Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 2

C H Ư Ơ N G II

Tenxơ trong hệ tọa dô
Descartes vuông góc
Chirơng này đồ cập đến khái niệm tenxơ trong trường hợp dan giản nhất, cụ
thể là xét tenxơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc (không gian Euclide 3
chiều thông thường). Tuy nó mang tính chất mờ đầu, nhưng có nhiều ứng
dụng quan trọng.

2.1
2 .1 . 1

K h á i n iê m về hệ thố n g . Q u y tắ c chi số
H ệ th ố n g p h ầ n t ử

Hệ thong phần từ trong phép tính tenxor dóng vai trò rất quan trọng. Các hệ
thống này đặc trưng bời một hay nhiều chì số, đó là tập hựp nhửng đại lượng
(phần tử) xác định trong hệ tọa độ nào đấy và được sắp đặt theo thứ tự nào
đấy. Chầng hạn au dij> dijk, . . . Trong chxcơng này ta quy ước các chi sổ bằng
chữ la tinh lấy giá trị 1, 2, 3. Do đó hệ thống (lị gồm ba phần tử a i,a 2 ,a 3 ;
còn a,ij gồm chín phần từ a n ,a i 2 ,a i 3 , a 2i , <*22,023) a3i»a32)«33i v.v...
Hệ thống có một chỉ số gọi là hệ thống hạng nhất, có hai chì số gọi là hệ
thống hạng hai. Tổng quát hộ thống có n chỉ số là hộ thống hạng n, bao gồm
3n phần tử.
T h í du 2.1. Ba thành phần X1 ,X2 ,X3 của vectơ X lập thành hộ thống hạng
nhất X ị .
Chín đại lượng a n ,a i 2, •. • ,ữ 33 trong biểu thức của dạng toàn phương
3

3

»=1 j = 1
49


50

C hư ơng II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

lập thành hệ thống hạng hai
2 .1.2

ữ ij.

•

Q u y t ắ c chỉ số

Ta đưa vào hai quy tắc quan trọng đổi với chỉ số:
a) Trong một biểu thức chỉ số nào đấy chi gặp một lần, ta gọi là chi số
tự do. Chỉ số này lấy giá trị 1, 2, 3. Chẳng hạn d i b j k trong dó cả ba chỉ số
í, j, k đều là tự do.
b) Trong một biểu thức chi số nào đấy lặp lại hai lần, nó biểu thị tổng
theo chỉ sổ đó từ 1 đến 3.
T h í dụ 2.2.
3
a*i =

Û 11 +

Û 22 +

«33

=

a iiy

^

i= 1
3

ữịbị =

CL\ b\

4* Ơ2Ỉ>2 + 0 3 Ò3 =

dibi •

i=l
Chỉ số lặp lại hai lần còn gọi là chỉ số câm và có thề thay bằng chừ khác:
(lịbị —Q-Jbj —ClrỴịbỵỵi.
Chỉ số nào đấy xuất hiện trên hai lần, thì không biểu thị tổng; nếu biểu thị
tổng phải ghi chú riông. Dùng quy ước trên, trong các tổng ta không phải
viết dấu tổng Ỵ2 nửa.
2 .1 .3

H ệ th ố n g đối x ứ n g v à p h ả n đối x ứ n g

Một hệ thống là đ ố i x ứ n g đối với hai chỉ số nào đấy, nếu ta hoán vị hai chi
số đó cho nhau, các phần tử của hệ thống khỏng đổi dấu và giá trị.
T h í du 2.3. Hệ thống aịj đối xứng, nếu
=

ữ jị.

Hệ thống bịjk đối xứng với hai chỉ sổ j k , khi
bijk = bikj •
Một hệ thống là dối xứng tuyệt đối, nếu các phần từ của nỏ không thay
đổi khi ta hoán vị hai chi số bất kỳ của nó.


51

2 2. TEN x o

Hộ thống dối xứng có dạng đặc biệt dùng rộng rãi trong phép tính tenxor
là kỷ hiệu Kronecker
1

khi i = j,

0

khi i Ỷ j-

Hệ thống là phàn đối xứ n g đối với hai chỉ số nào dấy, nếu ta hoán vị hai
chi số đó cho nhau, các phần từ thay đổi dấu.
Thí dụ 2.4. Hộ thống dij phản đổi xứng, nếu

ũịj —

từ đó suy r a a n = Ö22 = 033 = 0. •
Hệ thống phản đối xứng hạng ba thường dùng là hộ thống c hay là ký hiệu
Levi-Civita eijk có tính chất sau đây:

{
1

khi i j k là hoán vị chằn của 1, 2,

3,

—1 khi i j k là hoán vị lè của 1, 2, 3,
0

khi hai chi số bất kỳ bằng nhau.

Sau đây ta nghiên cửu khái niệm tenxơ, nó là trường licrp riêng của hệ
thống, ràng buộc bỏi một quy luật nhất định. Hệ thống với các thành phàn
(phần tử) của nó xác định trong hệ tọa độ Descartes vuông góc; khi hệ tọa clộ
thay đổi (tức là hệ vectơ cơ sờ cùa nó thay đổi), thì các thành phần của hộ
này củng thay đổi theo. Vấn đề dặt ra là hệ thống này thay đổi như thế nào,
thì ta gọi nó là tenxơ?

2.2

Tenxơ

2 .2 . 1

P h é p b iế n đổi h ệ t ọ a độ (h ệ v e c tơ cơ sờ )

Gọi e¿ (i

=

1, 2,3) là hệ vectơ cơ

S(V

của hệ tọa độ Descartes vuông góc. Ta có

et . e J = ổtj = ( °
{1

(2.1)
*=

Các vectơ này dặt tại gốc tọa độ o lập thành rêpe trục giao. Một điểm M
trong hệ tọa độ Descartes có thể đặc trưng bời vectơ bán kính O M = x; thành
phần cùa X là hệ số của hệ thức biểu diễn X qua rêpe trực giao
X = I,e¿ = Xiej -f I2e 2 + Z3e3,


Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

52

Xi còn có thể xem là hình chiếu của vecttt X lên trục tọa độ, tức là

Xi = X • e t1

hay củng là tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Descartes.
Bây giờ ta xem tọa độ của điểm M thay đổi như thế nào, khi ta t hay đổi
hệ trục tọa độ (tức là thay đổi hệ vcctơ cơ S(V). ơ đây cùng như sau này, ta
chỉ xét phép quay hệ trục tọa độ (kể cả chiếu gương) xung quanh gốc cố định
o , không xét phép chuyển dịch song song các trục tọa độ. Bới vì trong ứng
dụng hình học và vật lý, vị trí của gốc o không đóng vai trò quan trọng.
Qua phép biến đổi này rêpe trực giao Gi chuyển thành rêpe trực giao e'.
Tất nhiên các vectơ e' có thể biểu diễn qua e t
e' = A ijej

(í = 1,2,3),

(2.2)

hay là
©1 = ^4lle l + A 12^2 -f j4l3®3>
e'2 = A 2 \G\ + ^ 22^2 + ^23^3,
= M \ e \ + A ^ 2 + i433©3Từ các hệ thức này suy ra:
Ảij = e' • ej

(i j = 1,2,3)

(2.3)

biểu thịcôsincủa gócgiữa trục thứ i cùa hệ mới với trục thử j của hệ cù.
Các thànhphầnA tj lập thành ma trận cùa phép biến đổi hệ cơ sở A — (Aịj).
Ngược lại, từ (2.1) ta có thể biểu diễn các vectơ cơ sờ củ e, qua vectơ cơ
sờ mói e' Iihờ ma trận nghịch đảo {Btj) của ma trận {Aij):

et =

(2.4)

trong đó
Bij = e , . e'j

ị i j = 1,2,3).

(2.5)

So sánh (2.3) với (2.5), ta thấy rằng:
Bịj — A j i ,

tức là hai ma trận (^4jj) và (Dij) là chuyền vị và nghịch đảo cùa nhau. Ma
trận có tính chất như vậy gọi là ma trận trục giao, ký hiệu như sau
( B tj) = (A y ) " 1 = {AtJ)T .


2 2.

TEN Xơ

53

Do đó:
A \ m A j m == A f jli Áf nj = ỏij.

(2*6)

Từ còng th ứ c này, t a th ấy rằng phép biến đổi (2.2) với ma trận trự c giao
( A ị j ) bảo đảm chuyển rêpe trự c giao về rêpe trự c giao. Đ ịnh thức của m a
trận trự c giao có g iá trị bằng ± 1 .
B â v giờ x ét sự th ay đổi củ a thành phần vectơ X, do tính bất biến của nó
t a có

X = x,et = x'e',
nên
xi = x

6i

và

x' = x e ' ,

(2.7)

vectơ X = O M không đổi nhưng các thành phần củ a nó th ay đổi tù y theo đặt
nó ờ rêpe nào. Đ ặ t (2.2) vào hệ thức thứ hai (2.7), ta được:
—X *

jA. ijXjy

CÒI1 đặt (2.4) v à o hệ thức thứ nhất (2.7) d ẳn đến
X i == X • B i j C j = B i j X j = A j ị X j .

T ó m lại, khi q u ay hệ tọa độ, các thành phần cù a vectơ X cũng thay dổi theo
cùng phép biến đổi trự c giao như các vectơ cơ sờ

e' = Aijej,
1

J 3

( 2 .8 )

Xị = Á ị j X j .

v à ngược lại:

Gị — B y e , — AjiBj,
J
J

(2.9)

£f — B ijX j — Ẳ jịX j.

T lií dụ 2.5. Hệ trụ c tọ a độ D escartes vuông góc mới nhận đirợc từ hệ củ
bằng cách q u ay m ột góc Q

quanh trụ c e 3 - H ãy x á c định m a trận củ a phép

biến dổi v à các th àn h phần

của vectơ X trong hệ cơ sở mới.

T a có

Aij = e ' • e j = C O S(e',e7) nên
A l l = c o s ( e i,e i) = c o s a ,

A \2 = cos(e'lve 2) = sin í*,
.4x3 ss c o s ( e i , e 3 ) = 0 .


54

Chuơng II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

A'ỉ 1 = cos(e'2,e i) = —s in a ,

A 22 = cos(e 2,e 2 ) = c o s a ,
■^23 = cos(é 2 , e 3) = 0.
¿ 3 1 = cos(e'3,e i) = 0,
A 32 =

cos(e 3, e 2) = 0,

¿33 = cos(e'3,e 3) = 1.
Vậy
COS a

sin a
( A i j ) = I - sin a cos a
0
0

o'*

0
1

theo (2.8) ta có

Xị = A ị jX j

hay

Các thành phần của vectơ

=

X

cos Q sin a 0
I - s i n a co sa 0
0
0
1

ờ hệ cơ sờ mới là

x \ = A i j X j = X\ COS a -f- X 2

sin a

x f2 = ^ 2j X j = —£i sin a 4- X2 COS Q
X3 = A ^ j X j — £ 3

2 .2 .2

•

V e c tơ h a y t e n x ơ h ạ n g n h ấ t

Mờ rộng vectơ a bất kỳ trong không gian Eucỉide 3 chiều có thể biểu dièn
trong hệ cơ sờ trực chuẩn e¿ (hệ tọa độ Descartes vuông góc) dưới dạng
a = QịCị == a\e\

fl2e 2 *+■Ù3e 3 -

Do tính bất biến cùa vectơ a qua phép biến đổi hộ cơ sờ (2.2), ta có
a — Q j ^ j = ù ịe x

với e- = A i j C j (theo (2.2)) hoặc e, = Bijdj (theo (2.4)).


2.2.

SS

TEN XO

Thay (2.4) vào hiểu thức của a ta được
a = üjBjie'i = a 'e ',
suy ra
o!ị =

ß jjü j =

(2 .10 )

Dựa vào các kết quả vừa nhận được, ta đi đến khái niệm tenxơ hạng nhất:
Định nghĩa. Tenxơ hạng nhất, là một hệ thống hạng nhất gồm ba thành phần
(Ij cho tronq một hệ tọa độ Descartes nào đấy (tức là trong một hệ cơ sỏ nào
dấy); khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì chúng thay đổi thc.0 quy
luật (2.10) qiổng nhu quy luật (2.2).
Ta thấy rằng các tọa độ của một vectơ cho trước lập thành tenxơ hạng
nhất; và ngược lại các thành phần của một tenxơ hạng nhất có thể xem là
tọa độ của một vectơ không đổi nào đấy. Vectơ là đối tượng bất biến đổi với
phép biến đổi tọa độ.
Tất nhiên, không nhất thiết phải hiểu tenxơ hạng nhất nhir vectơ. Một
hệ thống dị xác định trong một hộ cơ sờ nào đấy lập thành tenxơ, nếu như
khi thay đổi hệ cơ sờ theo quy luật:
e i = AijQj,

thì các thành phần Qị cũng thay đổi theo quy luật nhir vậv
a, “ Aijdj.
T h í dụ 2.6. Các hệ số dị trong phương trình mặt phang cố định
CXịduị

1

củng lập thành một tenxơ hạng nhất. Quả vậy, theo (2.8) ta có:
a i^ i

ữ jX j

(Ij Á ị j X ị y

suy ra:
<2 ị — Aịjũj.

•


C hĩíơng //. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

56

C ác p h ép tín h đối v ớ i v ectơ
a) Phép tổng
a 4- b = dịei 4-

= (a¿ 4- 6i)e,.

b) Tích với một số
X a = A(a¿ e¿) = \ d i e¿.

c) Tích vô hướng
a • b = a¿ex • bjej = a¿6je¿ • ej = aibjỏxj í= d i b i
hay là
a b = CL\b\ -f a 2&2 + 0363,
đôi khi người ta còn gọi là phép cuộn theo hai chỉ sổ i, j.
d) Tích vectơ
a

X

b = a¿e¿

X

bjBj = atbjet

X ej

= eijkQibjQic

hay là

ax b =

ei

e 2 e3

ữỊ

a.2 03

61

¿2

63

= (^2^3 “ a 3 ^2 )e l + (a3^1 ~ ữ1^3)e 2 + (^ 1^2 " 02^1 )63.
e) Tích hỏn tạp

(3. X b) • c =

*cme m = €ịjicO'ịbjCk ĩ

hay là

(a

«1
X b ) •c = òi
Ci

ữ2 03
62 &3 =
C2 C3

= a\b'¿C3 + (Z2&3 C1 + a^b\C2 —G3&2C1

a2^ic3 “ ữifr:ỉ^2-

g) Tích kép ba vectơ
a X b X c = ( a • c ) b — (a • b ) c = w


57

2.2. TEN x ơ

cho ta vectơ

w

với các thành phần
Wị =

(a k c k )bi -

{a k bk ) a .

h) Tích tenxơ

trong đó ® là ký hiệu tích tenxa. Trong nhiều tài liệu người ta biểu thị tích
này bằng cách viết liền
a ® b = a b = a lbJe ĩe

Đại lượng
2 .2 .3

e le j

có thể xem một cách hình thức như vectơ cơ sờ kép (điat).

T en x ơ hang hai

Để dần đốn khái niệm tenxơ hạng hai, ta xét tích điat của hai vectơ x (x i,
và y(j/i, 2/25 2/3 ) vừa nêu ờ trên
xy =

x py qe pe q

X 2 , X3 )

( 2 . 11 )

= x't/'e'e'.

Khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì các thành phần của vecta
vector y củng thay đổi theo quy luật như vậy, nghĩa là:

X

và

Vậy
( 2 . 12)

XiVi — AịpAjqXpyq.
Mờ rộng ta có thề lấy vectơ ca

sờ

A

kép làm hệ cơ

sờ

cho các tenxơ hạng hai A

—■ ữ j j G | C ị ,

qua phép biến đổi hộ cơ sờ (2.2) tenxơ A không thay đổi

tương tự cách làm đối với (2.10) suy ra
(2.13)


Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

58

Ta cli đến định nghĩa tenxơ hạng hai:
Định nghĩa. Tcnxơ hạng hai là một hệ thống hạng hai gồm 9 thành phần atj
cho trong hệ tọa độ Descartes nào đấy, khi hệ cơ sà thay dổi theo quy luật
(2.2) thì các thành pỉỉần này thay dổi theo quy luật (2.13).
T h í du 2.7. Ta có thể lấy thí dụ khác về tenxơ hạng hai là các hệ số a,ịj của
phương trình mặt bậc hai tổng quát
ữịjOCịJuj — 1«
Quả vậy
a iJx i x j — ữ m n X m X n — ũ m n A i m X ị A j n X jy

suy ra
0*1] = AimAỳnClỴnn. •

T hí dụ 2.8. Một thí dụ nữa về tenxơ hạng hai có ý nghĩa rất quan trọng là
toán tử tuyến tính tác (lụng trong không gian đang xét, dó là toán tử A áp
vào mỏi vectơ X trong hệ tọa độ Descartes sẽ cho tương ứng vectơ y = Ax
cũng trong hệ tọa độ này.
Ta có: y = y j G j \ Ax = A(xtet) = X i A e t,
Act — ữj|Gj,

từ hệ thức
y = Ax,
suy ra
Vj = G>jịXị.

dij gọi là thành phần của toán từ tuyến tính A
=

*Acị,

chúng lập thành tenxơ hạng hai. Quà vậy
ữ jị —

— Á

= AjffiÁinO>mn»

*


2.3.

CẮC PHÉP TÍNH ĐẠI s ó ĐÓI VỚI TEN xo

2 .2 .4

59

T e n x a h an g b ắt kỳ

Tương tự như tenxơ hạng nhất và hạng hai nêu trên, ta mờ rộng định nghĩa
đối với tenxơ hạng bất kỳ. Chẳng hạn tenxơ hạng năm c = ũpqrst^p^q^r^a^t
là một hệ thống hạng năm gồm 35 thành phần cipqrst cho trong một hệ cơ sở
nào đấy, khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì các thành phần này
thay đổi theo quy luật tương tự đối với từng chỉ số, tức là
®ijklm = AipAjqAkrAi 3 A mt(lpqr3i.

(2.14)

N hân x é t. Bảy giờ chúng ta chú ý đến một số tính chất cùa tenxơ. Mỏi
thành phần của tenxa trong hệ tọa độ mói là tổ hợp bậc nhất của các thành
phần cùa tenxơ trong hệ cũ. Do đó nếu tất cả các thành phần của tenxơ bằng
không trong hệ nào đấy, thì chúng cũng bằng không trong hệ mới nhờ phép
biến đổi (2.2).
Tính chất quan trọng thử hai cần lưu ý là với các quy luật thay đổi hệ
tọa độ như trên, các thành phần của tenxơ thỏa mãn tính chất nhóm. Ta dễ
dàng nhận được tính chất này, suy từ các công thức biến dổi.
Củng cần nhấn mạnh tính chất bất kỳ của tenxơ. Cụ thể là có thể lấy
một tập hợp nào đấy các hàm số hoặc hằng số với số lượng cần thiết làm các
thành phần của tenxơ trong hệ tọa độ đả chọn. Nhờ quy luật biến đổi tenxơ
chúng ta xác định thành phần của tenxơ trong hệ tọa độ bất kỳ khác. Chẳng
hạn chúng ta muốn có tenxơ hạng ba ữ i j k , ta có thể lấy tập hợp bất kỳ 33
số (hoặc hàm) d ị j k làm thành phần của tenxơ trong hệ cơ sờ e n khi đó các
thành phần o!ịjk trong hệ e' sẽ xác định bới công thức tương tự (2.13) hoặc
(2.14).

2.3

C ác p h é p tín h đai số đối với te n x ơ

Đối với tenxor, ta có thể thực hiện một số phép tính bất biến, tức là những
phép tính mà kết quả của chúng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
2 .3 .1

T ổ n g c á c te n x ơ c ù n g h ạ n g

Phép tổng (cộng hoặc trừ) chỉ thực hiện trên các tenxơ cùng hạng, mà mỗi
thành phần của nó bằng tổng các thành phần tương ứng cùa các tenxơ đã
cho.
T h í du 2.9. Nếu A 2= útjfce¿e; efc và B = bijiçeiejeiç là hai tenxơ hạng ba thì
tổng của chúng cho ta
A ± B = c,


Chương II. TEN x ơ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTKS VUÔNG GÓC

60

hay là
^

=

bijk& i& j® k

{ttịjk

i

b ijỉc)^ĩ^j^k

các thành phần Cịjk của c xác định bời phương trình
C ijk

=

Q>ijk

i

^ijk'

Ta có c là tenxơ hạng ba. Quả vậy, nếu ký hiệu cfijk là các thành phần của
C i j k trong hệ tọa độ mới thì:
ỉ
cijk

_
-

/
a ijk

1 1/
^ °ijk>

theo giả thiết atjjk, bịjk là tenxơ, nên
=

^ijk

A im -A ýnA kpữrrM ìp]

b ị j ị . — Ả i m A j n Á f Cp b m r ì p

do đó
^ijk

hay

~

A ị m A j n Á k p ( Q , 1fr i n p

i

b m n p ) — A t T n Á j n A k p C f f i rip

là tenxơ hạng ba. •
Chúng ta nói phương trình, chẳng hạn
Cị jk

ữịj = bij
là phương trình tenxơ, điều đó có nghĩa là nếu nó đủng trong hệ tọa độ này,
thì nó cũng đúng trong hệ tọa độ khác. Đề chứng minh ta chú ý rằng t.enxơ
dịj - bịj có các thành phần bằng không trong hệ cơ sờ này cũng bằng không
trong hệ cơ sờ khác có được qua phép biến đổi (2.2).
2 .3 .2

T íc h t e n x ơ c á c te n x ơ (p h é p n h â n n g o à ỉ)

Phép nhân có thể thực hiện đổi với hai hoặc nhiều tenxa có hạng bất kỳ bằng
cách trong mỗi hệ tọa độ lấy mọi tích có thể có của từng thành phần tenxơ
này với từng thành phần tcnxơ kia, kết quả nhận được một thành phần của
tenxơ mói. Tenxơ mới này có hạng bằng tổng của các tenxơ thừa số.
T hí du 2.10. Nhân tenxơ hạng ba A = aijịceiejek với tenxơ hạng hai
® = hime ie m cho ta tenxơ hạng năm:
c —AB —

—ớịji/.ò^mGị6j 8^-e^GpỊ,


2.3. o ÁC PHÉP TÍNH ĐẠI s ó Đ ố i VỚI TEN xo

61

các thành phần Cijktm của nó là Iihừng tích có thể có của từng thành phần
ữijk với từng thành phần b(m tức là:
Cijkfm = ûtjkblmBây già ta chứng minh Cijkim là thành phần của tenxơ hạng năm. Quả
vậy, nếu ký hiệu clijkím là các thành phần của Cijktm trong hệ tọa độ mới, thì
cijkhn

theo giả thiết dijk và b(m là tenxơ. nên
(lịjk = A i s A j t A k p ü s t p i

bỉm = A ( q A m r bqr

do đó
^ ijklm = A i s A j t A k p Ả ( q A m r (lstpbqr =

= AisÁjtAkpÁfqAjurCstpqr. •
Trường hợp riêng, theo cách này ta có thể nhản một tenxơ với một vô
hướng (tức là với một số hoặc một hàm không tùy thuộc cách chọn hệ tọa
độ). Mọi vô hướng có thể xem như tenxơ hạng khỏng, do dó nhân một tenxơ
với một vô hướng cho ta một tenxơ cùng hạng có các thành phần bằng thành
phần cùa tcnxơ đã cho nhản với vô hướng đó.
T h í dụ 2.11. Nhân tenxơ hạng ba dijtc với vô hưóng 6, kết quả nhận được:
Cijfç —

bdijk

rủng là tenxơ hạng ba. •
2 .3 .3

P h é p c u ộ n te n x ơ

Già sử cho tenxơ cổ hạng không bé hơn hai, trong mỗi hộ tọa độ ta xét các
thành phần của nó với hai chỉ số trùng nhau, theo quy ước diều dó có nghĩa
là lấy tổng theo chỉ số đó, còn các chỉ số khác tùy ý. Như vậy các chỉ số tự
do sẽ bớt đi hai, tức là tenxơ mới nhận được có hạng giÀm di hai đan vị. Ta
nói đả thực hiện phép cuộn tenxơ đả cho theo hai chi số trùng nhau đó.
T hí du 2.12. Cho tenxơ hạng bốn aijtcti cuộn tenxa này theo chỉ số thứ 3
và thử 4, tức là cho k = £, ta có
3
ftịjkk

= ^ ^ Q ijkk =
*=1

Q ijll

Qij22

Q»j33 =


62

C hư ơ n g II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

Hệ thống Cịj nhận dược bằng phép cuộn tenxơ hạng bốn UijM theo chỉ số thứ
ba và thứ tư ( k = í ) là một tenxơ hạng hai. Quả vậy, gọi C ị j là các thành
phần của C i j trong hệ tọa độ mới ta có:
3

/ ___/

c ij -

_

a ijkk -

/

J

, a ijkk'

k= 1

Theo giả thiết axjkt là tenxơ, nên
Q'ijkt = AimAjnAkpAtqamnpq)
cho chỉ Số k = Ị. ta được
G ’i j k k

~~ C ị j

=

A i r r iA jn A k p A k q ílm n p q y

VÌ AkpAkq = ỏ n (theo (2.6)) nên
Qijkk ~ ^i j = A i m A jn Sp qä fj in pq ==■ A i rnA j n Q'mnpp ==

= Ai mAjnCjrifi.
Vậy Cịj đúng là tenxơ hạng hai, tức là thấp hơn tenxơ đả cho hai đơn vị. •
Ta có thể thực hiện phép cuộn đối với hai chỉ số có thứ tự bất kỳ.
T hí dụ 2.13. Cuộn theo chỉ số thứ nhất và thứ tư của tenxơ hạng năm
tire ià.
3
Cjkm ”

^

^ Qijkim = û ljfclm

Q’,2 j k 2 m “ỉ" ^ 3 j k 3 m • •

i= 1
Đối với các tenxơ có hạng chẵn, ta có thể lần lượt cuộn từng hai chỉ số

một, mỗi lần sõ giảm di hai đơn vị, cuối cùng nhận dược tcnxơ hạng khóng,
tức là vô hướng. Vô hướng này gọi là v ế t cùa tenxơ. Do đó phép cuộn cho
ta điểm xuất phát quan trọng để nhận được các bất biến của các đổi tượng
hình học và vật lý.
2 .3 .4

T íc h v ô h ư ớ n g c á c t e n x ơ ( p h é p n h â n tro n g )

Đây là phép nhân và cuộn đồng thời các tenxơ.
T hí dụ 2.14. Tích vô hướng của hai tenxơ hạng nhất hay tích vỏ hướng của
hai vectơ chính là thực hiện phép nhản hai tenxcr hạng nhất tiếp đến cuộn
theo hai chỉ số và cho ta một bất biến
X y = £¿et • VjGj = Xi Uj ei • e; = Xi Pj Si j = Xt y x. •


63

2.3. CÁC PHÉP TÍNH ĐAI s ổ Đ ố i VỚI TENXO

Thí dụ 2.15. Tích vỏ hướng của tenxơ hạng hai A và tenxơ hạng nhất b
A b = a¿; e¿ej • bke k = ^ j b k e ^ e j • e*;) = a^bkSjkVi =
= Qijbj&i- *
Thí du 2.16. Tích vô hirớng của hai tenxơ hạng hai A và B có thể thực hiện
với một dấu tích hoặc hai dấu tích
A B = aijetej '

• e k) - aijbktVierfjk =
= ữịjbj£&iGỊ,

trong đó ta lấy vectơ thứ hai thuộc hệ cơ sở của tenxơ A nhản vô hướng với

vectơ thứ nhất thuộc hệ ca sờ của tenxơ B, CÒI1
A : B = 0>ijCịCj ’ bkfQfçQf = CLijbiaiej • 6fc)(Gt •
= aijl>ktỏjkôit = dijbji. •
2 .3 .5

P h é p h o á n v ị ch ỉ số

Từ tenxơ đả cho, ta thiết lập tenxơ mới có cùng hạng với cùng nhửng thành
phần ấy, nhưng thứ tự thành phần khác nhau bằng cách hoán vị chỉ số của
tenxơ đả cho.
T hí du 2.17. Cho tenxơ A vói các thành phần a¿jfc, thiết lập tenxơ mới B
với các thành phần btjk hằng cách ký hiệu chỉ số i y j , k thành j k i
bj ki = Q-ijki

có thể chứng minh dề dàng bjki là thành phần của một tenxơ. •
Chú ý rằng đây không phải là tenxơ củ nửa, vì theo định nghĩa tenxơ, các
thành phần của nó được xác định nhờ các giá trị của chỉ số thứ nhất, thứ hai
v.v... Do đó thay ký hiệu chl sổ, dần đến thay bản thân tenxơ.
Tóm lại, tổ hợp bất kỳ các phép cộng, trừ, nhân và cuộn các tenxơ đều
cho tenxơ mới. Vi vậy, ta có thể biết được tính chất tenxơ của một hệ thống
nào đấy bằng cách xem nó được xác định từ các tenxơ bằng các phép tính
nào. Chẳng hạn, nếu ãịj và bịj là hai tenxơ, thì Oijbij là một vô hướng, vì nó
được xác định nhờ phép nhân hai tenxa và cuộn theo cả hai chi số.
2 .3 .6

D ấ u h iêu n g ư ơ c la i v ề t e n x ơ

Ở trên nhờ các phép tính đối với các tenxơ ta nhận được tenxơ mới. Ớ đây
ta phát biểu dấu hiệu ngược lại về tenxơ dưới dạng đơn giản, tất nhiên điều
này có thể mờ rộng cho hộ thống có hạng tùy ý.

64

Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

T h í du 2.18. Ta có hệ thức
a { i j y k ) b j k = C i,

biết rằng Ci là thành phần của một tenxơ xác định duy nhất, bjk là thành
phần của tenxơ hạng hai tùy ý thì hệ thổng û(tjfc) cũng là thành phần của
một t.enxơ có thể biểu thị như sau
= aijkĐiều cần chú ý là tenxơ bjk phải hoàn toàn tùy ý. Ta có thể chọn như
sau: cho một thành phần của nó có giá trị tùy ý, các thành phần khác bằng
không. •
Một trường hợp riêng quan trọng của mệnh đề trên: giả sừ I i ì , Xị21. . . , x in
là thành phần của n vectơ tùy ý, X I , X 2 , ... ,x n, nếu biết a¿1i2...¿nXt1Xi2 ... X i n
là một bất biến, theo dấu hiệu ngược lại của tenxơ ta có thể kết luận ùi1i2...ịn
ỉà thành phần của tenxơ hạng n. Đôi khi người ta dùng tính chất này clể định
nghĩa tenxơ.
T hí du 2.19. Hàm vô hướng cp = tính hay dạng tuyến tính, nếu nó có tính chất sau
v?(x + y) = (y),
<¿>(Ax) = Á
TVong hệ cơ sờ trực chuẩn (tọa độ Descartes) ta có
X = I¿e ¿ ,

ký hiệu <^(e¡) = at dạng tuyến tính có thể viết dưới dạng

ự>(x) bất biến, Xi là thành phần của vectơ X tùy ý nên theo dấu hiệu ngược
lại của tenxơ, ta kết luận ũị là thành phần của tenxơ hạng nhất. Ta củng có
thể chứng minh trực tiếp;
t p( x ) = (x'e'),

hay là
(Xj Xj = d ị X ị y

trong đó v?(e') = a!ỹ


2.4.

(35

TENXO PHẢN ĐÓI XỨNG VÀ TENXƠ ĐÓI XỬNC,

Theo (2.8) a[x[ =

djX j

= cijAljx[, suy ra a[ = Aijdj.

•

T h í dụ 2.20. Hàm vô hướng (¿?(x,y) của đối số là hai vector X và y là hàm
song tuyến tính hay dạng song tuyến tính, nếu Ĩ1Ó tuyến tính với từng dối số,

tức là
¥?(X! + x 2,y ) = v>(xi.y) + ¥>(x 2 >y).
V?(Ax.y) = \
¥>(x, y 1 + Yĩ) = v?(x, yi ) + ¥>(x, y 2),
v?(x, Ay) = Xtp(x,y).

Trong hệ trực chuẩn et ta có
X = Xị Cị Ị

y = yjej,


= Xtyjv(e t ,e j )i

ký hiệu ip(et ì ej) = atj, dạng song tuyến tính ự> có thể viết dưới dạng
(p = C i i j X i y j .

hiệu ngược lại của tenxơ, ta kết luận ãịj là tenxơ hạng hai. •
T h í du 2.21. Hàm vô hướng đa tuyến tính hay dạng đa tuyến tính (ờ đây là tứ tuyến tính), nếu nó tuyến
t ính với từng đối số. Trong hệ cơ sờ trực chuẩn nó có dạng
ty?(x 1 , X21 X3 , X.«) = XiXjXfçXfip^Gi, Cj , 6fc, ©/) — Or{jfç(XiXjXlQX(.
Các vectơ X 1 , X‘2 , X3, X4 tùy ý, nên theo dấu hiệu ngược lại của tenxa ta có
toijkt là. tenxa hạng 4. •

2.4

T e n x ơ p h ả n đối x ứ n g v à te n x ơ đối x ứ n g

2 .4 . 1

T e n x ơ p h à n đ ối x ứ n g

Ta gọi tenxơ phản đối xứng đối với hai chỉ só nào đay, nếu như khi thực hiện
phép hoán vị hai chỉ số đó cho nhau ta được thành phần của tenxơ có dấu
ngược lại.
Tnrớc hết xét tenxor phản đối xứng hạng hai với các thành phần Cịj ta có
Cij =

nếu

i

=

j

thì

Cu

Cjị

( i,j =

= —Cịi, suy ra di = 0.

1, 2 , 3 )

( 2. 15)


Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÒNG GÓC

66

Tenxơ phản đối xứng hạng hai còn gọi là v e c tơ kép. Ký hiệu:
Uĩ1 = -C23Ỉ

^2 = -C 3 1;

u>3 = - C 1 2 ,

hay
1
Vi = --CijfcCjfc
và vì mọi tenxơ hạng hai C i j đều tương ứng với một toán tử tuyến tính Iiào
đấy (xem mục 2.3) tác dụng vào vectơ X được vectơ y:
Vi = CijŒji

do vậy trong trường hợp này ta có
J/l = L J 2 X 3 — (¿ 3 X 2 >

V2 —
y3 = UĨ\X2 —
hay là
y = U) X X.

Bảy giờ xét tenxơ phản đối xứng hạng ba hay là vector - ba Cijfc.Ta có
cijk = Cfctj ~ Cjfct =

= ~~c kji = ~~Cịkj

mọi thành phần có hai chi số lấy giá trị như nhau đều bằng không, chẳng hạn
d j j = 0. Do đó chỉ có 6 thành phần khác không là
C123 = C312 = C231 = - C 213 = “ C132 = - C 3 2 1 .

Điều này có nghĩa là với hoán vị chẵn các chỉ số thành phần vectơ- ba không
đổi, còn với hoán vị lé, chúng thay đổi dấu. Vectơ-ba chỉ có một thành phần
độc lập, chẳng hạn C1 2 3 , còn các thành phần khác hoặc bằng không, hoặc bằng
C123, hoặc chỉ khác dấu.
Chú ý rằng, trong không gian ba chiều, chỉ có tenxơ phản đối xứng đến
hạng ba. Nói cách khác, mọi tenxơ phàn đối xứng hạng lớn hơn ba đều có
thành phần bằng khóng, vì các thành phần của nó có ít nhất hai chỉ số bằng
nhau, do số chi số lớn hơn 3 mà mồi chỉ số chỉ lấy giá trị 1, 2, 3.


2 .4 .

67

TENXƠ PHẢN f)ÓI XỨNG VÀ TEN x ơ Đ ố l XỨNG

2 .4 .2

D ù n g t e n x ơ p h à n dối x ứ n g để tìm c á c b ấ t b iế n

1.
Phương p h á p p h ả n đối xứng h ó a . Cho một tenxơ, ta có thể thiết lập
tenxa mới phản đối xứng từ tenxơ này bằng phương pháp phản đối xứng hóa.
Đó là plnrơng pháp dùng các tổ hợp của các hoán vị iuán phiên.
Phản đối xứng hóa đối với hai chì số nào đấy của tenxơ đả cho là thiết lập
tenxor mới có thành phần bằng nửa hiệu số của thành phần tenxơ đả cho với
thành phàn nhận được từ nó bằng cách hoán vị chi số đả chọn.
T hí dụ 2.22. Cho tenxơ hạng hai d i j bất kỳ, phản đối xứng hóa đối với hai
chi số i , j của nó, tức là thiết lập tenxơ
Cịj =

~~

= a [ij]'

Qj đúng là tenxơ vì phép hoán vị chi số và phép tổng các tenxơ vẫn cho ta
tenxơ; mặt khác C ị j là tenxơ phàn đối xứng, vì ta thấy ngay C ị j = —Cjị. •
T hí du 2.23. Cho tenxơ hạng năm atjkim, phản đối xứng hóa hai chỉ số thứ
Iihất (i) và thứ tư ự ) có nghĩa là thiết lập tenxơ
Cịjkfm = 2 {^ijk(m

Q'tjkim')' •

Phản đối xứng hóa đối với ba chỉ sổ nào đấy cùa tenxơ đả cho là thiết
lập tenxơ mới có thành phần tương ứng bằng trung bình cộng của sáu thành
phần nhận được từ một thành phần tương ứng bằng cách lần lượt hoán vị
ba chỉ số đả chọn, trong đó với hoán vị chẳn thành phần giừ nguyên dấu, còn
với hoán vị lẻ lấy dấu ngược lại.
TỈ 1 Í du 2.24. Cho tenxa hạng ba CLịjk bất kỳ, bằng phép phẰn đối xứng hóa,
ta thiết lập

Cịjk =

CÓ thể dễ dàng khẳng định
hiệu là

&kij “t* üj k i
Cijk

üj i k

&ikj — Q-kji)}

(2.16)

là tenxơ và có tính chất phản đối xứng. Ký

Cijk = a\ijk)Củng có thể phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số của tenxơ có hạng bất kỳ,
thí dụ
c i j k f m ==


Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

68

Theo tính chất của tenxơ phản dối xứng hạng ba, chỉ có một thành phần quan
trọng là
C123 = 7 ( a 123 + «312 + «231 - «213 - «132 — «321 )•

(2.17)

0

2. Xác định bất biến bang tcnxơ phản đổi xứng. Xét trường hợp tenxor aljk
là tích của ba tenxơ hạng nhất
&ijk — XiyjZk>
trong đó Xi, ĩjj, Zk có thể xem như th àn h phần củ a b a vectơ X, y , z, x á c định.

Khi đó
c 123 =

g ( ® lỉ/2 Z 3 +

X\
1
yi
6
Z\

X 3y\Z 2

+

X2V3Z\ - X2 V\Zz - X \ y 3Z2 - X3VĩZ\)

X'2 X3

V2 ?/3
Z1

z3

Định thức này bằng tích hỗn tạp (x ,y ,z ) nếu tính trong hệ tọa độ phải và
bằng (—x ,y ,z ) nếu tính trong hệ trái, nên C123 gọi là b ất biến tư ơ n g đối.
Nếu tenxơ Ciii3i3j lj 3j 3 là tenxơ phản đối xứng đối với ba chỉ số đầu và ba chỉ
số cuối, thì thành phần C123123 có vai trò quan trọng, vì thành phần này là bất
biến tương đối đối với riêng từng ba chi số, nên khi chuyển từ hệ phải sang
hệ trái, nó hai lần nhân với —1, tức là nó không đổi. Vậy c 123123 là bất biến
tu y êt dối.
Bây giờ xét tenxơ hạng sáu là tích của ba tenxơ cùng hạng hai như nhau
a«l*3*3>ljjj3 — aú j i ahj2ah h '
Dùng phép phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số ¿1 *2*3 và ji j 2j 3 để thiết lập
tenxơ phản đối xứng C i l i ĩ i 3 j u .J j )

^*1*2*3jlỈ2J*3

1 ahjì
0 aÌ2jì
ữhìi

ahÌ 2 a*l>3
aÌ2j 2 ahj3 »
a«3Ì2 aĨ3Ì3

vậy bất biến tuyệt đối sẽ là:

C123123 = r

6

au

a \2

“ 21
«31

“ 22 023 = gDet|etij|
«32 «33

013

(2.18)


2.4.

69

TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG VÀ TFJNXO Đ ố i XỨNG

Định thức lập nên tủ các thành phần của tenxơ hạng hai là bất biến đối
với phép thay đổi hệ tọa độ.
Điều này củng nhận được bằng cách khác. Quả vậy, ta có quy luật thay
đổi của các thành phần tenxơ hạng hai
ôịj — AimA j nữTnTJ,
nẽn
Detịayl = Det|i4¿m| • DetỊẲ.jfi ị • Detị 0-17171Ị = DctỊũ-rnnl*
Định thức của các thành phần tenxơ hạng hai bất kỳ là bất biến, chẳng hạn
Det|a¿;| bất biến, thì Det|a¿j - kỗịjI củng là bất biến đối với phép biến đổi hệ

tọa dộ.
2 .4 .3

T e n x ơ đ ối x ứ n g

Ta nói tenxơ đối xứng dối với hai chi số nào đấy, nếu như khi thực hiện phép
hoán vị hai chì số đó cho nhau, các thành phần của tenxơ không dổi.
T hí du 2.25. Tenxơ aijk đối xứng với hai chỉ sổ i, j nếu như
0.tj k = Gjik- •

Đặc biột, đối với tenxơ đối xứng hạng hai có nhiều ý nghĩa quan trọng.
Dối với tenxơ này ta có:
Oij = ũji.

(2.19)

Nến cho một tenxơ hạng hai tùy ý a¿¿, thì nhờ phépđối xứng hóata có thể
thiết lập tenxơ mới đối xứng như sau
bịj =

=

—( d i j - f ữ j i ) .

Cho tenxơ hạng ba bất kỳ (Lijkf bằng phép đối xứnghóa ta thiết
bijk

==

4 “ ßjAit

~ì~ö /c ij

"f"

CLjik 4“ &kji

H"

dề dàng chỉ ra bijk là tenxơ đối xứng đổi với cả ba chỉ số và ký hiệu là
bịjk = a (ijk)-

lập


70

Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUỔNG GÒC

1.
hạng hai
trị chính
hạng hai
vectơ V

Giá trị chính và hướng chính. Một tính chất rất quan trọng cùa tenxơ
đối xứng là tồn tại ba hướng chính trực giao với nhau và các giá
dầu là thục. Gọi V là vecto đơn vị hướng chính của tenxơ đối xứng
A với các thành phần a tj , khi đỏ vectơ A • V sẽ đồng phương vai

A • V = kv,
hay là
ũ/ịj 1Sj —■A,l^ị

—/cỗịj ISj Ị

dẫn đến
(dịj -

k ổ ij)i/j = 0.

(2 .2 0 )

Hệ số /r gọi là giá tri chính của tenxa atj đối với hướng chính.
Viết tường minh phương trình trên, ta có:
(a n - k)vI + Ỡ12 Ỉ/2 + ai3^3 = 0,
012^1 + (a 22 ~ k)l/\2 + ữ23^3 =

0,

<*13^1 + 0-23^2 + («33 -

0.

=

Đe tìm g iá trị chính và hướng chính, t a giải hệ phương trình trên dổi với
các ẩn k } V1 , 1/2 , 1/3 ; tro n g đó

v ị + ựị + v\ — 1Vì i/jkhông đồng thời bằng khỏng, nên từ hệphương trình thuần nhất suy

ra dịnh thức cáchệ số bằng không

Det|dịj —kỏ^ị =

a\\ — k

di2

CL\3

a\2

(122 — k

ữ23

&13

a23

a33 — k

= 0.

Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của cIịj để xác định các
giá trị chính.
Với phép biến đổi tọa độ, như trên ta thấy phương trình này bất biến
(xem mục 1.6.5), nên nghiệm của phương trình (tức là ba giá trị k) là bất
biến. Khai triển phương trình trên ta được
k 3 - I xk? + I2k - h = 0,

(2.21 )


2.1

71

TKNXƠ PHÁN ĐÓI XỨNG VÀ TEN x ơ ĐÓI XỨNG

trong đó
/1 = «11 *f «2*2 +■ a 33 — <*tiy

>T—an

n 12

a\2

«22

—

/3

4- «22

2

«23

«33
«23
+
«33
«13

«13 ị
«11 1

a ĩ j a ij)-

= Det|a*j|.

Các đại hrợng / 1 , / 2 , /3 là các bất biển chính của tenxơ at;. Chúng ta chửng
minh rằng tất cả nghiệm của nó là thực.
Giả sử k — a + i/3< tương ứng với i/j = \ j +ifij thay thế vào phương trình
(2.20), cân bằng phần thực và phần ảo ta được
(o,ịj —ơ ỏ i j ) \ j 4“ ị3Sìj[ij —0>
(cIij — OLỏiị )ịLj

f 3 S ị j \ j — 0.

Nhân phương trình đầu với ụ.ị và phương trình thử hai với x t (tống theo i từ
1 đến 3 và chú ý atJ đối xứng), rồi trừ vế với vế hai phương trình vừa nhận
được, ta có
4“

= 0.

Vì mọi Ai,/ii không đồng thời bằng không, từ dây suy ra (3 =0. Do đó mọi
nghiệm củaphương trình đặc trưng là thực và mọi giá trị ưjcũng thực.
Bảy giờ ta chửng minh ba hướng chính trực giao với nhau. Giả sử hai
nghiệm fc(r) và k(s) khác nhau, ta xác định đirạc tương ứng
và
Theo
(2 .20 ):
( « 0 - * ( r ) £ ij) « 'jr) = 0 ,

(°ij -

= 0.

Nhân phương trình trôn với
và phương trình dưứi với I^rl rồi trừ đi nhau,
chú ý rằng a tj và Sịj dối xứng, ta được
(*(r) - kịề))Siji/Ịr)vỊs) = 0,

vì fc(r) Ỷ k(s) nẻn
nhau.

= 0, tức là hai vectơ i/(r* và ư {'s) trực giao với


72

Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỎ DESCARTBS VUÔNG GÓC

Đối với hệ trục chính các thành phần của tenxơ viết dưới dạng ma trận
đưa về dạng đường cheo chính

k1 0
0 k2
0 0
Phép biến đổi từ hệ tọa dộ
sau

O t . \X 2 X ' ầ

0
0
^3

về hệ trục chính O x \ x 2^5 cho hời bảng

T hí dụ 2.26. Tìm hướng chính và giá trị chính của tenxơ hạng hai dối xứng
A được biểu diền qua ma trận
3
-1
0

-1
3
0

°\
0 3 A.
1/

Để xác định giá trị chính ta có

Det|atj —kỗịj\

3-k
-1
0

-1
3- k
0

0
0
1-

= ( l - f c ) [ ( 3 - f c ) 2 - l ] = 0,
hay là
k 3 - 7k 2 + U k - 8 = (k - \)(k - 2){k - 4) = 0,
nghiệm của nó k\ = 1, /ũ2 = 2, &3 = 4.
Già sử u[X) là thành phần của vectơ đơn vị của hướng chính ứng với
k\ = 1. Khi đó theo (2.20) ta có

21/í0 - 4 ° = 0;

- I ^ 11 + 21/ị'1 = 0;

0 ■1/ị1’ = 0;

(-í11)2+ (-ị0)2 + (■'ỉ")2 = 1

2A. TENXƠ PHẢN ĐÓI XỨNG VÀ TEN x ơ Đ ố i XỨNG

73

suy ra ỉ/í 1 = i/ị1 ' - 0 . ỉ/g1 '1 - ± 1 , v ậ y I/ 1,1 = { 0 , 0 , ± 1 }.

Với k = 2 hộ phưcmg trình (2.20) cho ta
„<2> - „ f = 0,

=

- 4 2> = 0 ,

+ < 42,)ỉ + í - r )2 - 1
suy ra 1-” = l/ị2) = ± ụ = . 4 21 = 0 và 1,(21 “ { ±

’ * ^ 2 ,0 }'

V(Vi A"3 = 4 từ (2.20) dẫn đến

-„l” - 4 31 = 0 . —<3>- »ị31 = 0, - 3 * f = 0,
r í 3’)2 + ( 4 ” )2 + (■?’>’ = 1
cho ta
,/Ị3) = - í / ị 3* = ± _ ,

4 3 )= 0 ,

i/(() = { ± - ^ , T - ^ , o }

Hướng cùa các trục chính được xác định bằng các cosin chi phương cho theo

bảng sau
Xi
0
1
±4=
%/2

Xọ

-r s
-H

x3

12
0
1

±1
0

± ^2
1

0

*72

Từ dây nhận dược ma trận cùa phép biến đổi hệ tọa độ
/

(A ii)

0
± ị
y/ 2
1

± -7 =

\ v/2

0
±ị

s/ 2
_ 1

^-7=

\/2

±1\
0
0

= A

/

ì 0 0'

chuyển ma trận (a,j) đã cho về dạng đường chéo Ị 0 2 0 I . Quả vậy theo
,0 0 4.