Giải phương trình truyền nhiệt ổn định và không ổn định một chiều

Báo Cáo Seminar

KĨ THUẬT MÔ PHỎNG & MÔ HÌNH HÓA
Chuyên đề: Giải Phương Trình Truyền Nhiệt Ổn Định Và Không Ổn Định Một
Chiều

GVHD: TS. Nguyễn Thanh Hào
HVTH:

Mai Xuân Điều
Nguyễn Nam Quyền
Vũ Ngọc Sơn
1


NỘI DUNG BÁO CÁO

Phương pháp sai phân hữu
hạn

Chương trình trên
Matlab
Viết lưu đồ thuật toán

2


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt ổn định một chiều:

Xét phương trình tổng quát của hiện tượng đối lưu khuếch tán ổn định một chiều được viết dưới dạng:

 

 

 

 

Trong đó:
p=

3


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt ổn định một chiều:

 

Rời rạc phương trình phương pháp khai triển Taylor xấp xỉ đạo hàm bậc nhất và bậc hai theo lược đồ sai phân trung tâm
ta được:

Đây là hệ M-1 phương trình nhưng có M+1 ẩn số T0, T1,…, TM.

4

Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
Bài toán truyền nhiệt ổn định một chiều:

o
Một thanh kim loại hình trụ có đường kính D = 2cm, dài L = 5cm, bị đốt nóng ở một đầu với nhiệt độ không đổi là T = 330 C. Nhiệt độ của môi
o
o
2
trường là 30 C, hệ số tỏa nhiệt trên bề mặt thanh h =100 W/m .độ.

Xác định nhiệt độ trên thanh kim loại trong trường hợp đối lưu khuếch tán ổn định một chiều. Nếu biết hệ số truyền nhiệt của thanh kim loại: k
= 50 W/m.độ
5


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
Ta chia thanh trụ thành 5 phần bằng nhau tương ứng với Δx = 0.01 m  

o
To = 330 C

[
]
T − [2 + ( m∆x ) ]T + T = −( m∆x ) T
T − [2 + ( m∆x ) ]T + T = −( m∆x ) T
T − [2 + ( m∆x ) ]T + T = −( m∆x ) T
2T − [2 + ( m∆x ) ]T = −( m∆x ) T

To − 2 + ( m∆x ) T1 + T2 = −( m∆x ) T∞
2

2

2

2

1

2

∞

3

2

2

2

3

∞

4

2

3

2

4

2

4

2

5

2
Xác định hệ số m :

m2 =

∞

5

∞

P.h
4.100
=
= 400
k . A 0.02.50

( m∆x ) 2 = 400.0.012

= 0.04
6


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt không ổn định một chiều:

 Phương pháp Crank- Nicolson:
Xét phương trình khuếch tán một chiều trong không gian hữu hạn 0 ≤ x ≤ L như sau:

∂T ( x, t )
∂T 2 ( x, t )
=α
∂t
∂x 2

với 0 < x < L và t >0 (1.1)

Chia đoạn L thành M phần bằng nhau, ta có khoảng cách giữa các nút lưới sẽ là:

∆x =

L
M

(1.2)

Phương trình vi phân (1.1) được xấp xỉ theo Crank- Nicolson có dạng như sau:

Ti j +1 − Ti j α  Ti −j1+1 − 2Ti j +1 + Ti +j1+1 Ti −j1 − 2Ti j + Ti +j1 
= 
+

2
∆t
2
( ∆x )
( ∆x ) 2


(1.3)

7


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt không ổn định một chiều:

Phương trình (1.3) được viết lại như sau:

− rTi −j1+1 + ( 2 + 2r )Ti j +1 − rTi +j1+1 = rTi −j1 + ( 2 − 2r )Ti j + rTi +j1
Trong đó:

r=

α∆t

( ∆x ) 2

j = 0,1,2,…, M.
i = 1,2,…., M-1.

Hệ phương trình (1.5) bao gồm M-1 phương trình (i = 1,2,…,M-1) ), nhưng số ẩn số

T

là M+1 (j = 0,1,2,…,M). Do đó, cần phải bổ sung thêm hai i

phương trình đại số từ các điều kiện biên để số phương trình bằng số ẩn số.

8

j +1


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt không ổn định một chiều:

Nếu điều kiện tại x = 0 và x = L được biểu diễn dưới dạng năng lượng

và

với ,

hT

hT

L kiện
∞,L
∞ ,o
là hệ số truyền nhiệt, ta ocó phương
trình điều

h hL

o
biên như sau:

−k
k

dT ( x )
+ hoT ( x ) = hoT∞ ,o
dx

dT ( x )
+ hLT ( x ) = hLT∞ , L
dx

với x =0 (1.7)

với x = L (1.8)

Phương trình 1.5 được viết lại cho nút i = 0 và i =M như sau:

− rT−1j +1 + ( 2 + 2r )To j +1 − rT1 j +1 = rT−1j + ( 2 − 2r )To j + rT1 j

với i =0 (1.9)

− rTMj +−11 + (2 + 2r )TMj +1 − rTMj ++11 = rTMj +1 + ( 2 − 2r )TMj + rTMj +1

với i = M (1.10)

9


Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Truyền nhiệt không ổn định một chiều:

Khi đó giá trị nhiệt độ

và

j
j
được loại
−1 bỏ khỏi phương
M +1 trình, ta có:

T

T

( 2 + 2rβ o )Toj +1 − 2rT1 j +1 = ( 2 − 2rβ o )Toj + 2rT1 j + 4rγ o

với i = 0 (1.11)

− 2rTMj +−11 + ( 2 + 2rβ L )TMj +1 = 2rTMj −1 + ( 2 − 2rβ L )TMj + 2rγ L
Trong đó:

với i = M (1.12)

∆xho
∆xho
,γ o = 1 +
T∞ ,0
k
k
∆xhL
∆xhL
βL = 1+
,γ L = 1 +
T∞ , L
k
k
α ∆t
r=
( ∆x ) 2

βo = 1+

10

Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn

Bài toán truyền nhiệt không ổn định một chiều:

o
Một tấm cao su có bề dày 10mm, dài A = 80cm, rộng B = 50cm, bị đốt nóng ở một mặt với nhiệt độ không đổi là T = 180 C. Để làm nguội dùng không
o
o
2
khí có nhiệt độ của môi trường là 30 C, hệ số tỏa nhiệt trên bề mặt thanh h = 65 W/m .độ. Xác định nhiệt độ bề mặt và của tâm vách sau thời gian làm nguội 10
-4 2
phút. Nếu biết hệ số truyền nhiệt của thanh kim loại k = 0.175 W/m.độ, hệ số khuếch tán nhiệt của cao su là α =  3.10 m /h

− rTi −j1+1 + ( 2 + 2r )Ti j +1 − rTi +j1+1 = rTi −j1 + ( 2 − 2r )Ti j + rTi +j1
Trong đó:

α∆t
3.10 −4.1 / 30 1
r=
=
=
2
2
10
( ∆x )
( 0,01)
11


Lưu Đồ Thuật Toán

Nhập các thông số đầu vào
k; h; ∆t; ∆x; To ...

Vật thể truyền nhiệt ổn định một

S

chiều

S

Đ

Vật thể là tấm phẳng chữ nhật

S

Vật thể là tấm phẳng chữ nhật
Đ

Đ
12


Lưu Đồ Thuật Toán

Vật thể là tấm phẳng chữ
nhật

S

Đ

i = so nut
j = so nut
S

S

i=1

i=2

2
Đ

Đ

C (i,1) = To

C(i,1)= ((-m)*(deltax^2)*Tm)
Đ
S

j =i

B(i,j) = 0

C(i,1)= ((-m)*(deltax^2)*Tm)

Đ
13


j-(i-1)=(n-1)

j =i

Đ

Đ

B (i,j) = 1

B (i,j) = 2

j = i – 2
S

Or j-(i-2)=2

Đ

S

B (i,j) = 1

S

B (i,j) = 0

j-(i-1)=n

j-(i-2)=1
S

Đ

B(i,j)=-2+(m*deltax^2)

Đ

B(i,j)=-2+(m*deltax^2)

B (i,j) = 0

14


Lưu Đồ Thuật Toán

In ma trận hệ số B và hệ số C

E = inv(B)
D = E*C

Xuất kết quả từ ma trận kết quả
D

15


Vật thể là tấm phẳng chữ
nhật

Đ

r=(anpha*deltat)/(deltax^2);
         beta=(1+(deltax*h)/k);

n+1
         gama=((deltax*h*Tm)/k);
S

Đ
S

C(i,1)=(4*r*gama)

i <=(n+1)

Đ

C(i,1)=(4*r*gama)

2*(n+1))
S

j =i

Đ

j–i=1
C(i,1)=0
Đ
16


S

S

j–i=1

j =i

j – i = n+1

Đ

Đ

B (i,j) =(2*r*peta)-2

Đ

B(i,j) = 2*r

S

B(i,j) = 0

B (i,j) =2+(2*r*peta)

j – i = n+1

Đ

B(i,j) = - 2*r

17

S


n+1
Đ

j–i=n
C(i,1)=(4*r*gama)
S
Đ

S

j-(i-(n+1))=2*n

j-(i-(n+1))=n-1
Đ

B (i,j) =(2*r*peta)-2

Đ

B(i,j) = -2*r
B(i,j) = - 2*r
S

B(i,j) = 0

j-(i-(n+1))=2*n+1

Đ

B(i,j)=(2*r*peta)+2
18

S


2*(n+1))
Đ

j-(i-2*(n+1))=1
S

C(i,1)=0

S

Đ

j-(i-2*(n+1))=2
Or j-(i-2*(n+1))=n+1
Or j-(i-2*(n+1))=n+3

j=i-2*(n+1)

Đ

Đ

B (i,j) =2-2*r
B(i,j) = r

B(i,j) = r
S

B(i,j) = 0

S

j-(i-2*(n+1))=n+2

Đ

B (i,j) =2-2*r

19


Lưu Đồ Thuật Toán

In ma trận hệ số B và hệ số C

E = inv(B)
D = E*C

Xuất kết quả từ ma trận kết quả
D

20


Viết Chương Trình Trên Matlab
Viết Chương Trình Trên Matlab
Thiết kế giao diện trong Guide:
 Mở

phần mềm Matlab, gõ lệnh Guide vào cửa sổ Command

Create New GUI: Tạo một hộp thoại GUI mới theo Blank GUI (Default): Hộp thoại GUI trống không có một điều khiển
uicontrol nào cả.
21

Viết Chương Trình Trên Matlab
Viết Chương Trình Trên Matlab
Thiết kế giao diện trong Guide:
Cửa sổ GUI hiện ra

22


Thay đổi các thuộc tính của các điều khiển  

23


Add code vào nút lệnh

Click chuột phải vào nút lệnh Push Button chọn Callback
24


Giao diện nhập dữ liệu giải phương trình truyền nhiệt

25