9 PHÂN TÍCH hệ THỐNG điều KHIỂN TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

9
Phân tích Hệ thống Điều khiển
trong Không gian Trạng thái
9.1 Giới thiệu
Đối với hệ thống phức tạp hiện đại thường có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra, điều này thường
dẫn đến những trở ngại nhất định. Để có thể phân tích được hệ thống thuộc dạng này, sự cần
thiết là giảm thiểu độ phức tạp trong biểu thức toán học và dùng đến máy tính cho hầu hết các
phép toán cần thiết trong việc phân tích. Nội dung của chương này sẽ trình bày phương pháp
không gian trạng thái (state-space) trong phân tích hệ thống, đây cũng là phương pháp có thể giải
quyết được vấn đề trên.
Trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển dựa vào mối quan hệ vào – ra, thường là hàm truyền, thì
với lý thuyết điều khiển hiện đại lại dựa vào mô tả của phương trình hệ thống, là tập hợp của n
phương trình vi phân bậc một, và có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng ma trận – véc
tơ trạng thái. Việc sử dụng phương trình dạng ma trận – véc tơ trạng thái này sẽ làm đơn giản
hóa việc tính toán cho hệ thống. Như vậy thì việc gia tăng số biến trạng thái, số ngõ vào hay số
ngõ ra của hệ cũng không làm phức tạp cho phương trình hệ thống.
Trong chương 9 này và chương 10 kế tiếp sẽ giải quyết vấn đề phân tích và thiết kế hệ thống
điều khiển trong không gian trạng thái. Giới hạn trong chương này là giới thiệu những nét cơ bản
trong phân tích không gian trạng thái, bao gồm việc biểu diễn không gian trạng thái, xét tính điều
khiển được và tính quan sát được của hệ thống. Chương 10 sẽ trình bày các phương pháp hữu ích
dựa trên bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái.

9.2 Biểu diễn hàm truyền trong không gian trạng thái
Có nhiều kỹ thuật khác nhau để biểu diễn không gian trạng thái từ hàm truyền hệ thống. Trong
chương 2 chúng ta đã xét một vài phương pháp cơ bản. Ở đây chúng tôi sẽ biểu diễn không gian
trạng thái dạng điều khiển được, quan sát được, dạng chuẩn tắc đường chéo và dạng chuẩn tắc
Jordan (Các phương pháp này được trình bày chi tiết qua các bài tập từ A.9.1 đến A.9.4)

9.2.1 Biểu diễn theo dạng chuẩn tắc
Xét hệ có phương trình:
(n)

( n−1)

(1)

(n)

( n−1)

(1)

y + a1 y +  + an−1 y + an y = b0 u + b1 u +  + bn−1 u + bnu

(9.1)


Với u là tín hiệu vào, y là ngõ ra, ai và bi tương ứng là các hệ số hằng.
Phương trình trên qua phép biến đổi Laplace, có thể được viết lại dưới dạng hàm truyền:
Y ( s ) b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn
= n
U (s)
s + a1s n−1 +  + an−1s + an

(9.2)
Sau đây ta sẽ biểu diễn không gian trạng thái cho hệ thống được định nghĩa bởi (9.1) và (9.2)
theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, chuẩn tắc quan sát được, và dạng chuẩn tắc đường chéo
(hoặc Jordan).
Dạng chuẩn tắc điều khiển được
Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc điều khiển được:

 x 1   0
 x   0
 2  
 .   .
  
 . = .
 .   .
  
 x n−1   0
 x  − a
 n   n

1
0
.
.

0
1
.
.

.
0
− an−1

.
0
− an − 2

y = [ bn − anb0  bn−1 − an−1b0

  x1  0
  x   0
 2   
 .   . 
   
  .  +  . u
.  .   . 
   
 1   xn−1  0
 − a1   xn  1



0
0
.
.

(9.3)

 x1 
x 
 2
 . 
 
   b1 − a1b0 ]  .  + b0u
 . 
 

 xn−1 
x 
 n

(9.4)
Dạng chuẩn tắc điều khiển được giữ vai trò quan trọng trong việc thiết kế hệ thống dùng phương
pháp đặt cực.
Dạng chuẩn tắc quan sát được
Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc quan sát được:

 x 1  0
 x  1
 2  
 .  .
  
 .  = .
 .  .
  
 x n−1  0
 x  0
 n  

0  0 − an   x1   bn − an b0 
0  0 − an−1   x2  bn−1 − an−1b0 

.  .
.  .  
.

  


.  .
.  .  + 
u

.  .
.  .  
.
  

0  0 − a2   xn−1   b2 − a2b0 
0  1 − a1   xn   b1 − a1b0 

(9.5)


y = [0 0

 x1 
x 
 2
 . 
 
0 1]  .  + b0u
 . 
 
 xn−1 
x 
 n



(9.6)
Lưu ý rằng ma trận trạng thái nxn của phương trình trạng thái (9.5) chính là ma trận chuyển vị
của phương trình trạng thái (9.3).
Dạng chuẩn tắc đường chéo
Xét hàm truyền hệ thống được cho bởi biểu thức (9.2). Giả sử đa thức ở mẫu số hàm truyền có n
nghiệm phân biệt và được triển khai theo dạng n thừa số. Khi đó ta có thể viết lại hàm truyền như
sau:
Y ( s ) b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn
=
U (s)
( s + p1 )( s + p2 )  ( s + pn )
= b0 +

cn
c1
c2
+
++
( s + p1 ) ( s + p2 )
( s + pn )

(9.7)

Biểu diễn không gian trạng thái dạng chuẩn tắc đường chéo của hệ được mô tả như sau:
 x 1  − p1
 x   0
 2 
 .  

 =
 .  
 .  
  
 x n1   0

0
− p2
.
.
.
0

y = [ c1 c2

0   x1  1
0   x2  1
  .  . 
   +  u
  .  . 
  .  . 
   
− pn   xn  1

 x1 
x 
 2
.
 cn ]   + b0u
.

.
 
 xn 

(9.8)

(9.9)

Dạng chuẩn tắc Jodan:
Xét trường hợp đa thức ở mẫu số của (9.2) có nghiệm bội. Trong trường hợp này, dạng chuẩn tắc
đường chéo như trên cần phải được điều chỉnh thành dạng chuẩn tắc Jordan. Chẳng hạn, trong số


n nghiệm của đa thức mẫu số, có 3 nghiệm bội p 1 = p2 = p3 , các nghiệm còn lại (từ p 4 đến pn) là
riêng biệt. Khi đó biểu thức hàm truyền có dạng:
b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn
Y (s)
=
U ( s) ( s + p1 ) 3 ( s + p4 )( s + p5 )  ( s + pn )
Triển khai biểu thức trên thành tổng các số hạng, ta được:
c3
cn
Y ( s)
c1
c2
c4
= b0 +
+
+
+

++
3
2
U (s)
( s + p1 )
( s + p1 )
( s + p1 ) ( s + p4 )
( s + pn )
Phương trình biểu diễn không gian trạng thái theo dạng chuẩn tắc Jordan như sau:
 x 1  − p1
 x   0
 2 
 x 3   0
  
 x 4  =  0
.  .
  
.  .
.  .
  
 x n   0

1
− p1
0


0
1
− p1

0



.
.
.
0

y = [ c1 c2

0

:
0

− p4

0

  x1  0
  x  0
 2   
  x3  1
   
  x4  + 1u
 .   . 
   
 .   . 
 .   . 

   
− pn   xn  1
0
:
0
0

 x1 
x 
 2
.
 cn ]   + b0u
.
.
 
 xn 

(9.10)

(9.11)

VÍ DỤ 9.1:

Y (s)
s+3
= 2
U ( s) s + 3s + 2
Biểu diễn phương trình không gian trạng thái theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, quan sát
được và dạng chuẩn tắc đường chéo?
Xét hệ thống có hàm truyền:

TRẢ LỜI:
Dạng chuẩn tắc điều khiển được:
1   x1 (t )  0
 x 1 (t )  0
 x (t ) = − 2 − 3  x (t )  + 1u (t )
 1   
 1  

 x (t ) 
y (t ) = [ 3 1]  1 
 x2 (t )
Dạng chuẩn tắc quan sát được:


 x 1 (t )  0 − 2  x1 (t ) 3
 x (t )  = 1 − 3  x (t ) + 1u (t )
 1   
 1  
 x (t ) 
y (t ) = [ 0 1]  1 
 x2 (t )

Dạng chuẩn tắc đường chéo:
 x 1 (t ) − 1 0   x1 (t ) 1
 x (t ) =  0 − 2  x (t ) + 1u (t )
 1   
 1  
 x (t ) 
y (t ) = [ 2 − 1]  1 

 x2 (t )

9.2.2 Giá trị riêng của ma trận A
Giá trị riêng của ma trận vuông cấp n (A) chính là nghiệm của phương trình đặc trưng

λI − A = 0
Các giá trị riêng còn được gọi là các nghiệm đặc trưng.
Giả sử, cho ma trận A như sau:

1
0
0

A= 0
0
1 
− 6 − 11 − 6
Khi đó, ta có phương trình đặc trưng:

λ −1
0
λI − A = 0 λ
− 1 = λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0
6 11 λ + 6
⇔ ( λ + 1)( λ + 2 )( λ + 3) = 0
Khi đó, các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình đặc trưng, đó là -1, -2 và -3.

9.2.3 Đường chéo hóa ma trận cấp n x n
Lưu ý rằng, nếu một ma trận A (cấp n x n) có n giá trị riêng độc lập được biểu diễn theo dạng:

 0
 0

 .

A= .
 .

 0
− a
 n

1
0
.
.

0
1
.
.

.
0
− a n −1

.
0
− a n−2







. 

 1 
 − a1 



0
0
.
.

(9.12)


Đặt x là ma trận chuyển, x = P.z, với:

 1
λ
 1
 λ12

P= .
 .


 .
λn −1
 1







.
. 

.
. 
λn2−1  λnn−1 
Trong đó: λ1 , λ 2 , …, λ n là n giá trị riêng độc lập của A
1
λ2
λ22
.

1
λn
λ2n
.



Khi đó sẽ chuyển ma trận P-1AP sang dạng ma trận đường chéo như sau:
λ1



P −1 AP = 



 0

0

λ2


.

.


.

λ n 
Nếu ma trận A như ở biểu thức (9.12) có giá trị riêng bội, thì không thể đường chéo hóa như trên
được. Khi đó ta sẽ chuyển sang dạng chuẩn tắc Jordan. Ví dụ cho ma trận A cấp 3 x 3 như sau:

 0
A =  0
− a3

0 
1 
− a1 

1
0
− a2

có 3 giá trị riêng λ1, λ1, λ3. Khi đó ta đặt x = Sz sao cho

1
S =  λ1
λ12

0
λ3 
λ3 

1
1
2λ1

Ta được

λ1
S −1 AS =  0
 0
Đây chính là dạng chuẩn tắc Jordan.

1
λ1
0

0
0 
λ3 

VÍ DỤ 9.2:
Hệ thống biểu diễn phương trình không gian trạng thái như sau:


1
0   x1  0
 x 1   0
 x  =  0
0
1   x2  + 0u
 2 
 x 3  − 6 − 11 − 6  x3  6
 x1 
y = [1 0 0]  x2 
 x3 
Có thể biểu diễn theo dạng đuờng chéo hóa được không?

(9.13)

(9.14)

TRẢ LỜI:

Phương trình (9.13) và (9.14) có dạng :

Với:

1
0
0

A= 0
0
1 
− 6 − 11 − 6

x = Ax + Bu

(9.15)

y = Cx

(9.16)

 0
B + 0
6

C = [1 0 0]

Giải phương trình λI − A = 0 , ta được 3 nghiệm là:

λ1 = −1 , λ2 = −2 , λ 3 = − 3

Các giá trị riêng này là riêng biệt. Khi đó, ta đặt 3 biến trạng thái mới z , z , z sao cho
1
2
3
x = P.z
1
1   z1 
 x1   1
 x  = − 1 − 2 − 3  z 
 2 
 2 
 x3   1
4
9   z3 

(9.17)

Với:

1
P =  λ1
λ12

1
λ2
λ22

1 1
1
1



λ3  = − 1 − 2 − 3
λ32   1
4
9 

(9.18)

Thay biểu thức (9.17) vào biểu thức (9.15), ta được:

Pz = APz + Bu
Nhân cả 2 vế với ma trận P-1, ta được:
z = P −1 APz + P −1 Bu

(9.19)


Hay:

1
0  1
1
1   z1   3 2.5 0.5 0
 z 1   3 2.5 0.5  0
 z  = − 3 − 4 − 1   0


0
1  − 1 − 2 − 3  z 2  + − 3 − 4 − 1  0u

 2 

 z 3   1 1.5 0.5 − 6 − 11 − 6  1
4
9   z 3   1 1.5 0.5 6
0   z1   3 
 z 1  − 1 0



⇔  z 2  =  0 − 2 0   z 2  + − 6u
 z 3   0
0 − 3  z3   3 
Biểu thức (9.20) chính là phương trình trạng thái biểu diễn theo dạng đường chéo hóa.

(9.20)

Và phương trình ngõ ra, ở (9.16) được viết lại:
y = CPz

1
1   z1 
1
 z1 




y = [1 0 0] − 1 − 2 − 3  z 2  = [1 1 1]  z 2 
 1

 z3 
4
9   z3 

(9.21)

9.2.4 Tính bất biến của giá trị riêng
Để chứng minh tính bất biến của các giá trị riêng với phép chuyển đổi tuyến tính, ta phải chỉ ra
−1
rằng nghiệm của các đa thức đặc trưng λI − A và λI − P AP là như nhau.
Áp dụng định thức của một tích bằng tích của các định thức, ta có:

λI − P −1 AP = λP −1 P − P −1 AP
= P −1 (λI − A) P
= P −1 (λI − A) P
= P −1 P (λI − A)
−1
−1
Lưu ý rằng tích của 2 định thức P và P chính là định thức của tích P P , do đó ta có:

λI − P −1 AP = P −1 P (λI − A)
= (λI − A)

Điều này chứng tỏ giá trị riêng của ma trận A là bất biến qua phép chuyển đổi tuyến tính.

9.2.5 Tính không duy nhất của tập các biến trạng thái
Với hệ thống cho trước, việc biểu diễn tập các biến trạng thái là không duy nhất.
Giả sử ta gọi x1, x2, …, xn là tập gồm n biến trạng thái của hệ thống. Ta có thể đưa ra nhiều tập
các biến trạng thái khác nhau của cùng hệ thống:

xˆ1 = X 1 ( x1 , x2 ,..., xn )


xˆ 2 = X 2 ( x1 , x2 ,..., xn )
.
.
.

xˆ n = X n ( x1 , x2 ,..., xn )
Điều này có nghĩa là với mỗi tập các giá trị xˆ1 , xˆ 2 , …, xˆ n tương ứng với duy nhất tập các biến
x1, x2, …, xn và ngược lại. Do đó, nếu x là một vec-tơ trạng thái, thì ta có:

xˆ = Px
cũng là một vec-tơ trạng thái, trong đó P là ma trận không đơn trị (non-singular). Các vec-tơ
trạng thái khác nhau nhưng mang thông tin như nhau về hành vi của một hệ thống.

9.3 Biểu diễn mô hình hệ thống trong MATLAB
Trong mục này ta sẽ xét sự chuyển đổi của mô hình hệ thống từ dạng hàm truyền sang dạng
không gian trạng thái và ngược lại. Trước hết, ta xét sự biến đổi từ hàm truyền sang không gian
trạng thái.
Giả sử ta có phương trình hàm truyền vòng kín được biểu diễn bởi:

Y (s)
Numerator polynomial in s
Num
=
=
U ( s) Deno min ator polynomial in s Den
Khi đó, ta có thể dùng MATLAB với dòng lệnh:
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

Kết quả sẽ là các ma trận A, B, C, D biểu diễn không gian trạng thái. Điều quan trọng cần lưu ý
là biểu diễn không gian trạng thái của bất kỳ một hệ thống là không duy nhất. Có nhiều kiểu biểu
diễn không gian trạng thái của cùng một hệ thống. Dòng lệnh như trên của MATLAB chỉ là một
dạng biểu diễn của hệ.

9.3.1 Biến đổi không gian trạng thái từ hàm truyền
Giả sử cho hàm truyền hệ thống sau:

Y ( s)
10 s + 10
= 3
U ( s ) s + 6 s 2 + 5s + 10
Khi đó, ta có thể biểu diễn không gian trạng thái của hệ theo nhiều dạng như sau:

(9.22)


1
0   x1   0 
 x 1   0
 x  =  0
0
1   x2  +  10 u
 2 
 x 3  − 10 − 5 − 6  x3  − 50
 x1 
y = [1 0 0]  x2 
 x3 
Dạng khác:

 x 1  − 6 − 5 − 10  x1  1
 x  =  1
0
0   x2  + 0u
 2 
 x 3   0
1
0   x3  0

(9.23)

 x1 
y = [ 0 10 10]  x2  + [ 0]u
 x3 
(9.24)
Trong MATLAB, việc biến đổi từ hàm truyền (9.22) sang dạng không gian trạng thái sẽ có dạng
như (9.23) và (9.24).
Chương trình MATLAB cụ thể sau đây sẽ cho kết quả là các ma trận A, B, C, D.
MATLAB Program 9-1
----------------------------------------------------------------------num=[10 10];
den=[1 6 5 10];
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A=
-6 -5 -10
1 0 0
0 1 0
B=
1
0
0

C=
0 10 10
D=
0

9.3.2 Biến đổi từ không gian trạng thái sang hàm truyền
Để có được hàm truyền từ phương trình biểu diễn không gian trạng thái của hệ thống, ta dùng
lệnh sau:
[num,den]= ss2tf(A,B,C,D,iu)


Trong đó, giá trị iu phải được khai báo đối với hệ thống có nhiều ngõ vào. Vi dụ hệ có 3 ngõ vào
(u1, u2, u3), thì iu sẽ là 1, 2, hay 3; với iu = 1 tương ứng với u1, iu = 2 tương ứng với u2, iu = 3
tương ứng với u3.
Trường hợp hệ thống chỉ có 1 ngõ vào, ta có thể viết lệnh:
[num,den]= ss2tf(A,B,C,D)
hoặc:
[num,den]= ss2tf(A,B,C,D,1)
(Xem Ví dụ 9.3 và chương trình tương ứng MATLAB Program 9-2).
Trường hợp hệ thống có nhiều ngõ vào nhiều ngõ ra, xem Ví dụ 9.4
VÍ DỤ 9.3:
Xác định hàm truyền của hệ thống được định nghĩa bởi hệ phương trình không gian trạng thái:

1
0
0
 x 1   0
  x1  

 x  =  0






0
1
 2 
  x2  +  25.04 u
 x 3  − 5.008 − 25.1026 − 5.03247  x3  − 121.005
 x1 
y = [1 0 0]  x2 
 x3 
TRẢ LỜI:
Chương trình MATLAB Program 9-2 sẽ cho ta hàm truyền của hệ thống, có dạng:

Y ( s)
25.04s + 5.008
= 3
U ( s ) s + 5.0325s 2 + 25.1026s + 5.008
MATLAB Program 9-2
----------------------------------------------------------------------A=[0 1 0; 0 0 1; -5.008 -25.1026 -5.03247];
B=[0; 25.04; -121.005];
C=[1 0 0];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
% Hoặc dùng lệnh:
%[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num =
0

0 25.0400

5.0080

den =
1.0000

5.0325 25.1026

5.0080

VÍ DỤ 9.4:
Xét hệ có nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra. Với hệ có nhiều hơn một ngõ ra, ta sử dụng lệnh:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)


sẽ tạo ra hàm truyền cho tất cả ngõ ra ứng với mỗi ngõ vào (Các hệ số ở tử số tương ứng được trả
về là ma trận gồm nhiều dòng tuơng ứng với nhiều ngõ ra). Cụ thể, ta xét hệ có phương trình
trạng thái sau:
1   x1  1 1  u1 
 x 1   0
 x  = − 25 − 4  x  + 0 1 u 
 2  
 2 
 2 
 y1  1 0  x1  0 0  u1 
 y  = 0 1  x  + 0 0 u 
 2  
 2 

 2 

TRẢ LỜI:
Hệ thống có 2 ngõ vào và 2 ngõ ra. Ta có 4 hàm truyền tương ứng là: Y 1(s)/U1(s), Y2(s)/U1(s),
Y1(s)/U2(s), Y2(s)/U2(s). (Tức là khi xét ngõ vào u1 , ta xem như u2 = 0 và ngược lại). Xem kết
quả từ chương trình MATLAB Program 9-3.
MATLAB Program 9-3
----------------------------------------------------------------------A=[0 1; -25 -4];
B=[1 1; 0 1];
C=[1 0; 0 1];
D=[0 0; 0 0];
% Voi ngo vao u1:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num =
0

1.0000 4.0000

0

0 -25.0000

den =
1.0000 4.0000 25.0000
% Voi ngo vao u2:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)
num =
0

1.0000 5.0000

0

1.0000 -25.0000

den =
1.0000 4.0000 25.0000

Các kết quả ‘num’ và ‘den’ ở chương trình MATLAB Program 9-3 lần lượt biểu diễn cho 4
hàm truyền:

Y1 ( s)
s+4
− 25
; Y2 ( s ) =
= 2
2
U1 ( s) s + 4 s + 25 U1 ( s ) s + 4 s + 25
Y1 ( s)
s+5
s − 25
; Y2 ( s ) =
= 2
2
U 2 ( s ) s + 4s + 25 U 2 ( s ) s + 4s + 25


9.4 Giải phương trình trạng thái bất biến
Trong mục này tác giả sẽ trình bày hướng giải quyết tổng quát để giải phương trình trạng thái
tuyến tính bất biến theo thời gian. Trước hết là trường hợp hệ thuần nhất, sau đó đến trường hợp

không thuần nhất.

9.4.1 Giải phương trình trạng thái thuần nhất
Trước hết, ta xét phương trình vi phân vô hướng dạng:

x = ax

(9.25)

Giải phương trình này, giả sử ta được nghiệm x(t) có dạng:

x(t ) = b0 + b1t + b2t 2 +  + bk t k + 

(9.26)

Thay vào phương trình (9.25), ta được:

b1 + 2b2t + 3b3t 2 +  + kbk t k −1 +  = a (b0 + b1t + b2 t 2 +  + bk t k + )

(9.27)

Đồng nhất các hệ số ở 2 vế của phương trình theo bậc của t, ta được:

b1 = ab0
1
1
ab1 = a 2b0
2
2
1

1 3
b3 = ab2 =
a b0
3
3× 2
b2 =


1 k
a b0
k!
Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.26), hay:
bk =

x(0) = b0
Do đó nghiệm x(t) có thể được viết lại là:
x(t ) = (1 + at +

1 2 2
1
a t +  + a k t k + ) x (0)
2!
k!

x(t ) = e at x(0)
Bây giờ ta sẽ giải phương trình vi phân dạng ma trận véc tơ

x = Ax
Với:

x là véc tơ gồm n phần tử
A là ma trận n x n

(9.28)


Tương tự như cách giải phương trình vô hướng trên, ta có nghiệm x(t) là một véc tơ có dạng:

x(t ) = b0 + b1t + b2t 2 +  + bk t k + 

(9.29)

Từ phương trình (9.29), ta có thể viết lại phương trình (9.28) như sau

b1 + 2b2t + 3b3t 2 +  + kbk t k −1 +  = A(b0 + b1t + b2 t 2 +  + bk t k + )

(9.30)

Từ đây, ta cũng được các hệ số bi tương ứng như sau:

b1 = Ab0
1
1
Ab1 = A2b0
2
2
1
1
b3 = Ab2 =
A3b0

3
3× 2
b2 =


1 k
A b0
k!
Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.29), hay:
bk =

x(0) = b0
Nghiệm x(t) được viết lại là:
1 2 2
1
(I: Ma trận đơn vị)
A t +  + Ak t k + ) x(0)
2!
k!
Vế phải của phương trình này là dạng ma trận n x n, nó có dạng tương tự như dạng chuỗi của
hàm mũ vô hướng nên được gọi là ma trận hàm mũ, và:
x(t ) = ( I + At +

1 2 2
1
A t +  + A k t k +  = e At
2!
k!
Vì vậy, nghiệm của phương trình (9.28) có thể viết như sau:
I + At +

x(t ) = e At x(0)

(9.31)

Vì ma trận hàm mũ là rất quan trọng trong việc phân tích không gian trạng thái của hệ tuyến tính,
nên ta sẽ khảo sát các thuộc tính của chúng.
Ma trận hàm mũ
Có thể chứng minh rằng ma trận hàm mũ của một ma trận A cấp n x n,
∞

e At = ∑
k =0

Ak t k
k!

là hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị t.
∞

Do tính hội tụ của chuỗi

∑
k =0

Ak t k
, nên ta có thể lấy vi phân 2 vế:
k!

d At
t2
t k −1
e = A + A 2 t + A3 +  + A k
+
dt
2!
(k − 1)!
= A( I + At + A 2

t2
t k −1
+  + A k −1
+ ) = Ae At
2!
(k − 1)!

t2
t k −1
+  + A k −1
+ ) A = e At A
2!
(k − 1)!
Theo tính chất của ma trận hàm mũ thì:
= ( I + At + A 2

e A( t + s ) = e At e As

Thật vậy:

 ∞ A k t k  ∞ A k s k 
 ∑

e At e As =  ∑
 k =0 k!  k =0 k! 
 ∞ t i s k −i 

= ∑ A  ∑
k =0
 i=0 i!(k − i )! 
∞
(t + s ) k
= ∑ Ak
k!
k =0
∞

Đặc biệt, khi thay s = -t, ta có:

k

= e A( t + s )

e At e − At = e − At e At = e A( t −t ) = I

Theo cách đó, nghịch đảo của e At là e − At . Nếu nghịch đảo của e At luôn luôn tồn tại, thì e At được
gọi là không đơn trị.
Điều quan trọng cần nhớ là:
e ( A+ B ) t = e At e Bt
e ( A+ B ) t ≠ e At e Bt

khi AB = BA
khi AB ≠ BA

Để chứng minh điều này, cần chú ý:

e ( A+ B ) t = I + ( A + B )t +

( A + B) 2 2 ( A + B ) 3 3
t +
t +
2!
3!




A 2 2 A3 3
B2 2 B3 3
e At e Bt =  I + At +
t +
t +  I + Bt +
t +
t + 
2!
3!
2!
3!




2 2
2 2
3 3
2
3
2 3
At
Bt
At
A Bt
AB t
B 3t 3
2
= I + ( A + B)t +
+ ABt +
+
+
+
+
+
2!
2!
3!
2!
2!
3!
Do đó:

( BA − AB) 2 ( BA 2 + ABA + + B 2 A + BAB − 2 A2 B − 2 AB 2 ) 3
t +
t +
2!
3!
Sai lệch giữa e ( A+ B )t và e At e Bt sẽ triệt tiêu khi thay A bằng B
e ( A+ B ) t − e At e Bt =

Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái thuần nhất
Trước hết ta xét hàm vô hướng:
(9.32)

x = ax
Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.32), ta được:
sX ( s ) − x(0) = aX ( s )

(9.33)

Suy ra:
x(0)
= ( s − a) −1 x(0)
s−a
Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được:
X (s) =

x(t ) = e at x(0)
Mở rộng phương trình vi phân hàm vô hướng ở trên đối với phương trình trạng thái thuần nhất:
(9.34)

x (t ) = Ax(t )

Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.34), ta được:
sX ( s ) − x(0) = AX ( s )
⇔ ( sI − A) X ( s ) = x(0)

Nhân 2 vế cho (sI - A)-1, ta được:

X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0)
Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế:

[

]

x(t ) = L−1 ( sI − A) −1 x(0)

(9.35)

Chú ý rằng:

A A2
+
+
s s2 s3
Do đó, biến đổi Laplace ngược của (sI - A)-1 cho ta:

( sI − A) −1 = I +

[

L−1 ( sI − A)

−1

] = I + At + A2!t

2 2

+

Thay (9.36) vào (9.35), ta được nghiệm x(t):

x(t ) = e At x(0)

A 3t 3
+  = e At
3!

(9.36)


Ma trận chuyển trạng thái
Ta có thể viết lại nghiệm của phương trình trạng thái thuần nhất:
x (t ) = Ax(t )

(9.37)

x(t ) = Φ(t ) x(0)

(9.38)

là:

Trong đó, Φ(t ) là ma trận n x n và là nghiệm duy nhất của phương trình:

 (t ) = AΦ (t ),
Φ

Φ ( 0) = I

Để kiểm chứng điều này, ta cần lưu ý rằng, từ (9.38) khi thay t = 0:
x(0) = Φ(0) x (0) = x (0)

Và:

 (t ) x(0) = AΦ (t ) x(0) = Ax(t )
x (t ) = Φ
Như vậy, chứng tỏ phương trình (9.38) chính là nghiệm của phương trình (9.37).
Kết hợp các phương trình (9.31), (9.35), và (9.38), ta có:

[

Φ (t ) = e At = L −1 ( sI − A) −1

]

Chú ý:

Φ −1 (t ) = e − At = Φ (−t )
Từ biểu thức (9.38), ta thấy rằng nghiệm của (9.37) chính là sự chuyển tiếp của điều kiện đầu

(thời kỳ quá độ). Do đó, ma trận duy nhất Φ(t ) được gọi là ma trận chuyển trạng thái. Ma trận
chuyển trạng thái chứa tất cả những thông tin về chuyển động tự do của hệ thống được định
nghĩa bởi (9.37).
Khi tất cả các giá trị riêng λ1 , λ2 , … , λn ,của ma trận A đều là riêng biệt, thì Φ(t ) sẽ chứa n
hàm mũ: e λ1t , e λ2t , … , e λnt
Cụ thể, nếu A là ma trận đường chéo, thì ta có:

e λ1t 0
0 


λ2t
0 e



.
Φ (t ) = e At = 

.




.


0
e λnt 
 0

Trường hợp có nghiệm bội trong các giá trị riêng (giả sử có 3 nghiệm bội) của A là:


λ1 ,

λ1 ,

λ1 ,

λ4 ,

λ5 ,

….

,

λn

thì khi đó, Φ(t ) sẽ chứa các thành phần e λ1t , e λ4t , e λ5t , … , e λnt và thêm các phần tử như te λ1t
và t 2 e λ1t
Tính chất của ma trận chuyển trạng thái
Ta có thể tóm tắt một số tính chất quan trọng của ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) sau đây, cho hệ
thống bất biến theo thời gian:
x (t ) = Ax(t )

Với:

Φ (t ) = e At
1. Φ (0) = e A0 = I

(

2. Φ(t ) = e At = e − At

)

−1

= [ Φ( −t )]

−1

hay :

Φ −1 (t ) = Φ(−t )

3. Φ (t1 + t 2 ) = e A( t1 +t2 ) = e At1 e At2 = Φ (t1 )Φ (t 2 ) = Φ (t 2 )Φ (t1 )
4.

[ Φ(t )] n = Φ(nt )

5. Φ (t2 − t1 )Φ (t1 − t0 ) = Φ (t 2 − t0 ) = Φ (t1 − t0 )Φ (t2 − t1 )
VÍ DỤ 9.5:
Tìm ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ thống có phương trình trạng thái:
1   x1 
 x1   0
=
 x  − 2 − 3  x 
 2 

 2 
Sau đó tìm nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái Φ −1 (t )
TRẢ LỜI:
1
0
Ta có ma trận A = 

− 2 − 3
Ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ là:

[

Φ (t ) = e At = L−1 ( sI − A) −1

]

Mà:
1  s −1 
 s 0  0
( sI − A) = 
−

=

0 s  − 2 − 3 2 s + 3
Nghịch đảo của ma trận ( sI − A) là:


s + 3 1
1

det( sI − A)  − 2 s 
s + 3 1
1
=
( s + 1)( s + 2)  − 2 s 

( sI − A) −1 =

s+3

 ( s + 1)( s + 2)
=
−2

 ( s + 1)( s + 2)

1

( s + 1)( s + 2) 

s

( s + 1)( s + 2) 

1
 2
 ( s + 1) − ( s + 2)
=
− 2 + 2
 ( s + 1) ( s + 2)

Từ đây, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được:

[

Φ(t ) = e At = L −1 ( sI − A) −1

1
1 
−
( s + 1) ( s + 2) 

−1
2 
+
( s + 1) ( s + 2) 

]

 2e − e
e −t − e − 2 t 
=

−t
− 2t
− e −t + 2e −2t 
− 2e + 2e
Lưu ý rằng, Φ −1 (t ) = Φ (−t ) , do đó, nghịch đảo của ma trận chuyển Φ(t ) là:
−t

−2t

 2et − e 2t
Φ −1 (t ) = e − At = 
t
2t
− 2e + 2e

e t − e 2t 

− et + 2e 2t 

9.4.2 Giải phương trình trạng thái không thuần nhất
Trước hết, ta xét phương trình dạng vô hướng:
x (t ) = ax(t ) + bu (t )

Ta viết lại (9.39) như sau:
x (t ) − ax(t ) = bu (t )

Nhân 2 vế phương trình này cho e − at , ta được:
d −at
[e x(t )] = e −at bu (t )
dt
Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến t, ta có:
e −at [ x (t ) − ax (t )] =

e

−at

t

x(t ) − x(0) = ∫ e −aτ bu (τ )dτ
0

Hay:
t

x(t ) = e at x(0) + e at ∫ e −aτ bu (τ )dτ
0

(9.39)


Số hạng thứ nhất ở vế phải chính là đáp ứng đối với điều kiện ban đầu, số hạng thứ hai đáp ứng
đối với tín hiệu vào u(t).
Bây giờ ta xét hệ có phương trình trạng thái không thuần nhất:
(9.40)

x (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

Với:

x(t): véc tơ gồm n phần tử
u(t): véc tơ gồm r phần tử
A: ma trận n x n
B: ma trận n x r

Phương trình (9.40) có thể viết lại:
x (t ) − Ax(t ) = Bu (t )

Nhân trước 2 vế phương trình này cho e − At , ta được:
d − At
[e x(t )] = e − At Bu (t )
dt
Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến t, ta có:
e − At [ x (t ) − Ax (t )] =

e

− At

t

x(t ) − x(0) = ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ
0

Hay:
t

t

0

0

x(t ) = e At x(0) + e At ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ = e At x(0) + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ

(9.41)

Phương trình (9.41) có thể được viết lại là:

t

x(t ) = Φ(t ) x(0) + ∫ Φ(t − τ ) Bu (τ )dτ
0

Trong đó: Φ (t ) = e

At

, Φ (t − τ ) = e

(9.42)

A ( t −τ )

Phương trình (9.41) hay (9.42) đều là nghiệm của (9.40). Rõ ràng x(t) bao gồm tổng của quá
trình chuyển tiếp của trạng thái ban đầu và đáp ứng của véc tơ tín hiệu ngõ vào.
Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái không thuần nhất
Việc giải phương trình trạng thái không thuần nhất:
x (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

cũng có thể thực hiện được bằng cách dùng phép biến đổi Laplace.
Từ phương trình trên, lấy biến đổi Laplace 2 vế, ta được:
sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s )

Hay:


( sI − A) X ( s ) = x(0) + BU ( s )

Nhân trước 2 vế cho (sI – A)-1, ta có:

X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0) + ( sI − A) −1 BU ( s )
Mặt khác, từ mối quan hệ của biểu thức (9.36) cho ta:

X ( s) = L[e At ] x(0) + L[e At ]BU ( s )
Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được:
t

x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
At

0

Nghiệm của phương trình trạng thái tại thời điểm bắt đầu t0
Trên đây là nghiệm x(t) ứng với thời điểm bắt đầu bằng 0, tuy nhiên khi xét tại thời điểm bắt đầu
là t0 ≠ 0 thì nghiệm x(t) của phương trình (9.40) sẽ là:

x (t ) = e

A ( t − t0 )

t

x(t0 ) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
t0

(9.43)

VÍ DỤ 9.6:

Tìm đáp ứng theo thời gian t của hệ thống có phương trình trạng thái:
1   x1  0
 x 1   0
 x  = − 2 − 3  x  + 1u
 2   
 2 
Với u(t) là hàm nấc đơn vị: u(t)=1(t)

TRẢ LỜI:
1
0
Ta có: A = 
 ;
− 2 − 3

0
B= 
1

Ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ được tính như ở Ví dụ 9.5:
Φ(t ) = e At = L−1[( sI − A) −1 ]
 2e −t − e −2t
=
−t
−2 t
− 2e + 2e
Đáp ứng đối với tín hiệu vào hàm nấc đơn vị là:

e −t − e −2t 


− e −t + 2e −2t 

t

x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
At

0

 2e − t − e − 2 t
⇔ x (t ) = 
−t
− 2t
 − 2e + 2e
Hay:

t
 2e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ )
e − t − e −2 t 
x
(
0
)
+

∫0 − 2e −(t −τ ) + 2e −2(t −τ )
− e − t + 2e − 2 t 

e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ )  0
  [1]dτ

− e −( t −τ ) + 2e −2( t −τ )  1


 x1 (t )   2e − t − e −2t
 x (t )  = 
−t
−2t
 2   − 2e + 2e

e − t − e −2t   x1 (0)  t  e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ ) 

 dτ
+ 
− e −t + 2e −2t   x2 (0) ∫0 − e −( t −τ ) + 2e −2 ( t −τ ) 

 x1 (t )   2e −t − e − 2t
⇔
=
−t
−2t
 x 2 (t )   − 2e + 2e

1
1
e −t − e −2t   x1 (0)   − e −t + e − 2t 


2
+ 2
−t

−2t  
x
(
0
)


−
t
−
2
t
− e + 2e   2 
 e −e


Nếu tại thời điểm ban đầu t = 0, x(0) = 0, ta có:

1
1
 x1 (t )   − e −t + e −2t 


=
2
2
 x (t )
 2   e −t − e −2t 

9.5 Phân tích véc tơ – ma trận

Trong phần này ta sẽ đưa ra một vài kết quả quan trọng trong phân tích véc tơ - ma trận sẽ được
sử dụng ở mục 9.6. Cụ thể, đó là định lý Cayley-Hamilton, đa thức tối giản, và phương pháp nội
suy của Sylvester để tính eAt và các véc tơ độc lập tuyến tính.

9.5.1 Định lý Cayley-Hamilton
Định lý Cayley-Hamilton rất hữu ích trong việc chứng minh một số định lý liên quan đến các
phương trình ma trận hoặc giải quyết các vấn đề về ma trận.
Xét ma trận A cấp n x n và phương trình đặc trưng tương ứng:

λI − A = λn + a1λn−1 + a2 λn−2 +  + an−1λ + an = 0
Định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng thỏa mãn với phương trình đặc trưng, tức là:

An + a1 An−1 + a2 An−2 +  + an−1 A + an I = 0

(9.44)

Để chứng minh định lý này, cần chú ý rằng adj(λI - A) là đa thức theo λ với bậc là n-1, đó là:

adj (λI − A) = B1λn−1 + B2λn−2 +  + Bn−1λ + Bn
Trong đó: Bi = I.
Từ biểu thức:

(λI − A) adj (λI − A) = [ adj (λI − A)](λI − A) = λI − A I
Ta có:

λI − A I = Iλn + a1 Iλn−1 + a2 Iλn−2 +  + an−1 Iλ + an I
= (λI − A)( B1λn−1 + B2 λn−2 +  + Bn−1λ + Bn )
= ( B1λn−1 + B2 λn−2 +  + Bn−1λ + Bn )(λI − A)
Từ phương trình này, ta thấy A và Bi (i=1,2,…,n) là tương đương nhau. Do đó, tích của (λI - A)
và adj(λI - A) sẽ bằng 0 nếu có một trong hai = 0. Nếu ta thay λ bằng A, thì (λI - A) = 0. Khi đó:

An + a1 An−1 + a2 An−2 +  + an−1 A + an I = 0
Đây là điều chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton, hay biểu thức (9.44).

9.5.2 Đa thức tối giản
Theo định lý Cayley-Hamilton, mọi ma trận A cấp n x n đều thỏa mãn với phương trình đặc
trưng của nó. Tuy nhiên, phương trình đặc trưng thì không cần thiết là phương trình vô hướng có
bậc thấp nhất mà ma trận A thỏa mãn. Đa thức có bậc thấp nhất với A là nghiệm thì được gọi là
đa thức tối giản. Điều này có nghĩa là, đa thức tối giản của ma trận A được định nghĩa là đa thức
φ(λ) có bậc thấp nhất.

φ (λ ) = λm + a1λm−1 +  + am−1λ + am ,

m≤n

sao cho φ(A) = 0, hay:

φ ( A) = Am + a1 Am−1 +  + am−1 A + am I = 0
Đa thức tối giản đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán đa thức chứa ma trận cấp n x n.
Giả sử ta có đa thức d(λ) là ước số chung lớn nhất của tất cả các thành phần của adj(λI - A). Khi
đó, ta có thể chỉ ra rằng nếu hệ số của bặc cao nhất trong đa thức d(λ) được chọn là 1, thì đa thức
tối giản φ(λ) sẽ là:

λI − A
d (λ )
[Xem bài tập A.9.8 để tìm ra biểu thức (9.45)]
φ (λ ) =

(9.45)

Lưu ý là đa thức tối giản φ(λ) của ma trận A có thể được xác định thông qua các bước sau:
1. Thiết lập adj(λI - A) và viết ra các thành phần của adj(λI - A) gồm những đa thức có
chứa λ.
2. Xác định d(λ) là ước số chung lớn nhất của tất cả các thành phần của adj(λI - A). Chọn
hệ số ứng với bậc cao nhất của d(λ) là 1. Trường hợp không có ước số chung, ta chọn
d(λ) = 1.
3. Đa thức tối giản φ(λ) là tỉ số giữa λI − A và d(λ)

9.5.3 Ma trận hàm mũ eAt
Trong việc giải các bài tập về kỹ thuật điều khiển, thường thì việc tính eAt là cần thiết. Nếu ma
trận A gồm có những phần tử là số, thì ta có thể dùng MATLAB để tính eAT, với T là hằng số.
Bên cạnh việc tính toán bằng máy tính, cũng có nhiều cách khác nhau để tính eAt. Sau đây là 3
phương pháp để tính eAt.
Tính eAt : phương pháp 1
Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng đường chéo, thì eAt được tính theo công thức:


e λ1t
0 


λ2t
e



 −1
.
e At = Pe Dt P −1 = P 

P
.




.


e λnt 
 0
(9.46)
Trong đó, P là ma trận chéo hóa đối với A. [Chi tiết để tìm ra biểu thức (9.46) đọc giả xem ở Bài
tập A.9.11.]
Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng chuẩn tắc Jordan, thì eAt được tính theo công thức:

e At = Se Jt S −1
Trong đó, S là ma trận chuyển tiếp để chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan J.
Cụ thể, ta xét ma trận A có dạng:

0 1 0 
A = 0 0 1
1 − 3 3
Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là:

λI − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = (λ − 1) 3 = 0
Ma trận A có 3 giá trị riêng bội tại λ = 1 . Như vậy, ma trận chuyển tiếp S chuyển ma trận A
sang dạng chuẩn tắc Jordan có dạng:

1

S =  λ1
λ12

0 0 1 0 0
1 0 = 1 1 0
2λ1 1 1 2 1

Và nghịch đảo của ma trận S là:

0 0
1

S −1 = − 1 1 0
 1 − 2 1
Từ đó, ta có ma trận chuẩn tắc Jordan J là:

0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0
1

J = S AS = − 1 1 0 0 0 1 1 1 0 = 0 1 1
 1 − 2 1 1 − 3 3 1 2 1 0 0 1
−1

Chú ý rằng:


 t
e
e Jt =  0


0


tet
et
0

1 2 t
t e
2
tet 

et 


Ta tìm được:
e At = Se Jt S −1
1 2 t
 t
t
0 0
1 0 0 e te 2 t e   1



t
t 
= 1 1 0 0 e
te − 1 1 0



1 2 1  0 0
et   1 − 2 1


1 2 t
1 2 t
 t

t
te t − t 2 e t
t e
e − te + 2 t e

2


1 2 t
1
=
t e
et − te t − t 2 et
te t + t 2 et 
2
2


1 2 t
t
2 t

t
t
 tet + 1 t 2 et
− 3te − t e
e + 2te + t e


2
2
Tính eAt : phương pháp 2
Phương pháp thứ hai để tính eAt là dùng phép bến đổi Laplace. Từ biểu thức (9.36), ta có:

[

e At = L−1 ( sI − A) −1

]

Vì vậy, để tính eAt, trước hết là lấy nghịch đảo của (sI – A). Kết quả này là một ma trận gồm các
phần tửcó chứa hàm hữu tỷ theo biến s. Sau đó là thực hiện biến đổi Laplace ngược của từng
phần tử trong ma trận đó.
VÍ DỤ 9.7:
Cho ma trận A của hệ thống có dạng:
0 1 
A=

0 − 2 
Tính eAt bằng cách sử dụng 2 phương pháp đã nêu ở trên
TRẢ LỜI:
Phương pháp 1

Ta có: giá trị riêng của ma trận A là 0 và -2 (λ1 = 0, λ2 = -2). Khi đó ma trận chuyển tiếp P sẽ là:
 1 1  1 1 
P=
=

λ1 λ2  0 − 2
Và eAt được tính theo công thức: