SKKN Bổ sung các kỹ thuật khi sử dụng BĐT CÔSI

Trờng THPT Lý Nhân Tông

sở giáo dục đào tạo bắc ninh
trờng thpt Lý Nhân tông
----------------

SánG kiến kinh nghiệm
đăng ký cấp ngành

Đề tài :

Bổ sung các kĩ thuật
khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Chủ nhiệm SKKN : Lê Thị Hồng Thuý
Chức vụ : Giáo viên
Tổ: Toán-Tin
Trờng THPT Lý Nhân Tông

Năm học: 2011 - 2012

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

1


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Mục lục

Lời mở đầu
I. Cơ sở lí luận và lí do chọn đề tài
II.Phần nội dung đề tài
II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi
II.2 Các kĩ thuật chính
1. Phơng pháp chứng minh trực tiếp
2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng
3. Phơng pháp cân bằng tổng
4. Phơng pháp cân bằng tích
5. Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi
6. Kĩ thuật nhân nghịch đảo
7.Kĩ thuật Côsi ngợc dấu
II.3 Các bài tập chọn lọc
II.4Kết quả kiểm chứng của chuyên đề.
III.Kết kuận
IV.Phụ lục.

Trang
2
3
4
4
7
8
10
11
16
17
20

24
25
26

Lời mở đầu
I.1 Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn và lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy toán cần thờng xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm
chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dỡng trong cuộc
sống của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

2


Trờng THPT Lý Nhân Tông

hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần
thiết trong việc học toán. Bất đẳng thức là một môn học khó đối với đa số học sinh
nhng cũng là một mảng kiến thức dễ đâm chồi nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của
tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi. Rèn luyện về bất đẳng thức giúp học sinh
tăng cờng khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán, phát triển t duy cho
học sinh.
Qua vàt năm giảng dạy theo chuyên đề bất đẳng thức tôi đã rút ra nhiều kinh
nghiệm, cải tiến cũng nh có các sáng kiến mới để giảng dạy mảng kiến thức này.
Chính vì vậy cũng mạnh dạn đa lên để các thày cô giáo tham khảo đánh giá, cùng
bàn bạc để tìm đợc các phơng hớng mới, cách thức mới để giảng dạy hiệu quả
hơn,giúp học sinh tiếp cận kiến thức dễ dàng và hứng thú hơn. Các điều mới trong
sáng kiến lần này là: bổ sung kĩ thuật nhân nghịch đảo, lấy nhiều ví dụ hay và

đẹp cho các phơng pháp đề ra, đặc biệt là phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm
rơi Côsi, sự bố trí các bài tập hợp lí ngay sau các lí thuyết nh thế nào, bổ sung các
lời giải v hớng dẫn cho các bài tập mà trớc đây chỉ có đề bài. Hi vọng với một lợng
bài tập và các ví dụ vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh. Các thầy cô chỉ
cần bổ sung một lợng bài tập nhỏ là có thể xây dựng các chuyên đề hay cho học sinh
của mình.
Với sự nhiệt tình và say mê sáng tạo các thầy cô giáo sẽ giúp cho các em học
sinh tự tin, dần tự mình tìm tòi học hỏi để làm chủ đợc kiến thức, đó là một thành
công rất lớn của các thầy cô giáo.
Đối tợng khảo sát:Học sinh lớp 10A1 và 12A1 trờng THPT Lý Nhân Tông.
I.2 Tóm tắt nội dung chính của đề tài
Đề tài đợc trình bày theo cấu trúc sau:
*)Hệ thống các kiến thức cơ bản quan trọng
*)Hệ thống các kĩ thuật đợc sử dụng, bao gồm các ví dụ minh họa và các bài tập
đi kèm để củng cố.
*)Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng.
*) Một số đề xuất kiến nghị và các hớng khai thác kết quả.

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

3


Trờng THPT Lý Nhân Tông

II.Phần nội dung đề tài
II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) đợc nhà toán học ngời Pháp Augustin Louis

Cauchy đa ra, nó có dạng sau:
Dạng tổng quát: Cho a1,a2,an là các số không âm thì:

a1 + a 2 +... + a n
n a1 a 2 ...a n
n
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Chúng ta thờng sử dụng cho bộ hai số hoặc bộ ba số, cụ thể là:
Với 2 số:Cho a 0, b 0

a + b 2 ab

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Hệ quả1:Hai số dơng có tổng không đổi,tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằngnhau.
Hệ quả2:Hai số dơng có tích không đổi,tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số bằngnhau
Với 3 số:Cho a 0, b 0 ;c 0 ta luôn có

a + b + c 33 abc Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các
số a, b, c là những số không âm.
Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi
nào, điều đó rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân bằng tổng và cân bằng tích sau
này.

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

4

Trờng THPT Lý Nhân Tông

Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là
trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có
dạng chung là trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân.
II.2 Các kĩ thuật chính
1. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi.
Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có
hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.
a b
(1)
+ 2
b a
Phân tích: Ta đã chứng minh đợc bài tập này bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng, sau đây là một cách làm khác:

Bài tập 1. Chứng minh rằng a > 0, b > 0 :

Giải: do a>0 và b>0 nên

a
b
> 0, > 0 vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a

a b
ab
a b

a b
+ 2
+ 2 1 + 2
b a
ba
b a
b a

Dấu bằng xảy ra khi

a b
= a2 = b2 a = b
b a

Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tơng tự có thể là:
a, b, c > 0 CMR : 1)

a b c
b c
4
+ + 3 2) 2a + + 3 3 2c 3) a + 4
b c a
a b
a

Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài tập 2: Chứng minh rằng: a, b > 0

1 1
(a + b)( + ) 4

a b

(2)

Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên:
Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a.
Cách 2: Qui đồng rồi đa về (a+b)2 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi
v.v...
Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm nh sau:
Giải: Vì a > 0, b > 0 nên

1
> 0,
a

1
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b

a + b 2 ab
1 1
1
1 1

1 1
1 ( a + b)( a + b ) 2 ab .2 ab ( a + b)( a + b ) 4
+ 2

a b
ab

Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Các bài tập tơng tự có thể dùng để củng cố

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

5


Trờng THPT Lý Nhân Tông

1 1 1
1) a, b, c > 0 (a + b + c )( + + ) 9
a b c

(3)

2) a, b, c 0
i)

(a + b)(b + c)(c + a) 8abc

ii)

(a + b)(ab + 1) 4ab

iii)

(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) 9abc

iv)

a
b
c
( + 1)( + 1)( + 1) 8
b
c
a

v)

a 3b a 3 c b 3 c b 3 a c 3 a c 3b
+
+
+
+
+
6abc
c
b
a
c
b
a

(4)
(5)

(6)
(7)

a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) 6abc
Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép
biến đổi tơng đơng ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích:
vi)

1 1
4
+
a b a+b
1
4

ab ( a + b) 2

(

(2a)
(2b)

a+b 2
) ab
2

1
1 1 1
( + )
a+b 4 a b

(2c)
(2d)

1
1 1 1 1
( + + ) (3a)
a+b+c 9 a b c
Mà nó có thể áp dụng để giải một vài bài tập khó rất đơn giản:
1)

Với a + b + c 1, a, b, c > 0

CMR:

1
1
1
+ 2
+ 2
9
a + 2bc b + 2ac c + 2ba

2)

2

(Đại học Bách khoa)

ĐHKHTN - 2000: Cho x, y, z > 0 với x 2 + y 2 +z 2 3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

1
1
1
+
+
xy + 1 zy + 1 xz + 1

(9)

Giải:
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

6

(8)


Trờng THPT Lý Nhân Tông

1
1
1
+
+

)( xy + 1 + yz + 1 + zx + 1) 9
xy + 1 zy + 1 xz + 1
9
9
9
A=
2

xy + yz + zx + 3 x + y 2 + z 2 + 3 6

(

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3/2.
2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng.
Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu
quả khi dùng và tạo rất nhiều hứng thú cho học sinh.
ab bc ac
+
+
a + b + c (9)
c
a
b
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có
thể làm ngay đợc, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số.

Bài tập 3: Chứng minh a, b, c > 0 thì

Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên

ab
bc
> 0,
> 0,
c
a

ac
> 0 áp dụng bất đẳng
b

thức Côsi cho các cặp:

ab bc
ab bc
ab bc
+
2
.

+
2b
c
a
c a
c
a


bc ac

bc ac
bc ac
ab bc ac
+
2
.

+
2c 2( +
+ ) 2(a + b + c) đpcm
a
b
a b
a
b
c
a
b


ac ba
ac ba
ac ba
+
2
.

+
2a
b

c
b c
b
c


Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài tập 4: Cho ba s khụng õm a,b,c. Chng minh:
a 3 + b3 + c 3 a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab .

( )

Gii: Theo BT Cosi ta cú: 4a 3 + b3 + c 3 6 6 a 3

4

b3c 3 = 6a 2 bc ;

tng t ta cng cú: 4b3 + c3 + a 3 6b 2 ca ;4c 3 + a 3 + b3 6c 2 ab
cng cỏc v ca cỏc BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh.
Du bng xy ra khi a = b = c.
Ta thấy rằng phơng pháp này áp dụng có hiệu quả rất tốt cho một lớp các bài tập
sau:
1)

GV:Lê

a
b
c 1 1 1

+ +
+ +
bc ac ab a b c
Thị Hồng Thuý

7


Trờng THPT Lý Nhân Tông

2)

a 2 + b 2 + c 2 ab + ca + bc

3)

3a + 2b + 4c ab + 3 bc + 5 ca
a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 abc (a + b + c) .

4)

Ngoài ra để tránh nhàm chán các thầy cô có thể bổ sung thêm một loạt các bài
tập khác ở mức độ khó hơn:
1) Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c)
x

x

x

2) Chứng minh rằng : 12 ữ + 15 ữ + 20 ữ 3x + 4 x + 5 x ( khối D-2004)
5 4 3
3) Nếu x, y z là các số dơng thỏa mãn xyz = 1 thì
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
3 3
xy
yz
zx
2
2
2
2
2
2
4) a, b, c > 0 : a + b + c a + b + b + c + c + b
2c
2a
2a
3. Phơng pháp cân bằng tổng
Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là
khi nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi chúng bằng nhau.

Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ ... + Sn m , ta
biến đổi S = A1+A2+...+An là các số không âm mà có tích A1A2...An = C không đổi,
sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Bài tập 5:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x +

1
khi x > 1
x 1

Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và

1
> 0 ta có
x 1

1
1
1
1
2 ( x 1)
x 1+
2 x+
3.
x 1
x 1
x 1
x 1
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.
x 1+

Bài tập 6. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 2 x +

1
1
( x + 1) 2

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả, nhng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh.

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

8


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu x 0 thì x +

27
1.
( x + 3) 3

Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì
vậy phải phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3
Giải: Bất đẳng thức đã cho tơng đơng



x+3 x+3 x+3
27
+

+
+
3 1
3
3
3
( x + 3) 3

x+3 x+3 x+3
27
+
+
+
4 . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dơng gồm
3
3
3
( x + 3) 3

ba số

27
x+3
và
ta có điều phải chứng minh.
( x + 3) 3
3

Dấu bằng xảy ra khi x=0
Bài tập 8 Cho x > y 0 . Chng minh: 2 x +

32
5.
( x y )(2 y + 3) 2

Gii: Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không
đổi, vì vậy phải phân tích 2x thành 3 số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm bớt 6
Ta cú:

4 x 4 y + (2 y + 3) + (2 y + 3) +

64.4
6 4 4 64.4 6 = 16 6 = 10
2
(4 x 4 y )(2 y + 3)

T ú suy ra pcm. Du bng xy ra khi:

4 x 4 y = 2 y + 3 = 4 x = 3/ 2; y = 1/ 2 .
Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +

2
với x > 0
2x + 1

2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì

2x
9

+
1
3 ( x + 3) 2

3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì

a+

b
3
(a b)(b + 1) 2

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn:
2 3
+ =1
x y

Hớng dẫn: từ biểu thức ta có y =

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

3x
6
do vậy
= 3+
x2
x2

9


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Q = x + y = x +3+

6
6
= x2+
+5
x2
x2

2
2
ab
a
+
b
5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R =
với a > 0, b > 0
+
ab
a2 + b2

Hd: R =

ab
a 2 + b 2 3 a 2 + b 2 sau đó dùng bất đẳng thức Côsi. Các

+
+ .
a 2 + b2
4ab
4 ab

thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh câu hỏi là tại sao lại làm nh vậy?
6) Chứng minh rằng ( x + 2) 2 +

2
3 (a > 0)
x+2

4. Phơng pháp cân bằng tích.
Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng
không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P1P2...Pn M ta phân
tích P = B1B2...Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một số
không đổi.
Bài tập 9. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2

4
.
27

Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng
đó chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1.
Giải: ab2 = 4a.

b/2,b/2 ta có:

3

b b
mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng là a,
.
2 2

b b
a. .
2 2

a+

b b
+
2 2 = 1 a. b . b 1 4a. b . b 4 đpcm.
3
3
2 2 27
2 2 27

Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3.
Bài tập 10: Cho hai s thc khụng õm x,y tha món cỏc iu kin:
x + y 4;3 x + y 6 .
Tỡm GTLN ca biu thc: P = 9. 3 x + 4 y .
Gii: Theo BT Cosi ta cú:

P = 3.3 3 x.1.1 +

2
2
.2 y.3 3( x + 2) +
( y + 3)
3
3

= a ( x + y ) + b(3 x + y ) + 6 + 2 3 4a + 6b + 6 + 2 3 = 4.

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

10

2 3 3
92 3
+ 6.
+6+
2
6


Trờng THPT Lý Nhân Tông

= 9 + 4 3 . ( Do
a + 3b = 3 & a + b = 2 / 3 a = (2 3 3) / 2 & b = (9 2 3) / 6 ).
Vy MaxP = 9 + 4 3 khi x = 1& y = 3 .
Các bài tập tơng tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1) y = 4x3 - 3x2 với 0 x 4/3
2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 x 3, 0 y 4
3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 x 4
4) y = x (1 - x2) với 0 x 1
5) y = 2 x 3 + 5 2 x
5. Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi
Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp
và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!
a2 b2 c2
thì
a, b, c > 0
+
+
a+b+c
b
c
a
Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng
không ra đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc.
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c
khi đó a2/b =a vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện a2/b để có chứng minh sau:
Chứng minh:

Bài tập 11. Chứng minh

2
2
2
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng a , b, b , c, c , a thì ta có:

b

c

a

a2
b2
c2
+ b 2a; + c 2b; + a 2c
b
c
a
2
2
2
a
b
c
a 2 b2 c2

+ b + + c + + a 2a + 2b + 2c + + a + b + c
b
c
a
b
c a
Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b cho a2/b?
Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m. sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a2/b + m 2

a2
m . Vậy m cần đợc chọn sao cho:
b

2
1. a m có thể triệt tiêu đợc b, hay là mất mẫu số do vế trái của bđt không có

b

mẫu
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

11


Trờng THPT Lý Nhân Tông

2. Khi dấu bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c.
Rõ ràng m chỉ có thể bằng b đợc thôi. Bài tập sau sẽ làm sáng tỏ hơn:
Bài tập12. Chứng minh rằng a, b, c > 0 thì
a2
b2
c2
a+b+c
+
+

b+c a+c b+a
2
2
Phân tích: Ta cần thêm cho a

b+c

một số m thoả mãn:

1. rút gọn đợc mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi
2
2
a
(
+m 2 a m )
b+c
b+c
2
2. dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra đợc nghĩa là a = m và a= b = c

b+c

suy ra m =

2
b+c
Và để tính thì a = m = b + c . Dễ thấy khi thay a=b=c thì =4.

b+c

Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng
a2 b + c b2 c + a c2 a + b
,
,
,
,
,
b+c 4 c+a 4 a+b 4

thì ta có:


a2
b+c
+
a
b+c
4

b2
c+a
a2
b+c
b2
c+a
c2
a+b

+

b
+
+
+
+
+
a+b+c
c+a
4
b
+
c
4
c
+
a
4
a
+
b
4


c2
a+b
+
c
a+b
4

2
2
a
b
c2
a+b+c
+
+

b+c c+a a+b
2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể
Bi tập 13: Chứng minh rằng với x,y,z > 0:

x3 y3 z 3
+
+ x2 + y2 + z2
y
z
x
Phân tích: ta thấy rằng với hạng tử x3/ y có thể có hai hớng sau:
Cách 1: hs sẽ thêm x3/y +xy 2x2 ; y3/z +zy 2y2 ; z3/x +xz 2z2; sau đó chứng
minh
x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

12

Trờng THPT Lý Nhân Tông
3
3
x3 x3
y3
z3
2
2 y
2
2 z
Cách 2:
+ + y 3 x ; + + z 3 y ; + + x 2 3 z 2 cộng lại ta có
y y
z
z
x x

điều phải chứng minh.
2
2
2
a
b
c
Bài tập 14: Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta có 2 + 2 + 2 a + b + c
b
c
a

b a a
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

a 2 b 2 c 2 3,
+ +
b2 c2 a2

a2
a
+
1

2
b2
b
b2
b
+
1

2
c
c2
c2
c
+
1

2
a

a2
Cộng vế với vế suy ra điều phai chứng minh.
Bài tập 15: CMR nếu x, y, z l các số dơng thỏa mãn xyz = 1 ta có
x3 + y3 +z3 x + y + z
Phân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số
hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí.
Hớng dẫn: x3 + 1 +1 3x; y3 + 1 +1 3y; z3 + 1 +1 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) 6
Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ sử dụng cách 1 để làm.
Bài tập 16 Cho 3 s thc dng a,b,c. Chng minh:

a3
b3
c3
a+b+c
+
+

.
b(c + a) c( a + b) a(b + c )
2

a3
b c+a
a 3 b c + a 3a
Gii: Theo BT Cosi ta có:
.
+ +
33
=
b (c + a ) 2

4
b(c + a ) 2 4
2
Tng t ta cng
cú:

b3
c a + b 3b
c3
a b + c 3c
+ +
;
+ +
.
c ( a + b) 2
4
2 a (b + c ) 2
4
2

Cng các v ca các BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh.
Du bng xy ra khi a = b = c.
Các bài tập sau cũng áp dụng tơng tự:
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

13

Trờng THPT Lý Nhân Tông

1) Đề QGHN 2000: Cho a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c 2a + 2b + 2c
Hớng dẫn. Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dơng và xyz = 1.
2) ĐHQGHN: Cho a, b, c là các số dơng. CMR:

a3
b3
c3 a b c
+ 3 +
+ +
b3
c
a3 b c a
Hớng dẫn:

tơng tự cho

a3
a3
+ 3 +1 33
3
b
b

a3 a3
a
.
.1
=

3
b3 b3
b

b3 c3
;
c3 a3

3) a, b, c > 0 :

ab
cb
ac
a+b+c
+
+

a +b b+c a +c
2

Hớng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức phụ:
4)

Với abc = 1

ab
a+b

a +b
4

a, b, c > 0 CMR:

1
1
1
3
+ 2
+ 2

a (b + c) b (a + c) c (b + a) 2
2

5)

Với xyz = 1, x, y, z > 0 CMR:

x2
y2
z2
3
+
+

z+ y x+z x+ y 2
6)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

bc

ca
ab
+
+
a 2b + a 2 c b 2 a + b 2 c c 2b + c 2 a
Với a,b,c là các số thực thoả mãn abc = 1; a, b, c> 0.
A=

7)

Với x,y,z > 0: x 3 + y 3 + z 3 x 2 y + y 2 z + z 2 x

8)

CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x 4x-y + 4y-z + 4z-x

Sau đây ta tham khảo hai ví dụ rất lí thú cho
Bài tập 17: Nếu a, b, c dơng v abc=1 thì
a3
b3
c3
3
+
+

(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

14


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Phân tích: ta sẽ thêm cho

a3
những hạng tử gì? chắc chắn là có
(1 + b)(1 + c )

b +1 c +1
với là một số dơng nào đó. Vấn đề bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý
;


là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1; khi đó

a3
b +1 c +1
sẽ cho ta =4.
=
=
(1 + b)(1 + c)



Vì vậy ta có chứng minh sau:
a3

1 + b 1 + c 3a
b3
1 + c 1 + a 3b
c3
1 + a 1 + b 3c
+
+
;
+
+
;
+
+

(1 + b)(1 + c)
8
8
4 (1 + c)(1 + a)
8
8
4 (1 + a)(1 + b)
8
8
4
a3
b3
c3
3 1
3
+

+
+ (a + b + c) Điều phải chứng minh.
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 4 2
2

Bài tập 18:
3
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b với a, b là các số dơng thoả mãn điều
1+ b 1+ a
kiện ab = 1.
3
Hớng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho a số hạng

1+ b

1+ b
. Để tính ta thấy cho a = b =1 thì =4. Nhng nh thế ta thấy chỉ xuất hiện 3 a3


vì vậy ta thêm 1/2 để đợc chứng minh sau:
a3 1 + b 1 3
b3 1 + c 1 3
a3
b3
3 5
5
+
+ a;
+

+ b
+
+ ( a + b) .
1+ b
4
2 2 1+ c
4
2 2
1+ b 1+ c 2 4
2
MinP = 1
6. Kĩ thuật thêm nghịch đảo
Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong
việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi.

Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

2 3
+ với x, y là các số dơng thỏa mãn
x y

x+y=1.
Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau:
2

3

2y

3x

P = + ữ( x + y ) = 2 + + + 3 5 + 2 6 dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2
x
y
x y

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

15


Trờng THPT Lý Nhân Tông

2
3
;y=
2+ 3
2+ 3

Khi x =

Bài tập 20: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: nếu a, b, c là các số dơng thì
a
b
c
3
+
+

(1)
b+c c+a a+b 2
HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xuất hiện

2(a + b + c )(

1
1
1
+
+
) 9 (2)
a+b b+c c+a

x = a + b

Đặt: y = b + c
z = c + a

1 1 1
Khi đó x,y,z là các số dơng và (2) ( x + y + x)( + + ) 9 (3)
x y z

áp dụng Côsi: cho 3 số x,y,z ta có: x + y + z 33 xyz > 0
1 1 1
1 1 1
Cho 3 số: , , ta có: + + 33 xyz > 0
x y z
x y z
Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh.

7.Kĩ thuật Co-si ngợc dấu:
Bi tp 21 Cho các s dng a,b,c tha mãn iu kin a+b+c=3.Chng minh rng:

Bi gii: Phần lớn những học sinh giải bi toán ny nh sau :
Quy đồng mẫu số, BĐT cần chứng minh tơng đơng với:
2( a 3 c 2 + b 3 a 2 + c 3 b 2 + a 3 + b 3 + c 3 + ac 2 + ba 2 + cb 2 + a + b + c)

3( a b c + a b + b c + c a + a + b + c )
Thay a + b + c = 3, ta có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ Côsi :
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3 3 2
(a c + ac 2 ) 3a 2 c 2
2

2

.

.Tơng tự với hai hoán vị.
a 3 + a 3 + 1 3a 2 .
tơng tự với 2 hoán vị.
1 3 2
1
(a c + b 3 a 2 + c 3b 2 + ac 2 + ba 2 + cb 2 ) 63 a 4 b 4 c 4 3a 2 b 2 c 2
2
2
(Cô-si cho 6 số).
Bất đẳng thức cuối cùng đúng là do abc 1 .
Li gii 2(Dùng Côsi ngc du)
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

16


Trêng THPT Lý Nh©n T«ng

Ta lu«n cã :

Theo bất đẳng thức C«si ta cã:

nªn
(1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng cã:
(2)

(3)
Cộng vế theo vế c¸c bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cã:
(đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức

th× ta phải dïng tới biểu thức

Bài tập 22 Chứng minh về mọi số dương a,b,c cã a+b+c=3 th× ta cã:

Ta cã:

Theo bất đẳng thứcC«si ta cã:

nªn
(1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng cã:
(2)
(3)
GV:Lª

ThÞ Hång Thuý

17


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Cng v theo v các bt ng thc (1),(2) v (3) ta cng có:

Du "=" xy ra khi v ch khi a=b=c=1
Bài tập 23:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=3.Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
3 (1)
+
+

a + b2 b + c2 c + a2 2
Lời giải:
Ta có: a

a2
ab 2
=
.
a + b2 a + b2
ab 2
1

a + b 2 ab > 0

ab .
2
2
a+b

Mà

2

Tơng tự với 2 hoán vị ta có:

b2
1
b

bc
b + c2 2
c2
1
c

ca
c + a2 2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức đó ta đơc:

a + b + c VT (1)

1
1
( ab + bc + c a )
(a + b + c)(ab + bc + ca)
2
2

1
(a + b + c) 2 3

(a + b + c)
=
2
3
2

VT (1) (a + b + c)
Do đó

VT (1)

3
2

3
2

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Nh k thut Côsi ngc du ta ó chng minh c nhng bi toán m nu gii
bng các phng pháp khác s rt di thm chí không gii c ,sau ây l mt s

bi tp ng dng:
Bi 1)Chng minh vi mi s dng a,b,c,d ta luôn có:

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

18


Trờng THPT Lý Nhân Tông

Bi 2)Chng minh rng vi a,b,c,d l các s thc dng tha mãn a+b+c+d=4 ta
luôn có:

Bi 3)Cho 3 s

v a+b+c=3.Chng minh rng:

II.3 Các bài tập chọn lọc
Cuối cùng tôi xin đa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao
kĩ năng giải bài cho các em:

2.

( y + z)
( x + z)
( y + x)
+9
+ 16

26
x
y
z
Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

3.

a 2 + b 2 b2 + c 2 c 2 + b2 a3 b3 c3
a+b+c
+
+

+
+
2c
2a
2a
bc ac ab
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR:

1.

Cho x, y, z > 0 cm: 4

a
b
c
3
1

1
1
+
+

+
+
2
2
2
1+ a 1+ b 1+ c
2 1+ a 1+ b 1+ c

4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
5. CMR a, b > 0 ta có a 2 + b 4 + 1 a + 2b .
a
b
2

2
HD a b ữ + ( b 2 1) + (b 1) 2 + (a 1) 0
a
b

2

6.

ĐH BKHN - 2000:

a)

a 3 + b3 a + b
Cho a + b 0. Chứng minh


2
2

b)

Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3

sin A + 3 sin B + 3 sin c
P=
A 3
B
C
3 cos
+ cos + 3 cos
2
2
2
6. Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR
3

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

19

1
1
+
2
x +y
xy
2


Trờng THPT Lý Nhân Tông

1
x2 + y2 1
2
7.

Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c là 3 số thực và abc = 1. CMR
1
1
1
+ 3
+ 3
1
3
3

a + b +1 c + b +1 a + c3 +1
3

HD:

1
1
1
1
; sau đó sử dụng
+ 3
+ 3

3
3
3
a + b + abc c + b + abc c + a + abc abc
3

a3+b3ab(a+b)
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 +
ab

1
a 4 + b 4 với a, b là số dơng
+
2
a2 + b2

và thoả mãn a + b = 1

4
4
1
4
1
1
4
a
+
b

;
+

;
HD:
dùng bất đẳng thức Côsi 2 lần.
ab (a + b) 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) 2
2

9.
Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Gọi S là diện tích tam giác ABC
và M, N, P là các số thực sao cho m + n, n + p, p + m đều là số dơng.
CMR: ma 2 + nb 2 4 mn + np + pm
10.

Chứng minh rằng:
a) x 2 + y 2 ( x + y )
4

2

4
(
x
+
y
)
b) x + y
8
4

4

c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 8( x 4 + y 4 ) +

1
5
xy

11. Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn x + y = 10 . Tìm giá trị của x, y để
P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất.
HD. đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 40t + 100
12. Cho tam giác ABC nội tiếp trong ( O; R ) có 3 góc nhọn với BC = a, AC = b,
AB = c. Lấy I bất kỳ ở phía trong tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I
đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh
a2 + b2 + c2
x+ y+ z
2R
HD. CM ax + by + cz = 2S. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia

13. Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

20


Trờng THPT Lý Nhân Tông

1
1
1
1
+ 2
+ 2

2
2
2
a + 2b + 3 2c + b + 3 2a + c + 3 2

CMR:

2

1
1
1 1
1

= 2
( 2
+ 2
)
2
2
a + 2b + 3 a + 2(b + 1) 4 a + 1 2b + 2

HD tách:

2

14.

Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất P =

15.

CMR

x2 y + y 2 z + z 2 x x3 + y3 + z3 1 +

1 1
+
a b

1 4
(x + y 4 + z 4 )
2

Trong đó x, y, z là những số không âm thoả mãn x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của T =

16.

a
b

+

b
c

+

c
a

với a, b, c dơng và thoả mãn a + b + c = 3
a 2 b 2 c 2 2a b 2b c 2c a
HD: Bình phơng hai vế: T = + + +
+
+
;
b
c a
c
a
b
2

a2 a b a b
+
+
+ c 4a ,
b
c
c
CMR nếu a, b, c, d > 0 thì:

17.

a)

tơng tự.

a b c a+b+c
+ + 3
b c a
abc

a2 b2 c2 d 2 a + b + c + d
b) 2 + 2 + 2 + 2
3
b
c
d
a
abcd
HD:

a a b
3a b b c
3b c c a
3c
+ + 3
; + + 3
; + + 3
b b c
abc c c a
abc a a b
abc

Tơng tự cho câu b.
18. 2 a + 3 3 b + 4 4 c 9 9 abc
19. Cho ba s dng x, y, z tho x + y + z =1 .
Chng minh:

( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .xyz

8
729

20. Cho x, y, z l các s dng v x + y + z 1 . Chng minh rng:
1
1
1
2
2
+

y
+
+
z
+
82 (H 2003)
x2
y2
z2
1 1 1
21. Cho x, y, z l các s dng tha mãn + + = 4 . Chng minh rng:
x y z
x2 +

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

21


Trêng THPT Lý Nh©n T«ng

1
1
1
+
+
≤ 1 (ĐH 2005)
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

x

x

x

 12   15   20 
22. Chứng minh rằng với mọi x th×  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x (ĐH 2005)
 5  4  3 
x
,
y
,
z
23. Cho
là c¸c số dương thỏa m·n xyz = 1 . Chứng minh rằng:
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥ 3 3 (ĐH 2005)
xy
yz
zx
2

y 
9 


24. Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 th× (1 + x) 1 + ÷1 +
÷ ≥ 256 (ĐH 2005)
x 
y÷


25. Cho x, y, z thỏa m·n x + y + z = 0 .

Chứng minh 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 (ĐH 2005)
3
4
3
3
3
a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ 3 (ĐH 2005)

26. Cho a, b, c là ba số dương thỏa m·n a + b + c = . Chứng minh rằng:

27. Cho x, y, z thỏa m·n 3− x + 3− y + 3− z = 1 . Chứng minh
9x
9y
9z
3x + 3 y + 3 z
(ĐH 2006)
+
+
≥
4
3x + 3 y + z 3 y + 3x + z 3z + 3x + y
11

7 

28. T×m GTNN của hàm số y = x + + 4 1 + 2 ÷( x > 0) (ĐH 2006)
2x
 x 
x
,
y
29. Cho
là hai số dương thỏa m·n điều kiện x + y ≥ 4 . T×m GTNN của biểu thức
3x 2 + 4 2 + y 3
(ĐH 2006)
A=
+
4x
y2
1 1 1
30.Ba số dương a, b, c thỏa m·n + + = 3 .
a b c
(1
Chứng minh rằng: + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001)

31 Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . T×m GTNN của P =

x
y
+
1− x
1− y

(ĐH 2001)
32. Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa m·n ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . T×m GTLN của
biểu thức
A=

1
1
+ 3 (ĐH 2006)
3
x
y
1
4

33. Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 th× x y − y x ≤ (ĐH 2006)

GV:Lª

ThÞ Hång Thuý

22


Trờng THPT Lý Nhân Tông

II.4 Một số kết luận và đề nghị
Sau một quá trình tôi xin cung cấp một vài kết quả thực nghiệm ban đầu, với
cách dạy mới và cũ tôi thu đợc một vài kết quả sau: với lớp thực nghiệm 10A1, dạy
theo phơng án mới và lớp đối chứng 12A1, dạy theo phơng án truyền thống (2 lớp
thuộc trờng THPTLý Nhân Tông.) thông qua bài kiểm tra sau khi dạy xong.

Kết quả
Thực nghiệm
Đối chứng

Tổng số hs
50
40

Giỏi
SL
%
17
34
13
32.5

Khá
SL
%
24
48
18
45.0

Trung bình
SL
%
7
14
9

22.5

Yếu kém
SL
%
2
4
0
0

III.Kết luận
Trên đây tôi đã đa ra một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng việc sử
dụng bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài toán.Qua thực tiễn giảng dạy tôi
thấy rằng để học sinh có kĩ năng chứng minh tốt bất đẳng thức thì trớc hết ngời thầy
phải làm cho học sinh hiểu đợc cái hay và đẹp của bất đẳng thức, đồng thời vì dạy
chứng minh bất đẳng thức là lĩnh vực khó nên các thầy cô cũng nên căn cứ vào sức
của học sinh để đề ra những bài tập phù hợp. Theo kinh nghiệm của tôi, ứng với ba
mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng thì đầu tiên bao giờ cũng là các bài tập
nhận biết và thông hiểu các kiến thức cơ bản, rất đơn giản. Sau đó dần nâng mức độ
bài tập lên. Chính vì vậy để sử dụng tài liệu này tôi dã cố gắng lựa chọn và sắp xếp
ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và vừa sức với học sinh của mình.
GV:Lê

Thị Hồng Thuý

23


Trờng THPT Lý Nhân Tông

IV.Phụ lục
Tài liệu tham khảo
1.
Bất đẳng thức - Nguyễn Đễ, Vũ Hoàng Lâm. NXB Hải Phòng
2.
Bất đẳng thức - Nguyễn Vũ Thanh.NXB Đồng Tháp.
3.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1994 2008)
4.
Các đề thi đại học và cao đẳng trong những năm gần đây.
5.
Toán ôn thi đại học- Tập I, Đại số - Doãn Minh Cờng chủ biên.
NXB Đại học s phạm.
6.
Phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất - Nguyễn Văn Nho,
Lê Hoành Phò. NXB Giáo dục.
.

GV:Lê

Thị Hồng Thuý

24