CHƯƠNG 9 PHÂN TÍCH hệ THỐNG điều KHIỂN TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Chương 9. Phân tích hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái.

9-1. GIỚI THIỆU CHUNG.
9-2. KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI.
Tính không duy nhất của tập hợp các biến trạng thái
Giá trò riêng của ma-trận n × n .
Tính bất biến của giá trò riêng.
Ma-trận đường chéo n × n .
Biểu diễn không gian trạng thái của hệ thống bậc n với r hàm điều khiển.
Đònh lý Cayley –Hamilton.
Tính eAt.
Tính không duy nhất của tập các biến trạng thái .
Với một hệ thống cho trước thì tập các biến trạng thái là không duy nhất. Giả sử
x1 , x 2 , . . ., x n là tập hợp các biến trạng thái. Chúng ta có thể lấy tập khác các biến trạng thái.

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An

.1


xˆ1 = X 1 ( x1 , x 2 , . . ., x n )
xˆ 2 = X 2 ( x1 , x 2 , . . ., x n )
.
.
.
xˆ n = X n ( x1 , x 2 , . . ., x n )

) )

)

Miễn là với mọi tập các giá trò x1 , x2 , . . ., xn , tương ứng có một tập duy nhất các giá trò
x1 , x 2 , . . ., x n và ngược lại. Khi đó nếu x là vector trạng thái, thì xˆ là:
xˆ = Px

cũng là vector trạng thái miễn là P không đơn trò (nonsingular). Các vector trạng thái khác
nhau truyền cùng một thông tin về đáp ứng của hệ thống.
VÍ DỤ 9-1.
&&&
y + 6 &&
y + 11y& + 6 y = 6u
(9-1)
với y là tín hiệu ra và u là tín hiệu vào của hệ thống. Thiết lập biểu diễn không gian trạng
thái của hệ thống.
Ta chọn các biến trạng thái như sau:
x1 = y
x2 = y&
x3 = &y&
2


x&1 = x 2
x& 2 = x3
x& 3 = −6 x1 − 11x 2 − 6 x3 + 6u
1
0  x1  0
 x&1   0
 x&  =  0
0
1   x 2  + 0  u
2

  
   
 x& 3  − 6 − 11 − 6  x3  6
 x1 
y = [1 0 0]  x 2 
 
 x3 

(9-2)
(9-3)

Phương trình (9-2) và (9-3) có thể được viết:
x& = Ax + Bu
(9-4)
y = Cx
(9-5)
u

6

1
+

s

+

+

x3

1
s

x2

1

x1

y

s

-6

+

+

+

-11
-6

Hình 9-1. Biểu diễn sơ đồ khối của hệ thống (9-2) và (9-3).
3


với

1
0
 0

0
1 ,
A= 0


− 6 − 11 − 6

0 
B = 0  ,
 
6

C = [1 0 0]

Hình 9-1 vẽ sơ đồ khối của phương trình trạng thái và phương trình ra của hệ thống này.
Chú ý rằng hàm truyền của các khối phản hồi có hệ số âm của phương trình vi phân (9-1).
Giá trò riêng của ma-trận A n x n.
Giá trò riêng của ma-trận A n × n là các nghiệm của phương trình đặc tính
λI−A =0

Giá trò riêng còn được gọi là nghiệm đặc tính.
Xét ma-trận A sau:
1
0
 0
A= 0

0
1


− 6 − 11 − 6

Phương trình đặc tính là:
0
 λ −1
λ
λ I − A =  0
−1 

− 6 11 λ + 6
= λ 3 + 6λ 2 + 11λ + 6
= (λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) = 0

Giá trò riêng của A là nghiệm của phương trình đặc tính hay là –1, -2, và –3.
4


VÍ DỤ 9-2.
Xét hệ thống được mô tả trong ví dụ 9-1. Chứng minh phương trình (9-2) không chỉ là
phương trình trạng thái có thể cho hệ thống này. Giả thiết chúng ta xác đònh tập biến trạng
thái mới z1, z2, z3 bằng phép chuyển.
1
1  z1 
 x1   1
 x  = − 1 − 2 − 3  z 
 2 

 2
 x3   1
4
9  z 3 
hay
với

x = Pz
1
1
 1
P =  − 1 − 2 − 3


 1
4
9

(9-6)
(9-7)

Thay (9-6) vào (9-4) ta có:

P z& = AP z + Bu
Nhân hai vế với P-1 ta có:

z& = P −1 AP z + P −1 Bu

(9-8)

hay

5


 z&1   3 2.5
 z&  =  − 3 − 4
 2 
 z&3   1 1.5
 3 2.5
+ − 3 − 4

 1 1.5

0.5  0
1
0  1
1
1  z1 
− 1  0
0
1   − 1 − 2 − 3  z 2 
 


4
9  z 3 
0.5 − 6 − 11 − 6  1
0.5 0
− 1  0  u

 
0.5 6

Đơn giản ta được
0
0   z1   3
 z&1   − 1
 z&  =  0 − 2
0   z 2  +  − 6 u
2
  
   
 z&3   0
0 − 3  z 3   3

(9-9)

Phương trình (9-9) cũng là phương trình trạng thái mô tả hệ thống (9-2).
y = CP z
Phương trình ra (9-5) sẽ là:
Hay
1
1  z1 
 1
y = [1 0 0] − 1 − 2 − 3  z 2 

 
 1
4
9  z 3 

 z1 
= [1 1 1]  z 2 
 
 z 3 

(9-10)

6


Ma-trận chuyển P, xác đònh bởi phương trình (9-7), sửa đổi ma-trận hệ số của z thành
ma-trận đường chéo. Từ phương trình (9-9), ba phương trình trạng thái vô hướng không
còn kết dính nhau nữa. Các phần tử đường chéo của ma-trận P −1 AP trong phương trình (98) chính là ba giá trò riêng của A. Điều quan trọng cần lưu ý là các giá trò riêng của A và
của P −1 AP là đồng nhất. Chúng ta sẽ chứng minh điều này trong các trường hợp chung ở
sau.
Tính bất biến của giá trò riêng.
Để chứng minh tính bất biến của giá trò riêng dưới phép chuyển tuyến tính, chúng ta
phải chứng minh rằng đa thức đặc tính λ I − A và λ I − P AP là đồng nhất.
−1

Vì đònh thức của tích là tích của các đònh thức, ta có:
λ I − P −1 AP = λ P −1 P − P −1 AP
= P −1 (λ I − A) P
= P −1 λ I − A P
= P −1 P λ I − A

Chú ý rằng tích của các đònh thức

P −1

và

P

là đònh thức của tích

P −1 P

, ta có:

λ I − P −1 AP = P −1 P λ I − A
= λI −A

Vậy ta đã chứng minh rằng giá trò riêng của A bất biến dưới phép chuyển tuyến tính.
7


Đường chéo hóa ma-trận
 0
 0

 .

A= .
 .

 0
− a n

Phép chuyển

 1
λ
 1
 λ12

P= .
 .

 .
λ1n −1

1

0

0
.

1
.

.
.

.
.

0
− a n −1

0
− a n−2

x = Pz

1

λ2
λ22
.
.
.

λn2−1

n×n .

0 
... 0 

. 

. 
. 

... 1 
. . . − a1 

...

(9-11)

với
1 
λn 
. . . λ2n 

. 
. 

. 
. . . λnn−1 
...
...

là n giá trò riêng biệt của A.
Với phép chuyển P −1 AP thành ma-trận đường chéo, với
λ1 , λ2 , . . ., λn

8


λ1



P −1 AP = 




0

λ2
.
.
.

0







λn 

Nếu ma-trận A xác đònh bởi phương trình (9-11) có giá trò riêng bội, thì không thể
đường chéo hóa ma-trận. Chẳng hạn, nếu ma-trận A (3 x 3) như sau:
 0
A= 0

− a3

0 
1 

− a1 

1

0
− a2

có các giá trò riêng là
1
S =  λ1

λ12

0
1
2λ1

λ1 , λ1 , λ3 ,

khi đó phép chuyển x = Sz, với

1
λ3 
λ32 

tạo ra
λ1
S −1 AS =  0

 0

1

λ1

0

0
0

λ3 

Dạng này được gọi là dạng kinh điển Jordan (Jodan canonical form).
9


VÍ DỤ 9-3.
Xét hệ thống được cho trên ví dụ 9-1 và 9-2.
(9-12)

&y&& + 6 &y& + 11y& + 6 y = 6u

Viết lại dưới dạng hàm truyền:
6
6
3
−6
3
Y ( s)
+
= 3
=
=
+
U ( s) s + 6 s 2 + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3

3
−6
3
Y ( s) =
U ( s) +
U ( s) +
U ( s)
(9-13)
Vì vậy
s +1
s+2
s+3
Đặt X 1 (s) = 3 U ( s)
(9-14)
s +1
−6
X 2 (s) =
U ( s)
(9-15)
s+2
3
X 3 ( s) =
U ( s)
(9-16)
s+3

Biến đổi Laplace ngược của phương trình (9-14), (9-15), (9-16) là:
x&1 = − x1 + 3u
x& 2 = −2 x2 − 6u
x& 3 = −3 x3 + 3u

Biểu diễn dưới dạng vector – ma trận, ta có:
0
0  x1   3 
 x&1   − 1
 x&  =  0 − 2
0  x 2  +  − 6 u
 2 
   
 x& 3   0
0 − 3  x3   3 

(9-17)

Vì phương trình (9-13) có thể được viết:
Y ( s) = X 1 ( s) + X 2 ( s) + X 3 ( s)
10


3

1
+

+

x1

s

-1
u

-6

1
+
+

s

x2

+

+

y

+

-2

3

1

+
+

x3

s

-3

Hình 9-2. Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống ở phương trình (9-17), (9-18).
Ta có:
y = x1 + x 2 + x3

hay
 x1 
y = [1 1 1]  x 2 
 
 x3 

(9-18)

Phương trình (9-17), (9-18) có cùng dạng như phương trình (9-9) và (9-10).
11


Biểu diễn KGTT của các hệ phương trình vi phân bậc n với r hàm điều khiển.
Xét hệ thống nhiều cửa vào, nhiều cửa ra được vẽ trên hình (9-3). Trong hệ thống này
x , x , . . ., x đại diện cho các biến trạng thái; u , u , . . ., u đại diện cho các biến vào và
y , y , . . ., y đại diện cho các biến ra. Với hệ thống này chúng ta có hệ phương trình sau:
1

2

1

2

1

n

2

r

m

x&1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x 2 + . . . + a1 n (t ) x n + b11 (t ) u1 + b12 (t ) u 2 + . . . + b1 r (t ) u r
x& 2 = a 21 (t ) x1 + a 22 (t ) x 2 + . . . + a 2 n (t ) x n + b21 (t ) u1 + b22 (t ) u 2 + . . . + b2 r (t ) u r
.
.
.
x& n = a n1 (t ) x1 + a n 2 (t ) x 2 + . . . + a nn (t ) x n + bn1 (t ) u1 + bn 2 (t ) u 2 + . . . + bn r (t ) u r
.
.
.

.
.
.

…

u1
u2
ur

…

x1
.
.
.

Đối tượng .
.
tuyến tính .. x2 ..
xn

Phần tử
ra

.
.
.

y1
y2
ym

Hình 9-3. Hệ thống nhiều cửa vào – nhiều cửa ra.
Trong đó a(t) và b(t) là những hằng số hay là hàm của t.
12

x& = A(t ) x + B (t ) u

(9-19)

với
 x1 
x 
 2
.
x =   = vector trạng thái.
.
.
 
 xn 
 u1 
u 
 2
.
u =   = vector vào hay vector
.
.
 
u r 
 a11 (t ) a12 (t ) . . . a1n (t ) 
a (t ) a (t ) . . . a (t )
22
2n
 21


 .
.
. 
A(t ) = 

.
. 
 .
 .
.
. 


a n1 (t ) a n 2 (t ) . . . a nn (t ) 

điều khiển.

13


b11 (t ) b12 (t ) . . . b1 r (t ) 
b (t ) b (t ) . . . b (t )
22
2r
 21

 .
.
. 

B (t ) = 

.
. 
 .
 .
.
. 


bn1 (t ) bn 2 (t ) . . . bn r (t )

Với các tín hiệu ra, ta có:
y1 = c11 (t ) x1 + c12 (t ) x2 + . . . + c1 n (t ) xn + d11 (t ) u1 + d12 (t ) u 2 + . . . + d1 r (t ) u r
y 2 = c21 (t ) x1 + c 22 (t ) x2 + . . . + c2 n (t ) x n + d 21 (t ) u1 + d 22 (t ) u 2 + . . . + d 2 r (t ) u r
.
.
.
y m = c m1 (t ) x1 + c m 2 (t ) x 2 + . . . + c mn (t ) x n + d m1 (t ) u1 + d m 2 (t ) u 2 + . . . + d m r (t ) u r

Hay viết dưới dạng ma-trận, ta có:
y = C (t ) x + D (t ) u
 y1 
y 
 2
 . 
y =   = vector
 . 
 . 
 

 ym 

(9-20)
ra.

(9-20)

14


 d11 (t ) d12 (t ) . . . d 1 r (t ) 
 c11 (t ) c12 (t ) . . . c1n (t ) 
 d (t ) d (t ) . . . d (t ) 
 c (t ) c (t ) . . . c (t ) 
22
2r
22
2n
 21


 21
 .
.
. 
 .
.
. 
C (t ) = 


 ; D(t ) =  .
.
.
.
.
.




 .
 .
.
. 
.
. 




d
t
d
t
d
t
(
)
(
)

.
.
.
(
)
c
t
c
t
c
t
(
)
(
)
.
.
.
(
)


m
1
m
2
m
r
 m1


m2
mn


Sơ đồ Graph tín hiệu trên hình 9-4(b), các mũi tên kép biểu diễn đại lượng vector – ma
trận.
D(t)
D(t)
u

B(t)

+

∫ dt
+
A(t)

x

C(t)

+

+

y

∫ dt
u

x C(t)

B(t)

y

A(t)
(b)

(a)

Hình 9-4 (a). Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống các phương trình (9-19), (9-20).
(b) Sơ đồ Graph tín hiệu tương ứng.
Đònh lý Cayley – Hamilton.
Đònh lý Cayley – Hamilton rất hữu ích trong việc chứng minh các đònh lý có liên quan
đến vector – ma trận cũng như việc giải phương trình ma-trận.
Xét ma-trận A n × n và phương trình đặc tính của nó:
λ I − A = λn + a1λn −1 + . . . + a n −1λ + a n = 0
15


Đònh lý Cayley – Hamilton phát biểu rằng ma-trận A thỏa mãn PT đặc tính của nó, hay
A n + a1 A n −1 + . . . + a n −1 A + a n I = 0

Để chứng minh đònh lý này, chú ý rằng adj(λ I − A) là một đa thức của λ có bậc n –1.
adj (λ I − A) = B1λn−1 + B2 λn−2 + . . . + Bn−1λ + Bn
với B1= I. Vì
(λ I − A) adj(λ I − A) = [adj (λ I − A)] (λ I − A) = λ I − A I

Ta có:
λ I − A I = Iλn + a1 I λn−1 + . . . + a n −1 Iλ + a n I = 0
= (λI − A)( B1λn −1 + B2 λn − 2 + . . . + Bn −1λ + Bn )
= ( B1λn −1 + B2 λn −2 + . . . + Bn −1λ + Bn )(λI − A)

Từ phương trình này, ta thấy rằng A và Bi (i = 1, 2, . . ., n) có tính giao hoán. Vì tích
của (λ I − A) và adj(λ I − A) sẽ bằng 0 nếu một trong chúng bằng 0. Nếu A được thay cho λ ở
phương trình này, thì rõ ràng λ I − A = 0
A n + a1 A n −1 + . . . + a n −1 A + a n I = 0

Tính eAt
Tính eAt bằng máy tính.
Nghiệm của phương trình trạng thái liên tục, không dừng, tuyến tính có thành phần
hàm mũ ma-trận eAt. Có vài phương pháp để tính eAt. Nếu số hàng của ma-trận vuông là ≥
4 thì việc tính bằng tay trở nên khó khăn và cần thiết phải sử dụng máy tính.
Cách đơn giản nhất để tính eAt là khai triển eAt thành chuỗi các lũy thừa của t (Hàm mũ
16


ma-trận eAt là hồi quy với một giá trò hữu hạn của t). Chẳng hạn, eAt có thể khai triển
thành chuỗi lũy thừa như sau:
e

At

At  At  At  A 2 t 2 
At  A n t n 
 + . . .+

 +. . .

= I + ( At ) +   + 
2  1!  3  2! 
n + 1  n ! 

Chú ý rằng mỗi thành phần trong ngoặc đơn là bằng toàn bộ thành phần trước đó, chẳng
hạn
 At 
  = At ;
 1! 

 A 2 t 2  At  At 

 =
  ; . . .
 2!  2  1! 

 A n t n  At  A n −1t n −1 

 =


 n !  n  (n − 1)! 

Điều này cho ta một sơ đồ hồi quy. Việc tính được thực hiện chỉ đến các thành phần
đủ độ chính xác yêu cầu. Sử dụng chuẩn (norm) của ma-trận để kiểm tra điểm dừng tính
toán. Chuẩn là một số vô hướng được dùng để xác đònh biên độ tuyệt đối của của n2 phần
tử của ma-trận n × n . Có vài dạng chuẩn khác nhau. Ở đây chúng ta sử dụng dạng chuẩn
sau:
n

Chuẩn của M = M = ∑ mi j , với mi j là các phần tử của ma-trận M.
i , j =1

Phương pháp 1 tính eAt.
Chuyển ma-trận A thành dạng đường chéo hoặc dạng Jordan chính tắc. Đầu tiên chúng
ta xét trường hợp ma-trận A chỉ có các giá trò riêng khác biệt và vì vậy có thể chuyển
thành dạng đường chéo. Sau đó chúng ta xét trường hợp ma-trận A có giá trò riêng bội và
vì vậy không thể đường chéo hóa.
x& = Ax
Xét phương trình trạng thái
17


Nếu một ma-trận vuông có thể đường chéo hóa, thì một ma-trận đường chéo hóa (matrận chuyển) tồn tại và nó có thể đạt được bằng một phương pháp chuẩn (trìnhbày ở phụ
lục). Xét P là ma-trận đường chéo hóa của A. Đặt:

x = Pxˆ
xˆ& = P −1 APxˆ = Dxˆ
Khi đó
với D là ma-trận đường chéo. Nghiệm của phương trình này là:
xˆ (t ) = e D t xˆ (0)
x(t ) = Pxˆ (t ) = Pe D t P −1 x(0)
Vì vậy
Chú ý rằng x(t) cũng có thể đưa ra bởi phương trình:

x(t ) = e A t x(0)
At
D t −1
Chúng ta có e = Pe P , hay

e A t = Pe D t P −1

e λ1t



= P



 0

e λ2t
.

.
.

0 


 −1
P



λn t
e 

(9-21)

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét trường hợp ma-trận A có thể được chuyển thành dạng
Jordan chính tắc. Xét phương trình trạng thái:
x& = Ax
18


Trước tiên thiết lập ma-trận chuyển S mà nó chuyển ma-trận A thành dạng Jordan
chuẩn (xem phụ lục) để cho:
S AS = J
với J là một ma-trận ở dạng Jordan chuẩn. Xác đònh
x = Sxˆ
Khi đó
x&ˆ = S ASxˆ = Jxˆ
Nghiệm của phương trình này là: xˆ (t ) = e J t xˆ (0)
x(t ) = Sxˆ (t ) = Se J t S −1 x(0)
Vì vậy
x(t ) = e A t x(0)
Vì nghiệm x(t) cũng có thể được đưa ra bởi phương trình
e A t = Se J t S −1
Chúng ta có
Chú ý rằng eJt là một ma-trận tam giác [các phần tử dưới (hoặc trên đường chéo chính)
còn các phần tử của đường chéo chính là bằng 0) mà tất cả các phần tử của nó là
−1

−1

e λt , te λt , 12 t 2 e λ t . . .
Chẳng hạn, nếu ma-trận J có dạng Jordan chuẩn sau:
λ1

J = 0

 0

1

λ1
0

0
1

λ1 

thì

eJ t

e λ1t

= 0
 0


te λ1t
e λ1t
0

1
2

t 2 e λ1t 

te λ1t 
e λ1t 
19


Töông töï, neáu
 λ1
0

0

J =



 0

1

λ1

0
1

0

λ1

λ4

1

0

λ4
λ6

0








λ 7 

thì

e λ1t

0
0

eJ t = 




0


te λ1t
e λ1t
0

1 2 λ1t
2
λ1t

t e

te

e λ1t
e λ4t

te λ4t

0

e λ4t
e λ6t
0

0 








0 
e λ7t 
20


Ví dụ xét ma-trận A sau đây:
1 0
0
A = 0
0 1


1 − 3 3

λ I − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = (λ − 1) 3 = 0
Phương trình đặc tính là:
Vì vậy ma-trận A có một giá trò riêng bội bậc ba tại λ = 1. Điều này có thể chỉ ra rằng
ma-trận A có một vector riêng bội bậc ba. Ma-trận chuyển sẽ chuyển ma-trận A thành
dạng Jordan chính tắc có thể được đưa ra bởi:
1 0 0
S = 1 1 0


1 2 1

Nghòch đảo của ma-trận S là:
S −1

0 0
 1
= − 1
1 0


 1 − 2 1

Suy ra
 1
S −1 AS = − 1

 1
1
= 0

0

0 0  0
1 0 1 0 0
1 0  0
0 1 1 1 0



− 2 1 1 − 3 3 1 2 1
1 0

1 1 = J

0 1

Chú ý rằng
21


eJ t

e t

= 0
0


te t
et
0

1
2

t 2et 

te t 
e t 

Do đó
e A t = Se J t S −1

t
t
2 t
0 0
1 0 0 e te 12 t e   1


= 1 1 0  0 e t
te t  − 1
1 0




t
1 2 1  0 0
e   1 − 2 1
1 2 t
e t − te t + 12 t 2 e t

te t − t 2 e t
2t e


1 2 t
=
e t − te t − t 2 e t
te t + 12 t 2 e t 
2t e
t

2 t
t
t
1 2 t
 te t + 12 t 2 e t
−
3
te
−
t
e
e
+
2
te
+
2t e 


Phương pháp 2 tính eAt
Phương pháp này sử dụng phép chuyển đổi Laplace. Từ phương trình (4-60), eAt được
tính:

e At = L−1[( sI − A) −1
Để tính được eAt, đầu tiên ta nghòch đảo ma-trận (sI-A). Sau đó lấy ảnh Laplace ngược.

22


Phương pháp 3 tính eAt.

Phương pháp này sử dụng công thức nội suy Sylvester (bài tập A-9-6). Trước tiên
chúng ta xét trường hợp các nghiệm của đa thức tối thiểu φ(λ) của A là riêng biệt (đònh
nghóa đa thức cực tiểu ở bài tập A-9-3). Sau đó chúng ta sẽ xem xét trường hợp nghiệm
bội.
Trường hợp 1. Đa thức tối thiểu của A chỉ có nghiệm riêng bội (nghiệm đơn).
Giả thiết rằng bậc của đa thức A là m. Sử dụng công thức nội suy, có thể chứng minh
rằng eAt có thể đạt được bằng cách giải phương trình đònh thức sau:
1 λ1 λ12 . . . λ1m −1 e λ1t
1 λ2 λ22 . . . λm2 −1 e λ2t
. .
. .
. .
1 λm
I A

.
.
.

.
.
.

λ2m . . . λmm−1
A2

. . . A m −1

.
.

.

=0

(9-22)

e λm t
e At

Bằng việc giải phương trình (9-22) cho eAt, eAt có thể tính được dưới dạng ek (k = 0, 1,
2, . . ., m-1) và e λ t (i = 1, 2, 3, . . . , m) [Phương trình (9-22) có thể được khai triển cột cuối
cùng].
Từ (9-22), ta có:
e A t = α 0 (t ) I + α 1 (t ) A + α 2 (t ) A 2 + .. . + α m−1 (t ) A m−1
(9-23)
i

23


và việc xác đònh α k (t ) (k = 0,1, 2,. . ., m − 1) bằng việc giải tập m phương trình sau với α

k

(t )

α 0 (t ) + α 1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 + .. . + α m−1 (t )λ1m−1 = e λ1t
α 0 (t ) + α 1 (t )λ2 + α 2 (t )λ22 + .. . + α m−1 (t )λm2 −1 = e λ2t
.
.

α 0 (t ) + α 1 (t )λm + α 2 (t )λ2m + .. . + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt

Nếu A là ma-trận n × n và có giá trò riêng tách biệt, thì số α (t ) được xác đònh là m = n.
Nếu A có nghiệm bội nhưng đa thức tối thiểu của nó chỉ có nghiệm đơn giản, thì số
α (t ) được xác đònh m là nhỏ hơn n (m < n).
Trường hợp 2. Đa thức tối thiểu của A có nghiệm bội.
Xét trường hợp đa thức tối thiểu của A có 3 nghiệm λ = λ = λ và các nghiệm khác
(λ , λ , . . ., λ ) là các nghiệm tách biệt. Bằng áp dụng công thức nội suy Sylvester, ta có thể
chứng minh rằng eAt có thể xác đònh từ phương trình đònh thức sau:
k

k

1

4

5

2

3

m

24


0

0

1

3λ1

0
1

1

2λ1

3λ12

λ1
1 λ4

λ12
λ24

λ13
λ34

(m − 1)(m − 2) m −3
λ1
...
2
...

(m − 1)λ1m − 2
λ1m −1
...
...

t 2 λ1t
e
2
te λ1t
e λ1t

λm4 −1

e λ4 t

.
.

.
.

.
.

.
.

.
.

.
.

.

.

.

.

.

.

1 λm

λ2m

λ3m

...

λmm−1

e λm t

I

A2

A3

...

A m −1

e At

A

. =0

(9-24)

Phương trình (9-24) có thể giải được eAt bằng cách khai triển cột cuối cùng.
Chú ý rằng, như trường hợp 1, giải phương trình (9-24) với eAt.
e A t = α 0 (t ) I + α 1 (t ) A + α 2 (t ) A 2 + .. . + α m−1 (t ) A m−1
(9-25)
và xác đònh α k (t ), (k = 0, 1, 2, . . ., m − 1) từ:
(m − 1)(m − 2)
t 2 λ1t
m −3
α 2 (t ) + 3α 3 (t )λ1 + . . . +
α m−1 (t )λ1 = e
2
2
α1 (t ) + 2α 2 (t )λ1 + 3α 3 (t )λ12 + . . . + (m − 1)α m −1 (t )λ1m− 2 = teλ1t

α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 + .. . + α m−1 (t )λ1m−1 = eλ t

1

α 0 (t ) + α1 (t )λ4 + α 2 (t )λ42 + .. . + α m−1 (t )λ4m−1 = eλ t
4

...

α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λm2 + .. . + α m−1 (t )λmm−1 = eλ t
m

25