điều khiển hệ thống 2 nghiệm của phương trình trạng thái

CONTROL SYSTEMS
ENGINEERING
ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG 2
MÃ HỌC PHẦN: CN289

1


NỘI DUNG:
1.

Mô hình hoá hệ thống trong KGTT.

2.

Liên hệ giữa phương trình trạng thái và hàm truyền.

3.

Nghiệm của phương trình trạng thái.

4.

Các dạng biểu diễn khác nhau của mô hình hệ thống.

5.

Tính ổn định của hệ thống.

6.

Thiết kế bộ điều khiển & bộ quan sát.

2


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
 TÌM NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE
 TÌM NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN TIẾP (MA TRẬN QUÁ ĐỘ)

3


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI

4


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Với hệ thống dạng thuần nhất: ẋ=A.x, thì nghiệm của phương trình có dạng:
 x(t)= Ф(t).x(0),

Với Ф(t) = eAt

(miền thời gian)

2

k

t
k t
e = I + At + A
++ A
+
2!
k!
At



2
(miền Laplace)

−1

x(t ) = L [Φ ( s )].x(0)

Với:

Giải PTTT từ ma trận quá độ Ф(s) thường dễ hơn.

[Φ ( s )] = [ sI − A]

−1
5

§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương pháp tính eAt: có 3 cách tính:
 Phương pháp 1 tính eAt: Chuyển ma trận A thành dạng đường chéo hoặc dạng Jordan chính
tắc.

- Trường hợp ma-trận A có các giá trị riêng khác biệt  có thể chuyển thành dạng đường
chéo.
- Trường hợp ma-trận A có giá trị riêng bội  không thể đường chéo hóa.
Nếu ma-trận vuông có thể đường chéo hóa, thì ma-trận đường chéo hóa (ma trận chuyển)
tồn tại.

6


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương pháp 1 tính eAt:
- Xét P là ma-trận đường chéo hóa của A. Đặt:

7


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương pháp 1 tính eAt:

8

§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương pháp 1 tính eAt:
- Tiếp theo, ta xét trường hợp ma trận A có thể được chuyển thành dạng Jordan chính tắc.
Xét phương trình trạng thái: ẋ=A.x
Ta thiết lập ma-trận chuyển S mà nó chuyển ma-trận A thành dạng Jordan chuẩn để cho: S1 AS = J

9


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương pháp 1 tính eAt:

10


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Nếu nghiệm riêng của pt đặc tính có dạng λ =λ =λ , λ = λ , λ , λ , khi đó:
1 2 3 4
5 6 7

11


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI

12

§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI

13


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI

14


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI

(Xem trang 8.9 DKHD)

15


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
1

1

16

§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Với hệ thống dạng tổng quát: ẋ=A.x + Bu, thì nghiệm của phương trình có dạng:

Việc tính X(s) thường dễ dàng hơn, sau đó lấy biến đổi Laplace ngược để có x(t) .

17


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
 Phương trình đặc tính của hệ thống:

- Cho hàm truyền: G(s)=N(s)/D(s)
+ Phương trình đặc tính có dạng D(s)=0
+ Nghiệm của phương trình đặc tính chính là các cực của hệ thống.
- Trong KGTT thì ta có:
+ Phương trình đặc tính là: Det(sI-A) = 0
+ Nghiệm của phương trình đặc tính chính là các giá trị riêng của ma trận A
Vì vậy: Các cực của G(s) là các giá trị riêng của A

18


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Một số đặc tính của giá trị riêng:
 Nếu các hệ số của A là số thực, thì các giá trị riêng có thể là thực hoặc phức.
 Trace(A) là tổng của tất cả các giá trị riêng.

 Giá trị riêng của A cũng là giá trị riêng của AT.
 Nếu A là không đơn trị, có các giá trị riêng λi-1, thì các giá trị riêng của A-1 là λi

19


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Tính giá trị riêng:
 Các giá trị riêng λi và vectơ riêng vi phải thỏa mãn công thức: A. vi = λi.vi

0 = (λ I - A)v
i.
i
Với v là non-zero, do đó: det (λ I - A) = 0
i
i.
 Các giá trị riêng tìm được từ phương trình trên chính là các giá trị riêng của A.

20


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
Tính vectơ riêng:
 Với các giá trị riêng λi tìm được như trên, lần lượt thay vào công thức:
A)v = 0
i

(λ I i.

ta tìm được các thành phần của vectơ riêng v .
i
 Các giá trị riêng tìm được từ phương trình trên chính là các giá trị riêng của A.

21


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
 Lecture 09

22


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
 Lecture 09

23


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRẠNG THÁI
 Lecture 09

24


§3: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH TRẠNG THÁI
 Lecture 09

25