CHƯƠNG 10 THIẾT kế HT điều KHIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT

CHƯƠNG 10. THIẾT KẾ HT ĐIỀU KHIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT
10.1 GIỚI THIỆU CHUNG
Thiết kế đặt cực và thiết kế các bộ quan sát
Các hệ thống điều chỉnh là các hệ thống điều khiển phản hồi mà nó sẽ đưa các trạng thái khác
không (tạo ra bởi nhiễu ngoài) về trạng thái ban đầu với một tốc độ phù hợp.
Một phương pháp để thiết kế các HT điều chỉnh là xây dựng hệ thống vòng kín ổn đònh tiệm cận
bằng cách xác đònh vò trí mong muốn của các cực vòng kín. Điều này có thể được hoàn thành bằng
cách sử dụng phản hồi trạng thái; chúng ta giả sử vec-tơ điều khiển u = - Kx (với u là thành phần
không bò giới hạn) và xác đònh ma-trận hệ số phản hồi K sao cho hệ thống sẽ có phương trình đặc
tính mong muốn. Thiết kế này được gọi là đặt cực.
Trong trường hợp này, chỉ số thực hiện có thể được viết như sau:
n

Chỉ số thực hiện = ∑ ( µ i − si )

2

i =1

µi là các giá trò riêng mong muốn của các sai số động học của hệ thống.
si là các giá trò riêng thực tế của các sai số động học của hệ thống thiết kế.
Trong trường hợp này chỉ số thực hiện có thể được tạo ra bằng 0 nhờ sự phù hợp chính xác các si với
các µi, làm cho hệ thống được xét là điều khiển được hoàn toàn trạng thái.

1


Phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương
Phương pháp khác để thiết kế hệ thống điều chỉnh là giả sử vec-tơ điều khiển phản hồi trạng
thái có dạng u = - Kx (với u không bò giới hạn) và xác đònh ma-trận hệ số phản hồi K sao cho chỉ số
thực hiện toàn phương là cực tiểu. Công thức này để xác đònh quy luật điều khiển tối ưu thường được

gọi là vấn đề điều khiển tối ưu toàn phương (quadratic optimal control problem).
Cả hai phương pháp đặt cực và điều khiển tối ưu toàn phương yêu cầu có phản hồi tất cả các
biến trạng thái. Vì vậy, cần thiết tất cả các biến trạng thái có thể lấy phản hồi được. Tuy nhiên, một
vài biến trạng thái có thể không đo được và không lấy phản hồi được. Khi đó chúng ta cần ước lượng
các biến trạng thái không đo được này bằng cách sử dụng các bộ quan sát trạng thái.
Phương pháp đặt cực và phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương là không thể áp dụng nếu hệ
thống là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn.
Thiết kế các bộ quan sát (được yêu cầu trong nhiều sơ đồ phản hồi trạng thái) không thể áp dụng
nếu hệ thống không quan sát được.
Do đó, tính điều khiển được và quan sát được đóng một vai trò quan trọng trong thiết kế các hệ
thống điều khiển.
Thiết kế các hệ thống servo.
Chúng ta sẽ nghiên cứu thiết kế các hệ thống servo loại 1 dựa trên phương pháp đặt cực. Chúng
ta sẽ xem xét hai trường hợp: (1) đối tượng có một khâu tích phân; (2) đối tượng không có khâu tích
phân.

2


Các hệ thống điều khiển tối ưu dựa trên các chỉ số thực hiện toàn phương.
Trong nhiều hệ thống điều khiển thực tế, chúng ta mong muốn tối thiểu hóa hàm tín hiệu sai
lệch. Ví dụ, cho hệ thống
x& = Ax + Bu
chúng ta có thể mong muốn tối thiểu hóa hàm sai lệch tổng quát sau
J = ∫ 0T [ξ (t ) − x(t )]∗ Q[ξ (t ) − x(t )] dt

với ξ(t) biểu diễn trạng thái mong muốn, x(t) trạng thái thực tế, vì vậy, ξ (r) - x(r) là vec-tơ sai lệch,
và Q là ma-trận Hermitian hoặc ma-trận đối xứng thực xác đònh dương (hoặc bán xác đònh dương), và
khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T là hữu hạn hoặc vô hạn.
Tuy nhiên ngoài các sai lệch đang xét như là phép đo sự thực hiện của hệ thống, chúng ta

thường phải chú ý đến năng lượng yêu cầu cho tác động điều khiển. Vì tín hiệu điều khiển có thể có
thứ nguyên của lực hoặc mô-men, cho nên năng lượng điều khiển tỷ lệ với tích phân của bình phương
tín hiệu điều khiển. Nếu hàm sai lệch được tối thiểu hóa mà không chú ý đến năng lượng yêu cầu, thì
kết quả thiết kế có thể là quá lớn không phù hợp. Tín hiệu điều khiển biên độ lớn ở bên ngoài dải
hoạt động . Vì vậy, việc xem xét thực tế đặt một giới hạn lên vec-tơ điều khiển, chẳng hạn,
T ∗
∫ 0 u (t ) R u (t ) dt = K

với R là ma-trận Hermitian hoặc ma-trận đối xứng thực xác đònh dương và K là một hằng số dương.
Chỉ số thực hiện của một hệ thống điều khiển trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T khi đó có thể được
viết, sử dụng hệ số nhân Lagrange λ, là
J = ∫ 0T [ξ (t ) − x(t )]∗ Q[ξ (t ) − x(t )] dt + λ ∫ 0T u ∗ (t ) R u (t )dt

(0 ≤ t ≤ T )
3


Hệ số nhân Lagrange λ là một hằng số dương biểu thò trọng số giá trò điều khiển (weight of control
cost) để tối thiểu hóa hàm sai lệch. Chú ý rằng trong công thức này u(t) là không bò giới hạn. Thiết
kế dựa trên chỉ số thực hiện này có ý nghóa thực tế là HT được thiết kế thỏa hiệp được giữa tối thiểu
hóa tích phân tín hiệu sai lệch và tối thiểu hóa năng lượng điều khiển.
Nếu T = ∞ và ξ ở gốc tọa độ (ξ = 0), thì chỉ số thực hiện ở trên có thể được biểu diễn
J = ∫ 0∞ [ x ∗ (t )Q x(t ) + u ∗ (t ) R u (t )] dt

Hệ thống điều khiển mô hình tham khảo và hệ thống điều khiển thích nghi
Một phương pháp hưu ích để xác đònh sự thực hiện của hệ thống là sử dụng một mô hình để tạo tín
hiệu ra mong muốn với một tín hiệu vào cho trước. Mô hình này chỉ là một mô hình toán học được
mô phỏng trên máy tính. Trong một hệ thống điều khiển tham khảo mô hình, tín hiệu ra của mô hình
là tín hiệu ra của đối tượng được so sánh và sai lệch được sử dụng để tạo ra tín hiệu điều khiển.
Thông qua các ví dụ, chúng ta sẽ nghiên cứu việc thiết kế hệ thống điều khiển mô hình tham khảo sử

dụng phương pháp Liapunov. Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu tổng quan về các hệ thống điều khiển
thích nghi.

4


10-2 THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT CỰC
Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra phương pháp thiết kế được gọi là kỹ thuật đặt cực hay kỹ
thuật gán cực (pole placement or pole assignment technique). Chúng ta giả sử rằng tất cả các biến
trạng thái là đo được và có thể lấy tín hiệu phản hồi. Có thể chứng minh được rằng nếu hệ thống
được xét là điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì các cực của hệ thống vòng kín có thể được đặt ở
các vò trí mong muốn nhờ phản hồi trạng thái thông qua ma-trận hệ số phản hồi trạng thái phù hợp.
Kỹ thuật thiết kế này bắt đầu với việc xác đònh các cực vòng kín mong muốn dựa trên đáp ứng
quá độ và / hoặc các yêu cầu đáp ứng tần số, như tốc độ, hệ số tắt dần (damping ratio), hoặc dải tần,
cũng như các yêu cầu trạng thái ổn đònh.
Giả sử rằng chúng ta quyết đònh các cực vòng kín mong muốn đặt tại s = µ1, s = µ2, . . ., s = µn,
Bằng cách chọn ma-trận hệ số phù hợp cho phản hồi trạng thái, thì có thể ép hệ thống có các cực
vòng kín tại các vò trí mong muốn, miễn là hệ thống ban đầu là điều khiển được trạng thái hoàn toàn.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tín hiệu điều khiển là vô hướng và chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để các cực vòng kín có thể được đặt ở các vò trí tùy ý trong mặt phẳng s là hệ
thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu 3 phương pháp xác
đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu.
Chú ý rằng khi tín hiệu điều khiển là một thông số vec-tơ, thì các khía cạnh toán học của sơ đồ
đặt cực sẽ trở nên phức tạp. Do đó, chúng ta sẽ không nghiên cứu trường hợp này. Cũng cần chú ý
rằng khi tín hiệu điều khiển là một thông số vec-tơ, thì ma-trận hệ số phản hồi trạng thái không phải
là duy nhất. Có thể chọn một cách tự do nhiều hơn n thông số; tức là, ngoài việc có thể đặt n cực
vòng kín phù hợp, chúng ta có quyền thỏa mãn một vài hoặc tất cả các yêu cầu khác, nếu có của hệ
thống vòng kín.
5

Thiết kế bằng phương pháp đặt cực (Design via pole placement).
Khác với việc chỉ xác đònh các cực vòng kín trội (p/p thiết kế thông thường), p/p đặt cực ở đây
xác đònh tất cả các cực vòng kín. Yêu cầu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Xét HT
x& = Ax + Bu .
(10-1)
với x = vec-tơ trạng thái (n-vector)
u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)
A = ma-trận hằng n x n
B = ma-trận hằng n x 1
Chúng ta sẽ chọn tín hiệu điều khiển là
u = − Kx .
(10-2)
Có nghóa là t/h điều khiển được xác đònh ở trạng thái tức thời. Sơ đồ này được gọi là phản hồi trạng
thái. Ma-trận K (1 x n) được gọi là ma-trận hệ số phản hồi trạng thái. Giả sử u là không bò giới hạn.
Thay phương trình (10-2) vào phương trình (10-1) ta có
x& (t ) = ( A − BK ) x(t )

Nghiệm của phương trình này là

x(t ) = e( A− BK ) t x(0)

(10-3)

với x(0) là trạng thái ban đầu tạo ra bởi nhiễu ngoại. Tính ổn đònh và các đặc tính đáp ứng quá độ
được xác đònh bởi các giá trò riêng của ma-trận A - BK. Nếu ma-trận K được chọn phù hợp, thì matrận A - BK có thể là ma-trận ổn đònh tiệm cận, và với tất cả x(0) ≠ 0 có thể làm cho x(t) tiến đến 0
khi t tiến đến vô cùng. Các giá trò riêng của ma-trận A - BK được gọi là các cực của bộ điều chỉnh.
Nếu các cực bộ điều chỉnh được đặt bên trái mặt phẳng s, thì x(t) tiến đến 0 khi t tiến đến vô cùng.
6

Hình 10-1(a) vẽ hệ thống ở phương trình (10-1). Đây là một hệ thống điều khiển vòng hở; vì x
không được cấp đến tín hiệu điều khiển u. Hình 10-1(b) vẽ hệ thống có phản hồi trạng thái. Đây được
gọi là hệ thống điều khiển vòng kín, vì trạng thái x được cấp đến tín hiệu điều khiển u.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng việc đặt tùy ý các cực với một hệ thống cho trước là có thể
được nếu và chỉ nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn.

Hình 10-1 (a) Hệ thống điều khiển vòng hở; (b) Hệ thống điều khiển vòng kín với u = -Kx

Điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý
Xét hệ thống điều khiển được xác đònh bởi phương trình (10-1). Chúng ta giả sử rằng biên độ
của tín hiệu điều khiển u là không bò giới hạn. Nếu tín hiệu điều khiển u được chọn
u = − Kx
với K là ma-trận hệ số phản hồi trạng thái (1 x n matrix), thì hệ thống sẽ trở thành hệ thống điều
khiển vòng kín như được vẽ trên hình 10-1(b) và nghiệm của phương trình (10-1) sẽ như phương trình
(10-3), hay
x(t ) = e ( A− BK ) t x(0)

Các giá trò riêng của ma-trận A - BK (µ1, µ2, . . ., µn) là các cực vòng kín mong muốn.

7


Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý là hệ thống điều
khiển được trạng thái hoàn toàn.
Điều kiện cần. Chúng ta bắt đầu bằng việc c/m rằng nếu hệ thống không điều khiển được trạng
thái hoàn toàn, thì tồn tại giá trò riêng của ma-trận A - BK không thể điều khiển được bằng phản hồi
trạng thái.
Giả sử hệ phương trình (10-1) là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Khi đó hạng của
ma-trận điều khiển (controllability matrix) nhỏ hơn n, hay

rank  B M AB M . . . M An −1 B  = q < n

(10-143)

Có nghóa rằng tồn tại vec-tơ cột độc lập tuyến tính q trong ma-trận điều khiển. Gọi vec-tơ cột độc lập
tuyến tính q = [f1, f2, . . , fn]. Chọn thêm vec-tơ (n-q) vq + 1, vq + 2, . . ., vq + n sao cho
P = f1 M f 2 M . . . M f q M vq +1 M vq + 2 M . . . M vn

[

]

có hạng n. Khi đó có thể chứng minh được rằng
 A11 A12 
−1
ˆ
A = P AP = 
,
0
A
22 


 B11 
−1
ˆ
B=P B= 
0

AP = PAˆ
hay
[ Af1 Af 2 ... Af q Avq +1 ... Avn ] = [ Af1 f 2 ...
B = PBˆ

f q vq +1 ... vn ] Aˆ (10 − 144)
(10 − 145)

Vì cta có q vec-tơ cột độc lập tuyến tính f1, f2, …, fq, cta có thể sử dụng đònh lý Caley-Hamilton để
8


biểu diễn vec-tơ Af1, Af2, …, Afq dưới dạng q vec-tơ sau:

Af1 = a11 f1 + a21 f 2 + ... + aq1 f q
Af 2 = a12 f1 + a22 f 2 + ... + aq 2 f q
...
Af q = a1q f1 + a2 q f 2 + ... + aqq f q
Từ đó, ptr (10-144) có thể viết dưới dạng:

[ Af1 Af 2 ... Af q Avq +1 ... Avn ]
 a11
a
 21
 ...

= [ f1 f 2 ... f q vq +1 ... vn ]  aq1
0

 ...

0

Từ (10-145), ta có:

B =  f1

... a1q

a1q +1

...

... a2 q

a2 q +1

...

...

...

aqq +1

...

...

...

... aqq
...

0

...
...

...
0

f 2 ...

fq

aq +1q +1 ...
...
anq +1

...
...

a1n 
a2 n 
... 
 A11

aqn  = P 
0



aq +1n

... 
ann 

vq +1 ... vn  Bˆ

A12 
A22 

(10 − 146)

Từ ptr (10-143), q có thể được viết dưới dạng q vec-tơ cột độc lập tuyến tính f1, f2, …, fq:

B = b11 f1 + b21 f 2 + ... + bq1 f q
9


Do đó, (10-146) có thể được viết:

b11 f1 + b21 f 2 + ... + bq1 f q =  f1

Gọi

f 2 ...

fq

vq +1

)
K = KP = [k1 M k 2 ]

 b11 
b 
 21 
 ... 
 B11 
 
... vn  bq1  = P  
0
0
 
 ... 
0 
 

Khi đó chúng ta có

sI − A + BK = P −1 ( sI − A + BK ) P
= sI − P −1 AP + P −1 BKP
ˆˆ
= sI − Aˆ + BK
 A11
= sI − 
0
=

A12   B11 

+
[k k ]
A22   0  1 2

sI q − A11 + B11k1

− A12 + B11k2

0

sI n − q − A22

= sI q − A11 + B11k1 . sI n − q − A22 = 0
10


với Iq là ma-trận đồng nhất (q) và In-q là ma-trận đồng nhất (n -q).
Chú ý rằng các giá trò riêng của A22 không phụ thuộc vào K. Vì vậy, nếu hệ thống là không điều
khiển được trạng thái hoàn toàn, thì tồn tại giá trò riêng của ma-trận A không thể đặt một cách tùy ý.
Do đó, để đặt các giá trò riêng của ma-trận A - BK một cách tùy ý, thì hệ thống phải điều khiển được
hoàn toàn trạng thái(điều kiện cần).
Điều kiện đủ:
Nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái [có nghóa là ma-trận M ở phương trình
(10-5) có nghòch đảo], thì khi đó tất cả các giá trò riêng của ma-trận A có thể đặt tùy ý.
Để thuận lợi cho việc chứng minh điều kiện đủ, chúng ta chuyển phương trình trạng thái (10-1)
sang dạng chuẩn tắc điều khiển được.
Gọi ma-trận chuyển T là

(10-4)

T = MW

với M là ma-trận điều khiển được

[

M = B M AB M . . . M A n −1 B

]

(10-5)

và
 a n −1
a
 n −2
 .

W = .
 .

 a1
 1

a n −2
a n −3
.
.
.
1

0

. . . a1 1
...
0

.

.
.

. . . 0 0
. . . 0 0

(10-6)

11


với các ai là các hệ số của đa thức đặc tính
sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n

Đặt vec-tơ trạng thái mới x bằng

x = T xˆ
Nếu hạng của ma-trận điều khiển M là n (có nghóa là hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn
toàn), khi đó nghòch đảo của ma-trận T tồn tại và phương trình (10-1) có thể được viết

x& = T −1 AT xˆ + T −1 Bu

(10-7)

với

 0
 0

 .

T −1 AT =  .
 .

 0
− a n


1
0
.
.
.
0
−a n −1

0
1
.
.
.
0

−a n −2

0 
0 

. 

. .
. 

... 1 
. . . −a1 

...
...

(10-8)

12


0 
0 
 
.
 
(10-9)
T −1 B =  .  .
.
 

0 
1
Phương trình (10-7) là dạng chuẩn tắc điều khiển được. Vì vậy, cho trước một phương trình trạng
thái (10-1), nó có thể được chuyển thành dạng chuẩn tắc điều khiển được nếu hệ thống là điều khiển
được hoàn toàn trạng thái và nếu chúng ta chuyển vec-tơ trạng thái x bằng cách sử dụng ma-trận
chuyển T cho bởi phương trình (10-4).
Chúng ta chọn một tập hợp các giá trò riêng mong muốn là µ1, µ2, . . . , µn. Khi đó phương trình
đặc tính mong muốn sẽ là

(10-10)

( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n

Chúng ta viết

[

Kˆ = KT = δ n

δ n −1 . . . δ 1 ]

(10-11)

ˆ ˆ = − KTxˆ
u = − Kx
Với
được sử dụng để điều khiển hệ thống cho bởi phương trình (10-7), phương trình hệ thống trở thành
x&ˆ = T −1 AT xˆ − T −1 BKT xˆ
Phương trình đặc tính là

sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0
13


Phương trình này là phương trình đặc tính với hệ thống xác đònh bởi phương trình (10-1), với u = -Kx
được sử dụng như là tín hiệu điều khiển. Điều này có thể được chứng minh như sau: Vì
x& = Ax + Bu = ( A − BK ) x
cho nên phương trình đặc tính với hệ thống này là
sI − A + BK = T −1 ( sI − A + BK )T = sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0

Bây giờ chúng ta đơn giản hóa phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng chuẩn tắc điều khiển được.
Từ các phương trình (10-8), (10-9), và (10-11), chúng ta có:
sI − T −1 AT + T −1 BKT
1
. . . 0  0 
 0
 .
.
.  .

  
.
.  .
 .
= sI − 
 +   δn
.
.
.


 .
 0
0
. . . 1  0 

  
− a n − a n −1 . . . − a1  1
...
0
−1
 s

 0

s
...
0


.
.
 .

=

.
.
.



 .

.
.


a n + δ n a n −1 + δ n −1 . . . s + a1 + δ 1 

[

δ n −1 . . . δ 1 ]

(10-12)

= s n + (a1 + δ 1 ) s n −1 + . . . + (a n −1 + δ n −1 ) s + (a n + δ n ) = 0
14


Đây là phương trình đặc tính với hệ thống có phản hồi. Vì vậy, nó phải bằng phương trình đặc tính
mong muốn (10-10).
( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n

(10-10)

Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s, ta có
a1 + δ 1 = α1
a2 + δ 2 = α 2
.
.
.

an + δ n = α n

Giải phương trình trên với các δi và thay chúng vào phương trình (10-11), ta có
K = Kˆ T −1 = δ n δ n −1 . . . δ 1 T −1

[

[

]

]

= α n − a n M α n −1 − a n −1 M . . . M α 2 − a 2 M α1 − a1 T −1 .

(10-13)

Do đó, nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái, thì tất cả các giá trò riêng có thể được
đặt tùy ý bằng cách chọn ma-trận K theo phương trình (10-13) (điều kiện đủ).
Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để đặt được tùy ý các cực là hệ thống
điều khiển được hoàn toàn trạng thái.

15


Các bước thiết kế để đặt cực.
Giả sử hệ thống được xác đònh bởi
và tín hiệu điều khiển được cho

x& = Ax + Bu

u = − Kx

Ma-trận hệ số phản hồi K đưa các giá trò riêng của A - BK là µ1, µ2, . . ., µn (các giá trò mong muốn)
có thể được xác đònh bởi các bước sau. (nếu µi là một giá trò riêng phức, thì liên hợp của nó cũng phải
là một giá trò riêng của A - BK.)
Bước 1: Kiểm tra điều kiện điều khiển được cho hệ thống. Nếu hệ thống là điều khiển được hoàn
toàn trạng thái, thì sử dụng các bước sau.
Bước 2: Từ đa thức đặc tính với ma-trận A:
sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n

xác đònh các giá trò a1, a2,. . . , an.
Bước 3: Xác đònh ma-trận chuyển T chuyển phương trình trạng thái hệ thống thành dạng chuẩn tắc
điều khiển được. (Nếu hệ thống cho trước đã là dạng chuẩn tắc điều khiển được, thì T = I.) Không
cần phải viết phương trình trạng thái ở dạng chuẩn tắc điều khiển được. Tất cả chúng ta cần ở đây là
tìm ma-trận T. Ma-trận chuyển T được cho bởi phương trình (10-4), hay
T = MW
với M được cho bởi phương trình (10-5) và W được cho bởi phương trình (10-6).
Bước 4: Sử dụng các giá trò riêng mong muốn (các cực vòng kín mong muốn), viết đa thức đặc tính
mong muốn:
( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n

và xác đònh các giá trò α1, α2, . . . , αn.
16


Bước 5: Ma-trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu K có thể được xác đònh từ phương trình (10-13):

[

]

K = α n − a n M α n −1 − a n −1 M . . . M α 2 − a 2 M α1 − a1 T −1

Nhận xét.

Chú ý rằng nếu hệ thống có bậc thấp (n •≤ 3), thì việc thay thế trực tiếp ma-trận K vào đa thức
đặc tính mong muốn có thể đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu n = 3, thì viết ma-trận hệ số phản hồi trạng
thái K là
K = [k1 k 2 k 3 ]
Thay ma-trận K này vào đa thức đặc tính mong muốn sI - A + BK và cân bằng nó với (s µ1)(s - µ2)(s - µ3), hay
sI − A + BK = ( s − µ1 )( s − µ 2 )( s − µ 3 )
Vì cả hai vế của phương trình đặc tính này là các đa thức biến s, cân bằng các hệ số cùng số mũ
của s ở hai vế, có thể xác đònh các giá trò k1, k2, và k3. Phương pháp này thuận lợi nếu n = 2 hoặc 3.
(với n = 4, 5, 6, . . ., phương pháp này có thể rất khó thực hiện.)
Có các phương pháp khác để xác đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K. Sau đây, chúng ta sẽ
đưa ra một công thức nổi tiếng, được gọi là công thức Ackermann, để xác đònh ma-trận hệ số phản
hồi trạng thái K.

17


Công thức Ackermann.
Xét hệ thống được cho bởi phương trình (10-1):
x& = Ax + Bu
Chúng ta giả sử rằng hệ thống này là điều khiển được hoàn toàn trạng thái. Chúng ta cũng giả
sử rằng các cực vòng kín mong muốn là s = µ1, s = µ2, . . . , s = µn.
Sử dụng điều khiển phản hồi trạng thái
u = − Kx
phương trình hệ thống này trở thành
x& = ( A − BK ) x

(10-14)
~
Đặt
A = A − BK
Phương trình đặc tính mong muốn là
sI − A + BK = ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = 0

= s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n = 0
Vì đònh lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng A thỏa mãn phương trình đặc tính của nó, ta có
~
~
~
~
φ ( A) = A n + α 1 A n −1 + . . . + α n −1 A + α n I = 0
(10-15)
Ta sẽ sử dụng phương trình (10-15) để rút ra công thức Ackermann. Xét trường hợp n = 3.
Xét các đồng nhất thức sau:
I=I
~
A = A − BK
~
~
A 2 = ( A − BK ) 2 = A 2 − ABK − BKA
~
~
~
A 3 = ( A − BK ) 3 = A3 − A 2 BK − ABKA − BKA 2
18

Nhân các phương trình trên theo thứ tự với α1, α2, α3, α0 (với α0 = 1), và cọng kết quả lại,
~
~
~
α 3 I + α 2 A + α1 A 2 + A 3
~
= α 3 I + α 2 ( A − BK ) + α1 ( A2 − ABK − BKA) + A3 − A2 BK
~
~
− ABKA − BKA 2
~
= α 3 I + α 2 A + α1 A2 + A3 − α 2 BK − α1 ABK − α1BKA − A2 BK
~
~
− ABKA − BKA 2
(10-16)
Từ phương trình (10-15), chúng ta có
~

~

~

~

α 3 I + α 2 A + α 1 A 2 + A 3 = φ ( A) = 0
Chúng ta cũng có

α 3 I + α 2 A + α1 A 2 + A3 = φ ( A) ≠ 0
Thay hai phương trình cuối cùng vào phương trình (10-16), chúng ta có

~
~
~
~
φ ( A) = φ ( A) − α 2 BK − α 1 BKA − BKA 2 − ABKA − A 2 BK
Vì φ ( A% ) = 0 , chúng ta đạt được
~

~

~

φ ( A) = B(α 2 K + α 1 KA + KA 2 ) + AB(α1 K + KA) + A 2 BK
~
~
α 2 K + α 1 KA
+ KA 2 


~
= B M AB M A 2 B 
α 1 K + KA
 (10-17)


K



[

]

Vì HT là điều khiển được hoàn toàn trạng thái, nghòch đảo của ma-trận điều khiển được

[ B M AB M A B]
2

19


tồn tại. Nhân nghòch đảo của ma-trận điều khiển được với hai vế của phương trình (10-17), ta có
α 2 K + α1 KA% + KA% 2 
−1


 B M AB M A2 B  φ ( A) = 
α1 K + KA%




K




Nhân cả hai vế của phương trình cuối với [0 0 1], chúng ta có
~
~

α 2 K + α 1 KA
+ KA 2 
−1

[0 0 1] B M AB M A 2 B φ ( A) = [0 0 1]  α1 K + KA~
=K


K



[

]

Phương trình này có thể được viết

[

]

−1

K = [0 0 1] B M AB M A 2 B φ ( A)

Phương trình cuối cùng này đưa ra ma-trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu K. Với một số nguyên
dương n tùy ý, chúng ta có

[

]

−1

K = [0 0 . . . 0 1] B M AB M . . . M A n −1 B φ ( A)

(10-18)

P/trình (10-18) được gọi là công thức Ackermann để xác đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K.
VÍ DỤ 10-1
Xét hệ thống

với

x& = Ax + Bu
1
 0
A=
,
20
.
6
0



0 
B= 
1

20


Phương trình đặc tính của hệ thống là
sI − A =

s

−1

− 20.6

s

= s 2 − 20.6 = 0

Vì các nghiệm đặc tính là i = ±4.539, hệ thống không ổn đònh. Sử dụng điều khiển phản hồi trạng
thái u = -Kx, chúng ta muốn có các cực vòng kín tại s = - 1.8 ± j2.4 (các giá trò riêng của A - BK là µ1
= - 1.8 + j2.4 và s = - 1.8 - j2.4). X/đ ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K.
Trước hết chúng ta phải kiểm tra hạng của ma-trận khả năng điều khiển:
0 1 
M = [B M AB ] = 

1 0 
Vì hạng của ma-trận M là 2, cho nên việc đặt cực tùy ý là khả thi.
Bây giờ chúng ta giải bài tập này bằng 3 phương pháp.
Phương pháp 1: Phương pháp thứ nhất là sử dụng phương trình (10-13). Chú ý rằng phương trình
trạng thái đã cho ở dạng chuẩn tắc điều khiển được, ma-trận chuyển T là ma-trận đơn vò, hay T = I.
Từ phương trình đặc tính của hệ thống ban đầu, chúng ta có

a1 = 0,

a2 = −20.6

Đa thức đặc tính mong muốn là
( s − µ1 )( s − µ 2 ) = ( s + 1.8 − j 2.4)( s + 1.8 + j 2.4)
= s 2 + 3.6 s + 9 = s 2 + α1s + α 2

Vì vậy

α 1 = 3.6,

α2 = 9

Xét phương trình (10-13) và chú ý rằng T = I, chúng ta có

21


K = [α 2 − a 2 M α 1 − a1 ]T −1
= [9 + 20.6 M 3.6 − 0]I −1
= [29.6 3.6]

Phương pháp 2: Phương pháp thứ hai là sử dụng việc thay thế trực tiếp ma-trận K = [k1 k2] vào đa
thức đặc tính mong muốn. Đa thức đặc tính với hệ thống mong muốn là
1  0 
 s 0  0
sI − A + BK = 
 − 20.6 0 + 1 [k1 k 2 ]
0

s

 
  
=

s

−1

− 20.6 + k1

s + k2

= s 2 + k 2 s − 20.6 + k1

Đa thức đặc tính này phải bằng
( s + µ1 )( s + µ 2 ) = ( s + 1.8 − j 2.4)( s + 1.8 + j 2.4)

= s 2 + 3.6 s + 9
Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s, chúng ta có
k1 = 29.6,
Hay

K = [k1

k 2 = 3.6

k 2 ] = [29.6 3.6]

Phương pháp 3: Phương pháp thứ 3 là sử dụng công thức Ackermann cho bởi phương trình (10-18). Vì
đa thức đặc tính mong muốn là
~
sI − ( A − BK ) = sI − A = s 2 + 3.6 s + 9 = φ ( s )
chúng ta có
22


φ ( A) = A 2 + 3.6 A + 9 I
1  0
1
1
 0
 0
1 0
=
+
3
.
6
+
9


20.6 0
0 1 
20.6 0 20.6 0





 29.6 3.6 
=

74.16 29.6

Vì vậy
−1

K = [0 1][ B M AB ] φ ( A)
−1

0 1  29.6 3.6 
= [0 1] 
= [29.6 3.6]



1 0 74.16 29.6
Ma-trận hệ số phản hồi K tìm được bằng 3 phương pháp này là như nhau. Với phản hồi trạng thái
này, các cực vòng kín được đặt tại s = - 1.8 ± j2.4, như mong muốn. ζ = 0.6, ωn = 3 rad/sec. (Hệ thống
không ổn đònh ban đầu trở nên ổn đònh.) Hình 10-2 vẽ sơ đồ khối của hệ thống này có phản hồi trạng
thái.
Chú ý rằng nếu bậc n của hệ thống là 4 hoặc cao hơn, các phương pháp 1 và 3 được sử dụng, vì tất cả
việc tính toán ma-trận có thể được thực hiện bằng máy tính. Nếu sử dụng phương pháp 2, việc tính
toán bằng tay trở nên cần thiết vì máy tính không thể điều khiển phương trình đặc tính có các thông
số chưa biết k1, k2, . . ., kn.

23

Nhận xét.

Chú ý ma-trận K không phải là duy
nhất với một hệ thống cho trước, mà còn
phụ thuộc vào vò trí các cực vòng kín
mong muốn được chọn (xác đònh tốc độ
và tính tắt dần của đáp ứng).
Việc chọn các cực vòng kín mong
muốn hoặc phương trình đặc tính mong
muốn là sự thỏa hiệp giữa tốc độ của đáp
ứng của vec-tơ sai lệch và độ nhạy cảm
với nhiễu và nhiễu đo. Tức là, nếu chúng
Hình 10-2 Sơ đồ khối của hệ thống có phản hồi trạng thái
ta tăng tốc độ của đáp ứng sai lệch, thì
tác động ngược lại của nhiễu và nhiễu đo nói chung cũng tăng. Nếu hệ thống là bậc 2, thì đặc tính
động học của hệ thống (các đặc tính đáp ứng) có thể tương quan chính xác với vò trí của các cực vòng
kín mong muốn và các zero của đối tượng. Với các hệ thống bậc cao hơn, thì vò trí của các cực vòng
kín và đặc tính động học hệ thống (các đặc tính đáp ứng) không dễ dàng tương quan.
Do dó, trong việc xác đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K với một hệ thống đã cho, cần
thiết phải kiểm đònh bằng mô phỏng máy tính các đặc tính đáp ứng của hệ thống với một vài ma-trận
K khác nhau (dựa trên vài phương trình đặc tính mong muốn khác nhau) và chọn ma-trận cho đặc tính
tốt nhất.

24


VÍ DỤ 10-2
Xét hệ thống con lắc ngược được vẽ trên hình 10-3, một con lắc ngược được đặt trên một xe chạy
bằng động cơ điện. Ở đây chúng ta chỉ xét bài toán 2 chiều, trong đó con lắc chỉ chuyển động trong

mặt phẳng tờ giấy. Con lắc ngược là không ổn đònh và nó có thể rơi bất cứ lúc nào trừ khi có một lực
điều khiển phù hợp tác động. Giả sử rằng trọng lượng quả lắc tập trung ở cuối cần như được vẽ trong
hình vẽ. (Chúng ta giả sử rằng cần không có trọng lượng) Lực điều khiển u tác động vào xe.
Trong hình vẽ, θ là góc của cần so với phương thẳng đứng. Chúng ta giả sử rằng θ nhỏ sao cho có thể
xấp xỉ sinθ = θ, cosθ = 1, và cũng giả sử rằng θ& nhỏ sao cho θθ& 2 ≅ 0
Điều mong muốn là giữ cho quả lắc thẳng đứng khi có sự hiện diện của nhiễu. Quả lắc có thể được
đưa trở về vò trí thẳng đứng khi có lực điều khiển phù hợp u tác động lên xe. Ở cuối mỗi quá trình
điều khiển, điều mong muốn là đưa xe trở lại vò trí tham khảo x = 0.

Hình 10-3 Con lắc ngược
25