nhiệt động lực học và vật lý thống kê

Mục lục
1.3.2. Bài tập....................................................................................................................29


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Vật lý thống kê là một trong những học phần quan trọng trong phân
ngành vật lý lí thuyết. Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học nghiên
cứu các hệ nhiều hạt, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài
toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do
cao đến mức khơng thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà
phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Hiện nay các phương pháp của vật lý thống kê được áp dụng rộng rãi trong
các lĩnh vực khác nhau của vật lý hiện đại đặc biệt trong vật lý chất rắn, vật lý
hạt cơ bản, quang lượng tử, vật lý học các hạt ngưng tụ vật lý và vật liệu siêu
dẫn, vật liệu bán dẫn. Chỉ có vật lý thống kê là đã cho phép ta đốn nhận được
các thơng số nhiệt động như nhiệt độ, entrơpi, năng lượng tự do...Vì vậy, để
hiểu sâu nắm chắc cơ sở lí thuyết của vật lý thống kê cũng như ý nghĩa của
từng đại lượng vật lý có nhiều phương pháp khác nhau nhưng một trong
những phương pháp chung nhất là từ cơ sở lí thuyết ta vận dụng giải một số
các bài tập. Tuy nhiên, số lượng bài tập của vật lý thống kê là rất nhiều, điều
đó gây khó khăn trong việc giải bài tập. Vì vậy, cần phân loại và sắp xếp bài
tập một cách có hệ thống để tiện cho việc nghiên cứu được chính xác và sâu
sắc hơn.
Tùy thuộc vào loại mơ hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tượng
này hay hiện tượng khác mà người ta thường tách vật lý thống kê làm hai
phần: vật lý thống kê cổ điển và và vật lý thống kê lượng tử.
Xuất phát từ mong muốn tìm hiểu lí thuyết của vật lý thống kê cổ điển
từ đó đưa ra các phương pháp giải và vận dụng để giải một số bài tập liên

quan cũng như gắn lý thuyết với thực hành, nâng cao khả năng giải một số bài
tập trong phần vật lý thống kê cổ điển. Đây chính là lí do em chọn đề tài: “ Hệ
thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển”.
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
2


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Trong quá trình thực hiện đề tài, do kiến thức còn hạn hẹp, cũng như kỹ
năng phân tích chưa cao nên cịn nhiều thiếu sót, kính mong thầy cơ và các
bạn đóng góp thêm ý kiến để đề tài của em thành công hơn. Em xin chân
thành cảm ơn.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu chính của đề tài là tìm hiểu một cách khái quát cơ
sở lí thuyết về vật lý thống kê cổ điển.
Phân loại một số dạng bài tập vật lý thống kê cổ điển và vận dụng để
giải một số bài tập liên quan để có cái nhìn tổng qt về các dạng bài tập phần
vật lý thống kê cổ điển.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu khái quát cơ sở lí thuyết của khơng gian pha, định lí Liouville
và áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực.
Phân loại và đưa ra phương pháp chung để giải một số dạng bài tập vật
lý thống kê cổ điển bao gồm: khơng gian pha – định lí Liouville, áp dụng
phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực.
Vận dụng để giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển có liên quan.
IV. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ thống và phân loại một số dạng
bài tập vật lý thống kê cổ điển và giải các bài tập liên quan.

V. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu những vấn đề cơ bản liên quan đến hệ
thống và phân loại bài tập vật lý thống kê cổ điển từ đó vận dụng để giải một
số bài tập liên quan.
VI. Phương pháp nghiên cứu

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
3


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Đối tượng nghiên cứu của vật lý thống kê là hệ nhiều hạt mà đối với hệ
nhiều hạt sẽ xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê. Do đó,
phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê là phương pháp thống kê dựa
trên lý thuyết xác suất.

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
4


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển

PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lí thuyết
1. Khơng gian pha
1.1. Khơng gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa
vào không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ của
khơng gian đó chính là các thơng số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ
(tức là tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ).
Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt ngun tắc, vì rằng, việc mơ
tả tích chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những
khó khăn rất lớn. Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lý thực, không gian pha
là không gian nhiều chiều. Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử
khí lí tưởng đơn giản nhất là khơng gian sáu chiều.
Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại khơng gian pha, là
khơng gian µ và khơng gian K. Khơng gian µ là khơng gian của một hạt, thí
dụ như một phân tử khí chẳng hạn. Do đó để khảo sát hành vi của một phân tử
khí lý tưởng có ba bậc tự do chúng ta đưa vào khơng gian µ 6 chiều có sáu
tọa độ, và, khi đó, trạng thái vi mơ của hệ đó được xác định bằng một điểm
trong khơng gian µ đó. Không gian K được đưa vào để khảo sát hệ nhiều hạt,
thí dụ như, một khối khí xét tồn bộ, và khơng gian đó có 2fN chiều. Trạng
thái vi mơ của một hệ phức tạp được xác định, như ta đã biết, bởi 2fN thông
số qk và pk và do đó “được biểu diễn” bằng một điểm trong khơng gian K. Đối
với các hệ vĩ mơ thì N rất lớn và do đó khơng gian là một khơng gian rất
nhiều chiều.
1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha
Điểm pha (điểm trong không gian pha): trạng thái của hệ được xác định
bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu
thành hệ và được biểu điễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm
pha.
Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ
“chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My

5


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định
nào đó của hệ. Dựa vào quỹ đạo pha, ta biết được sự biến đổi trạng thái vi mô
của hệ. Quỹ đạo của hệ không cắt nhau trong không gian pha.
Mặt năng lượng (siêu diện năng lượng): đối với một hệ cơ lập, năng
lượng tồn phần là khơng đổi, nghĩa là: E = E (q k , pk ) = const . Điều kiện đó có
thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thơng số vi mơ của trạng thái,
và trong khơng gian pha nó là phương trình của một mặt được gọi là siêu diện
năng lượng, hay là mặt năng lượng trong không gian pha, có 2 fN − 1 chiều.
Thể tích pha: tích của các vi phân tọa độ pha
d Γ = d q1 d q2 ...d q fN d p1 d p2 ...d p fN
⇔ d Γ = d Γq d Γ p

⇒ Γ = ∫ d Γ = ∫ d Γq ∫ d Γ p

2. Định lí Liouville
Trong khơng gian pha, theo thời gian tập hợp các điểm biểu diễn pha
dịch chuyển từ một thể tích này sang một thể tích khác. Giả sử ở một thời
điểm nào đó ta tách một thể tích dX1 trong đó chứa dn = ρ1dX1 điểm pha của
các hệ trong tập thống kê. Sau một thời gian số điểm pha đó sẽ dịch chuyển
sang thể tích dX 2 ở đó có mật độ phân bố ρ2 . Ta có:

dn = ρ1dX 1 = ρ 2 dX 2
Sự chuyển động của các điểm biểu diễn pha của các hệ trong khơng
gian pha cũng có thể được coi tương tự như chuyển động của chất lỏng.
Xét phương trình liên tục của chất lỏng thông thường:
r

∂ρ
+ divj = 0
∂t

ρ là mật độ chất lỏng ρ = ρ ( x, t )
r
r
j = ρ v vectơ mật độ dòng
v : vận tốc chuyển động của chất lỏng
Tương tự
Vận tốc pha là vận tốc các điểm biểu diễn pha
Các thành phần của vận tốc pha là:
q&1, q& 2 ,..., q&1N , p& 1, p& 2 ,..., p& 1N
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
6


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ (qk , pk , t )
Đối với vận tốc pha ta có:
 ∂ ( ρ q& k ) ∂ ( ρ p& k ) 
∂q
+ ∑ 
+
=0
∂t k  ∂ρ qk ) ∂ρ pk ) 

⇔


∂q&
∂p& 
∂ρ
∂ρ
∂ρ
+ ∑  q& k
+ ρ k + p& k
+ ρ k ÷= 0
∂t k  ∂qk
∂qk
∂pk
∂pk ÷

⇔

 ∂q&
∂p&
∂ρ
+∑ρ k + k
∂t k  ∂qk ∂pk


÷+
÷




∂ρ



k

∑k  q& k ∂q

+ p& k

∂ρ
∂pk


÷= 0
÷


Từ ρ = ρ (qk , pk , t )

⇒


dρ
∂ρ
∂ρ  ∂ρ
= ∑  q& k
+ p& k
÷+
 ∂q

dt
∂pk ÷ ∂t
k 
k

Từ (0.3) và (0.4):
 ∂q&
∂p& 
dρ
+ ρ ∑  k + k ÷÷ = 0
dt
∂pk 
k  ∂qk

Mặt khác
 ∂p& k

∂H
∂2 H
&
p
=
−
=
−

 k
∂qk
∂qk ∂pk


 ∂pk
⇒

2
q& = ∂H
 ∂q& k = ∂ H
 k ∂pk
 ∂q

 k ∂pk ∂qk

∑k
Từ (1.5) và (1.6), suy ra:

 ∂q& k ∂p& k
+

 ∂q
∂pk
k



÷= 0
÷


dρ
=0
dt

Từ các tính tốn trên ta rút ra được hai kết quả căn bản quan trọng sau
đây:
1. Phương trình (0.6) hồn tồn tương tự với điều kiện khơng nén
được của chất lỏng trong thủy động lực học
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
7


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển

∂vx ∂v y ∂vz
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
Ta có thể nói rằng: tập hợp các điểm biểu diễn pha, hay tập hợp các
hệ trong trong tập hợp thống kê, thỏa mãn các phương trình Hamilton, xử sự
trong không gian pha như một chất lỏng không nén được
2.

dρ
= 0 suy ra ρ = const ⇔ ρ1 = ρ 2
dt

Thay vào (0.1) ta được: dX1 = dX 2
Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lí về sự bảo
tồn thể tích ngun tố pha, cụ thể là: Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn

pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích ngun tố giữ
ngun khơng đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đây chính là định
lí Liouville.
Phương trình Liouville
Ta có: ω =

ρ
⇒ ρ = ωn
n

Mà ω = ω (qk , pk , t )
Thay vào (0.4) ta có
 ∂ω
dω ∂ω
∂ω
=
+ ∑  q& k
+ p& k
dt
∂t k  ∂qk
∂pk

=
=
Mà


÷
÷


 ∂H ∂ω ∂H ∂ω 
∂ω
+ ∑
−
÷

∂t
∂
p
∂
q
∂qk ∂pk ÷
k 
k
k

∂ω
+  H , ω 
∂t 

dω
= 0 suy ra:
dt
∂ω
= −  H , ω 
∂t

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
8


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Phương trình (0.7) thường được gọi là phương trình chuyển động của
tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trị chủ chốt trong việc giải quyết các vấn
đề của lý thuyết thống kê về các q trình khơng cân bằng (hay vật lý thống
kê khơng cân bằng). Người ta cịn gọi phương trình đó là phương trình
Louville.
Điều kiện cân bằng thống kê:
Phương trình Liouville mơ tả xác suất trạng thái vi mô theo thời gian
Ở trạng thái cân bằng F là một đại lượng không phụ thuộc vào t
F = ∫ F ω ( X , t )dX = const

Để F không phụ thuộc tường minh vào thời gian t thì
∂ω ( X , t )
=0
∂t

Hay ω (X, t) = ω (X) không phụ thuộc tường minh vào thời gian, từ
phương trình (1.7) ta có  H , ω  = 0 . Theo lí thuyết lượng tử thì hàm phân bố
thống kê là tích phân chuyển động.

ω = ω( X ) = f { H ( X , a) }
3. Áp dụng phân bố Gipxơ cho các hệ khí thực
3.1. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng
3.1.1. Tích phân trạng thái của khí lí tưởng
Xét hệ khí lí tưởng có N hạt đơn ngun tử đựng trong bình kín
N

Ei
∑
i=1

H
1 − kT
1 − kT
z=
e dX =
e
dX
∫
N!
N !∫
E
E
E
− 2
− N
1 − kT1
kT
=
e dX 1 ∫ e dX 2 ...∫ e kT dX N
N !∫
N
z1z2 ...zN ( zi )
=
=
N!

N!
vì các hạt là đồng nhất nên tích phân trạng thái của mỗi hạt là như nhau

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
9


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Ở đây zi là tích phân trạng thái đối với mỗi hạt. Ta xét biểu thức của
zi một cách cho tiết hơn.
zi = ∫ e

−

Ei
kT dX

i = ∫e

−

Ed
kT dX

pi ∫ e

−U
kT dX

qi

Đối với z pi thơng thường ta có thể chuyển sang hệ tọa độ cầu trong
không gian xung lượng
∞

z pi = ∫ e

−

p2
2 mkT

4π p 2 dp

0

Áp dụng tích phân Possion
∞

( 2n −1) !!

I 2n = ∫ x 2ne− ax dx =
2

2

0

n +1

π

a

2 n +1

Ta có:
z pi = ( 2π mkT )

3
2

Giả sử khơng có bất kì một trường lực nào tác dụng lên các hạt
zqi = ∫ e0dxdydz = ∫ dV = V

với V là thể tích bình chứa trong đó các hạt chuyển động
z=

( 2π mkT )
N!

3
2

VN

3.1.2. Hàm nhiệt động
- Năng lượng tự do

 3N

ψ = −kT ln z = −kT 

 2



ln ( 2π mkT ) + N ln V − ln N !


Lưu ý: ln N ! = N ln N
3

ψ = −kNT  ln ( 2π mkT ) + ln V − ln N 
2

- Áp suất
 ∂ψ 
∂
÷ =
 ∂V T ∂V

p = −

- Nội năng


3
  kNT

kNT  ln 2π mkT + ln V − ln N   =
V
2
 


(

)

 ∂ψ 
U =ψ − T 
÷
 ∂T 

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
10


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
3

U = −kNT  ln ( 2π mkT ) + ln V − ln N 
2


−T

∂
∂T


3
 3
 kNT  ln 2π mkT + ln V − ln N  = kNT
2
 2


(

)

- Nhiệt dung
 ∂U 
CV = 
÷ = 3kN = 3R
 ∂T V

- Entropi

 ∂ψ 
÷
 ∂T V

S = −
=

3

∂ 
 kNT  ln ( 2π mkT ) + ln V − ln N  ÷
∂T 
2
÷


3
= kN ln V + kNT ln T + S0
2
3.2. Định lí trung bình động năng và định lý Vrian
3.2.1. Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do
Hàm Hamilton của bất kì một hệ nào đó có f bậc tự do có thể biểu thị
qua hàm Lagrăngiơ dưới dạng sau đây
f

f

H = Ed + U = ∑ pi qi − L = ∑ pi qi − ( Ed − U )
i =1

i =1

f

Từ đó ta rút ra được 2 Ed = ∑ qi pi và bằng cách thay qi bằng biểu thức
i =1

qi =

∂H
∂pi
1 f
∂H
pi
∑
2 i =1 ∂pi
1 ∂H
Ta định nghĩa đại lượng Edi = 2 pi ∂p là động năng tương ứng với bậc
i
⇒ Ed =

tự do thứ i
Dựa vào phân bố chính tắc ta tìm được trị trung bình của Edi :
−H
1 ∂H 1
∂H ψkT
Edi = pi
=
p
e
dX
2 ∂pi 2 ∫ i ∂pi
Mà
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
11

Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
ψ −H
∂e kT

∂pi

ψ −H
= −e kT

1 ∂H
kT ∂pi
ψ −H

∂H ψkT− H
∂e kT
⇒
e
= −kT
∂pi
∂pi

Thay vào công thức tính năng lượng trung bình ta có
ψ −H

kT
∂e kT
Edi = − ∫ pi
dX

2
∂pi
ψ −H
∂e kT

+∞

kT
... ∫ ...∫ pi
d d ...d ...d d d ...d ...d
2 ∫ −∞
∂pi q1 q2 qi q f p1 p2 pi p f
(Đây là tích phân 2f lớp)
Đầu tiên ta lấy tích phân từng phần theo pi
=−

I=

+∞

∫

pi

−∞

=

ψ −H
∂e kT

∂pi

+∞

ψ −H
pi e kT

−
−∞

dpi

+∞ ψ − H
e kT dpi
−∞

∫

Khi thay các giới hạn pi = ±∞ hàm Hamilton trở thành bằng vơ cực
ψ −H
kT

(bởi vì khi đó động năng trở thành vô cực) và e
biểu thức sau đây

bằng khơng và chỉ cịn lại

+∞ ψ − H
= − e kT dpi

−∞
+∞ ψ − H
kT
=−
e kT dX

∫

I

∫
2 −∞
Theo điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố chính tắc ta có
⇒ Edi

+∞ ψ − H
e kT dX

∫

=1

−∞

Như vậy năng lượng trung bình ứng với một bậc tự do bằng
p ∂H kT
Edi = i
=
2 ∂pi
2

Ta nhận thấy kết quả tính được khơng phụ thuộc vào bậc tự do. Điều đó
chứng tỏ động năng trung bình đối với mọi bậc tự do đều bằng nhau và bằng
kT
2
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
12


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Đối với hệ có f bậc tự do, động năng trung bình tồn phần bằng
kT
Ed = f
2
Động năng của hệ phân bố một cách đều đặn theo các bậc tự do. Đó là
nội dung của định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do
3.2.2. Định lí Vrian
Bằng cách chứng minh hồn tồn tương tự như ở trên ta sẽ có được:
−H
1 ∂H 1
∂H ψkT
q
= q
e
dX
2 i ∂qi 2 ∫ i ∂qi
Mà

ψ −H

ψ −H
∂e kT
1 ∂H
= −e kT
∂qi
kT ∂qi

⇒

∂H
∂qi

ψ −H
e kT

= −kT

ψ −H
∂e kT

∂qi
ψ −H
∂e kT

1 ∂H
kT
qi
= − ∫ qi
dX

2 ∂qi
2
∂qi
ψ −H

+∞

kT
∂e kT
= − ∫ ... ∫ ...∫ qi
d d ...d ...d d d ...d ...d
2
∂qi q1 q2 qi q f p1 p2 pi p f
−∞
Đầu tiên ta lấy tích phân từng phần theo qi
ψ −H

+∞

∂e kT
I = ∫ qi
dqi
∂qi
−∞
ψ −H
= qi e kT

+∞

+∞ ψ − H

− e kT dqi
−∞ −∞

∫

dựa vào điều kiện là khi pi = ±∞ hàm Hamilton trở thành bằng vơ cực (bởi vì
thế năng tăng nhanh đén vơ cực tại các thành của bình chứa)
+∞ ψ − H
I = − e kT dqi
−∞
+∞ ψ − H
∂H kT
=
e kT dX

∫

1
q
∫
2 i ∂qi
2 −∞
Theo điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố chính tắc ta có
+∞ ψ − H
e kT dX

∫

=1

−∞

Vậy trị trung bình của Vrian ứng với bậc tự do thứ i
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
13


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
1 ∂H kT
q
=
2 i ∂qi
2
Hệ thức trên được gọi là định lí Vrian

kT
2
Định lí Vrian cũng được áp dụng để nghiên cứu tính chất của một số hệ
Ta cũng có Vrian trung bình của cả hệ bằng f

cụ thể
II. Bài tập
1. Không gian pha- Định lí Liouville
1.1. Xác định và vẽ quỹ đạo pha
1.1.1. Phương pháp chung
Để xác định được quỹ đạo pha và vẽ quỹ đạo pha đó ta cần thực hiện
lần lượt các bước sau đây:
- Khơng gian pha ln có một số chẵn chiều, ta tính số chiều theo cơng

thức: k = 2 fN
Trong đó một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng
suy rộng p:
k là số chiều
f là số bậc tự do
N là số hạt trong hệ
- Muốn vẽ quỹ đạo pha, tức là tìm F ( p, q) = 0 , ta lập hàm Hamilton

H ( p, q) : H = Ed + U
Thông thường động năng sẽ được biểu thị qua xung lượng suy rộng
p = mv như sau:
p2
Ed =
2m
và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng, tùy vào từng bài toán cụ thể ta
sẽ xác định thế năng U khác nhau
- Giải phương trình chính tắc Hamilton để tìm qk , pk phụ thuộc theo
thời gian
Hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây:

∂H
 q& k = ∂p
qk = qk (t )

k
⇒


 pk = pk (t )
 p& = − ∂H

 k
∂qk


GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
14


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
- Khử t để được mối quan hệ qk , pk ( pk = pk (qk ) ) để tìm phương trình
quỹ đạo pha. Từ phương trình quỹ đạo pha ta xác định dạng quỹ đạo pha sau
đó vẽ dạng quỹ đạo pha.
1.2.1 Bài tập
Bài 1: Khảo sát một dao động tử điều hòa một chiều, xác định quỹ đạo
pha của nó.
Bài giải
Dao động tử điều hịa một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi − kx dọc theo một đường
thẳng nào đó. Bởi vì chất điểm đó chỉ có một bậc tự do, cho nên để làm tọa độ
suy rộng q ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theo
đường thẳng nào đó. Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung
lượng suy rộng p = mv như sau:
p2
Ed =
2m
và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q = x như sau:
U=

kq 2
2

Do đó, hàm Hamilton sẽ là
H (q, p) = Ed + U =

p2
q2
+k
2m
2

và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây

∂H p
q& = ∂p = m

p&
k
⇒ q&& = ⇒ q&& + q = 0

m
m
 p& = − ∂H = −kq

∂q


Đặt ω 2 =

k
⇒ q&& + ω 2 q = 0
m

Phương trình có nghiệm: q = q0 sin(ωt + ϕ )
Từ đó ta có: p = mq& = mq0ω cos(ωt + ϕ )
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
15


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Đặt p0 = mq0ω

⇒ p = p0 cos(ωt + ϕ )
Các phương trình q(t) và p(t) có dạng
q = q0 sin(ωt + ϕ )

 p = p0 cos(ωt + ϕ )

chính là các phương trình thông số của quỹ đạo pha của dao động tử điều hịa,
và do dó phương trình quỹ đạo là
Bình phương hai vế hệ phương trình trên và biến đổi đơn giản, ta có:
 q2
2
 2 = sin (ωt + ϕ )
q 2 = q 2 sin 2 (ωt + ϕ )
 q0
0

⇔
 2

2
2
2
 p = p0 cos (ωt + ϕ )
 p = cos2 (ωt + ϕ )
p 2
 0

q2 p2
+
=1
q02 p02
Như vậy quỹ đạo pha của dao động tử điều hịa là elip có tâm ở gốc tọa
độ, các bán trục q0 và p0 . Dễ dàng thấy rằng, với các điều kiện ban đầu khác
nhau ta có các elip khác nhau.

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
16


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Bài 2: Vẽ quỹ đạo pha đối với một hạt có khối lượng m, chuyển động
theo quán tính với vận tốc v 0 .
Bài giải
Đối với hạt chuyển động theo qn tính chỉ có một bậc tự do:

k = 2 fN = 2.1.1 = 2 . Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp hai chiều,
trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suy
rộng p. Động năng của hạt chuyển động theo quán tính được biểu thị qua
xung lượng suy rộng p = mv như sau:
p2
Ed =
2m
và thế năng trong trường hợp này là U=0
Do đó, hàm Hamilton sẽ là
H (q, p) = Ed + U =

p2
2m

và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây

∂H p
q& = ∂p = m


 p& = − ∂H = 0

∂q

từ đó suy ra p = mv0 = const . Như vậy quỹ đạo pha là đường thẳng song song
với trục q.

Bài 3: Vẽ quỹ đạo pha của hạt chuyển động rơi tự do.
Bài giải

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
17


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Đối với hạt chuyển động rơi tự do chỉ có một bậc tự do:

k = 2 fN = 2.1.1 = 2 . Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp hai chiều,
trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng suy
rộng p. Động năng của hạt chuyển động rơi tự do được biểu thị qua xung
lượng suy rộng p = mv như sau:
p2
Ed =
2m
và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q = x như sau:
Chọn gốc thế năng tại mặt đất (U=0), chiều dương (+) hướng lên thì ta có:

U = −mgq
Do đó,hàm Hamilton sẽ là
H (q, p) = Ed + U =

p2
− mgq
2m

và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây

∂H p

q& = ∂p = m


 p& = − ∂H = mg

∂q


⇒ p = ∫ mgdt = mgt + p0

Để đơn giản bài tốn ta có thể chọn tại t = 0 , p = 0 thì p0 = 0

⇒ p = mgt
Ta có q& =

p
1
= gt ⇒ q = ∫ gtdt = gt 2 + q0
m
2

1
Tại t = 0 chọn p = 0 thì q0 = 0 ⇒ q = gt 2
2

Khử t ta thu được kết quả:

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My

18


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
p
Thay t = mg vào phương trình của p ta có

p 2 = 2m2 gq
Có thể nhận thấy rằng quỹ đạo của hạt chuyển động rơi tự do là một
parabol.

Bài 4: Vẽ quỹ đạo pha của một hạt chuyển động với vận tốc không đổi
giữa hai vách của một ngăn. Kích thước của ngăn dọc theo hướng chuyển
động bằng 2a.
Bài giải
Ở bên trong vách ngăn hạt chuyển động theo qn tính với vận tốc
khơng đổi và phần quỹ đạo pha tương ứng là đường thẳng Tương tự bài 2 ta
có:
Hàm Hamilton sẽ là:
p2
H (q, p) = Ed + U =
2m

và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây

∂H p
q& = ∂p = m


 p& = − ∂H = −kq


∂q

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
19


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
từ đó suy ra p = mv0 = const . Như vậy quỹ đạo pha là đường thẳng song song
với trục q.
Khi phản xạ đàn hồi p biến thành –p, hạt chuyển động ngược lại, quỹ
đạo pha là một đường thẳng cách đường trên một khoảng 2p (tại hai thành
vách ngăn thì va chạm là tuyệt đối đàn hồi).

Trong thực tế do tác dụng của lực giả đàn hồi −kq , động năng chuyển
thành thế năng

kq 2
nên quỹ đạo pha bị bẻ cong và trong không gian pha phần
2

tương ứng của quỹ đạo pha là một cung elip.
Bài 5: Xác định quỹ đạo pha của một hạt khối lượng m và có điện tích

−e chuyển động dưới tác động của lực hút từ một hạt cố định có điện tích +e1
. Vị trí ban đầu là r0 , vận tốc ban đầu là v0 = 0
Bài giải
Để đơn giản bài toán, ta chọn gốc tọa độ ở vị trí đặt điện tích cố định e1

. Gọi r là khoảng cách từ điện tích −e đến điện tích e1 .
Theo định luật Culơng ta có:
ee
dp
= − 21
dt
r
Mặt khác ta lại có

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
20


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
p=m
Rút dt =

dr
dt

p
dr ta thay vào phương trình theo định luật Culơng
m

ee
ee
dp
p = − 21 ⇒ pdp = − 21 mdr

mdr
r
r

∫ pdp = −∫

ee1
mdr
r2

p2 1
= mee1 + c
2 r

Tại thời điểm t = 0 ta chọn p = 0 , do đó:
⇒c=−

1
mee1
r0

 1   1  
p 2 = 2mee1  ÷−  ÷÷
 r   r0  
 1   1  
p = ± 2mee1  ÷−  ÷÷
 r   r0  

trong đó m là khối lượng của điện tích e , p là xung lượng tương ứng
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
21


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Dựa vào hình dạng quỹ đạo ta thấy, nhánh trên ứng với chuyển động
của hạt từ r0 tới gốc tọa độ. Nhánh thứ hai ứng với chuyển động của hạt từ e1
tới r0
Bài 6: Xác định và vẽ quỹ đạo pha của con lắc vật lí có khối lượng m,
momen qn tính I, độ dài rút gọn L nếu năng lượng ban đầu của con lắc

H 0 < 2mgL
Bài giải
Con lắc vật lí là một vật rắn quay được quanh một trục nằm ngang cố
định. Đối với con lắc vật lí chuyển động chỉ có một bậc tự do, ta có:

k = 2 fN = 2.1.1 = 2 chiều
Ta thiết lập phương trình Hamilton cho con lắc vật lí
Từ định luật bảo tồn năng lượng ta suy ra:
Động năng của con lắc vật lí được xác định theo công thức

Ed =

p 2ϕ
2I

Thế năng của con lắc vật lí được xác định như sau:

U = mgL(1 − cos ϕ )

Từ đó ta có phương trình Hamilton

p 2ϕ
+ mgL ( 1 − cos ϕ ) = H 0
2I
trong đó I là momen qn tính, pϕ là động lượng suy rộng, L là độ dài rút gọn
của con lắc vật lí. Vì vậy ta có:
p 2ϕ = 2 I ( H 0 − mgL(1 − cos ϕ ))

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
22


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
p 2ϕ = 2 I ( H 0 − mgL) + 2ImgL cos ϕ

pϕ = ± 2 I (H0 − mgL) + 2ImgL cos ϕ
Các giá trị khả dĩ của góc nằm trong giới hạn −ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 , trong đó ϕ0
được xác định bởi điều kiện pϕ0 = 0 . Chọn tọa độ suy rộng là sine của góc
thơng thường, xung lượng suy rộng là xung lượng thường, ta có quỹ đạo pha
có dạng hình elip và mơ tả chuyển động của con lắc.
1.2. Nghiệm lại định lí Liouville
1.2.1. Phương pháp chung
- Phương pháp chung để nghiệm lại định lí Liouville là tìm quỹ đạo pha
trong khơng gian pha k = 2 fN chiều (cách tìm quỹ đạo pha được tiến hành
tương tự như các bước của loại bài tập xác định và vẽ quỹ đạo pha).
- Chọn một thể tích pha giới hạn bởi các điểm pha. Cho các điểm pha di
chuyển ta thu được các điểm pha mới, các điểm pha này giới hạn một thể tích

pha mới.
- Bảo tồn thể tích pha chính là bảo tồn diện tích bởi các điểm pha;
hay nói cách khác ta cần xét đến diện tích pha; nếu diện tích pha cũ bằng diện
tích pha mới thì định lí Liouville được nghiệm đúng, nếu khơng thì ngược lại.
Cần chú ý rằng ta phải chọn các điểm pha sao cho việc tính diện tích
pha là dễ dàng nhất.
1.2.2. Bài tập
Bài 1: Hãy kiểm nghiệm lại định lí Liouville đối với các chất điểm
chuyển động theo quán tính.
Bài giải
Đối với chất điểm chuyển động theo quán tính, quỹ đạo pha là những
đường thẳng song song với trục q (bài 2, phần 1.2.1). Lấy hai đường p1 = mv1
và p2 = mv2 ( v2 > v1 ). Trên đó chọ 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình chữ nhật
ABCD.

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
23


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Do p = mv = m

dq
nên ta có q = vt + C
dt

Giả sử tại thời điểm t=0, q=q0 thay vào phương trình trên ta có C=q0

⇒ q = vt + q0

Sau khoảng một thời gian t bằng nhau các điểm pha này di chuyển đến
các điểm pha mới A’, B’, C’, D’. Ta có:
Đối với điểm pha A’: q A' = vA't + q0 A' = v2t + q A
Vì v khơng thay đổi nên tung độ p của các điểm pha là không đổi. Do
đó ta chỉ xét đến sự thay đổi của hoành độ q.
Đối với điểm pha B’: qB' = vB't + q0 B ' = v2t + qB
Vì vậy qB ' − q A' = qB − q A nghĩa là A’B’=AB. Tương tự vị trí mới của C,
D là C’, D’ thỏa mãn:
Đối với điểm pha C’: qC' = vC't + q0C ' = v1t + qC
Đối với điểm pha D’: qD' = vD't + q0 D ' = v1t + qD
Vì vậy qC' − qD' = qC − qD nghĩa là C’D’=CD
Như vậy, thể tích pha tại thời điểm sau là hình bình hành A’B’C’D’ có
cùng chiều dài cạnh đáy bằng a và có cùng chiều cao q2 − q1 như hình chữ
nhật ABCD nên có diện tích bằng nhau. Vậy thể tích pha khơng thay đổi.
GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
24


Đề tài: Hệ thống và giải một số bài tập vật lý thống kê cổ điển
Bài 2: Nghiệm lại định lí Liouville của 3 hạt chuyển động trong trường
trọng lực không đổi. Trạng thái ban đầu của chúng được cho bởi các điểm pha

A(q0 ,po ); B(q 0 + a,po );C(q 0 ,po + b)
Bài giải
Chất điểm chuyển dộng trong trường trọng lực chỉ có một bậc tự do
nên: k = 2 fN = 2.1.1 = 2 Do đó ta có thể vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp hai

chiều, trong đó có một chiều là tọa độ suy rộng q và một chiều là xung lượng
suy rộng p. Động năng của hạt chuyển động rơi tự do được biểu thị qua xung
lượng suy rộng p = mv như sau:
p2
Ed =
2m
và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q = x như sau:
Chọn gốc thế năng tại mặt đất (U=0), chiều dương (+) hướng lên thì ta
có: U = − mgq
Do đó, hàm Hamilton sẽ là
H (q, p) = Ed + U =

p2
− mgq
2m

và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây

∂H p
q& = ∂p = m


 p& = − ∂H = mg

∂q


⇒ p = ∫ mgdt = mgt + p0
p
p

p
p
1
Ta có q& = = gt + 0 ⇒ q = ∫ ( gt + 0 )dt = gt 2 + 0 t + q0
m
m
m
2
m

GVHD: Th.s Lê Thị Thu Phương

SVTH: Nguyễn Thị Kiều My
25