CHUYÊN đề vận DỤNG ĐỊNH LUẬT vạn vật hấp dẫn và BA ĐỊNH LUẬT KEPLER GIẢI các bài TOÁN THIÊN văn học

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH

TRƯỜNG THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC

CHUYÊN ĐỀ: VẬN DỤNG ĐỊNH LUẬT VẠN VẬT HẤP DẪN VÀ BA
ĐỊNH LUẬT KEPLER GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC
Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật lý
Trường THPT Vùng cao Việt Bắc
I. LÝ DO CHON ĐỀ TÀI
Trong chương trình phổ thông phần kiến thức về Thiên văn học mới chỉ được
dành một thời lượng rất ít, phần kiến thức được trình bày chủ yếu là kiến thức lí thuyết.
Để giúp người học thông hiểu kiến thức Thiên văn học thì bên cạnh giờ học lí thuyết
phải luôn song song với các giờ bài tập. Qua việc tìm hiểu, phân tích, giải bài tập sẽ giúp
cho người học tự mình rút ra được những điều bổ ích, sửa chữa được những nhận thức
còn lệch lạc về một khía cạnh nào đó khi tiếp thu kiến thức lý thuyết và giúp hiểu sâu hơn
những kiến thức này. Do vậy tôi đã chọn đề tài: Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và
ba định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học.
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Định luật vạn vật hấp dẫn
Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng và tỉ
lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.
Biểu thức:
Với: m1; m2 là khối lượng của hai chất điểm (kg)
r: khoảng cách giữa hai chất điểm (nếu chất điểm có hình cầu thì r được tính từ tâm của
cầu nọ đến tâm của cầu kia) (m)
G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn
2. Ba định luật Kepler
a) Định luật 1: Các hành tinh chuyển động xung quanh

P

Mặt trời theo quỹ đạo elip mà Mặt trời nằm tại một trong
V

hai tiêu điểm của elip quỹ đạo.
Biểu thức: r =

a

•
F2

•
O

Hình 1
1

•
F1

H
C


với

r = F1H
p là thông số của elip, p = F1P
ϕ là góc cận điểm thực tức là góc hợp bởi bán kính vectơ của hành tinh r và bán

kính vectơ tại cận điểm rc.
b) Định luật 2: Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét được những góc bằng nhau trong
những khoảng thời gian bằng nhau.
Biểu thức:
c) Định luật 3: Bình phương chu kì chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời tỉ lệ
với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip.
Biểu thức:
Với:
T: chu kì chuyển động của các thiên thể
G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn
M, m: lần lượt là khối lượng của Mặt trời và hành tinh
a: bán trục lớn của quỹ đạo elip.
chú ý: Tại cận điểm rc = a(1 – e)
Tại viễn điểm rv = a(1 + e)
e: Tâm sai của elip; e =
b: bán trục nhỏ của elip; b2 = p.a
C=

Độ dẹt của elip: ε =
3. Quan hệ giữa vận tốc và các thông số quỹ đạo
- Quỹ đạo hình tròn: e = 0; r = a
với

K = G(m + M); r là bán kính quỹ đạo

- Quỹ đạo elip: e < 1; p = a(1 – e2)
- Quỹ đạo parabol: e = 1
- Quỹ đạo hypebol: e >1, p = a(e2 – 1)

2

III. BÀI TẬP
Bài 1
Một vệ tinh chuyển động quanh Trái đất theo quỹ đạo elip. Cho khoảng cách và
vận tốc của vệ tinh tại cận điểm quỹ đạo là rc và vc. Tìm khoảng cách và vận tốc của vệ
tinh đó tại viễn điểm quỹ đạo là rv và vv.
Giải:
Vì vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip nên ta có:
rc = a(1 – e)

(1)

.

(2)

a) Khoảng cách của vệ tinh ở viễn điểm quỹ đạo
Từ phương trình (1) => e = 1 Từ phương trình (2) => a =

(3)

mà rv = a(1 + e) => rv = 2a – rc = 2 - rc

(4)

b) Vận tốc tại viễn điểm
Thay (3) và (4) vào ta được:
=

Bài 2
Tính phần bổ xung vận tốc tối thiểu để một vệ tinh đang ở trên quỹ đạo cách bề mặt
Trái đất 230km đi tới cận điểm quỹ đạo của mặt trăng? Bỏ qua lực hấp dẫn của Mặt trăng.
Biết bán trục lớn quỹ đạo Mặt trăng là 384000km và tâm sai quỹ đạo mặt trăng e =.
Giải
Vệ tinh chuyển động tròn xung quanh trái đất với vận tốc: v1 =
Với

K = GM;

M = 6.1024kg

r = (6400 + 230) = 6630km
v1 = 0,6km/s
Cận điểm quỹ đạo Mặt trăng: r’ = a(1 – e)
Với a = 384000km;

e=

=> r’ = 362,6667km

3


Để vệ tinh đi tới cận điểm quỹ đạo của mặt trăng thì nó phải chuyển động theo quỹ đạo
elip với vận tốc tại cận điểm:
Với a’ = => vc = 10,9km/s
Vậy cần bổ xung cho vệ tinh vận tốc : v = vc – v1 = 10,3 km/s
Bài 3
Dựa vào đặc điểm nhìn thấy của Thủy tinh

K
•

và Kim tinh, tính khoảng cách từ chúng tới Mặt

•T

trời và chu kì chuyển động của chúng. biếtĐ•

•M

khoảng cách từ Trái đất tới Mặt trời bằng một
đơn vị thiên văn và chu kì chuyển động quanh
mặt trời bằng một năm. Coi các hành tinh chuyển

Hình 2

động quanh mặt trời theo quỹ đạo tròn.
Giải
Kí hiệu: Trái đất: Đ; (hình 2); Kim tinh: K; Thủy tinh: T; Mặt trời: M
Dựa vào chuyển động nhìn thấy của Kim tinh và Thủy tinh ta có:
= 480; = 280; RĐ = 6400km = ĐM
RK = KM = = ĐM.sin480 = 4756,1(km)
RT = ĐM .sin280 = 3004,6 (km)
* Chu kì chuyển động của Kim tinh
Dựa vào định luật ba Kepler có: => TK = 223,8 (ngày)
* Chu kì chuyển động của Thủy tinh
=> TT = 117,3 (ngày)
Bài 4

Một vệ tinh nhân tạo chuyển động quanh Trái đất theo quỹ đạo elip có tâm sai e,
bán trục lớn a và chu kì T.
a) Tìm vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm và viễn điểm. So sánh độ lớn hai vận tốc ấy.
b) Cho e = 0,2; a = 10.000km, RĐ = 6370km. Tính khoảng cách gần nhất và xa
nhất từ vệ tinh đến trái đất
Giải
a) Giả sử trái đất ở điểm F1 của quỹ đạo elip của vệ tinh nhân tạo.

4


=> Bán kính vectơ của vệ tinh:
Tại cận điểm: rc = a(1- e)
Tại viễn điểm: rv = a(1 + e)
=> Vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm
Theo định luật 3 kepler:
=> => => vc =
Vận tốc dài của vệ tinh tại viễn điểm
= G(M + m)
=> vv =
*So sánh độ lớn hai vận tốc
vc > v v
b) Khoảng cách gần nhất và xa nhất từ vệ tinh đến mặt đất
Xa nhất tại viễn điểm với rv = RĐ +hv => hV = rv - RĐ = a(1 + e) – RĐ = 5630(km)
Gần nhất tại cận điểm: rc = RĐ +hc => hc = rc - RĐ = a(1 - e) – RĐ = 1630(km)

Bài 5
Người ta phóng một trạm vũ trụ chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn
trong mặt phẳng Hoàng đạo. Các trạm quan sát từ Mặt đất thấy trạm này dao động quanh
mặt trời với biên độ xác định bằng 450 (hình 3)

a) Tính bán kính quỹ đạo và chu kỳ chuyển động T 1 của trạm

Đ

(coi trái đất chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn với bán
kính bằng một đơn vị thiên văn (đvtv) và chu kì 1 năm)
b) Giả sử tại điểm O trên quỹ đạo tròn của trạm (Hình 4)
người ta tăng vận tốc cho trạm tức thời đến vận tốc parabol (trạm bắt
đầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận điểm O làm đỉnh) hãy

a1
M

tính thời gian trạm chuyển từ điểm O đến điểm T. Cho biết phương
trình parabol trong hệ xOy là y2 = 2px trong đó p là khoảng cách từ

5

Hình 3

T1


tiêu điểm đến đường chuẩn. Chú ý định luật 2 Kepler cũng đúng với chuyển động
parabol.

6


Giải

7


a) Từ hình 3 ta thấy

8


Bán kính quỹ đạoo chuyển động của trạm

9


a1 = TM = ĐMsin450 = (đvtv)

10


Chu kì chuyển động T1 của trạm

11


12


Hình
a 4

x
y

T

M
O

13


→ T1 = T. = (năm)
b) Quãng đường mà trạm đi từ O đến T là:
y2 = 2px với p = 2a; x = a1 = a → y = 2a
Vận tốc parabol của trạm (vận tốc lấy quỹ đạo đó)
vp = =
Thời gian trạm chuyển từ O đến T
y = vp.t => t = (năm)
Bài 6
Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:
a) Từ mặt đất cung cấp cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng.
b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h có vận tốc bằng 0, người ta cung cho nó vận tốc v 1
theo phương ngang (

r r
v1 ⊥ v 0

) để vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm sai e và

thông số p được xác định trước. Bỏ qua sức cản của không khí.

Hãy tính các vận tốc v0 và v1. Cho biết bán kính của Trái Đất là R0 và gia tốc trọng trường
là g0 (g0 = GM/R02).
Hướng dẫn: Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm, áp dụng định luật bảo
toàn mômen xung lượng và cơ năng.
Giải
Cách 1:
a) Chọn gốc thế năng tại tâm Trái Đất.
Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm ta áp dụng định luật bảo toàn
mômen xung lượng và cơ năng.
E1 = - mg 0 R 0 +

Tại mặt đất vệ tinh có cơ năng là:
Tại độ cao h vệ tinh có cơ năng là:

E 2 = - mg h r

mv02
2

(r = R 0 + h)

E1 = E 2 → - mg 0 R 0 +

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

14

mv 02
= - mg h r
2

→ v 0 = 2(- g h r + g 0 R 0 )

 R2

 R

→ v0 = 2g 0  - 20 r + R 20 ÷= 2g 0 R 0  - 0 + 1÷
 r

 r


g=G

Với

Vậy:

M

( R 0 +h )

2

=G

M
r2

g0 = G

và

M
R0 2

→ gh =

R 02
g0
r2

 R 
v0 = 2g 0 R 0 1- 0 ÷
 r 

b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h.
Do quỹ đạo là elip, mà vận tốc được cung cấp

r
v1

có hướng vuông góc với

điểm cung cấp chỉ có thể tại hai đỉnh của elip (cận điểm, viễn điểm).
* Điểm lên quỹ đạo là cực cận
- mg( h + R 0 ) +

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:
p = a (1 - e 2 ) → a =

Mà
r c = a (1 - e) → rc =

v1 = vc =

mvc2
mv12
= - mgr +
2
2

p
1 - e2

p
p
(1 - e) =
2
1-e
1+ e

g0
R 0 (1 + e)
p

Vậy:
* Điểm lên quỹ đạo là cực cận

- mg( h + R 0 ) +

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

15

mvv2
mv12
= - mgr +
2
2

r
v0

nên


r v = a (1 + e) → rv =

Mà

p
p
(1 + e) =
2
1-e
1- e

g0

R 0 (1 - e)
p

v 2 = vv =

Vậy:
Cách 2:
Theo định luật bảo toàn cơ năng, tại hai điểm cực cận và cực viễn (trường xuyên
tâm):
- mg 0

→

gc =

Mà
→

R 02
R2
mv12
mv 22
+
= - mg 0 0 +
rC
2
rv
2

- 2g 0

R 02
R2
+ v12 = - 2g 0 0 + v 22
rC
rv

R 02
R 02
g
g
=
g0
0
v
rc 2
rv 2

;

 R2 R 2 
v12 - v 22 = 2g 0  − 0 + 0 ÷
rC 
 rv

Mặt khác theo định luật 2 Kepler ta có:
→

(1)
v1 .rc

v .r
.Δt = 2 v .Δt
2
2

v1.rc = v 2 .rv

2

Thay (2) và (1) ta có:

→ v1.rc - v 2 .r = 0

 rv

2
2  - rc + rv 
 .v 2 ÷ - v 2 = 2g 0 R 0 
÷
 rc

 rc .rv 

↔

rv2 v 22 - v 22 rc2 = 2g 0 R 02

rc ( - rc + rv )
rv

→

v 22 ( rv2 - rc2 ) = 2g 0 R 20

rc ( rv - rc )
rv

16

r
→ v1 = v .v 2
rc

(2)


rc 1- e
=
rv 1+e
rc + rv =

rc
rv ( rv + rc )

→

v 22 = 2g 0 R 02

→ v 22 = 2g 0 R 02

g R2
1- e 1- e 2
2
= 0 0 ( 1- e )
1+ e 2p
p

2p
1- e 2

→

v 22 =

v1 =

1+ e
1- e

g0
R 0 ( 1- e )
p
g0
g
R0 ( 1- e ) = 0 R0 ( 1+ e )
p
p

Thế vào (2) ta được:
Bài 7

Người ta chụp ảnh Mặt trăng đồng thời cùng một phía, từ Trái Đất và từ một vệ
tinh của Mặt Trăng. Quỹ đạo của vệ tinh là đường tròn. Đường kính ảnh Mặt Trăng trên
bức ảnh chụp từ Trái Đất là a1 = 4,5mm, còn trên bức ảnh chụp từ vệ tinh là a 2 = 250mm.
Hãy tìm chu kỳ quay của của vệ tinh Mặt Trăng, biết hai bức ảnh đều chụp bằng các vật
kính giống nhau có tiêu cự f=50cm và gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái
Đất n = 6 lần, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng là L = 380.000km.
Giải
Tính chu kỳ quay của vệ tinh Mặt trăng.
Gọi R là bán kính quỹ đạo của vệ tinh Mặt Trăng ta có:
F=G

MT m
rT2
=
mg
T
R2
R2

(1)
4π2
a ht = ω R = 2 R
T
2

Lực hấp dẫn F truyền cho vệ tinh m gia tốc hướng tâm:
→

T=

F = ma ht = m

4π2
.R
T2

(2)

2πR R
rT
gT

Từ (1) và (2) ta có:

(3)

+ Xét ảnh Mặt Trăng chụp từ Trái Đất:

17


a1
f

O
rT

L

Hình 5

F
C

Coi Mặt trăng ở rất xa Trái Đất thì ảnh Mặt Trăng là ảnh thật nằm ở tiêu diện của
vật kính (Hình 5).

Ta có:

a1
f
aL
=
→ rT = 1
2rT
L
2f

(4)

( L là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất, f là tiêu cự của vật kính).
+ Xét ảnh Mặt Trăng chụp từ vệ tinh:
Trên vệ tinh ta chỉ chụp được trên phim ảnh của một phần Mặt Trăng (Hình 6
Ta có:

ΔOFB' ~ ΔOBC

a2
OB' b
=

=
2rT OC R

2

a 
b = f + 2 ÷
2
2

với

(5)

18


a2

R

C

O
b

Hình 6

→ R=

2rT b
a2

(6)
R=

Thế rT từ (4) vào (6) ta được:

a 1L
b
a 2f

(7)
T = 4π

Thế rT từ (4) và R từ (7) vào (3) ta được:
≈

Thay số: T 6,23.104s.

Bài 8

19

b
a2

a1Lb
g T a 2f

B


r
v2
r
v1
R

r
v

A

Một

r
v0

con

B

tàu
vũ
trụ

Hình 7
RT

bay

O

quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính R = 3,4.106m.
a) Hỏi từ con tàu phải ném một vật theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc
bằng bao nhiêu để nó rơi lên mặt đối diện của Mặt Trăng.
b) Sau thời gian bao lâu nó sẽ rơi lên Mặt Trăng. Cho biết gia tốc rơi tự do của
mọi vật ở gần bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần. Bán kính Mặt Trăng R T =
1,7.106m.
Giải
a) Vận tốc cần phải ném

20


Vật được ném ra khỏi con tàu chuyển động theo quỹ đạo elip tiếp xúc với bề mặt Mặt
Trăng (Hình 7). Trục lớn quỹ đạo elip là 2a = R + RT.
Thế năng hấp dẫn của vật tại A và B:
WA = - G

MT m
R

WB = - G

MT m
RT

Theo định luật bảo toàn năng lượng:

v12
M
v2
M
- G T = 2-G T
2
R
2
RT

→

gT = G

Vì

MT
R T2

nên

1 2
M m 1
M m
mv1 - G T = mv 22 - G T
2
R
2
RT

v12
R 2 v2
- gT T = 2 - gT R T
2
2
2

Theo định luật 2 Kepler ta có:

(1)

v1.Δt .R = v 2.Δt .R T →

v1.R = v 2 .R T

(2)

Theo bài ra: R = 2RT nên 2v1 = v2

Thay vào (1) ta được:

v12
R
- g T T = 2v1 - g T R T
2
2

→ v1 =

gT R T
2

(3)

Vận tốc của vật m khi chưa ném tại điểm A là v0 bằng vận tốc tới điểm A của con tàu m1:
F=G

m1v 02
M T m1
=
R2
R

→ v0 = G

MT
g R
= T T
R
2

So sánh (3) với (4) ta có: v1 < v0.
Vận tốc của vật cần phải ném

r
v

Thay (3) và (4) vào (5) ta được:

ngược chiều với vận tốc
1 
 1
v = gT R T 
−
÷
3
 2

Thay số ta được: v = 88,2(m/s).

21

(4)
r
v0

. Vậy: v = v0 - v1

(5).


b) Thời gian để vật rơi lên Mặt Trăng.
T=

2πR
2R T
= 4π
v0
gT

Chu kỳ quay của con tàu:
Dựa vào định luật 3 Kepler ta có thể suy ra:
2

3

3

3

 T 
 R + RT 
 R + RT 2
 3 2
 ÷ =
÷ → T=T0 
÷ → T=  ÷ T0
2 
 2R T 
 2R T 
 T0 

Thay số ta được: T = 551 phút.
Vậy thời gian để vật rơi lên Mặt Trăng là: t = T/2 = 275,5 phút.
Bài 9
Một vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn ở cách bề mặt Mặt Trăng một khoảng
bằng bán kính R của Trái Đất. Tại một thời điểm nào đó, từ vệ tinh phóng ra một trạm đi
tới một hành tinh khác, phần còn lại của vệ tinh chuyển động theo một quỹ đạo elip đi tới
gần mặt Trái Đất ở điểm đối diện với điểm xuất phát của trạm. Hỏi khối lượng của trạm

có thể chiếm một phần cực đại bằng bao nhiêu khối lượng vệ tinh.

22


r
v'
r
v
2R

r r
v0 u

A
R
O

Hình 9

Giải
Tỉ số khối lượng của trạm và khối lượng vệ tinh.
Khi trạm m từ vệ tinh M 1 tại A, để lợi về năng lượng thì vận tốc
cùng hướng chuyển động (

r
v0

r
v

r
u

ngược với hướng .

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
với

truyền cho trạm phải

) của vệ tinh quanh trái Đất MĐ (hình 9)

Khi đó chính vệ tinh có vận tốc
mu - M1v = Mv0

r
u

M1 = M - m

23


→ mu - (M - m)v = Mv 0

→

m v0 +v
=

M u+v

(1)

Vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính 2R, lực hấp dẫn giữ vai trò lực hướng
tâm:
Mv02
M M
=G D 2
2R
(2R)

→ v0 = G

MD
2R

(2)
Ở rất xa Trái Đất động năng và thế năng của trạm m đều bằng 0 nên theo định luật

bảo toàn cơ năng ta có:

Mu 2
M M
-G D =0
2
2R

→ u= G

MD
2R

(3)

Xét vệ tinh M1 (phần còn lại không tính trạm) ở các vị trí A phóng trạm và ở vị trí
B cận Trái Đất, theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
M1v 2
M M
M v'2
M M
-G D 1 = 1
-G D 1
2
2R
2
R

(4)

v' là vận tốc vệ tinh tại B trên quỹ đạo elip.
Rv' = 2Rv

Áp dụng định luật 2 Kepler, ta có:

v= G

Từ (4) và (5) suy ra:
m
=

M

Đưa v0 từ (2), u từ (3) và v từ (6) và (1) ta được:

Thay số và ta được:

MD
3R

(5)

(6)

MD
M
+ G D
2R
3R
M
M
G D+ G D
R
3R
G

m
≈ 0,8
M

Bài 10

Sao chổi Halley có chu kỳ 76 năm và năm 1986 đã có khoảng cách gần Mặt Trời
nhất (gọi là khoảng cách cận nhật rc) bằng 8,9.1010m.

24


a) Hỏi khoảng cách xa Mặt Trời nhất của sao chổi Halley (gọi là khoảng cách
viễn nhật rv) bằng bao nhiêu?
b) Tâm sai của quỹ đạo sao chổi Halley là bao nhiêu?
Giải
1

a) Từ định luật 3 Kepler ta suy ra:

 GM Θ  3
a= 
2 ÷
 4π 

Với khối lượng Mặt Trời Mʘ = 1,99.1030kg, T = 7,6 năm = 2,4.109s.
Vậy bán trục lớn của quỹ đạo sao chổi Halley là: a = 2,7.10 12m.
Mặt khác ta lại có:

rv = a ( 1+ e )

rc = a ( 1- e )

Từ (1) và (2) ta được:

(1)

(2)

rc = 2a - rv

Thay số vào ta được: rc = 5,3.1012(m).
b) Tâm sai e của quỹ đạo sao chổi Halley
e=

Từ (1) suy ra:
Vì

e ≈1

rv
r -r
- 1 = v c = 0,96.
a
2a

nên quỹ đạo của sao chổi là rất dài và dẹt.

Bài 11
Các quan sát về ánh sáng phát từ một ngôi sao cho thấy rằng ánh sáng ấy được
phát ra từ một hệ đôi (hai sao). Ngôi sao trông thấy có tốc độ trên quỹ đạo 270km/s, chu
kỳ T = 1,7 ngày và khối lượng phỏng chừng m 1 = 6MT, trong đó MT là khối lượng Mặt
Trời MT = 1,99.1030kg. Giả sử rằng ngôi sao trông thấy và bạn đồng hành của nó (vì tối
nên không trông thấy) đều ở trên quỹ đạo tròn. Hãy xác định khối lượng phỏng chừng m 2
của ngôi sao không trông thấy (vật tối).
Giải
Khối tâm của hệ sao đôi nằm trên đường nối tâm của chúng.

Gọi O là khối tâm của hệ, r1, r2 lần lượt là khoảng cách m1, m2 đến tâm O.

25