Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ THỦY TIÊN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ THỦY TIÊN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Trung Dũng đã
hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh
viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích.
Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Thủy Tiên


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ
điều khiển với trễ" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của ThS. Nguyễn Trung Dũng.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các
tác giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Thủy Tiên


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3

1.2. Bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững độc lập với trễ thời
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . .

11

2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ . . . . . . .
2.2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ . . . . . . . . . .

11
14

Chương 3. Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1. Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . .

24

3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không nhớ . . . . . . .
3.2.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có nhớ . . . . . . . . . .

24
26

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng độ trễ thời gian thường xuất hiện trong các hệ thống động
lực như hệ thống sinh học, hệ thống hóa học và mạng lưới điện. Ngoài ra độ trễ thời
gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của
các hệ động lực.
Bài toán ổn định của hệ có trễ đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ
XX. Đầu tiên các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn định cho các hệ có
trễ hằng, nghiên cứu các tiêu chuẩn của sự ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận,
ổn định mũ, ổn định vững... của nghiệm tầm thường trong các phương trình vi phân
hàm. Trong đó ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian là
một bài toán quan trọng góp phần phát triển lý thuyết về sự ổn định.
Do đó tôi chọn đề tài: "Bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ
điều khiển với trễ" làm đề tài nghiên cứu cho mình để tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn
định vững cho hệ trễ thời gian, ứng dụng các hệ này trong thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
• Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian.
• Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn của sự ổn định vững và ổn định hóa
vững hệ điều khiển với trễ thời gian.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời
gian.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên
cứu.

1


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả ở chương sau.

1.1.

Hệ điều khiển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên
quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy khi mô tả các quá trình
này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn
gọi là hệ phương trình vi phân hàm.

1.1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h 0. Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm liên
tục trên đoạn [−h, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của φ ∈ C được cho bởi
φ = sup−h≤θ ≤0 φ (θ ) .

Với t0 ∈ R, A 0 và x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), hàm xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ),
t ∈ [t0 ,t0 + A], được xác định bởi xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0].
Cho D ⊂ Rn × C là tập mở và hàm F : D → Rn .
Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân có

2


trễ) là phương trình dạng
x(t)
˙ = F(t, xt ).

(1.1)

Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [t0 − h,t0 + A]
nếu tồn tại t0 ∈ R, A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t ∈ [t0 ,t0 + A]. Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói x(t0 , φ ) là nghiệm của
phương trình (1.1) với giá trị ban đầu φ tại thời điểm ban đầu t0 (nghiệm đi qua điểm
(t0 ,φ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(t0 , φ ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên
[t0 − h,t0 + A] và xt0 (t0 ,φ ) = φ . Khi t0 đã rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t).
Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên


 dx1
= −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t))
dt
dx

 2 = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))),
dt

trong đó 0

1.1.2.

τi (t)

τi = constant, i = 1, 2.

Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t0 , φ ) ∈
hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ ) và xác định trên [t0 , ∞). Ta
cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm tầm thường hay nghiệm không.
Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1).
R+ × C

Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi
ε > 0,t0 0, tồn tại δ = δ (t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1), nếu
φ < δ thì x(t, φ ) < ε, ∀t t0 . Nếu δ không phụ thuộc t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi
là ổn định đều.
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó
ổn định và với mỗi t0 0, tồn tại δ0 = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ )
của (1.1), nếu φ < δ0 thì lim x(t, φ ) = 0.
t→+∞

3


1.2.

Bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời
gian

Xét hệ điều khiển có tham số với trễ thời gian

x(t)
˙ = A(t)x(t) + ∑mj=1 A j (t)x(t − τ j ) + B(t)u(t)
x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−τ, 0],

(1.2.1)

trong đó
x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái,
u(t) ∈ Rk là vectơ điều khiển,
τ j , 1 j m là trễ thời gian, τ = max{τ1 , . . . , τm },
φ (.) là điều kiện ban đầu,
A(t) = A + ∆A(t) ∈ Rn×n , A j (t) = A j + ∆A j (t) ∈ Rn×n , j = 1, . . . , m,
B(t) = B + ∆B(t) ∈ Rn×k với A, A j , j = 1, . . . , m và B là các ma trận
hằng số thực với số chiều phù hợp mô tả hệ chuẩn tắc của (1.2.1),
∆A(t), ∆A j (t), j = 1, . . . , m, ∆B(t) là các hàm ma trận thực chưa biết
với chuẩn bị chặn mô tả các tham số không chắc chắn.
Giả sử các tham số không chắc chắn thỏa mãn

 ∆A(t) ∆B(t) = D∆(t) EA EB
 ∆A (t) . . . ∆A (t) = D ∆ (t)E
m
1
1 1
1

(1.2.2)
. . . Dm ∆m (t)Em

trong đó
∆(t), ∆i (t), i = 1, . . . , m là các ma trận thực chưa biết thỏa mãn

∆ (t)∆(t) ≤ I
∆ (t)∆ j (t) ≤ I, ∀t ≥ 0, 1 ≤ j ≤ m,
j

(1.2.3)

và D, D j , EA , EB , E j , 1 ≤ j ≤ m là các ma trận hằng số đã biết.
Dưới đây chúng ta trình bày một số khái niệm về ổn định vững và ổn định hóa
vững của hệ (1.2.1)-(1.2.3).
Định nghĩa 1.2.1. Hệ trễ thời gian với tham số chưa biết (1.2.1)-(1.2.3) được gọi
là ổn định vững nếu nghiệm không x(t) = 0 của (1.2.1) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm
cận với mọi tham số ∆A(t), ∆A j (t), 1 ≤ j ≤ m.
4


Định nghĩa 1.2.2. Hệ trễ thời gian với tham số chưa biết (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là
ổn định hóa vững nếu tồn tại hàm điều khiển u(t) sao cho hệ đóng là ổn định vững
theo Định nghĩa 1.2.1.

1.3.

Hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.3.1. [Lớp hàm K ]

Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+ ]. Khi đó, φ được gọi
là W - hàm hoặc K - hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) φ là hàm tăng.
(ii) φ (0) = 0.
Kí hiệu φ ∈ K .
Định nghĩa 1.3.2. [Hàm Lyapunov]
Cho V : R+ × C → R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t 0. Hàm
V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hàm V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a ∈ K : V (t, x)

a(||x| |), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.2.1)
1
V˙ (t, xt (t0 , φ )) := lim sup [V (t + h), xt+h ((t0 , φ )) −V (t, xt (t0 , φ ))]
h
h→0+

0,

với mọi nghiệm x(t, φ ) của hệ (1.2.1).
Định lý 1.3.1. [Định lý Lyapunov - Krasovskii]
Giả sử rằng F: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C )
thành tập bị chặn trong Rn , và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm,
ở đó u(s) và v(s) dương ∀s > 0 và u(0) = v(0) = 0.
• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V: R × C → R sao cho
u( φ (0) )

V (t, φ )

v( φ c )

và
V˙ (t, φ )

−w( φ (0) )

5


thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều.
• Nếu nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì nghiệm
không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì nghiệm
s→∞

không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định lý 1.3.2. [Định lí Razumikhin]
Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C ) thành
tập bị chặn trong Rn ; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không giảm, u(s) và
v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+ × Rn → R sao cho
(i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn ,t 0
(ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khiV (t + θ , x(t + θ )) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, ∀s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khi V (t + θ , x(t + θ )) pV (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận đều.

• Nếu giả thiết thêm lim u(s) = ∞ thì nghiệm không của (1.2.1) là ổn định tiệm cận
s→∞

toàn cục đều.

1.4.

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.4.1. Cho X,Y là các ma trận thực với số chiều phù hợp. Khi đó
1
X Y +Y X ≤ εX X + Y Y
ε
đúng với mọi ε > 0.
Bổ đề 1.4.2. [Bổ đề Schur] Cho ma trận đối xứng
M=

X
Y

với X, Y là các ma trận đối xứng. Khi đó
(i) M xác định không âm nếu và chỉ nếu

6

Y
Z






Z ≥ 0

Y = L1 Z



X − L1 ZL1 ≥ 0
hoặc



X ≥ 0

Y = XL2



Z − L2 XL2 ≥ 0
đúng với L1 , L2 là các ma trận tùy ý có số chiều phù hợp.
(ii) M xác định dương nếu và chỉ nếu

Z > 0
X −Y Z −1Y > 0
hoặc

X > 0
Z −Y X −1Y > 0.
Bổ đề 1.4.3. Cho Y là ma trận xác định dương, H, E là các ma trận cho trước với

số chiều phù hợp và ma trận F thỏa mãn F F < I. Ta có
(i) HFE + E F H ≤ εHH + ε −1 E E, với mọi ε > 0.
(ii) Y + HFE + E F H ≤ 0 nếu và chỉ nếu tồn tại ε > 0 sao cho Y + εHH +
ε −1 E E < 0.
Bổ đề 1.4.4. Cho A, D, ∆, E là các ma trận thực với số chiều phù hợp và ||∆|| ≤ 1.
Ta có
(i) Với mọi ε > 0 và ma trận P > 0 thỏa mãn εI − EPE > 0 ta có
(A + D∆E)P(A + D∆E) ≤ APA + APE (εI − EPE )−1 EPA + εDD .
(ii) Với mọi ε > 0 và ma trận P > 0 thỏa mãn P − εDD > 0 ta có
(A + D∆E) P−1 (A + D∆E) ≤ A (P − εDD )−1 A + ε −1 E E.

7


Chương 2

Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn
định hóa vững độc lập với trễ
thời gian
2.1.

Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian

Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) ≡ 0. Ta giới
thiệu các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là ổn định bậc hai nếu tồn tại các
ma trận đối xứng, xác định dương P > 0, Q j > 0, 1 ≤ j ≤ m, sao cho


#

P (A1 + ∆A1 (t)) · · · P (Am + ∆Am (t))


−Q1
0
 (A1 + ∆A1 (t)) P
 ∆

 = Θ(t)
ˆ
<0
.
.
.
.


.
.
.
.
.


.
.
.
(Am + ∆Am (t)) P
0
−Qm

(2.1.1)
đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó # = (A + ∆A(t)) P+P (A + ∆A(t))+
∑mj=1 Q j .
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa ổn định vững và ổn định bậc hai vững
của hệ (1.2.1).

8


Định lý 2.1.1. Nếu hệ (1.2.1) ổn định bậc hai thì hệ ổn định vững.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau
m

t

V (xt ) = x (t)Px(t) + ∑

j=1 t−τ j

x (s)Q j x(s)ds

¯ 0] được xác định bởi xt (s) = x(t + s), −τ¯ ≤ s ≤ 0. Để chứng
trong đó xt ∈ C [−τ,
minh Định lý 2.1.1, ta cần chỉ ra
V˙ (xt ) < 0
đúng với mọi tham số chấp nhận được. Hiển nhiên
m

V˙ (xt ) = 2x Px(t)
˙ + x (t)

∑ Qj

x(t)

j=1
m

− ∑ x (t − τ j ) Q j x (t − τ j )
j=1

m

= x (t) A (t)P + PA(t) + ∑ Q j )x(t)
j=1

m

m

+ 2 ∑ x (t)A j (t)Px (x − τ j ) − ∑ x (t − τ j ) Q j x (t − τ j )
j=1

j=1

ˆ
= ηt Θ(t)η
t,
trong đó ηt = x (t), x (t − τ1 ) , . . . , x (t − τm ) , điều này kéo theo V˙ (xt ) xác
ˆ

định âm vì Θ(t)
< 0. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.1.1 cho thấy điều kiện đủ để hệ tham số ổn định vững là hệ phải ổn
ˆ
định bậc hai. Tuy nhiên Θ(t)
có chứa các phần tử chưa biết ∆(t), ∆ j (t), j = 1, . . . , m
và do đó, sẽ không thuận tiện để kiểm tra tính ổn định bậc hai của hệ. Định lý sau
đây được phát triển từ Định lý 2.1.1 được dùng để kiểm tra sự ổn định bậc hai của
hệ (1.2.1).
Định lý 2.1.2. Hệ (1.2.1) với u(t) ≡ 0 ổn định bậc hai nếu tồn tại các ma trận đối
xứng, xác định dương P > 0, Q j > 0, 1 ≤ j ≤ m và hằng số dương ε > 0 sao cho


A P + PA + ∑mj=1 Q j + εEA EA PA˜ PD˜


(2.1.2)
A˜ P
Q˜ E
0 <0

D˜ P
0 −εI
9


trong đó A˜ = A1

···

Am , D˜ = D

D1


εE1 E1 − Q1

Q˜ E = 

0

···

Dm và


0
..

.
εEm Em − Qm


.


Chứng minh. Để chứng minh định lý này, trước hết ta lưu ý rằng

A P + PA + ∑mj=1 Q j PA1


A1 P
−Q1

ˆ
Θ(t)
=
..


.
Am P

∆A (t)P + P∆A(t) P∆A1 (t)

∆A1 (t)P

+
..


.
∆A1 (t)P

A P + PA + ∑mj=1 Q j PA1

A1 P
−Q1

=
.


..

Am P

···
..

PAm







.
−Qm


P∆Am (t)






···
0
···

..

PAm

.
−Qm

trong đó
PD1
0
..
.
0

···
···
..
.
···


PDm

0 
.. 

. 
0

˜ = diag{∆(t), ∆1 (t), · · · , ∆m }

∆(t)
E˜ = diag{EA , E1 , · · · , Em }.
ˆ
Theo Bổ đề 1.4.3, Θ(t)
< 0 nếu tồn tại ε > 0 sao cho

10








˜ E˜ + E˜ ∆˜ (t)Dˆ ,
+ Dˆ ∆(t)

PD

 0
Dˆ = 
 ..
 .
0






A P + PA + ∑mj=1 Q j PA1 · · · PAm


A1 P
−Q1




.
.


.
.
.


.
Am P
−Qm


PDD P + ∑m
i=1 PDi Di P 0 · · · 0


0
0 · · · 0
1

+ 
..
.. . .
.. 

ε
. .

.
.
0
0 ··· 0


EA EA
0


+ε 
E1 E1
 < 0.
0
Em Em


Sử dụng Bổ đề Schur ta có điều này tương đương với (2.1.2). Định lý được chứng
minh.
Chú ý 2.1.1. Ta thấy (2.1.2) là tuyến tính với P, Q1 , . . . , Qm và ε do đó các công cụ
như Matlab LMI, Scilab hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào đều có thể sử dụng để
kiểm tra sự ổn định vững của lớp hệ mà ta đang nghiên cứu. Trong thực tế, một hệ

có thể không ổn định, vì vậy vấn đề đặt ra là ta phải ổn định hệ trước khi sử dụng
nó. Mục tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề ổn định hóa.

2.2.

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập với trễ thời
gian

2.2.1.

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không
nhớ

Định lý 2.1.2 cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) là ổn định vững bậc hai,
điều này có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ Matlab LMI hoặc bất
kỳ công cụ tương tự nào. Bây giờ, ta tìm hiểu về sự ổn định hóa vững bậc hai của
hệ (1.2.1).
Định nghĩa 2.2.1. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định hóa vững bậc hai nếu tồn tại một
bộ điều khiển phản hồi trạng thái u(t) sao cho hệ đóng là ổn định bậc hai.
11


Trước tiên, ta xét bộ điều khiển phản hồi trạng thái không nhớ có dạng
u(t) = Kx(t)
Áp dụng bộ điều khiển này vào hệ (1.2.1), hệ đóng trở thành
x(t)
˙ = [A + BK + D∆(t) (EA + EB K)] x(t)
m

(2.2.1)

+ ∑ [A j + D j (t)∆ j (t)E j (t)] x(t − τ j ).
j=1

Định lý sau đây cho ta một phương pháp thiết kế bộ điều khiển không nhớ để ổn
định hóa vững hệ (1.2.1).

Định lý 2.2.1. Nếu tồn tại hằng số dương ε > 0 và các ma trận Y, X, U j , 1 ≤ j ≤ m
với X, U j là các ma trận đối xứng và xác định dương sao cho bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau có nghiệm

M11

 ∗




 ∗


 ∗
0

A1 X
−U1

···
..

0
0
EX

Am X
0

XEA +Y EB
0

−Um
0
0

0
−εI
0

.

···


0

EX 



<0

0 


0 
−εI

(2.2.2)

trong đó
m

M11 = AX + BY + XA +Y B + ∑ U j + εDD + ε
j=1

m

∑ D jD j

j=1

EX = diag XE1 , . . . , XEm ,
thì với bộ điều khiển u(t) = Kx(t) trong đó K = Y X −1 hệ (1.2.1) là ổn định hóa
vững bậc hai.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.1, để chứng minh Định lý 2.2.1 ta cần chỉ ra hệ đóng
là ổn định bậc hai. Dựa vào Định nghĩa 2.2.1, ta cần chứng minh tồn tại các ma trận
đối xứng, xác định dương P > 0, Qi > 0, 1 ≤ j ≤ m sao cho

12



A¯ + D∆(t)E¯A

P


 + P A¯ + D∆(t)E¯
A


m

 + ∑ Qj


j=1
A˜ (t)P









 PA(t)
˜ 
∆ ˜


 = Θ(t) < 0




−Q¯

đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó
A¯ = A + BK
E¯A = EA + EB K
˜ = (A1 + D1 ∆1 (t)E1 , · · · , Am + Dm ∆m (t)Em )
A(t)
Q¯ = diag{Q1 , · · · , Qm }.
˜
Lập luận tương tự Định lý 2.1.2 ta có thể kết luận rằng Θ(t)
< 0 nếu tồn tại hằng số
dương ε sao cho

J1
A˜ P


E¯A E¯A

PA˜
1
+ 
ε
−Q¯




E1 E1
..



<0



.

(2.2.3)

Em Em
¯ ∑mj=1 Q j +εPDD P+ ∑mj=1 εPD j D j P.
trong đó A˜ = (A1 , . . . , Am ) và J1 = A¯ P+PA+
Sử dụng Bổ đề Schur, ta có (2.2.3) tương đương với


J1
A˜ P


 E¯A
0

PA˜

−Q¯
0
E

E¯A
0
−εI
0


0
E 

<0
0 
−εI

(2.2.4)

trong đó E = diag{E1 , · · · , Em }.
Đặt X = P−1 . Nhân cả hai vế của (2.2.4) với diag{X, X, I, I}, trong đó X =
diag{X, · · · , X} và đặt Y = KX, Ui = XQi X, 1 ≤ i ≤ m ta có (2.2.2). Do đó từ lập
luận ở trên, ta thấy rằng nếu X > 0, Y và Ui , 1 ≤ i ≤ m thỏa mãn (2.2.2) thì P = X −1 ,
Qi = PUi−1 P, 1 ≤ i ≤ m thỏa mãn (2.2.2). Định lý được chứng minh.
Để thấy được sự hữu ích của những kết quả trên, ta xét các ví dụ cụ thể sau đây.

13


Ví dụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính liên tục với trễ thời gian được mô tả bởi hệ (1.2.1)

với m = 1 và các tham số của hệ cho bởi
A=

5
0

B=

1
0.1

D1 =

0.2
1

1
−2

EB = 0.3

A1 =

−1
−1

D=

1
0.3

0
−1

E1 = 0.1 0.2
Ed = 0 1 .

Giải (2.2.2) ta được
X=

0.238
−0.1640

−0.1640
0.9265

Y = −2.9990

U=

1.006
−0.1044

−0.1044
1.7297

ε = 1.1987.

−0.6419

Do đó, theo Định lý 2.2.1 ta có hệ (1.2.1) ổn định hóa vững với bộ điều khiển
u(t) = Kx(t) với
K = Y X −1 = −14.8968

2.2.2.

−3.3297 .

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có
nhớ

Định lý 2.2.1 cung cấp một thuật toán sử dụng để tìm bộ điều khiển không nhớ
ổn định hóa vững hệ (1.2.1). Rõ ràng, nếu tác động trễ được đưa vào ở giai đoạn
thiết kế thì bộ điều khiển sẽ cho hiệu suất tốt hơn. Bây giờ, ta xét bộ điều khiển
phản hồi trạng thái có dạng
m

u(t) = Kx(t) + ∑ K j x(t − τ j )
j=1

14

(2.2.5)


trong đó K, K j , 1 ≤ j ≤ m là các ma trận hằng với số chiều phù hợp.
Giả sử

D = · · · = D = D
m

1
∆1 (t) = · · · = ∆m (t) = ∆(t).
Thay (2.2.5) vào hệ (1.2.1) ta có hệ đóng là
x(t)
˙ = [A + BK + D∆(t) (EA + EB K)] x(t)
m

+ ∑ [A j + BK j + D∆(t) (E j + EB K j )] x(t − τ j ).

(2.2.6)

j=1

Định lý sau đây đưa ra phương pháp thiết kế một bộ điều khiển như vậy.

Định lý 2.2.2. Nếu tồn tại hằng số dương ε > 0, các ma trận đối xứng, xác định
dương X > 0, Vi > 0 và các ma trận Yi , 1 ≤ i ≤ m sao cho bất đẳng thức ma trận
sau đúng


M11
M
 1
 .
 .
 .

 Mm
β

M1
−V1
..
.
0
β1

···
..

Mm
0

.
−Vm
βm

···


β
β1 

.. 

. <0

βm 
−εI

(2.2.7)

trong đó
M11 = AX + BY + XA +Y B + εDD + ∑mj=1 V j ,
Mi = Ai X + BYi , 1 ≤ i ≤ m,
β = XEA +Y EB , βi = XEi +Yi , 1 ≤ i ≤ m,
thì với bộ điều khiển (2.2.5) trong đó K = Y X −1 , Ki = Yi X −1 , 1 ≤ i ≤ m hệ (1.2.1)
ổn định hóa vững.
Chứng minh. Áp dụng bộ điều khiển (2.2.5) vào hệ (1.2.1) ta có hệ đóng là
m

x(t)
˙ = A¯ + D∆(t)E¯A x(t) + ∑ A¯ j + D∆(t)E¯ j x(t − τ j ),
j=1

trong đó A¯ = A + BK, A¯ j = A j + BK j , E¯ j = E j + EB K j , 1 ≤ j ≤ m.
Theo Định nghĩa 2.2.1, để hệ ổn định vững bậc hai thì điều kiện đủ là tồn tại hằng
15


số dương ε > 0 và các ma trận đối xứng, xác định dương P > 0, Qi > 0, 1 ≤ i ≤ m
sao cho

#

∗
Θd (t) = 
 ..
.
∗

P A¯ 1 + D∆(t)E¯1
−Q1

···
..

P A¯ m + D∆(t)E¯m




<0



.
−Qm

đúng với mọi tham số chấp nhận được,
trong đó # = A¯ + D∆(t)E¯A P + P A¯ + D∆(t)E¯A + ∑mj=1 Q j .
Chú ý rằng


A¯ P + PA¯ + ∑mj=1 Q j PA¯ 1 · · · PA¯ m


A¯ 1 P
−Q1




Θd (t) = 
..
..


.


.
A¯ m
−Qm
 
PD
 
 0 

¯
¯
¯
+
 ..  ∆(t) EA E1 · · · Em
 . 
0
 

PD
 


 0 

 .  ∆(t) E¯A E¯1 · · · E¯m  .
+
 . 

 . 

0
Do đó, từ Bổ đề 1.4.3, ta thấy rằng Θd (t) < 0 nếu và chỉ nếu

16




#

PA¯ 1
−Q1

···

PA¯ m



¯

A1 P


 .

.
 .

.
.
 .

A¯ m
−Qm
 
E¯A
¯ 
1 E1 
¯
¯
¯
+ 
.. 
 EA E1 · · · Em < 0
ε
 . 
E¯m
là đúng, trong đó # = εPDD + A¯ P + PA¯ + ∑mj=1 Q j .
Đặt X = P−1 , Yi = Ki X, nhân vào bên trái và bên phải vế trái của bất đẳng thức trên
với diag{X, · · · , X} ta được


#
M1

M1 −XQ1 X
 .
 .
 .
Mm
 
β
 
1  β1 
+ 
.. 
 β
ε
 . 
βm

···
..

Mm








.
−XQm X

β1

···

βm

¯ + ∑mj=1 XQ j X.
trong đó # = εDDT + X A¯ T + AX
Từ điều này đặt Y = KX, Vi = XQi X và sử dụng Bổ đề Schur ta có (2.2.7). Do đó,
giả sử tồn tại hằng số dương ε và các ma trận X > 0, Vi > 0 và Yi thỏa mãn (2.2.7),
và đặt K = Y X −1 , Ki = Yi X −1 , P = X −1 , Qi = PVi P thì ta có thể kết luận rằng P,
Qi , 1 ≤ i ≤ m thỏa mãn (2.2.7) và do đó hệ đóng là ổn định bậc hai. Định lý được
chứng minh.
Ví dụ 2.2.2. Để minh họa kết quả của Định lý 2.2.2, ta xét hệ có dạng (1.2.1) với
m = 1 và các tham số

17


A=

5
0

B=

1
0.1

1
−2

E1 = 0.1 0.2
ED = 0

A1 =

−1
−1

D=

1
0.3

0
−1

EB = 0.3

1 .

Với tập các tham số trên, giải (2.2.7) ta được
X=

19.8571

−10.4726

Y = −220.9053

−10.4726
35.2969

V1 =

−10.9895

60.7259
0.3028

0.3028
73.2009

Y1 = 16.1332 10.7613

ε = 108.3199.
Theo Định lý 2.2.2 thì hệ (1.2.1) là ổn định dưới bộ điều khiển (2.2.5) với K và K1
cho bởi
K = Y X −1 = −13.3831
K1 = Y1 X −1 = 1.1538

18

−4.2821

0.6472 .

Chương 3

Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn
định hóa vững phụ thuộc trễ
thời gian
3.1.

Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian

Trong mục này, ta xét điều kiện ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian. Định lý
sau đây cung cấp một điều kiện đủ để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận. Trong phần tiếp
theo của mục này, ta ký hiệu A(t), A tương ứng là A0 (t) và A0 .
Định lý 3.1.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Qi j > 0,
Pi j > 0, i = 1, · · · , m, j = 0, 1, · · · , m, và các hằng số dương εi , ηi , ρ j , 1 ≤ i ≤ m,
0 ≤ j ≤ m sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng

M11
H
 1

 H2
H3

H1
−J1
0
0

H2
0
−J2
0

19


H3
0 

<0
0 
−J3

(3.1.1)


trong đó
m

M11 =

m

∑ Ai X + X

m

i=0

m

+ ∑ η i Di Di + ∑ ε i τ i Di Di

∑ Ai

i=0

i=0

i=1

m

+ ∑ τi AiWi Ai
i=1

với

m

Wi =

∑ Pi j

j=1

H1 = XEA

···

XE1

XEm

H2 = τ1 A1W1 E1 · · · τm AmWm Em


η1 I
0


..

J1 = 
.


0
ηm I


ε1 τ1 I − τ1 E1W1 E1
0


..

J2 = 

.


0
εm τm I − τm EmWm Em
Ci = τi XA0
Ui j =

XEA

XA1

XE1

···

XAm

XEm

−τi Pi j + ρi j τi D j D j


Ui0


Ui = 


0

ρi j τi I


0
Ui1
..







.
Uim

H3 = τ1C1 · · · τmCm


U1
0


..
,
J3 = 
.



0
Um
thì hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Giả sử x(t), t ≥ 0 là nghiệm của hệ tuyến tính trễ thời gian (1.2.1) với
20