phương pháp số giải bài toán ngược phương trình truyền nhiệt có nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
* * *



TRẦN HỮU LƯƠNG





PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
CÓ NGUỒN NHIỆT





LUẬN VĂN
THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010




ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
* * *



TRẦN HỮU LƯƠNG



PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
CÓ NGUỒN NHIỆT


CHUYÊN NGHÀNH : GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01



LUẬN VĂN
THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Đặng Đức Trọng



Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010






LỜI CẢM ƠN



Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đối với Thầy
PGS.TS. Đặng Đức Trọng, Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và truyền đạt
nhiều ý kiến quý báu để tôi hoàn thành bản luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý giá, thiết thực cho bản luận
văn .

Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong tổ Toán – Tin
Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã trực tiế
p

giảng dạy và trang bị đầy đủ kiến thức cơ bản làm nền tảng cho tôi trong quá
trình viết luận văn .

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình tôi, quý thầy cô và bạn bè đã hỗ trợ,
giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.



Trần Hữu Lương




MỤC LỤC
Lời cảm ơn………………………………………………………………………………
Mục lục……………………………………………………………………………………

1.Phần 1- MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU……………………………………………………….1
1.1 Mở đầu………………………………………………………………………… 1
1.2 Ký hiệu…………………………………………………………………………… 3

2.Phần 2- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN…………………………………………… 4
2.1 Bài toán thuận. Bài toán ngược……………………………………………… 4
2.2 Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa…………………….4
2.3 Hàm nguyên……………………………………………………………………5
2.4 Bất đẳng thức Holder………………………………………………………… 5
2.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn. Đẳng thức Parseval…………………………… 6
2.6 Bất đẳ
ng thức Jensen………………………………………………………… 7

2.7 Công thức tích phân Cauchy. Thặng dư……………………………………….8
2.8 Định lý Beurling………………………………………………………………10

3.Phần 3- CÁC ĐỊNH LÝ………………………………………………………… 11
3.1 Bài toán……………………………………………………………………… 11
3.2 Các định lý …………………………………………………………………….13
3.2.1. Định lý 1. ………………………………………………………… 13
3.2.2. Định lý 2. ………………………………………………………… 13
3.3 Các bổ đề………………………………………………………………………14
3.3.1. Bổ đề 1…………………………………………………………… 14
3.3.2. Bổ đề 2…………………………………………………………… 16
3.3.3. Bổ đề 3…………………………………………………………… 19
3.3.4. Bổ đề 4…………………………………………………………… 22
3.3.5. Bổ đề 5…………………………………………………………… 27
3.3.6. Bổ đề 6…………………………………………………………… 29
3.4 Chứng minh các định lý ……………………………………………………… 32
3.4.1. Chứng minh định lý 1 …………………………………………… 32
3.4.2. Chứng minh định lý 2 …………………………………………… 34
3.5 Giải số………………………………………………………………………… 37
3.5.1. Thuật toán………………………………………………………….37
3.5.2. Ví dụ minh họa…………………………………………………….39
3.5.2.1. Ví dụ 1…………………………………………………….39
3.5.2.2. Ví dụ 2…………………………………………………….40
3.6 Kết luận…………………………………………………………………………45

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………48
Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

PHẦN 1

MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU

1.1. Mở đầu.
Các bài toán ngược đóng vai trò quan trọng trong chính vấn đề nội tại của toán học
cũng như trong thực tiễn, trong luận văn này ta xét bài toán sau
Giả sử
T > 0, t
∈
(0, T),
Ω
= (0, 1)
×
(0, 1), (x, y)
∈
Ω
,
11
(), (0,)gL L T
ϕ
∈Ω ∈
( g,
ϕ
là hai hàm cho trước ).
Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau
Cho phương trình
(x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) +
()t
ϕ
.f(x,y),
Với

i. u(x, y, 0) = g(x, y),
ii. u(1, y, t) = 0,
iii. (0, y, t) = (1, y, t) = (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0,
Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) là nghiệm của hệ (1) .
Vấn đề là, trong trường hợp tổng quát chúng ta có thể không tìm được chính xác
u(x, y, t) và f(x, y) thỏa bài toán trên. Do vậy, ở đây, chúng ta cần xây dựng một hàm
chỉnh hóa của f(x,y) trên cơ sở các dữ liệu xấp xỉ.
Phương pháp được áp dụng ở đây là dùng phương pháp nội suy ta tìm các hệ số của
chuỗi Fourier khai triễn của f, sau đó dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ta sẽ
xây dựng được nghiệm chỉnh hóa.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Tháng08/2010
Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 2
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Nếu gọi
ε
là sai số giữa dữ liệu đã cho và dữ liệu chính xác thì sai số giữa nghiệm
chính xác và nghiệm chỉnh hóa sẽ có bậc [
1
ln( )
ε
−
]
-1
.
Nội dung chính của luận văn gồm các phần sau
Phần 1: MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU
Phần2: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Phần3: CÁC ĐỊNH LÝ

Mục đích của luận văn này là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của f(x,y), do đó các kiến
thức về
1. Bài toán thuận. Bài toán ngược.
2. Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa.
3. Hàm nguyên.
4. Bất đẳng thức Holder.
5. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn. Đẳng thức Parseval.
6. Bất đẳng thức Jensen.
7. Công thức tích phân Cauchy. Thặng dư.
8. Định lý Beurling
được sử dụng để xây dựng nghiệm chỉnh hóa đó.
Trong kết quả chính, phần xây dựng sơ đồ chỉnh hóa cho f được mô tả lại theo nội
dung bài báo “Determine the spacial term of a two-dimensional heat source ” của
nhóm tác giả Dang Duc Trong, Pham Ngoc Dinh Alain và Phan Thanh Nam.
Ngoài ra, trên nội dung bài toán đó ta có thể giải được một bài toán khác được phát
biểu sau khi chứng minh định lý chính.
Cuối cùng là 2 ví dụ về giải số nhằm minh họa lại các kết quả trên.


‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Tháng08/2010
Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 3
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

1.2. Ký hiệu.
Dưới đây là một số ký hiệu được dùng trong luận văn này
1.
.
: chuẩn trong một không gian
định chuẩn nào đó .

2. L
p
(
Ω
): tập các hàm đo được theo
nghĩa Lebesgue trên và
Ω
p
| f(t) | dt < +
Ω
∞
∫

với chuẩn
1/
(())
p
p
.
p
L
ffx
Ω
=
∫

3. C(
Ω
): không gian các hàm liên tục trên

Ω
với chuẩn

{
}
()
sup ( ) : .
C
ffxx
Ω
=
∈Ω


4. C
k
(
Ω
): không gian các hàm liên
tục và khả vi đến cấp k trên
Ω
với chuẩn

{}
()
()
0
sup ( ) : .
k
p

k
C
k
ffx
Ω
=
x
=
∈Ω
∑


5.
:không gian các hàm liên tục và khả vi mọi cấp trên


()C
∞
Ω .Ω

6. H
p
( ) (với p = 1, 2): không gian các hàm của L
Ω
2
(
Ω
) sao cho f và các đạo hàm

yếu của nó tới bậc p có chuẩn trong L

2
hữu hạn với chuẩn

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Tháng08/2010
Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 4
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2
() 1/2
()
0
(()
p
p
k
H
k
).
f
fxdx
Ω
=
Ω
=
∑
∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Tháng08/2010

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4




Tháng 08/2010
PHẦN 2
KIẾN THỨC LIÊN QUAN

2.1. Bài toán thuận. Bài toán ngược.
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X

Y là một ánh xạ. Khi đó ta nói,
Bài toán thuận là : cho f và x

X, ta cần tính giá trị của f(x),
Bài toán ngược là : cho f và y

Y, ta cần giải phương trình f(x) = y theo ẩn x.

2.2.Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa.
Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X

Y là một ánh xạ.
Phương trình f(x) = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau đây
i. Sự tồn tại: Với mỗi y

Y, tồn tại x

X sao cho f(x) = y.

ii. Sự duy nhất: Với mỗi y

Y, tồn tại nhiều nhất một x

X để f(x) = y.
iii. Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục trên dữ liệu y (tức là: với mỗi dãy (x
n
)

X : f(x
n
)

f(x) thì kéo theo x
n


x hay dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đến dãy dữ
liệu chính xác thì nghiệm nhiễu sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác).
Nếu nghiệm x không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y thì khi f(x
n
)

f(x) có thể x
n

không hội tụ đến x hoặc x
n
sẽ dần đến vô cùng .
Để xét tính chỉnh của một bài toán, ta thường đưa nó về dạng phương trình f(x) = y rồi

xét sự chỉnh hóa của bài toán này.
Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 5




Tháng 08/2010
Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện của bài
toán chỉnh.
Sự chỉnh hóa là việc ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại) với nghiệm xấp
xỉ của bài toán nhiễu và đồng thời nghiệm xấp xỉ phải ổn định theo dữ liệu nhiễu.

2.3. Hàm nguyên.
Hàm f: C

C được gọi là hàm nguyên nếu nó giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức.
Để f(z) là hàm nguyên, điều kiện cần và đủ là ta phải có

( )
0
( )
0,
!
n
n
f z
khi n
n
  

đối với ít nhất một điểm z
0
.
Trong trường hợp đó chuỗi Taylor của hàm f(z) sẽ hội tụ khắp mặt phẳng phức.

2.4. Bất đẳng thức Holder.
Bất đẳng thức Holder là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L
p
.
Giả sử
i. S là một không gian đo,
ii. 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1 ( p và q được gọi là liên hợp Holder lẫn nhau),
iii. f

L
p
(S) và g

L
q
(S).
Khi đó
Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 6




Tháng 08/2010
f.g


L
1
(S) và
1
. .
p q
f g f g


Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có





1/ 1/
( ) ( ) ( ) . ( ) .
p q
p q
f x g x dx f x dx g x dx

  

2.5.Hệ trực giao, hệ trực chuẩn. Đẳng thức Parseval.
2.5.1. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn.
Xét trên L
2
((-

,


)),
Dãy hàm


n
g n N

được gọi là hệ trực giao nếu
( ). ( ) 0, ,
m n
g x g x dx m n



  


và nếu hệ


n
g n N

có thêm tính chất
2
( ) 1,
m
g x dx







ta nói hệ


n
g n N

là trực
chuẩn.
Cho f

L
2
((-

,

)), với hệ trực chuẩn {g
n
}, ta đặt
c
n
=
( ). ( ) , ,
n
f x g x dx n N




 


thì ta gọi
0
n n
n
c g



là chuỗi Fourier của hàm f ứng với hệ trực chuẩn {g
n
}.
Khi đó, ta có bất đẳng thức Bessel là
2 2
0
( ) .
k
n
f x dx c










Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 7




Tháng 08/2010
Và hệ trực chuẩn {g
n
} được gọi là đầy đủ trong L
2
nếu
2 2 2
0
( ) , .
k
n
f x dx c f L





  



2.5.2. Đẳng thức Parseval.

Cho f

L
2
((-

,

)) và chuỗi Fourier của f là

0
1
( cos sin )
2
n n
n
a
a nx b nx


 

, với
1
( ) os( ) , 0,1,2,
1
( )sin( ) , 1,2,
n
n
a f t c nt dt n

b f t nt dt n








 
 



Khi đó, ta có hệ trực chuẩn
1 cos sin cos sin
, , , , , ,
2
x x nx nx
    
 
 
 

là đầy đủ và
2
2 2 2
0
1
1

( ) ( ) .
2
k k
k
a
f x dx a b






  



2.6. Bất đẳng thức Jensen.
Với mọi hàm lồi f trên (a, b) và với mọi a
1
, a
2
, …, a
n

(a, b), ta có
Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 8

Tháng 08/2010
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) 1
[ ( )]
n
n
f a f a f a
f a a a
n n
  
   
,
Với mọi hàm lõm f trên (a,b) và với mọi a
1
, a
2
, …, a
n

(a, b), ta có
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) 1
[ ( )]
n
n
f a f a f a
f a a a
n n

  
   
.
Ở đây, nếu f có đạo hàm cấp hai trên (a, b) thì
f là hàm lồi trên khoảng (a, b)

f ’’(x)

0,
( , )
x a b
 
,
f là hàm lõm trên khoảng (a, b)

f ’’(x)
0, ( , )
x a b
  
.

2.7. Công thức tích phân Cauchy. Thặng dư.
2.7.1. Công thức tích phân Cauchy
(1)
.
Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền n-liên, giới nội trên D và liên tục trên miền kín
D

thì
z D

 
ta có
1 ( )
( )
2
C
f t
f z dt
i t z




,
với C là biên của miền D lấy theo chiều dương (chiều mà khi di chuyển trên C thì miền
D nằm bên trái) .
2.7.2. Thặng dư
(2)
.
(1)
Xem [2], tr 69.
(2)
Xem [2], tr 96.
Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 9




Tháng 08/2010
Giả sử

i. a là điểm bất thường cô lập của hàm giải tích f(z) và
ii. C là một đường cong kín, liên tục, không có điểm bội và trơn từng khúc giới hạn
một miền D chứa a,
iii. f(z) giải tích trong miền
D
trừ a.
Khi đó,
a) Thặng dư của f(z) tại a là
Res[f(z), a] : =
1
( )
2
C
f z dz
i


,
với chiều đi trên C là chiều dương.
b) Nếu khai triển Laurent của f(z) quanh a có dạng
( ) ( )
n
n
n
n
f z k z a


 


thì từ tích phân Cauchy ta suy ra
Res[f(z), a] = k
-1
.

Và ta cũng có hai kết quả sau về thặng dư
Định lý 1
(1)
Nếu f(z) giải tích trong miền kính
D
giới hạn bởi đường cong kín C trừ một số điểm bất
thường cô lập a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
nằm trong D thì
(1)
Xem [2] tr 99.

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10




Tháng 08/2010

1
( ) 2 R es[f(z), a ].
n
k
k
C
f z dz i






Định lý 2
(1)
Giả sử hàm f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng, trừ một số hữu hạn điểm bất thường
a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
.
Khi đó
1
Re [f(z), a ] R es[f(z), ] = 0.
n
k

k
s

 



2.8. Định lý Beurling
(2)
Cho f(z) là hàm giải tích trong miền
{ arg }
D z z
 
  
,
Đặt M
f
(r) = sup


( ) ,
i
f re

  
 
, ( r = /z/ ).
Khi đó ta có định lý sau
Với mọi hàm nguyên f(z) và với mọi
[0,2 ]

 

, ta có
iθ
r +
f
ln f(re )
lim sup[ ] -1
ln M (r)

.

(1)
Xem [2] tr 100.
(2)
Xem [7], phần 3, tr 6.
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 11



Tháng 08/2010
PHẦN 3
CÁC ĐỊNH LÝ

3.1. Bài toán.
Giả sử
T > 0, t

(0, T),


= (0, 1)

(0, 1), (x, y)


,
1 1
( ), (0, )
g L L T

  

( với g và

là hai hàm cho trước).
Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau
Cho phương trình
(x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) +
( )
t

.f(x,y), với
i. u(x, y, 0) = g(x, y),
ii. u(1, y, t) = 0,
iii.
(0, y, t) = (1, y, t) = (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0,
Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) là nghiệm của hệ (1).
Đây là bài toán không chỉnh.
Để xây dựng nghiệm chỉnh hóa của hệ (1) ta cần một số các ký hiệu sau đây
1.

( , , ) ( , , )
xx yy
u u x y t u x y t
  
,
2.
( )( , ) ( , )cosh( ) os( )
G x y x c y dxdy
     



,
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 12



Tháng 08/2010
3.
2 2
( )
0
( )( , ) . ( ) ,
T
t
D e t dt
 
   
 




4.
( )( , )
, ( ( )( , ) 0)
( )( , )
( , )( , ) ,
0 ,( ( )( , ) 0)
G
D
D
H
D
  
  
  
   
  

 







(với
1
( )

L

 
,
1
(0, )
L T


,
,
C
 

).
5.
1, ( 0),
( , ) 2, ( 0 0),
4, ( , 0).
m n
K m n m n n m
m n
 


     





6.
 
1 2
1
[A; ]( ) ( ) ( ), , , , ,
p
k
j p
k j
j
j k
z x
L z x A x x x
x x
 



  



7.
1 1
ln( ) ln( )
[ , 1 ],
50 50
r Z


 
 
  

8.


( ) (4 ), 1,2, ,20 ,
B r r j j r
  
   

9.
( , ) [ ( ); ( , )(., )]( )
F m n L B r H g n im
   
  

,
10.
0 ,
( , ) ( , ) ( , )cos( ) os( ),
m n r
f x y K m n F m n m x c n y

 
 
 



11.
( ) ( )( , ).
n
z G z n
  


Ngoài ra, với
2
( ); ,
L m n Z

  
, ta có

( )( , ) ( , )cos( ) os( ) .
G im n x y m x c n y dxdy
     




Và


, 0
( , ). os( ). os( )
m n
K m n c m x c n y

 

là hệ trực chuẩn trong L
2
,
nên ta có biểu diễn
, 0
( , ) ( , ) ( )( , )cos( ) os( )
m n
x y K m n G im n m x c n y
     



.
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 13



Tháng 08/2010
3.2. Các định lý.
Ta xét điều kiện (H) như sau
(H):
0
0
0
( ) . , (0, ),
(0, ), 0, 0 :
( ) . , (0, ).
t t t T

T T
t t t T






   
    

   


3.2.1. Định lý 1. (về tính duy nhất nghiệm)
Giả sử g


1
( )
L

và

thỏa (H).
Khi đó hệ (1) có duy nhất nghiệm
( u, f )


1 1 2 2 2

( ([0,T];L ( )) (0, ; ( )), ( )).
C L T H L
  


3.2.2. Định lý 2. (về việc xây dựng nghiệm chỉnh hóa)
Giả sử
i. g
0


1
( )
L

,
1
0
(0, )
L T


và
0

thỏa (H),
ii.
1 1
ln( ) ln( )
[ , 1 ],

50 50
r Z

 
 
  



( ) (4 ), 1,2, ,20 ,
B r r j j r
  
   

iii. (u
0
, f
0
)


1 1 2 2 2
( ([0,T];L ( )) (0, ; ( )), ( ))
C L T H L
  


là nghiệm chính xác của (1)
tương ứng với các dữ liệu chính xác g
0

,
0

,
iv.
1 1
0, (0, ), ( )
L T g L
 
 
   

sao cho
1 1
0 0
(0, ) ( )
, .
L T L
g g
 
   

   

Khi đó nghiệm chỉnh hóa
0 ,
( , ) ( , ) ( , )cos( ) os( )
m n r
f x y K m n F m n m x c n y


 
 
 



Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 14



Tháng 08/2010
được xây dựng từ
,
g
 

thỏa
2
2
0
0
( ),
lim ( ).
f C R
f f trong L











 



Hơn nữa, nếu
1
0
( )
f H
 
thì
1
0
0
lim ( )
f f trong H




 
và tồn tại
0 0
0,
 


chỉ phụ
thuộc vào
0 0
,
f

sao cho
2 1
0 0
1
( ) ( )
50
. ,
ln( )
L H
f f f

 

 
 

0
(0, )
 
 
.

Để chứng minh hai định lý trên, chúng ta cần các kết quả được phát biểu và chứng minh

dưới dạng các bổ đề sau

3.3. Các bổ đề.
3.3.1. Bổ đề 1.
Giả sử
(u, f )
là một nghiệm của hệ (1).
Đặt: W(x,y) = cosh(αx)cos(n
Với mọi (α,n)
, ta có
-
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 15



Tháng 08/2010
= .
Chứng minh.
Từ W(x,y) = cosh(αx)cos(n , ta có
,

Và từ
- = .
Nhân hai vế với W ta có
- = .
Lấy tích phân trên

của hai vế ta được
- = .
Dùng tích phân từng phần cùng với điều kiện u

x
(1,y,t) = u
x
(0,y,t) = 0 ta có
= .
Nhân hai vế của phương trình với
, ta được
. -
= .
Hay
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 16



Tháng 08/2010
[ ] =
Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên theo biến t từ 0 đến T, ta có

= .
Thay u = g(x,y) ta có điều phải chứng minh.

3.3.2. Bổ đề 2.
Nếu đặt
G( )(α,β) = (x,y)cosh( cos(
với
L
1
( và α, β C thì khi đó
Với mỗi n
Z, G (. , n là một hàm nguyên và

≤
1
( )
. ,
z
L
e z C


 
.
Hơn nữa, nếu L
2
và ≠ 0 thì tồn tại một số nguyên n sao cho
r
ln G(ω)(z,nπ)
lim sup -1
r
 
.
Chứng minh.
Với mỗi n ( ) đặt (z) = , ta có
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 17



Tháng 08/2010
(iz) =
= (x,y)cosh( cos(
(x,y)cos ) cosh

=
Điều này cho thấy (iz) là hàm nguyên và do đó (z) cũng là hàm nguyên.
Ta có





, x [0,1], C.
Tiếp theo, giả sử 0, ta thấy rằng
=
( )
n
z im
d
z
dz



= (x,y)sin(m ) cos .
Mà { sin(m ) cos }
m ≥ 1, n ≥ 0
là hệ trực giao trong L
2
( ) nên vế phải của phương
trình trên không đồng nhất bằng 0.
Suy ra, tồn tại một số các giá trị nguyên n để không là hàm hằng.
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 18

Tháng 08/2010
Khi đó cùng với

, ta có
với r > 0 và đủ lớn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh

Nếu 0 thì kết quả là hiển nhiên.
Xét < 0 và 1 < e
r
. , ta có
0 < ln
e
r
= r +ln .
Nên
1
ln ( )
M r



Do đó
ln ( )
ln ( )
n
r
M r



.
Hay
.

Suy ra
Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 19



Tháng 08/2010
sup[ sup[
Mà theo định lý Beurling, ta có
.
Nên

hay

hay
.
Vậy Bổ đề 2 được chứng minh.

3.3.3. Bổ đề 3.
Xét D( )( α,n ) = ,với α, .
Khi đó
Với (α,n) và ta có