Giải pháp giúp HS nhận biết một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình

GIẢI PHÁP
GIÚP HỌC SINH NHẬN
BIẾTMỘT SỐ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH


I.Đặt vấn đề:
Hiện nay trong chương trình sách giáo khoa bậc
THPT có nhiều chương liên quan đến việc giải
phuong trình.Trong quá trình giải phương trình
học sinh cứ cảm giác là mình giải đúng nhưng lại
không biết mình giải thừa nghiệm,thiếu nghiệm
thậm chí là giải sai.Bản thân học sinh nếu không
nắm chắc

các quy tắc

biến đổi

tương

đương,không nắm chắc điều kiện xác định của
phương trình thì không thể phát hiện được các sai
lầm của mình để sửa sai.Để giúp học sinh phát
hiện ra những sai lầm của mình,tôi đưa ra giải
pháp giúp học sinh nhận biết một số sai lầm
thường gặp khi giải phương trình thông qua một
số ví dụ cụ thể.
II.Giải quyết vấn đề:
Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc

phải khi học sinh hiểu sai quy tắc biến đổi
phương trình tương đương.Đặt thừa hay thiếu các
điều kiện đều dẫn đến sai lầm thậm chí sai đến
mức .... không giải tiếp được nữa.Một số sai lầm


còn do hậu quả của việc biến đổi biểu thức không
đúng.
Ví dụ 1:Giải phương trình:

3 x 3 − 6 x 2 − 9 x = 9( x 2 − 2 x − 3)

(1)
•Lời

giải

có

sai

lầm:

(1)

⇔ 3x ( x 2 − 2 x − 3) = 9( x 2 − 2 x − 3) ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 3

•Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=-1 cũng
là nghiệm của PT (1),sai lầm là học sinh chia hai
vế của phương trình cho x2-2x-3.Nên nhớ rằng

muốn chia hai vế cho một biểu thức thì biểu thức
đó phải chắc chắn khác 0.Ở đây nên áp dụng tính
chất ab=cb ⇔ b(a-c)=0.
•Lời giải đúng:

(1) ⇔ ( x

2

− 2 x − 3)(3 x − 9) = 0

x 2 − 2x − 3 = 0
 x = −1
⇔
⇔
x = 3
3 x − 9 = 0

Ví dụ 2:Giải phương trình:

− x 3 + 3x − 2 + x + 1 = 2

(2)

•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
− x 3 + 3 x − 2 ≥ 0
 x 3 − 3x + 2 ≤ 0
⇔



x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1

( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0
x + 2 ≤ 0
 x ≤ −2
⇔
⇔
⇔
⇔ x∈
 x ≥ −1
 x ≥ −1
 x ≥ −1

Ø


Vậy không tồn tại giá trị của x để phương trình
xác định nên phương trình vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=1 thì hai
căn thức đều có nghĩa và x=1 chính là nghiệm
duy nhất của PT (2),sai lầm là học sinh chia hai
vế của bất phương trình (x-1)2(x+2)≤0 cho (x-1)2.
•Lời giải đúng:

− x 3 + 3 x − 2 ≥ 0
 x 3 − 3x + 2 ≤ 0
⇔

x + 1 ≥ 0

 x ≥ −1
 x = 1
( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0

⇔
⇔  x ≤ −2 ⇔ x = 1
 x ≥ −1
x ≥ 1


Thử x=1 vào phương trình ta có

2= 2

nên x=1 là

nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Ví dụ 3:Giải phương trình:

x2 −1 − x +1 = x +1

(3)

•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x 2 − 1 ≥ 0
( x − 1)( x + 1) ≥ 0
⇔

x + 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0

x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇔
⇔
⇔ x ≥1
x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1

Với điều kiện trên : PT (3) ⇔
⇔

Với

x ≥1

thì

x −1 < x +1

nên

( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1
x −1 −1 = x +1

x −1 −1 < x +1

Vậy PT đã cho vô nghiệm.


( x − 1)( x + 1) ≥ 0


x + 1 ≥ 0

•Phân tích sai lầm:Sai lầm khi giải hệ
,nhiều học sinh nghi rằng

 A.B ≥ 0
A ≥ 0
⇔

A ≥ 0
B ≥ 0

Ở lời giải trên thiếu x =-1 và đó là nghiệm duy
nhất.
•Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình:
 x ≥ 1
x 2 − 1 ≥ 0
 x = −1

⇔  x ≤ −1 ⇔ 

x ≥ 1
x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1


◦Với x=-1 :Thay x =-1 vào PT(3) ta có :0=0
.Suy ra x = -1 là nghiệm PT(3).
◦Với

x ≥1

:PT (3) ⇔

( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1
⇔

Với

x ≥1

thì

x −1 < x +1

nên

x −1 −1 = x +1

x −1 −1 < x +1

Suy ra PT (3) vô nghiệm.
Vậy PT (3) có duy nhất nghiệm x = -1.
Ví dụ 4:Giải phương trình:

2 x + x − 3 = 16

(4)

•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x≥3


Với
⇔

điều

kiện

trên,PT(4)

x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔ 
 x = 37

4
2

(thỏa điều kiện

x≥3

)
37

Vậy PT (4) có 2 nghiệm x=7 và x= 4
•Phân

tích

sai

lầm:

Sai

lầm

khi

viết

x − 31 = 6 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2

Nên nhớ rằng:

B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

.

Nếu không sử dụng công thức trên thì sau khi đặt
điều kiện,giải phương trình hệ quả,sau đó phải
thử lại nghiệm vào PT ban đầu.
•Lời giải đúng:

◦Cách 1:
⇔

16 − 2 x ≥ 0
x − 3 = 16 − 2 x ⇔ 
2
 x − 3 = (16 − 2 x)

x ≤ 8

x ≤ 8
 x=7
⇔ 2
⇔ 
⇔ x=7
37
4 x − 65 x + 259 = 0
 x =

4

PT(4)


◦Cách 2:

Điều kiện của phương trình:

x≥3

Với

điều

kiện

trên,PT(4)

⇒ x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔ 
 x = 37

4
2

(thỏa điều kiện

x≥3

)

Thử lại ta thấy x=7 là nghiệm PT (4).
Ví dụ 5:Giải phương trình:
•Lời

giải

có

sai

2 x + 2 2 x = 20

lầm:

(5)
PT

(5)

⇔ 2 x (1 + 2 2 ) = 20 ⇔ 2 x .5 = 20 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2

•Phân tích sai lầm: Tuy rằng x=2 thử vào PT(5)
vẫn thấy thỏa mãn nhưng lời giải vẫn sai lầm vì
học sinh nghĩ rằng
Nên nhớ rằng:

2 2 x = 2 2.2 x

.

2 2 x = (2 x ) 2

•Lời giải đúng: Đặt

t = 2x > 0

.PT (5) trở thành:

2

t +t-20=0
Vì t>0 nên t=4

t = 4
⇔
t = −5

⇔ 2x = 4 ⇔ t = 2

Ví dụ 6:Giải phương trình:

log 2 x 2 = 2 log 2 (3 x + 4)

(6)


•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x ≠ 0
x 2 > 0

⇔
4

3 x + 4 > 0
 x > − 3

Khi đó: PT (6) ⇔ 2 log

2

x = 2 log 2 (3 x + 4) ⇔ log 2 x = log 2 (3 x + 4)

⇔ x = 3 x + 4 ⇔ x = −2

(không thỏa điều

kiện)
Vây PT (6) vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi
log 2 x 2 = 2 log 2 x

Nên nhớ rằng: log

2

x 2 = 2 log 2 x

•Lời giải đúng: PT (6) ⇔ 2 log

2

x = 2 log 2 (3x + 4)

⇔ log 2 x = log 2 (3x + 4)

 x = 3 x + 4
  x = −2




 x = 3x + 4
 x = −3 x − 4
 x = −1
⇔
⇔ 
⇔ 
⇔ x = −1
3
x
+
4
>
0
4
4

x > −
x > −


3
3

Ví dụ 7:Giải phương trình:
•Lời

giải

có

4 log 2 x + x − 6 = 0

sai

(7)

lầm:

PT(7)

 x = −3
⇔ (2 log 2 x ) 2 + x − 6 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x = 2

•Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi
4 log 2 x = (2 log 2 x ) 2 = x 2


Nên nhớ rằng:
•Lời

2 log 2 x = x

chỉ khi x>0.

giải

đúng:

PT(7)

x > 0
x > 0
x > 0

⇔  log x 2
⇔ 2
⇔   x = −3 ⇔ x = 2
2
) + x−6 = 0
x + x − 6 = 0
(2
 x = 2


Ví dụ 8:Giải
a−5+

2a + 5
=0
x−2

và biện luận phương trình:

(8) theo tham số a.

•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x≠2

Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15
Nếu a ≠ 5 thì

x=

15
5−a

Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm: Sai lầm là không để ý

x=

15
5−a

khi nào không là nghiệm của PT (8).Vì nghiệm
phải thỏa

x≠2

nên khi

15
5
=2⇔a=−
5−a
2

thì PT vô

nghiệm.
•Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình:
Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15
Nếu a ≠ 5 thì

x=

15
5−a

và

15
5
≠2⇔a≠−
5−a
2

x≠2


Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm.
5

Vậy:Với a ≠ 5 và a ≠ − 2 thì PT có nghiệm

x=

15
5−a

5

Với a = 5 hoặc a = − 2 thì PT vô nghiệm.
II.Kết luận:
Trên đây là một số sai lầm thường gặp khi học
sinh giải phương trình.Trong quá trình giảng dạy
tôi thường nhấn mạnh các sai lầm thường gặp để
học sinh giải ít sai sót hơn,cho các em luyện tập
các bài toán mà các em có thể gặp sai lầm nhiều
hơn,qua đó giúp các em linh hoạt trong quá trình
biến đổi,đặt điều kiện cho phương trình đầy đủ
và chính xác,giúp các em thấy tự tin hơn trong
học tập.