SKKN De tai- Su dung BDT Cosi trong CM.DOC

Th viện SKKN của Quang Hiệu />mục lục
Trang
Phần I : Đặt vấn đề
2
Phần II : Nội dung
3
A - Một số vấn đề lý thuyết
3
a1 - Tính chất
3
a2 - Bất đẳng thức Cô si
3
B - Các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức Cô si 4
C - Cách giải bài tập vận dụng bất đẳng thức Cô si 4
Dạng 1: Vận dụng BĐT Cô si và tính chất của BĐT
4
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
7
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số 10
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp 13
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng 15
Phần III: Kết luận
20
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Phần I - Đặt vấn đề
Trong lịch sử phát tiển của các bộ môn khoa học thì toán học ra đời từ rất
sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế của cuộc sống các kiến thức toán học đã
đợc vận dụng góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa hgọc
tự nhiên. Không những thế toán học còn thúc đẩy sự phát triển của các bộ môn
khoa học xã hội. Nh vậy có thể nói: Toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học.
Vì vậy việc nâng cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết trong việc

dạy toán.
Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó các bài toán chứng minh bất đẳng
thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có một vị trí quan trong trong chơng trình dạy
toán ở trờng phổ thông. . Các bài toán này rất đa dạng, phong phú đòi hỏi phải
vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức toán học, yêu cầu học sinh phải có cách quan
sát sáng tạo, độc đáo giúp học sinh phát triển t duy cao. Các bài toán này còn
mang ý nghĩa về giáo dục t tởng trong việc hình thành cho học sinh thói quen ứng
dụng toán học để tìm giải pháp tối u khi thực hiện một công việc trong thực tế,
xác định giá trị mà tại đó đạt hiệu quả cao nhất, chi phí ít nhất. Chính vì vậy, các
bài toán giải bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thờng xuyên đợc sử dụng
trong các kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Nhiều khi các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất còn xuất hiện trong cả đề thi
tuyển sinh đại học.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bài toán chứng minh bất đẳng
thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những nội dung hay đề cập đến và
thờng là những bài tập khó. Khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn hạn
chế nên thờng lúng túng khi giải các bài toán trên. Đặc biệt khi nghiên cứu về
bất đẳng thức Cô si các em nắm điựơc công thức nhng việc vận dụng vào giải
còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn.
Để góp phần giải quyết những khó khăn trên cho ngời dạy đồng thời để
công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt góp phần vào mục tiêu Đào tạo và
bồi dỡng nhân tài, chúng tôi chọn đề tài Sử dụng bất đẳng thức cô si trong
bài toán chứng minh
Nội dung chính đợc trình bầy trong phần II của đề tài.
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 2
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Phần II - Nội dung
A- một số vấn đề lý thuyết
A1 Tính chất
A C > 0

B D > 0
A.B C.D
A2 - Bất đẳng thức Cô si
Bất đẳng thức đợc viết dới dạng khác nhau
(Chỉ áp dụng với các số không âm)
1) Dạng căn thức
ba
ba
.
2

+
3

3
cba
cba

++
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
2) Dạng lũy thừa
ba
ba
.
2
2







+
cba
cba

3
3







++
n
n

n
aaa
n
aaa


21
21







+++
3) Hệ quả
a / Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
b / Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 3
Nếu
Thì
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
B- các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng
C- cách giải các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si

Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a > 0, b > 0
Chứng minh rằng: (a+2)(b+2)(a+b) 16ab
* Phân tích và cách giải:
- Bất đẳng thức cần chứng minh là tích của 3 tổng dơng vì a>0, b>0. Do
vậy ta có thể vận dụng bất đẳng thức Cô si kết hợp với tính chất của bất đẳng
thức: Nếu
0
0
A C
B D
> >


> >

Thì: A.B C.D
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
aa .2.22 +
<1>
bb .2.22 +
<2>
baba 2+
<3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
abbababa .2.2.8))(2)(2( +++

ab16

<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =2
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 4
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0
Chứng minh rằng:
9
111
)(






++++
cba
cba
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
3 cbacba ++
<1>
3

1
.3
111
cbaaaa
++
<2>
- Nhân từng vế của <1> và <2> ta có:
3
3

1
9
111
)(
cba
cba
cba
cba






++++

9

<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c

* Nhận xét:
- Mở rộng từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Cho a
1
, a
2
, , a
n
là các số dơng thì ta có:
2
21
21
1

11
) ( n
aaa
aaa
n
n









++++++

- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a
1
= a
2
= = a
n

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1
Chứng minh rằng:
64
1
1.
1
1.
1
1






+

+






+
cba
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 5
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
4
2
41 cbaacbaa +++=+
<1>
4
2
41 cbabcbab +++=+
<2>
4
2
41 cbaccbaa +++=+
<3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
( ) ( ) ( )
cbacba 641.1.1 +++
<4>

Vì a,b, c >0 nên abc > 0. Chia cả hai vế của <4> cho abc ta đợc:
64.
)1(
.
)1(
.
)1(

+++
c
c
b
b
a
a

64
1
1.
1
1.
1
1






+

+






+
cba
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c =
3
1

Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a 1, b 1
Chứng minh rằng:
ababba + 11
* Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xx
P

+=
1
21
Với 0 < x < 1
* Bài 3:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Xác định hình dạng của tam giác sao cho biểu thức:
cba
c
bca
b
acb
a
Q
+
+
+
+
+
=
nhỏ nhất
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 6
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5
Chứng minh rằng: a
2

.b
3
108
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số dơng ta có:
5
3
b
.
3
b
.
3
b
.
2
a
.
2
a
333225
1







++++

bbbaa

( )
5
32

108
b . a
ba
5
1
+

5
32

108
b . a
1
a
2
.b
3
108 <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
32
ba
=
, mà a + b =5 a = 2 và b = 3

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Tính số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức:
M = A.B
2
.C
3
Đạt giá trị lớn nhất
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dơng ta có:
6
3
C
.
3
C
.
3
C
.
2
B
.
2
B
.A
333226
1

+++++
CCCBB
A

( )
6
32
108
C . B
.A
6
1
++ CBA

6
32
108
C . B .A
30

108
C . B .A
30
32
6

AB
2
C
3
108.30
6

Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 7
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Vậy M = AB
2
C
3
đạt giá trị lớn nhất khi:
30
6
180
622
==
++
===
CBACB
A
= 30
0
= 60
0
= 90
0

Giá trị lớn nhất là : M
max
= 108.30
6

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho x







2

, 0
và m,n là các sô nguyên dơng.
Tím giá trị lớn nhất của hàm số: y = sin
m
x.cos
n
x
* Giải:
- Nhận xét: Vì sin
2
x + cos
2

x = 1
x

nên ta viết:
2
cos

2
cos

2
sin

2
sin
cossin
2222
22
n
x
n
x
m
x
m
x
xx +++++=+
2
m
số hạng

2
n
số hạng
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho
22
nm
+
số dơng ta có:

2
nm
2
n
2
m
nm2222

2
n
.
2
m
xcos .x sin
2
n
xcos

2
n
xcos

2
m
xsin

2
m
xsin2
+

+++++
+ nm
2
m
số hạng
2
n
số hạng

( )
2
nm
2
n
2
m
nm
22

2
n
.
2
m
xcos .x sin
xcos x sin

2
+












+
+ nm

2
nm
2
n
2
m
nm

2
n
.
2
m

xcos .x sin

nm
2
+













+
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 8
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

2
n
2
m
nm
2
2
n

.
2
m
xcos .x sin
nm
2



















+
+nm

22
n

2
m
nm
nm
2
.
2
n
.
2
m
xcos .x sin
nm+






+

Vậy Giá trị lớn nhất của y là :
22
n
2
m
max
nm
2
.
2
n
.
2
m
y
nm+






+

=
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
2
n
xcos

2
m
xsin
22
=
n.sin
2
x - m.cos
2
x = 0
n.(1 - cos
2
x ) - m.cos
2
x = 0
n - ( m + n ).cos

2
x = 0

nm
n
cos
2
+
=x

nm
n
cos
+
=x
x = + 2k
Trong đó :
nm
n
arccos
+
=


Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Chứng minh rằng:
Ryx ,
ta có:
x

2
+ y
2
+ 1 xy + x + y
* Bài 2:
Cho a, b, c là ba số không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
6 +++++ accbba
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 9
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a
[ ]
2 ; 0
; b
[ ]
4 ; 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F = (2 - a).(4 - b).(3a + 2b)
* Phân tích và cách giải:
- Ta có: 2 - a + 4 - b + 3a + 2b = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a,b
nên không thể vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số hạng này. Nếu ta
nhân thêm hệ số vào các thừa số ta sẽ đợc các thừa số mới mà tổng không
đổi.
- Trong biểu thức có (3a + 2b), nên:
+ Để khử a ta dùng 3(2 - a)
+ Để khử b ta dùng 2(4 - b)

- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
( )
[ ]
)23()4.(22.3
3
1
)23).(4.(2).2.(3
3
babababa ++++

3
14
.6
3
F

3
3
14
6F








81
1372

F
Vậy Giá trị lớn nhất của F là :
81
1372
max
=
=
F
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : 3.(2-a) = 2.(4-b) = 3a + 2b

3
5
9
4
=
=
b
a
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 10
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho x
[ ]
1 ; 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
y = (1 - x)
2

. (1 + 4x)
* Giải:
- Ta có thể viết y = (1-x).(1-x).(1+4x)
- Biểu thức có 1 + 4x nên:
+ Để khử x ta dùng 2.(1-x) và 2.(1-x)
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
( )
[ ]
)41()1.(21.2
3
1
)41).(1.(2).1.(2
3
xxxxxx ++++

3
5
4
3
y

3
3
3.4
5
y

108
125
y

Vậy Giá trị lớn nhất của y là :
108
125
max
=
=
y
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2.(1-x) = 1 + 4x
6
1
=x

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho x
[ ]
1 ; 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xxy = 1 .

* Giải:
- Ta có thể viết y =
)1.(.)1.(
2
xxxxx =
+ Để khử x ta dùng 2.(1-x)
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 11
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

[ ]
)1.(2
3
1
)1.(2
3
xxxxxx ++

3
2
)1.(.2
3
2
xx

3
2
3
2
)1.(.2






xx

27
4

)1.(
2
xx
y =
3
9
2
)1.(1 .
2
= xxxx
Vậy Giá trị lớn nhất của y là :
3
9
2
max
=
=
y
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = 2.(1-x)
3
2
=x

Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c là ba số dơng có tổng là hằng số.
Tìm a, b, c sao cho: A = ab + bc + ca là lớn nhất
* Bài 2:
Cho x
[ ]

1 ; 0

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
nn
xxy = 1 .
Với
Nn

* Bài 3:
Một mảnh vờn hình chữ nhật và một mảnh vờn hình vuông có chu vi bằng
nhau. Hãy cho biết mảnh vờn nào có diện tích lớn hơn ? Vì sao ?
* Bài 4:
Cho x 0; y 0 và x + y = 6
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
A = x
2
y.(4 - x - y)
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 12
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho x, y, z > 0.
Chứng minh rằng:
zyx
x
z
z
y

y
x
++++
2
3
2
3
2
3
* Phân tích và cách giải:
- Xét số hạng thứ nhất
2
3
y
x
+ Để khử mẫu của
2
3
y
x
cần nhân với y
2
, phía tổng thì chính là y + y
+ Ta thêm y + y vào số hạng thứ nhất:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
2
3
2
3

y .y . 3.
y
x
yy
y
x
++

3.x 2y
2
3
+
y
x
<1>
+ Tơng tự vậy, thêm z+z vào số hạng thứ 2 và x+x vào số hạng thứ 3 ta có:
3.y 2z
2
3
+
z
y
<2>
3.z 2x
2
3
+
x
z
<3>

+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
zyxzyx
x
z
z
y
y
x
333222
2
3
2
3
2
3
+++++++

zyx
x
z
z
y
y
x
++++
2
3
2
3
2

3
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 13
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho x, y, z > 0.
Chứng minh rằng:
zyxx
z
z
y
y
x 111
3
2
3
2
3
2
++++
* Phân tích và cách giải:
- Xét số hạng thứ nhất
3
2
y
x
+ Để khử tử số của

3
2
y
x
cần nhân với
x
1
và
x
1
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
3
2
3
2
1
.
1
. 3.
11
xxy
x
xxy
x
++

y
1
3.

x
2

3
2
+
y
x
<1>
+ Tơng tự ta có:
x
1
3.
z
2

3
2
+
x
z
<2>
z
1
3.
y
2

3
2

+
z
y
<3>
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
zyxzyxx
z
z
y
y
x 333222
3
2
3
2
3
2
+++++++

zyxx
z
z
y
y
x 111
3
2
3
2
3

2
++++
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z

Nhận xét: Mở rộng từ hai bài toán trên với x, y, z > 0 ta có bài toán tổng
quát sau:
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 14
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Bài toán tổng quát:
Cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
là n số dơng thì ta có:
n
n
n
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a

21
2
1
3
2
3
1
2
3
3
2
2
2
3
1
+++++++

n
n
n
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a

a 1

11

21
3
1
2
3
2
1
3
3
2
2
3
2
2
1
+++++++


Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
33335
2
5
2
5

2
5
2
d
1
c
1
b
1
a
1
++++++
a
d
d
c
c
b
b
a
* Bài 2:
Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh rằng:
222
33
5
3
5
cba
5
++++

a
c
c
b
b
a
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng

Từ bất đăngt thức Cô si ta có:
4
11
. )(








++
yx
yx

yx
4

11
+
+

yx
9
111
. )(








++++
zyx
zyx

zyx
9

1

11
++
++
zyx
Vận dụng kết quả trên để giải quyết một số bài toán

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có :

9r ++
cba
hhh
Trong đó: h
a
; h
b
; h
c
là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính
đờng tròn nội tiếp của ABC
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 15
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
* Phân tích và cách giải:
- Xem xét một quan hệ giữa các đờng cao h
a
; h
b
; h
c
và bán kính đờng tròn
nội tiếp r.
+ Dễ dàng chứng minh đợc :
rhhh
cba
1111
=++
Thật vậy ta có diện tích của tam giác đợc tính là:
S =
cba

hchbharcba .
2
1
.
2
1
.
2
1
) (
2
1
+==++

a
h
r
cba
a
=
++
<1>

b
h
r
cba
b
=
++

<2>

c
h
r
cba
c
=
++
<3>
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
cba
h
r
h
r
h
r
cba
cba
++=
++
++

rhhh
cba
1111
=++
<Chứng minh trên>
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

9
111
. )(








++++
cba
cba
hhh
hhh

9
1
. )( ++
r
hhh
cba

9.r ++
cba
hhh
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :

cba
hhh ==
Hay a = b = c ABC là đều
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 16
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :






++++
c
1
b
1
a
1
2.
c-p
1
b-p
1
a-p
1
Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi của ABC

* Giải:
+ Ta có:
c
4

b)-(pa)-(p
4

11
=
+


+
bpap
<1>
a
4

c)-(pb)-(p
4

11
=
+


+
cpbp
<1>

b
4

a)-(pc)-(p
4

11
=
+


+
apcp
<1>
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:






++

+

+
c
1
b
1
a
1
4.
111
.2
cpbpap







++

+

+
c
1
b
1
a
1
2.
111
cpbpap
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c, tức là ABC đều.

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :
2
C
tg.
2
B
tg.
2
A
9.tg
2
C
tg

2
B
tg
2
A
tg ++
Trong đó: A, B, C là số đo các góc của ABC
* Phân tích và giải:
+ Ta có:
2
C
tg.
2
B
tg.
2
A
tg

2
A
tg
2
C
tg
2
C
tg
2
B

tg
2
B
tg
2
A
tg

2
C
tg
1

2
B
tg
1

2
A
tg
1
++
=++
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 17
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
+ Dễ dàng chứng minh đợc:
1
2
A

tg.
2
C
tg
2
C
tg.
2
B
tg
2
B
tg.
2
A
tg =++
Thật vậy:
2
C
cotg
2
B
2
A
tg =

+


2
C
tg
1

2
B
tg.
2
A
tg-1

2
B
tg
2
A
tg
=
+


2
B
tg.
2

A
tg1
2
C
tg.
2
B
tg
2
C
tg.
2
A
tg =+

1
2
B
tg.
2
A
tg
2
C
tg.
2
B
tg
2
C

tg.
2
A
tg =++
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
9
2
C
tg
1
2
B
tg
1
2
A
tg
1
.
2
C
tg
2
B
tg
2
A
tg

++






++
2
C
tg
1
2
B
tg
1
2
A
tg
1

9
2
C
tg
2
B
tg
2
A
tg
++
++
2
A
tg.
2
C
tg
2
C
tg.
2
B
tg
2
B
tg.
2
A
tg

2
C
tg.
2
B
tg.
2
A
tg.9
2
C
tg
2
B
tg
2
A
tg
++
++
2
C
tg.
2
B
tg.
2
A
tg.9
2

C
tg
2
B
tg
2
A
tg ++
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
2
C
tg
2
B
tg
2
A
tg ==
, tức là ABC đều.
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 18
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .

Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
2
c b a

11

1
11
1
11
1 ++

+
+
+
+
+
accbba
* Bài 2:
Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có :
cbacba
hhhrrr ++++
Trong đó: h
a
; h
b
; h
c
là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C
r
a
; r
b
; r
c
là bán kính đờng tròn bàng tiếp trong các góc A, B,

C của ABC
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 19
Tiểu luận nghiệp vụ s phạm .
Phần III- kết luận
Qua thời gian học tập theo hệ đào tạo tại chức Khoa Toán - Trờng Đại học s
phạm Hà Nội I và sau khi làm đề tài thực nghiệm chúng tôi đã tiếp thu và tích luỹ
đợc nhiều kiến thức, đặc biệt là phơng pháp nghiên cứu khoa học.
Nhờ sự hớng dẫn giúp đỡ chu đáo, tận tình của các thầy cô ở tổ phơng pháp
giảng dạy - Khoa toán - Trờng Đại học s phạm Hà Nội - I, chúng tôi đã hoàn
thành tiểu luận nghiệp vụ s phạm với đề tài Sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài
toán chứng minh.
Trong tiểu luận này, chúng tôi đã tìm tòi, chọn lọc một hệ thống các bài toán
điển hình để giải theo các dạng cụ thể. Qua đó, nhóm thực hiện đề tài đã cùng
nhau trao đổi, tích luỹ và bổ xung những kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn
toán nói chung, đặc biệt là sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng
minh ở các khối 8 , khối 9 và bồi dỡng học sinh giỏi.
Với mục đích nâng cao chất lợng dạy và học, tiểu luận này có thể sử dụng
nh một tài liệu tham khảo để cùng chia sẻ kinh nghệm với các đồng nghiệp và làm
tài liệu hớng dẫn sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh cho học
sinh khối 8 , khối 9 và học sinh giỏi.
Chúng tôi - Nhóm thực hiện đề tài xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận
tình của Thầy Nguyễn Tiến Tài cùng sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo tổ
Phơng pháp giảng dạy-Khoa Toán, trờng Đại học s phạm Hà Nội - I đã bỏ ra
nhiều công sức chỉ bảo, góp ý, sửa chữa và bổ xung để tiểu luận này đợc hoàn
thành đúng thời hạn.
Mặc dù chúng tôi đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để thực hiện tiểu
luận nhng chắc chắn không tránh khỏi một số lỗi còn sót lại trong tiểu luận này
nên cha đáp ứng đợc đầy đủ các nhu cầu cho ngời đọc. Chúng tôi rất mong nhận
đợc những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp
và độc giả quan tâm !

Hải Dơng, ngày 20 tháng 2 năm 2003
Nhóm thực hiện:
1. Đỗ Văn Hoà
2. Nguyễn Lan Hơng
3. Bùi Thị Nga
4. Nguyễn Văn Tiến
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 20
TiÓu luËn nghiÖp vô s ph¹m .
Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cosi trong bµi to¸n chøng minh Trang 21