tài liệu tự học toán 11 chí tiết dễ hiểu (lí thuyết và bài tập)

ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC LỚP 10
I. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn định hướng
2. Cung lượng giác và góc lượng giác
3. Đường tròn lượng giác
4. Số đo của cung và góc lượng giác
5. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Hệ thức lượng giác cơ bản
sin2 x  cos2 x  1

tan x 

sin x
cos x

cot x 

cos x
sin x

tan x.cot x  1

1  tan2 x 

1
cos 2 x

1  cot 2 x 

1
sin2 x

sin4 x  cos 4 x  1  2sin2 x cos2 x

sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x cos2 x


2. Cung liên kết

:
2

Cung đối nhau:
x và –x

Cung phụ nhau:

x và  x
2

Cung hơn kém

cos( x)  cos x

sin( x)   sin x


tan( x)   tan x
cot( x)   cot x

 

sin   x   cos x

 2



cos   x   sin x

2


 tan    x   cot x
2








cot  2  x   tan x




 

sin   x   cos x

 2



cos   x    sin x

2


tan    x    cot x
2








cot  2  x    tan x




Cung bù nhau: x và

x

Cung hơn kém  :

sin(  x)  sin x

cos(  x)   cos x

tan(  x)   tan x
cot(  x)   cot x

tan(  x)  tan x

cot(  x)  cot x

sin(  x)   sin x
cos(  x)   cos x

x và


x
2

Đặc biệt

x và   x

sin(x  k2)  sin x
(k  )


cos(x  k2)  cos x

tan(x  k)  tanx
(k  Z)

cot(x  k)  cot x

3. Công thức biến đổi
Công thức cộng

Công thức nhân đôi

sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a

sin2a  2sinacos a

sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a

cos 2a  cos2 a  sin2 a

cos(a  b)  cos acos b  sinasinb
cos(a  b)  cos acos b  sinasinb

tan(a  b) 

tana  tanb
1  tana.tanb

= 2 cos2 a  1

= 1  2 sin2 a

tan2a 

2 tan a
1  tan2 a

Công thức hạ bậc

cos 2 a 

1  cos 2a
2

sin2 a 

1  cos 2a
2

tan2 a 

1  cos 2a
1  cos 2a

sina cos a 

1
sin2a
2

tan(a  b) 

tana  tanb
1  tana.tanb

cot(a  b) 

cot a.cot b  1
cot a  cot b

cot(a  b) 

cot a.cot b  1
cot b  cot a

cot2a 

Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a  cos b  2 cos

ab
ab
cos
2
2

ab
ab

sina  sinb  2 sin
cos
2
2

cos a  cos b  2 sin

sina  sinb  2 cos

cot 2 a  1
2 cot a

Công thức biến đổi tích thành tổng

cos acos b 

1
cos(a  b)  cos(a  b) 
2

sinasinb 

1
cos(a  b)  cos(a  b) 
2

sinacos b 

1
sin(a  b)  sin(a  b) 

2

ab
ab
sin
2
2

ab
ab
sin
2
2



Chú ý: sin a  cos a  2 sin  a  
4



Ví dụ 1: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo là:
a) 2400

Ví dụ 2: Cho sina 

b) 

17
4

c)

k
(k  )
2

4
( 900  a  1800 ) . Tính cosa, tana.
5

Ví dụ 3: Tính sin150.
Ví dụ 4: Chứng minh sin x cos3 x  sin3 x cos x 
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:

sin 4x
4

cos x sin(x  y)  sin x cos(x  y)

3

cos  y   
cos y
6 2



HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ

1. Khái niệm hàm số
Cho tập hợp D  R. Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi
phần tử x  D với một và chỉ một số thực y, số này phụ thuộc vào x, kí hiệu là f(x)

2. Một số tính chất của hàm số
a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
b. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
c. Hàm số tuần hoàn
II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx
Tập xác định:

D=R

Tập giá trị:

[-1;1]

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2

Tính đồng biến, nghịch biến:

 
Hàm số đồng biến trên 0; 
 2
 
Hàm số nghịch biến trên  ;  
2 

2. Hàm số y = cosx
Tập xác định:

D=R

Tập giá trị:

[-1;1]

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2

Tính đồng biến, nghịch biến:

Hàm số đồng biến trên  ;0 
Hàm số nghịch biến trên 0;

3. Hàm số y = tanx


\   k,k  
2


Tập xác định:

D

Tập giá trị:

(-;+)

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T=

Tính đồng biến, nghịch biến:

  
Hàm số đồng biến trên   ; 
 2 2

4. Hàm số y = cotx

\ k,k 



Tập xác định:

D

Tập giá trị:

(-;+)

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = cotx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T=

Tính đồng biến, nghịch biến:

Hàm số nghịch biến trên  0; 








Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y  tan  2x  
3
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y 

1  2 cos x
sin x

Ví dụ 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x) 

1  2 cos x
sin x

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx + 1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH sinx = a
a  1
Trường hợp 1: 
a  1

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: 1  a  1
sin x  a  s inx  sin 
 x    k2

k 
 x      k2



 x  arcsina  k2
sinx  a  
 x    arcsina  k2

k  

Chú ý:
Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong
cùng một phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x  
Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x 

3
2

2
3

II. PHƯƠNG TRÌNH cosx = a
a  1
Trường hợp 1: 
a  1

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: 1  a  1

cos x  a  cos x  cos 
 x    k2

k 
 x    k2
 x  arccos a  k2
cosx  a  
 x   arccos a  k2


k  

Chú ý:
Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong
cùng một phương trình.


Ví dụ 3: Giải phương trình:

2

cos  2x   
4
2






cos 2x  450 

2
2

III. PHƯƠNG TRÌNH tanx = a
tan x  a  tan x  tan 
 x    k

(k  )

tan x  a  x  arctana  k (k  )

Chú ý:
Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong
cùng một phương trình.

Ví dụ 4: Giải phương trình: tan  x  1  3
IV. PHƯƠNG TRÌNH cotx = a
cot x  a  cot x  cot 
 x    k

(k  )

cot x  a  x  arc cot a  k (k  )

Chú ý:
Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong
cùng một phương trình.




Ví dụ 5: Giải phương trình: cot   x    3
3

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
u  v  k2
sinu  sin v  
(k  )
u    v  k2

u  v  k2
cos u  cos v  
(k  )
u   v  k2

Chú ý:

cosx  0  x 

sin x  0  x  k (k  )


 k (k  )
2

tanu  tan v  u  v  k k 



(Điều kiện: cos u  0 hoặc cos v  0 )

cot u  cot v  u  v  k k 



(Điều kiện: sinu  0 hoặc sin v  0 )


Ví dụ 6: Giải phương trình: sin2x  sin  x 


Ví dụ 7: Giải phương trình: tan3 x  tanx


4 


MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 1)
I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at  b  0
trong đó a, b là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Phƣơng pháp
Ta chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

at  b  0  t  









b
a

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 sin  x    1  0
3
Ví dụ 2: Giải phương trình:

3 tan2x  3  0

II. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at2  bt  c  0

trong đó a, b, c là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Phƣơng pháp
Đặt t là hàm số lượng giác trong phương trình, đặt điều kiện (nếu có).

 1  sin x,cos x  1
Giải phương trình bậc 2 tìm t.
Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.





Ví dụ 3: Giải phương trình: tan2 x  1  3 tan x  3  0
III. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d

trong đó a, b, c, d là các hằng số


2. Phƣơng pháp
Trường hợp 1: cos x  0
Trường hợp 2: cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x
2
2
Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x  3 sin x cos x  2 sin x  1  0
2
2
Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 sin 2x  3 sin 2x cos 2x  3 cos 2x  2


MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 2)

IV. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx

1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

asin x  b cos x  c ( trong đó a, b, c là các hằng số)

2. Phƣơng pháp giải a sin x  b cos x  c
Nếu a2  b2  c2 thì phương trình vô nghiệm
Nếu a2  b2  c2 thì phương trình có nghiệm
a2  b2

Chia cả hai vế của phương trình cho
a sin x  b cos x  c 

Đặt cos  

a
2

a b

2

a
a2  b2

sin x 

a  b2

2

a b

cos x 

c
a2  b2

phương trình trở thành

2

c
2

a2  b2

b

và sin  

cos  sin x  sin  cos x 

b

c

 sin(x  ) 

Giải phương trình lượng giác cơ bản sin(x  ) 

2

a  b2
c
a2  b2

Ví dụ 1: Giải phương trình sin7x  3 cos 7x  2
Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin x  4 cos x 

5
2

V. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG TỔNG-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx

1. Định nghĩa
Phương trình dạng tổng - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng:

a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số)

2. Phƣơng pháp giải


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x  
4


 t  

 t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x 

2; 2 


t2  1
2




Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t
Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 3: Giải phương trình sin x  cos x  sin x cos x  1
VI. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG HIỆU-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx

1. Định nghĩa
Phương trình dạng hiệu - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng

a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số)

2. Phƣơng pháp giải


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x  
4


 t  

 t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x 

2; 2 


1  t2
2

Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t
Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x  6(sin x  cos x  1)




MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 1)

I. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN

1. Phƣơng pháp
Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về các dạng cơ bản

Chú ý:
Ta nhận xét các cung trong các hàm số lượng giác của phương trình.
Tìm cách biến đổi để đưa về cung giống nhau.

2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 cos 2x  2sin x  3  0

Ví dụ 2: Giải phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình
Ví dụ 5: Giải phương trình

sin4 x  cos 4 x  sin2x 

3
0
2

3 cos 5x  2sin3x cos 2x  sin x  0
2(sin6 x  cos 6 x)  sin x cos x
2  2 sin x
(1  2 sin x) cos x
 3
(1  2 sin x)(1  sin x)

0


MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 2)

II. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ DẠNG TÍCH

1. Phƣơng pháp
Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để làm xuất hiện các nhân tử chung,
đưa phương trình về dạng tích.
 f(x)  0


f(x).g(x).h(x)  0  g(x)  0 (f(x), g(x), h(x) là các biểu thức lượng giác)
h(x)  0

2. Các biểu thức cần chú ý trong quá trình phân tích nhân tử
sin2 x  (1  cos x)(1  cos x)

1  tan x 

sin x  cos x
cos x

cos2 x  (1  sin x)(1  sin x)



sin x  cos x  2 sin  x  
4


sin2x  2sin x cos x

1  cos 2x  2cos2 x

cos 2x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)

1  cos 2x  2sin2 x

1  sin2x  (sin x  cos x)2

1  cos 2x  sin2x  2cos x(sin x  cos x)

1  sin2x  (sin x  cos x)2

1  cos 2x  sin2x  2sin x(sin x  cos x)

3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình sin2x  3cos x  0
Ví dụ 2: Giải phương trình

sin x  sin2x  sin3x  0

Ví dụ 3: Giải phương trình

sin x 1  cos x   1  cos x  cos2 x

Ví dụ 4: Giải phương trình

(1  2sin x)2 cos x  1  sin x  cos x

Ví dụ 5: Giải phương trình

3 sin2x  cos 2x  2 cos x  1


ÔN TẬP CHƢƠNG 1
I. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx
Tập xác định:

D=R

Tập giá trị:

[-1;1]

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2

 
Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên 0; 
 2
 
Hàm số nghịch biến trên  ;  
2 

2. Hàm số y = cosx
Tập xác định:

D=R

Tập giá trị:

[-1;1]

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên  ;0 
Hàm số nghịch biến trên 0;

3. Hàm số y = tanx


\   k,k  
2


Tập xác định:

D

Tập giá trị:

(-;+)

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T=

  
Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên   ; 
 2 2


4. Hàm số y = cotx
\ k,k 



Tập xác định:

D

Tập giá trị:

(-;+)

Tính chẵn, lẻ:

Hàm số y = cotx là hàm số lẻ

Tính tuần hoàn:

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T=

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0; 
II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

2. Phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp


3. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: y 

1  cos x
1  2 sin x

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 sin2 x  3cos 2x  4








Ví dụ 3: Giải phương trình: sin  2x    cos x
3
Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 2x  3 sin2x  2sin5x


Ví dụ 5: Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin  x 




(Đề TSĐH A-2013)
4 


QUI TẮC ĐẾM
I. QUY TẮC CỘNG

1. Nội dung quy tắc
Để thực hiện công việc A ta có các phương án (trường hợp) A1 ; A2 ; A3 ;...Ak
Phương án A1 có n1 cách thực hiện
Phương án A2 có n2 cách thực hiện
…
Phương án Ak có nk cách thực hiện
Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1  n2  ...  nk

2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Trên giá sách có 12 quyển sách tiếng Việt, 7 quyển sách tiếng Anh, 6 quyển
sách tiếng Pháp. Hỏi có bai nhiêu cách chọn một quyển sách?
II. QUY TẮC NHÂN

1. Nội dung quy tắc
Để thực hiện công việc A ta phải thực hiện các quá trình liên tiếp A1 ; A2 ; A3 ;...Ak
Quá trình A1 có n1 cách thực hiện
Quá trình A2 có n2 cách thực hiện
…
Quá trình Ak có nk cách thực hiện
Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1 .n2 ...nk

2. Các ví dụ
Ví dụ 2: Từ nhà bạn An tới trường học có 3 con đường đi, từ trường học tới nhà Bình
có 4 con đường đi. Hỏi nếu từ nhà An đến trường học, rồi từ trường học An
qua nhà Bình chơi thì An có bao nhiêu cách đi?

Ví dụ 3: Một đội văn nghệ có 8 bạn nữ và 6 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một
đôi song ca nam – nữ?

Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 1, 2,..., 9 ta có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm bốn chữ số.
b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một.
c) Số chẵn có 4 chữ số.
d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.


HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 1)
I. HOÁN VỊ

1. Định nghĩa
Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

2. Số các hoán vị
Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử là Pn . Khi đó ta có định lý:

Pn  n.(n  1).(n  2)...3.2.1  n!

Chú ý

Ta kí hiệu: n.(n  1).(n  2)...3.2.1 là n! (đọc là n giai thừa)
Quy ước: 0! = 1

3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Một nhóm bạn có 5 người vào rạp xem phim, ngồi vào 5 cái ghế liên tiếp.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn này?

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số
khác nhau?

Ví dụ 3: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ ngồi vào một dãy ghế gồm 7 cái. Hỏi có bao nhiêu
cách ngồi nếu: nam ngồi gần nhau?
II. CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa
Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n
phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử đã cho.

2. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn (1  k  n) . Khi đó ta có định lý:

Akn  n.(n  1).(n  2)...(n  k  1) 

n!
n  k  !

Chú ý : Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó
Ann  Pn

3. Các ví dụ
Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự
lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó kỷ luật. Hỏi thầy
giáo có bao nhiêu cách chọn?

Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác
nhau từng đôi một?

Ví dụ 6: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
nếu: hai vị trí đầu hàng và vị trí cuối hàng là nữ?

Ví dụ 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số:
Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhất thiết phải có số 1 và số 5?
Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và tổng các chữ số hàng trăm,
hàng ngàn, hàng chục ngàn là 8.


HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 2)
III. TỔ HỢP

1. Định nghĩa
Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Mỗi cách lấy k phần tử (k  1) từ n phần tử của
tập hợp A (không cần thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Chú ý:
Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp
chập 0 của n phần tử.

2. Số các tổ hợp

Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Ckn (0  k  n) . Khi đó ta có định lý:

Ckn 

n!
k ! n  k  !

Chú ý: Ckn .k!  Akn (1  k  n)
Ví dụ 1: Một lớp học có 40 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn 3 bạn làm
vệ sinh lớp học. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn?

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Hỏi:
a) Có thể tạo ra được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho?
b) Có thể tạo ra được bao nhiêu tứ giác từ các điểm đã cho?
c) Có thể tạo ra được bao nhiêu véctơ (khác véctơ không)
từ các điểm đã cho?

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên từ 4 đường thẳng
song song với nhau cắt 6 đường thẳng song song khác?

Ví dụ 4: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu
đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có
đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

Ví dụ 5: Tìm n biết An3  Cnn2  14n
Ví dụ 6: Chứng minh Ckn  Cnnk (0  k  n)
Ví dụ 7: Chứng minh Ckn11  Ckn1  Cnk (1  k  n)

3. Tính chất của các số C nk
Tính chất 1: Ckn  Cnnk (0  k  n)
Tính chất 2: Ckn11  Ckn1  Cnk (1  k  n)


NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. KHAI TRIỂN NIU-TƠN

1. Khai triển ( a  b ) n
(a  b)n  Cn0 an  C1nan1b  Cn2an2b2  ...  Cknankbk  ...  Cnnbn

Số hạng tổng quát thứ k+1: Tk 1  Cknank bk

2. Khai triển ( a  b ) n
(a  b)n  Cn0an  C1nan1b  Cn2an2b2  ...  (1)k Cknankbk  ...  (1)n Cnnbn

Số hạng tổng quát thứ k+1: Tk 1  (1)k Cknank bk

Ví dụ 1: Khai triển (a  b)6
Ví dụ 2: Khai triển (2x  1)4
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

1. Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn
1026

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x

1 


trong khai triển  x 2  3 
x 


2013

Ví dụ 4: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển  3x  2 

7

150

3

Ví dụ 5: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  x 2  
x


2. Chứng minh các hệ thức, tính tổng tổ hợp
0
2
 315 C116  314 C16
 ...  C16
Ví dụ 6: Tính tổng S  316 C16
16

Ví dụ 7: Chứng minh Cn0  2C1n  22 Cn2  ...  2n1 Cnn1  2n Cnn  3n
1
 24n2
Ví dụ 8: Chứng minh C14n  C34n  C54n  ...  C2n

4n


PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
I. PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU

1. Phép thử
Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó,… được hiểu là
phép thử.
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của
phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là o-mê-ga).

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền. Mô tả không gian mẫu.
Ví dụ 2: Gieo một con súc sắc. Mô tả không gian mẫu.
Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc hai lần. Mô tả không gian mẫu.
Ví dụ 4: Gieo một con súc sắc.
II. BIẾN CỐ

1. Định nghĩa
Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Ví dụ 5: Gieo một đồng tiền 3 lần. Xác định các biến cố sau:
A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau”
B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp”
C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa”

2. Phép toán trên các biến cố
Giả sử A, B là hai biến cố liên quan đến một phép thử.
Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Tập A  B được gọi là hợp của hai biến cố A và B
Tập A  B được gọi là giao của hai biến cố A và B
Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc


Ví dụ 6: Gieo một đồng tiền 3 lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau”
B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp”
C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa”
c) Xác định biến cố đối của biến cố A
d) Xác định biến cố B  C,B  C

Ví dụ 7: Trong một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”
B: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ”

Ví dụ 8: Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu nhiên liên
tiếp hai lần mỗi lần một quả và ghi số theo thứ tự từ trái qua phải (quả cầu
được trả vào hộp sau khi lấy ra).
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Hai chữ số bằng nhau”
B: “Chữ số sau gấp đôi chữ số trước”

C: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”