Tài liệu Chương 3 - Phân tích hệ thống trong miền thời gian docx

CHƯƠNG III
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG
MIỀN THỜI GIAN
Lê Vũ Hà
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công nghệ
2009
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân
Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình
toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu
diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác
nhau.
Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân
biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương
trình của các định luật vật lý mà hoạt động của
hệ thống tuân theo.
Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn
bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số
hằng.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ví dụ: phương trình vi phân của mạch RC
C
dV
ra
dt
+
V
ra
R
=

V
vào
R
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
Dạng tổng quát của các phương trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống
tuyến tính bất biến:
N

i=0
a
i
d
i
y(t)
dt
i
=
M

j=0
b
j
d
j
x(t)
dt
j
với x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra của

hệ thống.
Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho
phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào
x(t).
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Giải phương trình vi phân tuyến tính
Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ
số hằng có dạng như sau:
y(t) = y
0
(t) + y
s
(t)
y
0
(t): đáp ứng khởi đầu, còn gọi là đáp ứng khi
không có kích thích, là nghiệm của phương trình
thuần nhất
N

i=0
a
i
d
i
y(t)
dt
i
= 0 (1)
y

s
(t): đáp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc
biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t).
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu
y
0
(t) là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện
của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t = 0),
không xét tới tín hiệu vào x(t).
Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng e
st
với s là một biến phức, thay vào phương trình ta
có:
N

i=0
a
i
s
i
e
st
= 0
→ s là nghiệm của phương trình đại số tuyến
tính bậc N sau đây:
N

i=0
a

i
s
i
= 0 (2)
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu
Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc
trưng của hệ thống.
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là
{s
k
|k = 1..N}, nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các
{s
k
} đều là nghiệm đơn:
y
0
(t) =
N

k=1
c
k
e
s
k
t
Giá trị của các hệ số {c
k

} được xác định từ các
điều kiện khởi đầu.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21
Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu
Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm
bội, nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất (1) sẽ có dạng như sau:
y
0
(t) =

k

c
k
e
s
k
t
p
k
−1

i=0
t
i

trong đó p
k
số lần bội của nghiệm s

k
.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21