a= ⇔ =
• log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x)
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng a
x
> b ( a> 0 ,

0a
≠
)
b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 :
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1

log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a
≠
, x>0 )
log
b
a

x b x a> ⇔ >
, khi a >1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm
số y=f(x) trên khoảng (a;b)

⇔
F
( ) ( )
xfx =
/
,
( )
bax ;∈∀
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1.
∫
+= cxdx.1
2.
( )
1
1

.
1
−∝≠+
+∝
=
∫
+∝
∝
c
x
dxx
3.
∫
+= cxdx
x
ln.
1
4.
∫
+= cSinxdxCosx.
5.
∫
+−= cCosxdxSinx.
6.
∫
+= ctgxdx
xCos
.
1
2

7.
∫
+−= cCotgxdx
xSin
2
1
.
8.
∫
+= cedxe
xx
.
9.
∫
+= c
a
a
dxa
x
x
ln
.
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1.
( )
( )
∫
+
+∝
+

=+
+∝
c
bax
a
dxbax
1
1
.
1
α
2.
∫
++=
+
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1
3.
( ) ( )
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos .
1

.
4.
( ) ( )
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.
5.
( )
( )
∫
++=
+
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2
6.
( )
( )
∫
++−=
+

cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2
7.
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
.
1
.
8.
∫
+=
+
+
c
a
a
m
dxa

nmx
nmx
ln
.
1
.
Các phương pháp tính tích phân:Tích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của
một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối
hoặc chia đa thức.
Phương pháp đổi biến số :

( )
[ ]
( ) ( )
∫
ϕϕ=
b
a
xdxxfA
/
P.Pháp:
Đặt : t =
( )
xϕ

⇒

( ) ( )
xdxdt .

/
ϕ=
Đổi cận:
( )
( )



ϕ=⇒=
ϕ=⇒=
atax
btbx

Do đó:
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
==
b
a
b
a

tFdttfA .
Các dạng đặc biệt cơ bản:
1.
∫
+
=
a
xa
dx
I
0
22
P.Pháp:
• Đặt:
tgtax .=







π
〈〈
π
−
22
t

( )

dtttgadt
tCos
a
dx .1.
2
2
+==⇒
• Đổi cận:
2.Tính
dxxaJ
a
.
0
22
∫
−=
P.Pháp:
• Đặt






π
≤≤
π
−=
22
int. tSax

dtCostadx =⇒
• Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
A=
dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(
∫










Trong đó P(x)là hàm đa thức
Phương pháp:
Đặt u = P(x)
⇒

du = P(x).dx
dv =












∫
∫
∫
Cosx
Sinx
e
x
.dx
⇒
v =
Áp dụng công thức tích phân từng
phần
A =
[ ]
∫
−

b
a
b
a
duvvu
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Loại 2: B =
∫
+
b
a
dxbaxLnxP ).().(

Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b)
⇒

dx
bax
a
du .
+
=

dv = P(x).dx
⇒
v =
Áp dụng: B =
[ ]
∫

−
b
a
b
a
duvvu

Dạng :
∫
= dxxSinA
n
.
Hay
∫
= dxxCosB
n
.
1. Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
21
2
aCos
aSi n
−
=
;
2
21
2

aCos
aCos
+
=

2. Nếu n lẻ:

∫
−
= dxSinxxSinA
n

1
Đặt
Cosxt =
(Đổi
x
n 1
sin
−
thành Cosx )

Dạng :

∫
= dxxtgA
m
.
Hay
∫

= dxxCotgB
m
.
PP:Đặt
2
tg
làm thừa số
Thay
1
1
2
2
−=
xCos
tg
IV. Diện tích hình phẳng:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp:  DTHP cần tìm là:

dxxfS
b
a
.)(
∫
=
(a < b)
•Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0

ΣNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn
[ ]
ba;
thì:

∫
=
b
a
dxxfS ).(
ΣNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
ba;
. Giả sử x =
α
, x =
β
thì

dxxfdxxfdxxfS
b
a
.)(.)(.)(
∫∫∫
β
β
α
α
++=

∫
α
=
a
dxxfS ).(
+
∫
β
α
dxxf ).(
+
∫
β
b
dxxf ).(
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y
=f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm
của phương trình: f(x) = 0



=
=
⇔
bx
ax

∫∫

==
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)(
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
đường
(c
1
): y = f(x) và(c
2
): y = g(x) và hai
đường
x = a; x = b:
P.Pháp
• DTHP cần tìm là:
dxxgxfS
b
a
.)()(
∫
−=

• HĐGĐ của hai đường (c
1
) và (c
2
)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)

= 0
Lập luận giống phần số 1
V. Thể tích vật thể:
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x =
b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra
vật thể có thể tích:
[ ]
dxxfV
b
a
.)(.
2
∫
π=

2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y =
b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật
thể có thể tích:
[ ]
dyygV
b
a
.)(.
2

∫
π=
VII. SỐ PHỨC:
Số phức là một biểu thức có dạng
a bi+
, trong đó a,b∈R; i
2
= -1.
Số phức
z a bi= +
có
a
là phần thực,
b
là phần ảo.
Số phức
z a bi= +
được biểu diễn bởi
điểm
( )
;M a b
hay bởi
( )
;u a b=
r

trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Hai số phức bằng nhau :
a c

a bi c di
b d
=

+ = + ⇔

=

.
Modun của số phức
z a bi= +
chính
là độ dài của
OM
uuuur
. Vậy :
2 2
z OM a b= = +
uuuur
.
Số phức liên hợp của số phức
z a bi= +
là số phức
z a bi= −
.
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :
a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )

a bi c di a c b d i+ − + = − + −
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + +
Chú ý:
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i= = − = − =
.
Tổng quát :
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
.
( )
2
1 2i i+ =
;
( )
2
1 2i i− = −
.
b. Phép chia hai số phức :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
a bi c di a bi c di
a bi

c di c di c di c d
+ − + −
+
= =
+ + − +
Như vậy :
.
.
z z z
z z z
′ ′
=
Chú ý:
1
1
i
i
i
+
=
−
.
c. Các tính chất của số phức liên hợp
và modun :
z z=
;
z z z z
′ ′
+ = +
;

.zz z z
′ ′
=
;
z z
z z
′ ′
 
=
 ÷
 
.
z z=
;
zz z z
′ ′
=
;
z
z
z z
′
′
=
;
z z z z
′ ′
+ ≤ +
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
a. Căn bậc hai của số phức :

Định nghĩa : Số phức
z
là căn bậc hai
của số phức nếu:
2
z w=
.
Như vậy để tìm Số phức
z x yi= +

( )
,x y∈¡
là căn bậc hai của số phức
w a bi= +
ta giải hệ phương trình hai
ẩn x, y thực sau:
2 2
2
x y a
xy b

− =

=

Chú ý :
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
Số thực
0a >
có đúng hai căn bậc hai là :

a±
Số thực
0a <
có hai căn bậc hai là
i a i a
± = ± −
. Đặc biệt , số
1
−
có hai
căn bậc hai là
i±
.
b. Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =

(
, , , 0a b c a∈ ≠£
).
* Nếu
0∆ =
, phương trình có một nghiệm
kép
2
b
z
a
= −

.
* Nếu
0∆ ≠
, phương trình có hai nghiệm
phân biệt :
1,2
2
b
z
a
δ
− ±
=
,
(
δ
là một căn bậc hai của
∆
)
.