10 3 THIẾT kế bộ QUAN sát TRẠNG THÁI

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

23/51

10-3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI
Trong thực tế không phải tất cả các biến trạng thái đều có thể lấy tín hiệu phản hồi
được. Khi đó chúng ta cần ước lượng các biến trạng thái không đo được này.
Nên tránh lấy đạo hàm một biến trạng thái để tạo một biến khác. Việc lấy đạo hàm một
tín hiệu luôn luôn làm giảm tỷ số tín hiệu – nhiễu vì nhiễu nói chung dao động nhanh hơn
tín hiệu. Tỷ số tín hiệu – nhiễu có thể giảm vài lần sau một lần đạo hàm.
Việc ước lượng các biến trạng thái không đo được thường được gọi là quan sát.
Một thiết bò (hoặc một chương trình máy tính) ước lượng hoặc quan sát các biến trạng
thái được gọi là bộ quan sát trạng thái hay nói gọn là bộ quan sát.
Nếu bộ quan sát trạng thái quan sát được tất cả các biến trạng thái của hệ thống, dù
có một số biến trạng thái là đo được trực tiếp, thì nó được gọi là bộ quan sát trạng thái
bậc đủ.
Có những trường hợp chúng ta chỉ cần ước lượng một số biến trạng thái. Ví dụ, vì các
biến ra là quan sát được và chúng tỷ lệ với các biến trạng thái, cho nên chúng ta không
cần quan sát tất cả các biến trạng thái mà chỉ cần quan sát n — m biến trạng thái, với n
là kích thước vec-tơ trạng thái và m là kích thước vec-tơ ra. Bộ quan sát trạng thái chỉ
quan sát một số tối thiểu các biến trạng thái được gọi là bộ quan sát trạng thái bậc tối
thiểu, hay nói ngắn gọn là bộ quan sát bậc tối thiểu.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

24/51

Bộ ước lượng trạng thái.
Một bộ ước lượng trạng thái ước lượng các biến trạng thái dựa trên việc đo các biến
ra và các biến điều khiển. Các bộ quan sát có thể thiết kế được nếu và chỉ nếu thỏa mãn

điều kiện về khả năng quan sát.
Chúng ta sẽ ký hiệu ~x là vec-tơ trạng thái được quan sát. Vec-tơ trạng thái quan sát
~
x được sử dụng trong phản hồi trạng thái để tạo ra vec-tơ điều khiển mong muốn.
Xét hệ thống sau
x& = Ax + Bu

(10-25)

y = Cx

(10-26)

Giả sử rằng trạng thái x được xấp xỉ bằng trạng thái ~x của mô hình động học
~
x& = A~
x + Bu + K e ( y − C ~
x)

(10-27)

Bộ quan sát trạng thái có y và u là các tín hiệu vào và ~x là tín hiệu ra. Thành phần
cuối cùng bên vế phải của phương trình (10-27), là một thành phần hiệu chỉnh những yếu
tố liên quan đến sai lệch giữa tín hiệu ra đo được y và tín hiệu ra ước lượng C ~x .
Ma-trận Ke được gọi là ma-trận trọng số. Th/phần hiệu chỉnh theo dõi trạng thái ~x .
Với hiện diện của sự không đồng nhất giữa các ma-trận A và B được sử dụng trong
mô hình và trong hệ thống thực tế, thì việc thêm vào thành phần hiệu chỉnh sẽ làm giảm
ảnh hưởng do sự sai khác giữa mô hình và hệ thống thực tế này.

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

25/51

Hình 10-7 vẽ sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ.

Bộ q/sát tr/thái bậc đủ
Hình 10-7 Sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ,
khi tín hiệu vào u và tín hiệu ra y là vô hướng.

Chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết bộ quan sát trạng thái có đặc tính động học được đặc tính
hóa bởi các ma-trận A và B và bởi thành phần hiệu chỉnh thêm vào. Giả sử rằng các matrận A và B sử dụng trong mô hình và trong hệ thống thực là giống nhau.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

26/51

Bộ ước lượng trạng thái bậc đủ.
Bậc của bộ ước lượng trạng thái được nghiên cứu là bằng với bậc của hệ thống.
Để thiết lập phương trình sai lệch bộ quan sát, chúng ta trừ phương trình (10-25) cho
phương trình (10-27).
x& − x&% = Ax − Ax&% − K e (Cx − Cx&% ) = ( A − K eC )( x − x% ) (10 − 28)
Gọi sai lệch giữa x và ~x là vec-tơ sai lệch e, hay

e= x−~
x

Khi đó, phương trình (10-28) sẽ là

e& = ( A − K e C )e

(10-29)

Từ phương trình (10-29), chúng ta thấy rằng đáp ứng động học của vec-tơ sai lệch
được xác đònh bởi các giá trò riêng của ma-trận A - KeC. Nếu ma-trận A - KeC là một
ma-trận ổn đònh, thì vec-tơ sai lệch sẽ hội tụ về 0 với mọi vec-tơ sai lệch ban đầu e(0).
Tức là, ~x (t) sẽ hội tụ về x(t) bất kể các giá trò của x(0) và ~x (0). Nếu các giá trò riêng của
ma-trận A - KeC được chọn sao cho đáp ứng động học của vec-tơ sai lệch là ổn đònh tiệm
cận và đủ nhanh, khi đó vec-tơ sai lệch sẽ tiến về 0 (gốc tọa độ) với một tốc độ hợp lý.
Nếu hệ thống là quan sát được hoàn toàn, thì có thể chứng minh được rằng có thể chọn
ma-trận Ke sao cho A - KeC có các giá trò riêng mong muốn tùy ý. Tức là ma-trận hệ số
bộ quan sát Ke có thể xác đònh được để tạo ra ma-trận mong muốn A - KeC.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

27/51

Bài toán đối ngẫu (Dual problem)
Vấn đề thiết kế một bộ quan sát bậc đủ trở thành việc xác đònh ma-trận hệ số bộ
quan sát Ke sao cho các sai lệch động học xác đònh bởi phương trình (10-29) là ổn đònh
tiệm cận với tốc độ đáp ứng vừa đủ. (Ổn đònh tiệm cận và tốc độ của đáp ứng động học
sai lệch được xác đònh bởi các giá trò riêng của ma-trận A - KeC.) Vì vậy việc thiết kế bộ
quan sát bậc đủ trở thành việc xác đònh Ke phù hợp sao cho A - KeC có các giá trò riêng
mong muốn.
Do đó, vấn đề ở đây trở nên giống vấn đề đặt cực mà chúng ta đã nghiên cứu ở bài 10-2.
Xét hệ thống
x& = Ax + Bu
y = Cx

Trong thiết kế bộ quan sát bậc đủ, chúng ta có thể giải bài toán đối ngẫu (dual problem),
tức là, giải bài toán đặt cực cho hệ thống đối ngẫu
z& = A∗ z + C ∗ v
n = B∗ z

giả sử tín hiệu điều khiển v là

v = − Kz

Nếu hệ thống đối ngẫu điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì ma-trận hệ số phản
hồi trạng thái K có thể được xác đònh sao cho ma-trận A* - C*K sẽ tạo ra một tập hợp
các giá trò riêng mong muốn.


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

28/51

Nếu µ1, µ2, . . ., µn là các giá trò riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát trạng thái, thì
bằng cách lấy các µi như các giá trò riêng mong muốn của ma-trận hệ số phản hồi trạng
thái của hệ thống đối ngẫu chúng ta có

sI − ( A∗ − C ∗ K ) = ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n )
Chú ý rằng các giá trò riêng của A* - C*K và của A - K*C là giống nhau, chúng ta có

sI − ( A∗ − C ∗ K ) = sI − ( A − K ∗C )
So sánh đa thức đặc tính sI - (A - K*C) và đa thức đặc tính sI - (A - KeC)với hệ
thống bộ quan sát, chúng ta tìm được quan hệ Ke và K*

Ke = K ∗
Do đó, sử dụng ma-trận K xác đònh bởi phương pháp đặt cực trong hệ thống đối ngẫu,
ma-trận hệ số bộ quan sát Ke của hệ thống ban đầu, có thể được xác đònh bằng cách sử
dụng quan hệ Ke = K*. (xem bài tập A-10-9.)
Điều kiện cần và đủ với việc quan sát trạng thái.
Như đã nghiên cứu ở trên, điều kiện cần và đủ cho việc xác đònh ma-trận hệ số bộ
quan sát Ke với các giá trò riêng mong muốn của A – KeC là tính đối ngẫu của hệ thống
ban đầu

z& = A∗ z + C ∗ v


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

29/51

điều khiển được hoàn toàn trạng thái. Điều kiện khả năng điều khiển trạng thái hoàn
toàn cho hệ thống đối ngẫu này là hạng của

[C

∗

M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n −1 C ∗

]

bằng n. Đây là điều kiện cho tính quan sát được hoàn toàn của hệ thống ban đầu xác đònh
bởi phương trình (10-25) và (10-26). Có nghóa là điều kiện cần và đủ tính quan sát trạng
thái của hệ thống xác đònh bởi (10-25) và (10-26) là hệ thống quan sát được hoàn toàn.

Chúng ta sẽ đưa ra phương pháp trực tiếp (thay cho phương pháp bài toán đối ngẫu) để
giải bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bài toán
đối ngẫu để thiết lập công thức Ackermann để xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke.
Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ.
Xét hệ thống

với

x& = Ax + Bu

(10-30)

y = Cx

(10-31)

x = vec-tơ trạng thái (n-vector)
y = tín hiệu ra (vô hướng)
u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)
A = ma-trận hằng n x n
B = ma-trận hằng n x 1


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

30/51

C = ma-trận hằng 1 x n
Giả sử rằng hệ thống là quan sát được hoàn toàn và cấu trúc của hệ thống tương tự như
đã vẽ ở hình 10-7.

Trong thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, sẽ tiện lợi nếu chúng ta chuyển hệ thống
cho bởi phương trình (10-30) và (10-31) sang dạng chuẩn tắc quan sát được. Như đã đề
cập ở trên, điều này có thể được thực hiện như sau: xác đònh ma-trận chuyển Q là
(10-32)

Q = (WN ∗ ) −1

với N là ma-trận quan sát được

[

N = C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n −1 C ∗

]

(10-33)

và W được xác đònh bởi phương trình (10-6),
 a n −1
a
 n −2
 .

W = .
 .

 a1
 1

a n −2

a n −3
.
.
.
1
0

. . . a1 1
. . . 1 0

. .

. .
. .

. . . 0 0
. . . 0 0

với a1, a2, . . . , an-1 là các hệ số trong phương trình đặc tính của phương trình trạng thái


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

31/51

ban đầu cho bởi phương trình (10-30):
sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n = 0

(Vì giả sử HT quan sát được hoàn toàn, cho nên nghòch đảo của ma-trận WN* tồn tại).
Đònh nghóa vec-tơ trạng thái mới (n-vector) ξ là

x = Qξ

Khi đó phương trình (10-30) và (10-31) trở thành
ξ& = Q −1 AQξ + Q −1 Bu

(10-35)

y = CQξ

(10-36)

với
0
1

0

Q −1 AQ =  .
.

.
0

− an 
. . . 0 − a n −1 

. . . 0 − a n −2 

.

. 
.
. 

.
. 
. . . 1 − a1 

0 ... 0
0
1
.
.
.
0

(10-37)

(10-34)


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

 bn − a n b0 
b − a b 
n −1 0 
 n −1


−1

Q B=







 b1 − a1b0 

CQ = [0 0 . . . 0

32/51

(10-38)

1]

(10-39)

[xem bài tập A-10-6 và A-10-7 để rút ra phương trình (10-37) - (10-39).]
Phương trình (10-35) và (10-36) là ở dạng chuẩn tắc quan sát được.
Vì vậy, với một phương trình trạng thái và phương trình ra cho trước, chúng có thể được
chuyển thành dạng chuẩn tắc quan sát được nếu hệ thống là quan sát được hoàn toàn và
nếu vec-tơ trạng thái ban đầu x được chuyển thành vec-tơ trạng thái mới ξ bằng cách sử
dụng phép chuyển được cho bởi phương trình (10-34). Nếu ma-trận A có sẳn trong dạng
chuẩn tắc quan sát được, thì Q = I.
Như đã phát biểu ở trên, chúng ta chọn bộ quan sát trạng thái
~
x& = A~

x + Bu + K e ( y − C~
x ) = ( A − K eC )~
x + Bu + K e Cx
(10-40)
~
~
Bây giờ xác đònh
x = Qξ
(10-41)

Từ phương trình (10-41) và (10-40), chúng ta có


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

~

~

ξ& = Q −1 ( A − K e C )Qξ + Q −1 Bu + Q −1 K e CQξ

33/51

(10-42)

Trừ phương trình (10-35) cho (10-42) chúng ta có
~

~

ξ& − ξ& = Q −1 ( A − K e C )Q(ξ − ξ )

Gọi
(10-43) trở thành

(10-43)

~
∈=ξ −ξ
& = Q −1 ( A − K e C )Q ∈ (10-44)
∈

Chúng ta yêu cầu sai lệch động học là ổn đònh tiệm cận và c(r) tiến tới 0 với tốc độ vừa
đủ. Chu trình để xác đònh ma-trận Ke trước hết là chọn các cực bộ quan sát mong muốn
(các giá trò riêng của A – KeC) và sau đó xác đònh ma-trận Ke sao cho nó sẽ tạo ra các
cực bộ quan sát mong muốn. Chú ý rằng Q-1 = WN*, chúng ta có
 an − 1
a
 n−2
 .

Q −1 K e =  .
 .

 a1
 1

a n − 2 K a1 1
an − 3
1 0


.
. .

.
. .
.
. .

1
0 0
0
0 0

 C 
 CA 


 . 


.


 . 
 n − 2
CA

n
−

1
 CA


 k1 
 k 
 2 
 . 


.


 . 


k
 n −1
 k n 


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

với

34/51

 k1 
 k 
 2 

 . 


Ke =  . 
 . 


k
n
−
1


 k n 

Vì Q-1Ke là n- vector, nên
 δn 
δ

n
−
1


−1
Q Ke =  . 


.



 δ 1 

(10-45)

Khi đó, từ phương trình (10-39), chúng ta có
 δn 

δ
n
−
1


−1
Q K e CQ =  .  [0 0 L 1] =


.


 δ 1 

0
0

M

0

δn 
0 L 0 δn − 1

0 L 0
M

M

0 L 0


M 
δ 1 


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

35/51

và
Q-1(A - KeC)Q = Q-1AQ – Q-1KeCQ
0
1

= 0

M
0

sI - Q-1(A - KeC)Q= 0

Phương trình đặc tính

trở thành

hay


0 L 0 − an − 1 − δ n − 1 

1 L 0 − an − 2 − δ n − 2 

M
M
M

0 L 1
− a1 − δ 1 
− an − δ n

0 L 0

s

0

0 L

0

an + δ n

0

s

0 L

0

an − 1 + δ n − 1

0 −1 s L

0

M

M

M

M

M

0

0

0

−1

s + a1 + δ 1

an − 2 + δ n − 2 = 0

sn + (a1 + δ1)sn – 1 + (a2 + δ2)sn – 2 + . . . + (an + δn) = 0

(10-46)

Có thể thấy rằng mỗi δn, δn - 1, . . ., δ1 chỉ phù hợp với một trong các hệ số của phương
trình đặc tính.
Giả sử rằng phương trình đặc tính mong muốn có đặc tính sai lệch là
(s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) = sn + α1sn – 1 + α2sn – 2 + . . . αn – 1s + αn = 0 (10-47)


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

36/51

(Chú ý rằng các giá trò riêng mong muốn µi xác đònh mức độ trạng thái quan sát hội tụ về
trạng thái thực tế nhanh như thế nào.) So sánh các hệ số của các thành phần cùng số mũ
của s trong phương trình (10-46) và (10-47), chúng ta có
a1 + δ1 = α1
a2 + δ2 = α2
...
an + δn = αn
từ đó chúng ta có

δ1 = α1 – a1
δ2 = α2 – a2
...
δn = αn - an
Khi đó từ phương trình (10-45) chúng ta có
 δn   αn
δ
 α
n
−
1
−1
 =  n −1
Q Ke = 
 M  

 
 δ1   α1

Do đó

− an 
− an − 1 

M


− a1 

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

 αn
α
Ke = Q  n − 1


 α1

− an 
 αn
α
− an − 1 
 = (WN *) −1  n − 1
M




− a1 
 α1

37/51

− an 
− an − 1 
 (10-48)
M



− a1 

Phương trình (10-48) xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke
Như đã nói ở trên, phương trình (10-48) cũng có thể đạt được từ phương trình (10-13)
bằng việc xem xét bài toán đối ngẫu. Tức là, xét bài toán đặt cực với hệ thống đối ngẫu
và thiết lập ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K với hoàn toàn đối ngẫu. Khi đó ma-trận
hệ số bộ quan sát trạng thái Ke có thể được đưa ra bởi K* (xem bài tập A-10-9).
Các giá trò riêng mong muốn hoặc phương trình đặc tính nên được chọn sao cho bộ quan
sát trạng thái đáp ứng nhanh gấp hai đến năm lần so với hệ thống vòng kín được xét. Như
đã nói ở trước, phương trình với bộ quan sát bậc đủ là
~
x& = ( A − K e C ) ~
x + Bu + K e y

(10-49)

Phương pháp thay thế trực tiếp để thiết lập ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke
Tương tự trường hợp đặt cực, nếu hệ thống có bậc thấp, thì thay thế trực tiếp ma-trận Ke
vào đa thức đặc tính mong muốn có thể đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu x là 3-vector, thì
viết ma-trận hệ số bộ trạng thái Ke là


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

38/51

 k e1 
K e = k e 2 
 
 k e3 

Thay ma-trận Ke này vào đa thức đặc tính mong muốn:
sI – (A - KeC) = (s - µ1)(s - µ2)(s - µ3)
Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s ở hai vế của phương trình cuối cùng, chúng ta xác
đònh được các giá trò ke1,ke2 và ke3. Phương pháp này thuận tiện nếu n = 1, 2, hoặc 3, với n
là kích thước của vec-tơ trạng thái x. (Mặc dù phương pháp này có thể được sử dụng khi n
= 4, 5, 6, . . ., nhưng khối lượng tính toán sẽ rất nhiều.)
P/p khác để xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke là s/d công thức
Ackermann.
Công thức Ackermann.
Xét hệ thống

(10-50)

x& = Ax + Bu

y = Cx

(10-51)

Kết quả được đưa ra bởi phương trình (10-18) như sau:

[

]

−1

K = [0 0 L 0 0] B M AB M L M A n − 1 B φ ( A)

Vì tính đối ngẫu của hệ thống xác đònh bởi phương trình (10-50) và (10-51),


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

39/51

z& = A * z + C * v
n = B*z

công thức Ackermann với phương pháp đặt cực được sửa đổi như sau

[

K = [0 0 L 0 1] C * M A * C * L M

]

−1

( A*) n − 1 C * φ ( A*)

(10-53)

Do đó
 C 
 CA 


K e = K * = φ ( A*) *  M 

 n − 2
CA

n −1
 CA


−1

0 
 C 
0 
 CA 
 


 M  = φ ( A)  M 
 
 n − 2
0
 
CA

n −1
1
 CA


−1

0 
0 
 
 M  (10-53)
 
0 
1

với φ(s) là đa thức đặc tính mong muốn với bộ quan sát trạng thái, hay
φ(s) = (s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn)
với µ1, µ2, . . ., µn các giá trò riêng mong muốn. Phương trình (10-53) được gọi là công
thức Ackermann để xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke.
Nhận xét về việc lựa chọn hệ số Ke tốt nhất.
Từ hình vẽ 10-7, chú ý rằng tín hiệu phản hồi qua ma-trận hệ số bộ quan sát Ke như là
một tín hiệu – hiệu chỉnh đến mô hình đối tượng để bù cho những thành phần chưa biết
trong đối tượng. Nếu có các thành phần chưa biết khá lớn, thì tín hiệu phản hồi qua ma-


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

40/51

trận Ke sẽ khá lớn. Tuy nhiên, nếu tín hiệu ra bò phá hỏng đáng kể do nhiễu và nhiễu đo,
thì tín hiệu ra y là không tin cậy và tín hiệu phản hồi qua ma-trận Ke sẽ khá nhỏ. Trong
việc xác đònh ma-trận Ke, nên kiểm đònh cẩn thận ảnh hưởng của nhiễu và nhiễu đo có
trong tín hiệu ra y.
Ma-trận hệ số bộ quan sát Ke phụ thuộc vào phương trình đặc tính mong muốn
(s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) = 0
Việc chọn một tập hợp µ1, µ2, . . ., µn trong nhiều trường hợp cá biệt, không phải là duy
nhất. Do đó, nhiều phương trình đặc tính khác nhau có thể được chọn để làm phương trình

đặc tính mong muốn. Với mỗi phương trình đặc tính mong muốn, chúng ta có một ma-trận
Ke khác.
Trong thiết kế bộ quan sát trạng thái, điều mong muốn là xác đònh vài ma-trận hệ số bộ
quan sát Ke dựa trên vài phương trình đặc tính mong muốn khác nhau. Với mỗi ma-trận
Ke thử mô phỏng để đánh giá sự thực thi của hệ thống được thiết kế. Sau đó chúng ta
chọn Ke tốt nhất theo quan điểm tốt nhất chung cho toàn hệ thống. Trong nhiều trường
hợp thực tế, việc chọn ma-trận Ke tốt nhất cần có sự thỏa hiệp giữa đáp ứng tốc độ và độ
nhạy đối với nhiễu và nhiễu đo.
VÍ DỤ 10-3
Xét hệ thống


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

41/51

x& = Ax + Bu
y = Cx

với
0 20.6
A=
,
1
0



0 
B =  ,

1

C = [0 1]

Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, giả sử rằng cấu trúc hệ thống là giống như được
vẽ trên hình 10-7. Giả sử rằng các giá trò riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát là
µ1 = -1.8 + j2.4, µ2 = -1.8 –j2.4
Việc thiết kế bộ quan sát trạng thái trở thành việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke
Bay giờ chúng ta kiểm đònh ma-trận quan sát được. Hạng của

[C *

0 1 
M A * C *] = 

1 0 

là 2. Vì vậy hệ thống là quan sát được hoàn toàn và việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan
sát mong muốn là khả thi. Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng 3 phương pháp.
Phương pháp 1: chúng ta sẽ xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát bằng cách sử dụng
phương trình (10-48). Ma-trận trạng thái cho trước A là đã có dạng chuẩn tắc quan sát
được. Vì vậy ma-trận chuyển Q = (WN*)-1 là I. Do đó phương trình đặc tính của hệ thống
đã cho là


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

sI − A =

s

− 20.6

−1

s

= s 2 − 20.6 = s 2 + a1 s + a 2 = 0

Phương trình đặc tính mong muốn là
(s + 1.8 – j2.4)(s + 1.8 + j2.4) = s2 + 3.6s + 9 = s2 + α1s + α2 = 0
Vì vậy
α1 = 3.6, α2 = 9
Khi đó ma-trận hệ số bộ quan sát Ke có thể thiết lập từ phương trình (10-48) như sau:
− α 2  1 0 9 + 20.6 29.6
α
K e = (WN *) −1  2
 = 0 1  3.6 − 0  =  3.6 
α
1
α

 
 


1 
Phương pháp 2: Từ phương trình (10-29),
e& = ( A − K e C )e

phương trình đặc tính với bộ quan sát là
sI – A + KeC = 0
Gọi
k 
K e =  e1 
k e 2 

Khi đó phương trình đặc tính trở thành

42/51


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

43/51

s − 20.6 + k e1
 s 0 0 20.6  k e1 
[
]
−
+
0
1
=
 0 s  1
−1
s + k e2
0  k e 2 


 

= s2 + ke2s – 10.6 + ke1 = 0

(10-54)

Vì phương trình đặc tính mong muốn là
s2 + 3.6s + 9 = 0
bằng cách so sánh phương trình (10-54) với phương trình cuối cùng, chúng ta có
ke1 = 29.6,

ke2 = 3.6

hay
29.6
Ke = 

 3.6 

Phương pháp 3: Chúng ta sẽ sử dụng công thức Ackermann được cho bởi phương trình
(10-53):
−1

 C  0 
K e = φ ( A)    
CA 1

với
φ(s) = (s - µ1)(s -µ2) = s2 + 3.6s + 9
Do đó

φ(A) = A2 + 3.6A + 9I


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

44/51

và

(

2

K e = A + 3.6 A + 9 I
29.6 74.16 0
=

 3.6 29.6  1

−1

0 1 
1 0 


1  0 
0 1

)

0 
1
 

29.6
=

 3.6 

Rõ ràng chúng ta có cùng Ke dù sử dụng 3 phương pháp khác nhau.
Chú ý rằng hệ thống được xét trong ví dụ 10-1 và hệ thống hiện đang xét là đối ngẫu
nhau. Ma-trận hệ số phản hồi trạng thái đạt được trong ví dụ 10-1 là K = [29.6 3.6]. Matrận hệ số bộ quan sát Ke đạt được ở đây quan hệ với ma-trận K bởi Ke = K*. (Vì matrận K và Ke là số thực, cho nên chúng ta có thể viết là Ke = KT)
Phương trình cho bộ quan sát trạng thái bậc đủ được cho ở phương trình (10-49):
~
x& = ( A − K e C ) ~
x + Bu + K e y

hay
x1  0
x&1  0 − 9   ~
~
29.6
=
+
u
+
y
 ~&  1 − 3.6  ~






x
  2  1 
 3.6 
 x2  

Cuối cùng, chú ý rằng tương tự như trường hợp đặt cực, nếu bậc n của hệ thống là 4 hoặc
cao hơn, thì các phương pháp 1và 3 được sử dụng, vì tất cả các tính toán ma-trận có thể
được thực hiện trên máy tính, trong khi phương pháp 2 luôn yêu cầu tính toán bằng tay


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

45/51

phương trình đặc tính có các thông số chưa biết ke1,ke2, . . ., ken.
VÍ DỤ 10-4
Xét hệ thống
x& = Ax + Bu
y = Cx

với
1
0
0
A=0
0
1 ,



− 6 − 11 − 6

0 
B = 0  ,
 
1

C = [1 0 0]

Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, giả sử rằng cấu trúc hệ thống là giống như đã vẽ
trong hình 10-7. Giả sử rằng các giá trò riêng mong muốn của ma-trận quan sát là
µ1 = -2 + j3.464,

µ2 = -2 - j3.464,

µ3 = -5

Kiểm đònh ma-trận quan sát được. Hạng của
1 0 0
2
N = C * M A * C * M ( A*) C * = 0 1 0


0 0 1

[

]

là 3. Do đó, h/t là quan sát được hoàn toàn và việc x/đ ma-trận hệ số quan sát K là khả


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

thi.
Vì phương trình đặc tính của hệ thống đã cho là
0 
s − 1
−1 
sI − A = 0 s


6 11 s + 6

= s3 + 6s2 + 11s + 6
chúng ta có

a1 = 6,

= s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0

a2 = 11,

a3 = 6

Phương trình đặc tính mong muốn là
(s - µ1)(s - µ2)(s - µ3) = (s + 2 – j3.464)(s + 2 + j3.464)(s + 5)
= s3 + 9s2 + 36s + 80 = s3 + α1s2 + α2s + α3 = 0

do đó

α1 =9, α2 = 36,

α3 = 80

Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách sử dụng phương trình (10-48):
α 3 − a3 
K e = ( MN *) −1 α 2 − a 2 


 α 1 − a1 

Chú ý rằng

46/51


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái

1 0 0 
N * = 0 1 0  ,


0 0 1

47/51

11 6 1
W =  6 1 0



 1 0 0

chúng ta có
(WN *) −1

11 6 1 1 0 0 


=   6 1 0  0 1 0  



  1 0 0  0 0 1  




−1

1 
0 0
= 0 1 − 6 


1 − 6 25 

vì vậy
1   80 − 6   3 

0 0
K e = 0 1 − 6 36 − 11 =  7 


  
1 − 6 25   9 − 6  − 1

Tham khảo phương trình (10-49), bộ quan sát trạng thái bậc đủ được đưa ra bởi
~
x& = ( A − K e C ) ~
x + Bu + K e y

hay
x&1   − 3 1
0  ~
x1  0
~
3
 ~&  
 ~
& 2  + 0  u +  7  y
x
=
−
7
0
1
x
2
  

   
 
~
~
&
&
 x3   − 5 − 11 − 6  x 3  1
− 1

(Lời giải cho bài tập này sử dụng phương pháp thay thế trực tiếp và sử dụng công thức