sử dụng phân số tỉ số trong giải toán rèn khả năng suy luận

SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHÂN SỐ, TỈ SỐ TRONG GIẢI
TOÁN
RÈN KHẢ NĂNG SUY LUẬN
PHẦN I:

MỞ ĐẦU

1. Lý do:
Kể từ năm học 1995 – 1996 các vấn đề phân số, tỉ số đã
được chính thức đưa vào chương trình Toán ở bậc Tiểu học và trở
thành một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 4 và lớp
5. Trong đó dạng toán có liên quan đến “ Phân số, tỉ số” chiếm
một số lượng đáng kể trong các bài toán có lời văn. Loại toán này
có nhiều ứng dụng trong thực tế. Song khi giải các bài toán này
học sinh còn gặp nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm ra
hướng giải quyết và thường bò nhầm lẫn từ dạng này sang dạng
khác; học sinh giải toán thiếu suy luận, không mang tính toán
học, thiếu mạch lạc, làm cho việc giải toán trở nên phức tạp.
Với tư cách là giáo viên dạy học ở lớp 4, 5 và bồi dưỡng học
sinh giỏi của trường nhiều năm. Tôi chọn nghiên cứu “ Sử dụng
phân số, tỉ số trong giải toán ” nhằm rèn khả năng suy luận cho
học sinh.
2. Nhiệm vụ:
Trong khuôn khổ của đề tài này, nhiệm vụ chính là giúp cho
học sinh sử dụng tốt hơn khái niệm về phân số, giải thành thạo
các bài toán có liên quan đến phân số - tỉ số, khắc phục những sai

lầm của học sinh. Đồng thời cũng nêu lên một số thủ thuật giải
toán theo kinh nghiệm của bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh
giỏi và phương pháp giải các bài toán ở dạng nâng cao.
3. Phương pháp tiến hành:
1


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

- Sử dụng phương pháp giải trình, thống kê, mô tả là chủ
yếu.
- Tiến hành kiểm tra việc nắm khái niệm, giải toán của học
sinh để biết sự nhầm lẫn, thiếu suy luận, qua đó phân loại, phát
hiện học sinh có năng khiếu về toán để bồi dưỡng.
- Hướng dẫn học sinh làm các bài toán có lời văn có liên
quan đến phân số, tỉ số
- So sánh thủ thuật giải các bài toán rút ra kết luận cần ghi
nhớ.
- Việc giúp cho học sinh giải được nhiều bài toán trở nên
mạch lạc, mang tính toán học có tác dụng không nhỏ đối với việc
rèn khả năng suy luận cho học sinh.
4. Cơ sở và thời gian tiến hành:
Đề tài này được rút ra trên cơ sở đúc rút kinh nghiệm của
nhiều năm dạy lớp năm và kết quả đã đạt được của từng năm. Đề
tài được thực hiện ở lớp khoảng 3 năm trở lại đây.
PHẦN II.

KẾT QUẢ.

1/ Mô tả thực trạng:
- Vấn đề phân số, tỉ số luôn xuất hiện trong các kỳ thi học
sinh giỏi Toán Tiểu học mà học sinh thường hay giải toán một
cách máy móc, phương pháp không rõ ràng, hay nhầm lẫn. Vậy
làm thế nào để giúp học sinh giải các bài toán trở nên mạch lạc,
để nâng cao chất lượng dạy học và việc bồi dưỡng học sinh giỏi
mang lại hiệu quả cao đáp ứng với sự phát triển của xã hội,
những học sinh có năng khiếu về toán được phát triển.
- Để rèn khả năng suy luận, giúp học sinh giải nhiều bài
toán rõ ràng mang tính toán học, khắc sâu được kiến thức. Cần có
cách hiểu, nhớ và vận dụng phương pháp giải về “phân số, tỉ số”
– Góp phần rèn khả năng suy luận cho học sinh Tiểu học.
2/ Mô tả nội dung và giải pháp mới:
2


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Vấn đề phân số, tỉ số là một nội dung quan trọng chương
trình, nó luôn xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi học
sinh biết cách giải bài toán rõ ràng, mạch lạc, suy luận lô gic,
mang tính toán học. Vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm
vững khái niệm kiến thức và giải một số bài toán về phân số, tỉ
số sau:
a) Kiến thức cần nắm về phân số:
- Phân số là số do một hay nhiều phần bằng nhau của đơn vò
tạo thành.

+ Cách viết.
Ví dụ:

+ Cách đọc:

*
*

*
a
b
x
2

3
4

đọc là “ ba phần tư”

đọc là “ a trên b”
đọc là “ x trên 2 ”

- Phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên cho
một số tự nhiên (khác 0).
5

Ví dụ: 5 : 8 = 8 ; 11 : 7 =

11
,………..

7

- Các phân số lớn hơn đơn vò còn được viết dưới dạng hỗn số
như sau:
7
4

3

= 1 4 . đọc là “ Một ba phần tư”

- Các tính chất cơ bản:
+ Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số
của phân số đó ( mẫu số > 0) và giữ nguyên mẫu số thì giá trò của
phân số đó tăng thêm 1 đơn vò.
Tổng quát:

a
b

và

+ Khi phân số

a
b

a+b
b

thì

a+b
b

=

a
b

+

b
b

=

a
+
b

1(b>0)

lớn hơn đơn vò ( a > b > 0 ). Nếu bớt ở tử số

một số một số bằng mẫu số của phân số và giữ nguyên mẫu số
thì giá trò của phân số đó giảm đi 1 đơn vò.
Tổng quát:

a

b

và

a−b
b

thì

a−b
b

=

a
b

-

b
b

a

= b-1(b>0)
3


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

+ Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng tử số và
giữ nguyên mẫu số thì phân số tìm được gấp 2 lần phân số đó.
Tổng quát:

a
b

và

a+a
b

thì

a+a
b

=

2 xa
b

a

= bx2

b) Giải toán rèn khả năng suy luận:
Để giúp học sinh với phép suy luận. Giáo viên hướng dẫn

học sinh giải các bài toán sau:
Bài 1: Ba tấm vải dài 105 m. Nếu cắt 1/9 tấm vải thứ nhất,
3/7 tấm vải thứ hai và 1/3 tấm vải thứ ba thì phần còn lại của 3
tấm vải dài bằng nhau. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ?
Bài giải:
Cách 1: ( Qui đồng tử số )
Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ nhất:
1 – 1/9 = 8/9 ( tấm thứ nhất )
Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ hai:
1 – 3/7 = 4/7 = 8/14 ( tấm thứ hai )
Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ ba:
1 – 1/3 = 2/3 = 8/12 ( tấm thứ ba )
Vậy 8/9 tấm thứ nhất = 8/14 tấm thứ hai = 8/12 tấm thứ ba
Tổng số phần bằng nhau:
9 + 14 + 12 = 35 (phần)
Chiều dài tấm thứ nhất dài là:
105 : 35 x 9 = 27 (m)
Chiều dài tấm thứ hai dài là:
105 : 35 x 14 = 42 (m)
Chiều dài tấm thứ ba dài là:
105 : 35 x 12 = 36 (m)
ĐS: Tấm thứ nhất: 27 mét
Tấm thứ hai: 42 mét
Tấm thứ ba: 36 mét
4


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Bài 2: Tổng chiều dài của ba tấm vải là 112 m. Sau khi bán
bớt 3/7 tấm vải xanh, 1/5 tấm vải đỏ và 2/5 tấm vải trắng thì phần
còn lại của ba tấm vải dài bằng nhau. Hỏi chiều dài của mỗi tấm
vải ?
Bài giải:
Cách 2: ( Tìm tỉ số )
Phân số chỉ số vải còn lại ở:
- Tấm vải xanh là: 1 – 3/7 = 4/7 ( tấm vải xanh )
- Tấm vải đỏ là:
1 – 1/5 = 4/5( tấm vải đỏ )
- Tấm vải trắng là: 1 – 2/5 = 3/5( tấm vải trắng )
Vậy: 4/7 tấm vải xanh = 4/5 tấm vải đỏ = 3/5 tấm vải
trắng.
Do đó: Tấm vải đỏ = 4/7 : 4/5 = 4/7 x 5/4 = 5/7 ( tấm vải
xanh )
( cả hai tấm vải cùng nhân với 5/4 )
Tấm vải trắng = 4/7 : 3/5 = 4/7 x 5/3 = 20/21 ( tấm vải
xanh )
( cả hai tấm vải cùng nhân với 5/3 )
Phân số chỉ 112 m vải là:
1 + 5/7 + 20/21 = 56/21( tấm vải xanh )
Tấm vải xanh dài là: 112 : 56 x 21 = 42 (m)
Tấm vải đỏ dài là: 42 : 7 x 5 = 30 (m)
Tấm vải trắng dài là: 42 : 21 x 20 = 40 (m)
ĐS: Tấm vải xanh: 42 mét
Tấm vải đỏ: 30 mét
Tấm vải trăng: 40 mét
Bài 3: Đoàn vận động viên dự thi hội khẻo Phù Đổng của
huyện có số nữ bằng 1/3 số nam. Sau đó theo yêu cầu của phòng

giáo dục huyện nên nhà trường đã thay thế 6 vận động viên nam
bằng 6 vận động viên nữ. Vì thế số học sinh nữ lại bằng 2/3 số
nam. Hỏi có bao nhiêu vận động viên ?
5


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Bài giải: ( dùng tỉ số ) Số người cả đoàn không thay đổi.
Vì lúc đầu số nữ bằng 1/3 số nam. Nên số nữ bằng

1
3 +1

= 1/4

số người cả đoàn.
Thay thế 6 vận động viên nam bằng 6 vận dộng viên nữ thì
số người toàn đoàn không thay đổi. Lúc này số nữ bằng 2/3 số
nam.
Vậy nữ bằng:

2
3+ 2

= 2/5 số người cả đoàn.

Hiệu số nữ lúc sau và lúc đầu bằng:

2/5 – 1/4 = 3/20 (số người cả đoàn)
3/20 số người toàn đoàn chính là 6 người. Vậy số người toàn
đoàn là:
6 : 3 x 20 = 40 (người)
ĐS: 40 người
Bài 4: Đầu năm học, lớp 5A có số học sinh nam bằng 4/9
số học sinh cả lớp, sang đến học kỳ II lớp 5A có 2 học sinh nam
mới chuyển đến nên số học sinh nam bằng 9/10 số học sinh nữ.
Hỏi đầu năm lớp 5A có tất cả bao nhiêu học sinh ?
Bài giải: ( dùng tỉ số ) Số học sinh nữ không thay đổi.
Vì số học sinh nam = 4/9 số học sinh cả lớp.
Nên số học sinh nam =

4
9−4

= 4/5 số học sinh nữ

Phân số chỉ 2 học sinh là: 9/10 – 4/5 = 1/10 ( số học sinh
nữ )
Số học sinh nữ là: 2 : 1/10 = 20 (HS)
Số học sinh nam là: 20 : 5 x 4 = 16 (HS)
Số học sinh cả lớp: 20 + 16 = 36 (HS)
ĐS: 36 HS
Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của trường có 35 em. Trong
đó 1/2 số học sinh nam bằng 2/3 số học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu
học sinh nam, học sinh nữ nói trên ?
6

SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Bài giải: ( dùng tỉ số )
Theo đề ta có: 1/2 số học sinh nam = 2/3 số học sinh nữ.
Vậy số học sinh nam so với số học sinh nữ là: 2/3 : 1/2 =
4/3
Số học sinh nam là: 35 : ( 4 + 3 ) x 4 = 20 (HS)
Số học sinh nữ là: 35 – 20 = 15 (HS)
ĐS: Nam : 20 HS
Nữ : 15 HS
Bài 6: Một người phải đi từ A đến B trong khoảng thời gian
xác đònh. Người đó nhận thấy rằng, nếu đi với vận tốc 50 km/giờ
thì đến B chậm mất 12 phút so với thời gian qui đònh, còn nếu đi
với vận tốc 60 km/giờ thì đến B sớm hơn 40 phút so với thời gian
qui đònh. Tính:
a) Quãng đường AB.
b) Vận tốc cần thiết để đến B đúng giờ qui đònh.
Bài giải: ( dùng tỉ số )
Đi với vận tốc 60 km/giờ thì thời gian đi ít hơn so với vận
tốc 50 km/giờ là:
12 + 40 = 52 (phút)
Tỉ số giữa hai vận tốc: 50/60 = 5/6
Ta thấy, quãng đường không thay đổi nên thời gian đi tỉ lệ
nghòch với vận tốc. Nghóa là nếu đi với vận tốc 50 km/giờ thời
gian chia làm 6 phần thì đi với vận tốc 60 km/giờ chỉ đi bằng 5
phần như thế. ( Tỉ số thời gian là 6/5 )
Số phần thời gian giảm đi là: 6 – 5 = 1 (phần)
Vậy 1 phần chính là 52 phút.

Vậy vận tốc 50 km/giờ thì sẽ đi hết thời gian:
52 x 6 = 312 (phút)
Quãng đường AB dài:
50 x 312 : 60 = 260 (km)
Thời gian qui đònh: 312 – 12 = 300 (phút)= 5 (giờ)
Vận tốc phải đi để đến nơi đúng giờ qui đònh:
260 : 5 = 52 (km/giờ)
ĐS: a) 260 km
7


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

b) 52 km/giờ.
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, lấy điểm M và K trên AB và
CD sao cho MB = DK. Gọi P là một điểm trên cạnh AD. Đoạn
thẳng KM cắt BP và CP lần lượt ở E và F. Hãy chứng tỏ rằng
diện tích tứ giác EBCF bằng tổng diện tích của tứ giác AMEP và
tứ giác PFKD.
Bài giải:
A
M
B
E
P
F
D

K

C

Ta có: S.BPC = 1/2 S.ABCD ( Tam giác có đáy là chiều
rộng, đường cao là chiều dài của hình chữ nhật) (1)

S.AMKD = 1/2 S.ABCD ( Hình thang có tổng hai đáy bằng
chiều dài, đường cao là chiều rộng của hình chữ nhật ABCD) (2)
Từ (1) và (2) Suy ra : S.BPC = S.AMKD

S.BPC = S.PEF + S.EBCF (3)
S.AMKD = S.AMEP + S.PEF + S.PFKD
Từ (3) và (4) Suy ra : S.PEF + S.EBCF
Mà:

+ S.PFKD

(4)
=

S.AMEP + S.PEF

S.PEF ta được
= S.AMEP + S.PFKD

Bớt mỗi vế

S.EBCF

Vậy bài toán đã được chứng minh xong.
* Tóm lại: Như vậy qua các bài tập ở những dạng khác
nhau, Cùng với thao tác hóa hoạt động bằng tay trong giải toán,
giúp học sinh rút ra được thủ thuật giải toán về phân số, tỉ số.
8


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Giúp các em khắc sâu hơn, nắm vững chắc hơn, hạn chế được sự
nhầm lẫn. Giúp các em giải được nhiều bài toán mang tính toán
học, có tác dung đối với việc rèn khả năng suy luận, phân tích.
Nhất là đối với học sinh giỏi.
PHẦN III:

KẾT LUẬN

1/ Khái quát các kết luận cục bộ để tìm câu trả lời đề tài:
- Học sinh được giáo viên hướng dẫn luyện tập với các dạng
toán khác nhau, được rèn khả năng suy luận, phân tích, giúp các
em làm quen với khái niệm mới, giải toán mang tính toán học,
các em sẽ giải thành thạo các bài toán về phân số, tỉ số, biết phát
hiện , đề xuất và giải bài toán mới.
- Thủ thuật giải toán về “phân số, tỉ số” có tác dụng không
nhỏ đến việc rèn luyện các thao tác: Tư duy lô gic, lập luận có
căn cứ và sử dụng các phép suy luận đơn giản trong giải toán.
Rèn luyện tính linh hoạt: nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác
nhau, từ đó có thể tìm ra nhiều cách giải quyết bài toán. Biến đổi

hình vẽ để đưa bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết
cách giải.
- Củng cố các mối quan hệ, khái niệm.
+ Cách tìm tỉ số của hai số.
+ Vận dụng tỉ số trong giải toán chuyển động, toán hợp,
hình học….
2/ Lợi ích và khả năng vận dụng:
- Thủ thuật giải toán mang tính toán học về phân số, tỉ số ở
Tiểu học, giúp cho việc giải nhiều bài toán theo một trình tự nhất
đònh, , đưa bài toán đã cho về bài toán mẫu đã biết cách giải.
Giúp cho các em nắm vững tính chất của phân số, mối quan hệ tỉ
lệ nghòch giữ vận tốc và thời gian khi quãng đường không thay
đổi, mối quan hệ về diện tích, dáy, chiều cao trong tam giác như:
9


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

Diện tích không thay đổi thì đáy tỉ lệ nghòch với chiều cao (hoặc
ngược lại)

- Sau nhiều năm dạy tôi rút ra một số kinh nghiêm trên, tôi thấy
sau khi áp dụng phương pháp này, hầu hết học sinh giải được một số
dạng toán về phân số, tỉ số . Trong nhiều năm liền, tôi đã áp dụng đề
tài này trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Đã có nhiều học sinh của
trường đạt thành tích cao trong các kì thi học sinh giỏi 3 cấp và thi
chọn học bỗng của huyện. Cụ thể:
NĂM HỌC

TỈNH.

2002-2003
2003-2004
2004-2005

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯC.
HUYỆN. TRƯỜNG. B.BỔNG

1
5

1
1

2
2
1

T.BỔNG

1

- Năm học 2005-2006 riêng lớp tôi (5A) học kỳ I có 10 em đạt
loại giỏi, 09 em đạt loại khá, 05 em trung bình.

- Với đề tài này khả năng vận dụng vào dạy học là thực tế,
mà bất cứ giáo viên nào cũng thực hiện được cho học sinh lớp
mình, có thể áp dụng rộng rãi để giải nhiều bài toán khó, có thể
áp dụng cho nhiều khối lớp, nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi

lớp 4,5.
3. Đề xuất, kiến nghò:
Với đề tài này tôi đã áp dụng và đã đạt nhiều kết quả tốt, vậy
mong Hội đồng khoa học xem xét. Nếu có thể được cho vận dụng vào
các trường hay cho giáo viên tham khảo để thực hiện nhằm góp phần
nâng cao chất lượng cho học sinh.

10


SK-KN

Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán - Rèn khả năng suy luận

11