biến đổi fourier phân và ứng dụng trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM NGỌC ĐIỀN
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM NGỌC ĐIỀN
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Nội dung 4
1 BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 4
1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier . . . . . . . . 5
1.2 Biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite . . . . . . . . . 6
1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . 7

1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản 9
1.3 Phép tính toán tử tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Phép biến đổi của tích . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Phép biến đổi của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Phép biến đổi của tích hỗn tạp . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Phép biến đổi của thương . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 Phép biến đổi của tích phân . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.6 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.7 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . 14
2 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN TRONG
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 15
2.1 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger dừng . . . . . . . . . 15
2.2 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian . 17
2.3 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho dao động điều
hoà cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho các electron tự
do trong một từ trường đồng nhất và không đổi . . . . . . . 22
2.5 Sự phát triển của gói sóng điện tử trong từ trường đồng
nhất và không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho các electron tự
do trong từ trường đồng nhất và biến thiên theo thời gian . 31
3 NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER
PHÂN 37
3.1 Nguyên lý bất định đối với biến đổi Fourier phân . . . . . . 38
3.2 Ảnh hưởng của sự dịch chuyển và mở rộng quy mô . . . . . 42
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Những biến đổi Fourier, Laplace và sự kết hợp trong tính toán của
các biến đổi đó là một trong những công cụ có tác dụng to lớn trong toán
học lý thuyết và ứng dụng. Vô số các ứng dụng trong vật lý lý thuyết,
kỹ thuật điện và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho những biến đổi này là
một trong ba tiến bộ quan trọng nhất của toán học trong một phần tư
cuối cùng của thế kỷ XIX. Bên cạnh những biến đổi Fourier và Laplace,
các nhà Toán học và Vật lý học còn sở hữu một kho tàng các phép biến
đổi tích phân khác cho từng phạm vi riêng của mình với những ứng dụng
trong thực tế. Tuy nhiên, trong số đó biến đổi Fourier có vai trò nổi bật
nhất.
Biến đổi Fourier phân là sự khái quát toán tử vi phân Fourier thông
thường bằng cách cho nó phụ thuộc vào một tham số liên tục α (được chứa
trong tổ hợp
απ
2
- Điều này cũng được sử dụng xuyên suốt trong nội dung
của luận văn). Trong toán học, bậc α của biến đổi Fourier phân là lũy
thừa α của toán tử trong biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi Fourier
phân bậc 1 chính là biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi bậc −α chính
là biến đổi ngược của biến đổi bậc α.
Với sự phát triển của biến đổi Fourier phân và các khái niệm có liên
quan, chúng ta thấy rằng miền tần số thông thường chỉ là trường hợp
đặc biệt của sự liên tục các miền Fourier phân đoạn. Trong lý thuyết về
việc thay thế tín hiệu đại diện, chúng ta cũng thấy được sự liên quan đến
việc phân bố thời gian và tần số. Do đó, tất cả các tính chất của biến
đổi Fourier thông thường trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi
Fourier phân.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiện bởi:
Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1973. Điều quan
trọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều bài viết
đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980, McBride và Kerr 1987 và
Mustard 1987, 1989, 1991, 1996. Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực
sự bùng nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và xử lý tín
hiệu được công bố. Trong đó, có các bài viết của: Lohmann 1993, Ozaktas
và Mendlovic 1993a,b; Mendlovic và những người khác,
Với vai trò to lớn của phép biến đổi Fourier phân trong toán học và
những ngành khoa học khác như đã nêu ở trên, tôi đã chọn và nghiên cứu
phép biến đổi này cùng những ứng dụng của nó. Tuy nhiên với điều kiện
về không gian, thời gian và trình độ có hạn của bản thân nên cơ bản nội
dung biến đổi chủ yếu là biến đổi Fourier phân Namias và ứng dụng trong
cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phép biến đổi Fourier phân.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế
liên quan đến phép biến đổi Fourier, ứng dụng của phép biến đổi Fourier
phân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với biến đổi Fourier
phân. Qua đó, tìm hiểu, học tập và giới thiệu các vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật về
phép biến đổi Fourier và dạng biến đổi Fourier phân được quan tâm nhiều
và phát triển trong khoảng 3 thập niên trở lại đây.
Bên cạnh đó luận văn có đề cập đến một số ứng dụng của phép biến
đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phép
biến đổi Fourier phân.
4. Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 giới thiệu sơ lược về: phép biến đổi Fourier phân; một số
tính chất cơ bản của biến đổi Fourier phân; biểu diễn tích phân của biến
đổi Fourier phân; phép tính toán tử tổng quát của Namias [1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 2 trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân
trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho:
dao động điều hòa độc lập thời gian (dừng); dao động điều hòa phụ thuộc
thời gian; dao động điều hòa cưỡng bức; các electron tự do trong một từ
trường đồng nhất và không đổi; sự phát triển của một gói sóng điện tử
trong từ trường đồng nhất và không đổi; các electron tự do trong từ trường
đồng nhất và biến thiên theo thời gian của Namias [1].
Chương 3 trình bày nguyên lý bất định cho tín hiệu thực trong miền
biến đổi Fourier phân [4].
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ
bảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Việt Nam. Em xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại
học khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt
quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012.
Tác giả
Phạm Ngọc Điền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
Mục đích của chương này là giới thiệu một số nội dung cơ bản nhất
về biến đổi Fourier phân. Nội dung chủ yếu dưới đây được hình thành từ
tài liệu [1].
1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier
1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier
Để có thể hiểu về biến đổi Fourier và biến đổi Fourier phân (Namias),
trước hết ta xét biến đổi Fourier thông thường trong L
2
(R). Các kết quả
dưới đây có thể thấy trong nhiều tài liệu, thí dụ [1].
Định nghĩa 1.1. Cặp biến đổi Fourier thuận, ngược thông thường được
định nghĩa là
f (x ) =
1
√
2 π
+∞

−∞
g(k)e
ikx
dk, x ∈ R, (1.1)
g(k) =
1
√
2 π

+∞

−∞
f (x )e
−ikx
dx , k ∈ R. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Định nghĩa 1.2. Biến đổi Fourier (1.1) được viết dưới dạng toán tử:
F
π
2
[f (x )] =
1
√
2 π
+∞

−∞
f (x

) e
ixx

dx

. (1.3)
Biến đổi Fourier ngược (1.2) tương ứng với toán tử là:
F
−

π
2
[f (x )] =
1
√
2 π
+∞

−∞
f (x

) e
−ixx

dx

. (1.4)
1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier
Toán tử của biến đổi Fourier có một số tính chất cơ bản sau:
Tính chất 1.1. Các toán tử F
π
2
và F
−
π
2
là các liên hợp phức của nhau và
chúng thoả mãn hệ thức F
π
2

.F
−
π
2
= F
−
π
2
.F
π
2
= 1.
Chúng ta lưu ý rằng
F
π
2
[f (x)] = g (x) , F
π
2
[g (x)] = f (−x) ,
F
π
2
[f (−x)] = g (−x) , F
π
2
[g (−x)] = f (x) .
Nếu H
n
(x) là những đa thức Harmite bậc n thì dạng toán tử của biến

đổi Fourier đối với hàm e
−x
2
2
H
n
(x) là:
F
π
2
[e
−x
2
2
H
n
(x)] = e
in
π
2
e
−
x
2
2
H
n
(x) . (1.5)
Bây giờ chúng ta xét toán tử F
α

được biểu diễn dưới dạng e
iαA
, α ∈ R,
thỏa mãn phương trình giá trị riêng (1.5). Khi đó
e
iαA
e
−
x
2
2
H
n
(x) = e
inα
e
−
x
2
2
H
n
(x) . (1.6)
Lấy vi phân hai vế của phương trình (1.6) theo α và cho α = 0, ta
được
Ae
−x
2
2
H

n
(x) = ne
−x
2
2
H
n
(x) . (1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Vì H
”
n
(x) −2xH

n
(x) + 2nH
n
(x) = 0, nên chúng ta có
A = −
1
2
d
2
dx
2
+
1
2
x

2
−
1
2
. (1.8)
Tính chất 1.2. Một cách tổng quát, toán tử F
α
= e
iαA
có biến đổi ngược
là F
−α
= e
−iαA
. Biến đổi Fourier thông thường tương ứng với α =
π
2
và
ngược lại với α = −
π
2
. Giá trị α = 0 dẫn đến toán tử đồng nhất, khi α = π
tương ứng với các toán tử chẵn lẻ.
Ví dụ 1.1. Biến đổi Fourier phân bậc
1
2
khi áp dụng 2 lần ta được biến
đổi Fourier thông thường. Biến đổi được mô tả bởi toán tử F
π
4

có thể gọi
là căn bậc hai của biến đổi Fourier thông thường.
Tính chất 1.3. Trong trường hợp tổng quát, ta có: F
α+β
= F
α
.F
β
.
Về phương diện lý thuyết, dạng toán tử F
α
= e
iαA
rất có ích, song
bản thân nó không thích hợp với việc rút gọn trực tiếp và đánh giá biến
đổi phân đoạn. Ngay cả trong trường hợp biến đổi Fourier thông thường,
việc sử dụng toán tử F
π
2
= e
iπA
2
chưa phải là hiệu quả nhất và cách tối
ưu là sử dụng biểu diễn tích phân (1.1). Như vậy, đánh giá về sự biến đổi
phân đoạn có thể được hỗ trợ bởi việc biểu diễn tích phân tương ứng.
1.2 Biến đổi Fourier phân Namias
1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite
Ký hiệu H
n
(x) là đa thức Hermite bậc n. Hàm Hermite được chuẩn

hoá thành một hệ trực chuẩn trong L
2
(R) bởi công thức
Φ
n
(x) =
1

2
n
n!
√
π
e
−
x
2
2
H
n
(x), n = 0, 1, 2, . . . (1.9)
Với f ∈ L
2
(R) ta có
f(x) =
∞

n=0
a
n

Φ
n
(x), (1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
trong đó
a
n
=
+∞

−∞
f(x)Φ
n
(x)dx. (1.11)
Hàm Hermite Φ
n
(x) là hàm riêng của toán tử Fourier với giá trị riêng
e
inπ
2
:
F
π
2
[Φ
n
(x)] = e
inπ
2

Φ
n
(x). (1.12)
1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias
Xét toán tử tuyến tính F
α
thỏa mãn phương trình giá trị riêng
F
α
[Φ
n
(x)] = e
inα
Φ
n
(x). (1.13)
Tác động toán tử F
α
vào hai vế của (1.10), sử dụng phương trình
(1.13), ta có
F
α
[f(x)] =
∞

n=0
a
n
e
inα

Φ
n
(x), (1.14)
trong đó các hệ số a
n
được xác định theo công thức (1.11).
Thay (1.11) vào (1.14) ta được
F
α
[f(x)] =
∞

n=0

+∞

−∞
f(t)Φ
n
(t)dt

e
inα
Φ
n
(x)
=
+∞

−∞

f(t)

∞

n=0
e
inα
Φ
n
(x)Φ
n
(t)

dt. (1.15)
Đặt
K
α
(x, t) =
∞

n=0
e
inα
Φ
n
(x)Φ
n
(t) =
=
∞


n=0
e
inα
1
2
n
n!
√
π
e
−
x
2
2
H
n
(x)e
−
t
2
2
H
n
(t). (1.16)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Sử dụng công thức Mehler trong [ Lebedev, Special Functions and
their Applications]:
∞


n=0
H
n
(x)H
n
(t)
2
n
n!
√
π
z
n
=
1

π(1 −z
2
)
exp

2xtz −(x
2
+ t
2
)z
2
1 −z
2


(1.17)
Định nghĩa 1.3. Với các điều kiện (1.15)-(1.17), ta có định nghĩa biến
đổi Fourier phân (Namias) như sau:
F
α
[f(x)] =
+∞

−∞
K
α
(x, t)f(t)dt. (1.18)
Biến đổi ngược là
F
α
[f(t)] =
+∞

−∞
K
∗
α
(t, x)f(x)dx, (1.19)
trong đó
K
α
(x, t) =
1


π(1 −e
2iα
)
exp[
2xte
iα
− (x
2
+ t
2
)e
2iα
1 −e
2iα
−
x
2
+ t
2
2
], (1.20)
K
∗
α
(t, x) = K
−α
(t, x). (1.21)
Hàm K
α
(x, t) có các tính chất sau:

K
α
(t, x) = K
α
(x, t), (1.22)
+∞

−∞
|f(t)|
2
dt =
+∞

−∞
|F
α
[f(x)]|
2
dx, (1.23)
+∞

−∞
tK
α
(x, t) f(t)dt = x cos(α)F
α
[f(x)] + i sin(α)
d
dx
F

α
[f(x)]. (1.24)
Chú ý rằng khi α =
π
2
và α = −
π
2
, chúng ta lấy lại những biến đổi
Fourier thông thường là công thức (1.1)và công thức (1.2). Khi α = 0,
chúng ta biết rằng biến đổi quay về ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, khi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
α → 0 chúng ta thay sin α bởi α và cot α bởi
1
α
và sử dụng kết luận dưới
đây [theo nghĩa hàm suy rộng]
lim
ε→0
1
√
πiε
e
−
x
2
iε
= δ(x), (1.25)
+∞


−∞
δ(x − a)f(x)dx = f(a). (1.26)
Trên cơ sở các công thức (1.25), (1.26) ta định nghĩa
K
α
(x, t) =







(1/
√
2π)e
±ixt
, α = ±π/2,
δ(x − t), α = 2kπ,
δ(x + t), α = (2k + 1)π.
(1.27)
1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản
(Với các điều kiện thích hợp của tham số α)
hàm f(x) Biến đổi Fourier phân F
α
[f(x)]
e
−
x

2
2
e
−
x
2
2
e
−
x
2
2
H
n
(x) e
inα
e
−
x
2
2
H
n
(x)
exp

−
x
2
2

+ ax

exp

−
x
2
2
−
ia
2
2
e
iα
sin α + axe
iα

δ (x)
exp
(
iπ
4
−
iα
2
)
√
2π sin α
exp


−
ix
2
2
cot α

δ (x −a)
exp
(
iπ
4
−
iα
2
)
√
2π sin α
exp

−
i
2
cot α

x
2
+ a
2

+ iaxcosec α


1
e
−
iα
2
√
cos α
exp

+
ix
2
2
tan α

e
ikx
e
−
iα
2
√
cos α
exp

i
2
tan α


k
2
+ x
2

+ ikx sec α

1.3 Phép tính toán tử tổng quát
Cũng như trong trường hợp biến đổi Fourier và Laplace thông thường,
phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
1.3.1 Phép biến đổi của tích
Cho f(x) là hàm bất kì thuộc lớp L
2
(R), ta cần chỉ ra phép biến đổi
Fourier phân của x
m
f (x). Sử dụng hệ thức truy hồi
H
n+1
(x) + 2nH
n−1
(x) −2xH
n
(x) = 0,
chúng ta tìm thấy
F
α
[x exp


−
x
2
2

H
n
(x)] = x exp

−
x
2
2

e
i(n+1)α
H
n
(x)
+n exp

−
x
2
2


e
i(n−1)α

− e
i(n+1)α

H
n−1
(x) .
(1.28)
Mặt khác do H

n
(x) = 2H
n−1
(x), nên
d
dx
F
α
[exp

−
x
2
2

H
n
(x)] = −xe
inα
exp


−
x
2
2

H
n
(x)
+2ne
inα
exp

−
x
2
2

H
n−1
(x) .
(1.29)
Loại bỏ ne
inα
exp

−
x
2
2


H
n−1
(x) giữa phương trình (1.28) và (1.29)
ta có được
F
α
[x exp

−
x
2
2

H
n
(x)] =

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
[exp

−
x

2
2

H
n
(x)].
Nhờ mở rộng (1.14) chúng ta nhận thấy rằng
F
α
[xf] =

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
[f] (1.30)
và dạng toán tử của phương trình này là
F
α
[x] =

x cos α +
1
i
sin α

d
dx

F
α
. (1.31)
Lặp đi lặp lại phương trình (1.31) cho
F
α
[x
m
] =

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

m
F
α
. (1.32)
Từ phương trình (1.32) chúng ta dễ dàng có
F
α
[x
2
f] =

1
2
sin 2α

−i + x
2
cot α

F
α
[f]
−ixsin2α
d
dx
F
α
[f] − sin
2
α
d
2
dx
2
F
α
[f].
(1.33)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Hãy xem xét một hàm g(x), giả định mở rộng trong một chuỗi biến

đổi Taylor g (x) =

b
m
x
m
. Sử dụng phương trình (1.33), chúng ta thấy
phương trình toán tử tổng quát hơn
F
α
[g (x)] = g

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
. (1.34)
Áp dụng phương trình (1.34) cho một hàm f(x), chúng ta có
F
α
[gf] = g

x cos α +
1
i

sin α
d
dx

F
α
[f]. (1.35)
Hoán đổi vai trò của f và g chúng ta có
F
α
[gf] = f

x cos α +
1
i
sin α
d
dx

F
α
[g]. (1.36)
1.3.2 Phép biến đổi của đạo hàm
Chúng ta muốn để có được những biến đổi đạo hàm của một hàm.
Thay thế f(x) bởi
df
dx
trong phép biểu diễn tích phân (1.15) và lấy tích
phân từng phần, giả sử rằng f (x) → 0 khi x → ±∞. Chúng ta có
F

α
[
df
dx
] = i cot αF
α
[xf] −

ix
sin α

F
α
[f].
Sử dụng phương trình (1.31) chúng ta có
F
α
[
df
dx
] =

−ix sin α + cos α
d
dx

F
α
[f] (1.37)
và dạng toán tử của phương trình (1.37) là

F
α
[
d
dx
] =

−ix sin α + cos α
d
dx

F
α
, (1.38)
chúng ta dễ dàng có thể mở rộng đến các đạo hàm có cấp cao hơn
F
α
[
d
m
dx
m
] =

−ix sin α + cos α
d
dx

m
F

α
. (1.39)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Áp dụng phương trình (1.39), chúng ta có
F
α
[
d
2
f
dx
2
] = −

x
2
sin α + i cos α

sin αF
α
[f]−
ix sin 2α
d
dx
F
α
[f] + cos
2
α

d
2
dx
2
F
α
[f].
(1.40)
Một lần nữa, nếu g là một hàm mở rộng trong một chuỗi Taylor,
chúng ta có
F
α
[g

d
dx

f] = g

−ix sin α + cos α
d
dx

F
α
[f]. (1.41)
1.3.3 Phép biến đổi của tích hỗn tạp
Một quy tắc áp dụng cho tích x

df

dx

có thể được lấy dễ dàng nhất
bằng cách sử dụng phương trình (1.31) và (1.37). Kết quả là
F
α
[x
df
dx
] = −

sin α + ix
2
cos α

sin αF
α
[f]+
x cos 2α
d
dx
F
α
[f] −
i
2
sin2α
d
2
dx

2
F
α
[f].
(1.42)
1.3.4 Phép biến đổi của thương
Để tìm F
α
[
f
x
], chúng ta có thể bắt đầu từ phương trình (1.15) với
việc thay
f
x
bởi f.
√
2π sin αF
α
[
f
x
] = exp

−
ix
2
2
cot α


exp
i
2

π
2
− α

×
+∞

−∞
exp

−
ix
2
2
cot α + ixx

cos ecα

f (x

)
x

dx

.

Nhân exp

1
2
ix
2
cot α

vào cả hai vế, lấy vi phân đối với x và nhân
phương trình thu được với exp

−
1
2
ix
2
cot α

cho
exp

−
ix
2
2
cot α

d
dx


exp

+
ix
2
2
cot α

F
α
[
f
x
]

=

i
sin α

F
α
[f].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Từ đó, chúng ta có
F
α
[
f

x
] =

i
sin α

exp

−
ix
2
2
cot α

×
x

−∞
exp

+
ix
2
2
cot α

F
α
[f]dx.
(1.43)

Kết quả cũng có thể được lấy trực tiếp từ phương trình (1.31). Các
quy tắc áp dụng cho F
α
[
f
x
m
] có thể được tìm thấy bằng cách áp dụng lặp
đi lặp lại của kết quả trên.
1.3.5 Phép biến đổi của tích phân
Theo phương trình (1.14) ta có
F
α
[
dg
dx
] = −ix sin αF
α
[g] + cos α
d
dx
F
α
[g].
Thay
dg
dx
= f (x) , ta được
F
α

[f] = −ix sin αF
α
[
x

a
f (x) dx] + cos α
d
dx
F
α
[
x

a
f (x) dx].
Việc giải phương trình vi phân đầu tiên mang lại kết quả
F
α
[
x

a
f (x) dx] = sec α exp

−
ix
2
2
tan α


×
x

a
exp

+
ix
2
2
tan α

F
α
[f]dx.
(1.44)
Các quy tắc cho việc lấy tích phân nhiều lần có thể thu được bằng
cách áp dụng lặp đi lặp lại.
1.3.6 Phép tịnh tiến
Chúng ta bắt đầu một lần nữa từ phương trình biểu diễn tích phân
(1.15), và bằng cách thay đổi của biến y = x + k, chúng ta đi đến kết quả
F
α
[f (x + k)] = exp

−ik sin α

x +
k

2
cos α

F
α
[f]
[x+k cos α],
(1.45)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
chỉ số trong ngoặc vuông chứng tỏ rằng nó là đối số của hàm F
α
[f] nên
được viết là x + k cos α.
1.3.7 Phép biến đổi tương đương
Một quy tắc tương đương cho F
α
[f (ax)] cũng có thể được thành lập,
nhưng nó không có kết quả tương ứng của phép biến đổi Fourier thông
thường. Tuy nhiên, chúng ta đề cập đến kết quả đơn giản
F
α
[f (−x)] = F
α−π
[f (x)]. (1.46)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI
FOURIER PHÂN TRONG CƠ

HỌC LƯỢNG TỬ
Trong chương này, chúng ta cùng nhau nghiên cứu ứng dụng của biến
đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của các phương
trình Schr¨odinger cho dao động điều hòa và các electron. Nội dung này
được đề cập đến trong nhiều tài liệu của các tác giả khác nhau. Tuy nhiên,
ở đây nội dung của chương được lấy chủ yếu từ tài liệu [1].
2.1 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger dừng
Áp dụng các quy tắc tính toán đối với toán tử tổng quát để giải
phương trình Schr¨odinger dừng cho các dao động điều hòa
−
h
2
2m
d
2
ψ
dx
2
+
1
2
kx
2
ψ = Eψ, (2.1)
khi h là hằng số Planck với số bị chia 2π, k là hằng số co dãn cho các dao
động của khối lượng m và năng lượng E. Phương trình này có thể có được
bằng cách rút gọn cho z =
4

4mk

h
2
x và
E
h

k
m
= λ; γ =
1
2
và ta có
d
2
ψ
dz
2
+

λ −γ
2
z
2

ψ = 0. (2.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Bây giờ chúng ta lấy biến đổi Fourier phân phương trình (2.2)
F
α

[
d
2
ψ
dz
2
] + λF
α
[ψ] −γ
2
F
α
[z
2
ψ] = 0. (2.3)
Sử dụng các quy tắc (1.29) và (1.36) và cho F
α
[ψ] = G , chúng ta
thấy rằng G thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai
G


γ
2
sin
2
α + cos
2
α


+ G

(iz sin 2α)

γ
2
− 1

+
G

−

sin
2
α + γ
2
cos
2
α

z
2
+
i
2

γ
2
− 1


sin 2α + λ

= 0.
(2.4)
Bây giờ chúng ta quy phương trình này về bậc 1 bằng cách cho
γ
2
sin
2
α + cos
2
α = 0. Như vậy, việc quy về bậc 1 chỉ đơn giản là sử
dụng một biến đổi phân đoạn với góc α sao cho
cot α = ±iγ. (2.5)
Chúng ta có thể viết cot α = iεγ, trong đó ε = ±1.
Đối với dao động điều hòa, γ =
1
2
, và góc α thỏa mãn phương trình
(2.5) là tương ứng với một biến đổi Fourier phân. Sử dụng phương trình
(2.4) chúng ta được
G

+ G

−εz

1 + γ
2


2γ
+
1
2
z +
ελ
2zγ

= 0. (2.6)
Nghiệm tìm được là
G = C exp

εz
2

1 + γ
2

4γ

z
−(γ+ελ)
2γ
. (2.7)
Bây giờ chúng ta có được ψ nhờ biến đổi Fourier phân ngược F
−α
,
ψ (z) = C


exp

−εz
2
γ
2

×
+∞

−∞
exp

ε
(
1−γ
2
)
z
2
4γ
−
izz

sin α

z
−
(
1

2
+
ελ
2γ
)
dz

.
(2.8)
Rõ ràng đối với các biểu thức tích phân không mở rộng được khi
z

→ ∞, chúng ta phải chọn ε = −1. Khi cot α = ±iγ, cot
2
α = −γ
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
chúng ta có sin α = ±
1
√
1−γ
2
. Lấy γ =
1
2
, chúng ta thấy rằng có thể có hai
nghiệm sin α =
2

√
3
và sin α = −
2
√
3
.
Lấy λ = v +
1
2
và thay đổi các biến của phép lấy tích phân để s =

√
3
2i

z

, dẫn đến kết quả
ψ(z) = C

exp

z
2
/4

+i∞

−i∞

exp

s
2
2
± zs

s
v
ds. (2.9)
Biểu thức tích phân đó suy biến tại s = 0 và chúng ta tránh sự suy
biến đó bằng cách chọn đường đi của phép lấy tích phân quanh gốc về
phía bên phải. Trong chùm mặt phẳng chứa s, đối số của s đi từ −
π
2
đến
π
2
xung quanh nửa vòng tròn vô cùng bé quanh gốc.
2.2 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger phụ thuộc
thời gian
Chúng ta xem xét các phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian
−
h
2
2m
∂
2
ψ
∂x

2
+
1
2
kx
2
ψ = ih
∂ψ
∂t
. (2.10)
Đặt ψ(x, 0) là tình trạng ban đầu của bó sóng. Nghiệm ψ(x, t) có thể
dễ dàng thu được từ hàm Green K(x, x

, t) thoả mãn phương trình (2.10)
với điều kiện ban đầu K(x, x

, 0) = δ(x−x

). Với sự hỗ trợ của hàm Green
chúng ta thu được
ψ(x, t) =
+∞

−∞
K(x, x

, t)ψ(x

, 0)dx


. (2.11)
Chúng ta sẽ sử dụng các biến không có thứ nguyên
z =
4

mk
h
2
x, (2.12)
z

=
4

mk
h
2
x

, (2.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
τ =

k
m
t = ωt. (2.14)
Phương trình thoả mãn hàm Green K(z, z

, τ) là

−
1
2
∂
2
K
∂z
2
+
1
2
z
2
K = i
∂K
∂τ
, (2.15)
với điều kiện ban đầuK(z, z

, 0) = δ(z − z

). Phương trình (2.15) có thể
được viết
(A +
1
2
)K = i
∂K
∂τ
,

khi A sinh ra ở phương trình (1.8). Ta cho
K(z, z

, τ) = F
α
[Φ(z, z

, τ)], (2.16)
trong đó, thực hiện phép biến đổi Fourier phân trên biến z. Chúng ta có
(A +
1
2
)F
α
[Φ] = i
∂
∂τ
(F
α
[Φ]). (2.17)
Thay vì xem xét các góc α không đổi, trong khi xác định thứ tự của
các biến đổi, chúng ta sẽ để cho nó phụ thuộc vào thời gian. Do đó
∂
∂τ
(F
α
[Φ]) =
∂F
α
∂τ

Φ + F
α
[
∂Φ
∂τ
].
Khi F
α
= e
iαA
, và hoán đổi A với F
α
chúng ta cũng tìm thấy
∂F
α
∂τ
= i

∂α
∂τ

Ae
iαA
= i

∂α
∂τ

AF
α

= i

∂α
∂τ

F
α
A.
Phương trình (2.17) trở thành
F
α

−
∂α
∂τ
A −A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ

= 0
và thoả mãn là toán tử đồng nhất khi biểu thức trong ngoặc vuông bằng
0. Bây giờ chúng ta chọn
∂α
∂τ
= −1 để phương trình (2.17) tiếp tục được
rút gọn về dạng

−
1
2
Φ + i
∂Φ
∂τ
= 0. (2.18)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Các góc α phụ thuộc vào thời gian, α = −τ + C và chúng ta chọn
C = 0 để α = 0 khi τ = 0. Do đó α = −τ.
Giải phương trình tầm thường (2.18) và cho Φ = e
−
iτ
2
F (z), trong đó
F (z) được nêu ra như một hàm tuỳ ý của z. Tại τ = 0, α = 0 và F
α
= F
0
nó là toán tử đồng nhất. Như vậy,
K(z, z

, 0) = F
0
[Φ(z, z

, 0)] = Φ(z, z

, 0) = δ(z −z


).
do đó
Φ(z, z

, τ) = e
−
iτ
2
δ(z −z

). (2.19)
Bây giờ hàm Green được viết là
K(z, z

, τ) = F
α
[Φ(z, z

, τ)] = F
−τ
[e
−
iτ
2
δ(z −z

)] = e
−
iτ

2
F
−τ
[δ(z −z

)].
(2.20)
Sử dụng kết quả trong bảng 1, chúng ta thấy
K(z, z

, τ) =
1
√
2πi sin τ
exp
i
2

cot τ(z
2
+ z
2
) −2zz

cos ecτ

. (2.21)
Thay trở lại các biến x, x

và τ, có được dạng chuẩn của hàm Green

cho dao động điều hoà của bó sóng từ (2.11) là
ψ(z, τ) =
+∞

−∞
K(z, z

, τ)ψ(z

, 0)dz

= e
−
iτ
2
+∞

−∞
F
−τ
[δ(z −z

)]ψ(z

, 0)dz

.
Do đó
ψ(z, τ) = e
−

iτ
2
F
−τ
[ψ(z, 0)]. (2.22)
Các hàm sóng tại một thời điểm bất kỳ nào sau đó có thể tính bằng
dạng toán tử của phép biến đổi Fourier phân với α = −ωt.
2.3 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho dao
động điều hoà cưỡng bức
Trong một số ứng dụng của lĩnh vực lý thuyết và lượng tử điện tử,
người ta đưa đến việc nghiên cứu tác dụng động lực học được tạo ra bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
một ngoại lực phụ thuộc thời gian F (t) mà không phụ thuộc vào vị trí.
Phương trình Schr¨odinger cho dao động điều hoà cưỡng bức là
−
h
2
2m
∂
2
ψ
∂x
2
+
1
2
kx
2
ψ − xF (t)ψ = ih

∂ψ
∂t
. (2.23)
Chúng ta viết lại phương trình (2.23) trong điều kiện của các biến rút
gọn, các phương trình (2.12) – (2.14). Chúng ta cho f(τ) =
F
(
τ
ω
)
√
hωk
và xem
xét hàm Green thỏa mãn phương trình
1
2
∂
2
K
∂z
2
−
1
2
z
2
K + zf(τ)K + i
∂K
∂τ
= 0. (2.24)

Các điều kiện ban đầu của K là
K(z, z

, 0) = δ(z −z

). (2.25)
Bây giờ trong phương trình (2.24) cho K(z, z

, τ) = F
α
[Φ(z, z

, τ)],
chúng ta có
F
α

−
∂α
∂τ
A −A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ

+ zf(τ)F
α

[Φ] = 0. (2.26)
Sử dụng phương trình (1.26) và (1.33) và loại bỏ
d
dx
F
α
[f], chúng ta
có được
xF
α
[f] = F
α

cos αxf + i sin α
df
dx

. (2.27)
Mối quan hệ này cho phép chúng ta viết lại phương trình (2.26) dưới
dạng
F
α

−
∂α
∂τ
A −A −
1
2


Φ + i
∂Φ
∂τ
+ f(τ)

cos αzΦ + i sin α
∂Φ
∂z

= 0.
(2.28)
Một lần nữa chọn α = −τ , chúng ta có được phương trình vi phân
riêng bậc một
i
∂Φ
∂τ
− i sin τf(τ)
∂Φ
∂z
+

z cos τf(τ) −
1
2

Φ = 0 (2.29)
với điều kiện ban đầu của Φ là
Φ(z, z

, 0) = F

0
[Φ(z, z

, 0)] = K(z, z

, 0) = δ(z −z

). (2.30)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Có nhiều cách để giải chính xác một phương trình vi phân riêng bậc
một. Tuy nhiên, trong những trường hợp này chúng ta có thể phỏng đoán
nghiệm có dạng
Φ(z, z

, τ) = X(z

, τ)δ [θ(τ) + z −z

] . (2.31)
Trường hợp θ(τ) và X là hàm chưa được xác định. Các điều kiện ban
đầu của θ và X là: θ(0) = 0 và X(z

, 0) = 1. Thay phương trình (2.31)
vào (2.29), chúng ta thấy thoả mãn nếu các hệ số của δ(θ + z − z

) và
δ

(θ + z − z


) được gán bằng 0. Như vậy
dθ
dτ
= sin τf(τ), (2.32)
i
∂X
∂τ
+

(z

− θ) cos τf(τ) −
1
2

X = 0. (2.33)
Nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu là
Φ(z, z

, τ) = exp i

z

η(τ) −ξ(τ) −
τ
2

δ [θ(τ) + z −z


] , (2.34)
trong đó
θ(τ) =
τ

0
sin τf(τ)dτ, (2.35)
η(τ) =
τ

0
cos τf(τ)dτ, (2.36)
ξ(τ) =
τ

0


τ


0
sin τ

f(τ

)dτ




cos τ

f(τ

)dτ

, (2.37)
Hàm Green cho dao động điều hoà cưỡng bức là
K(z, z

, τ) = exp

−iξ −
i
2
τ + iηz


F
−τ
[δ(θ + z − z

)]. (2.38)
Sử dụng kết quả bảng 1, chúng ta thấy
K(z, z

, τ) =
1
√
2πi sin τ

×
expi

−ξ + z

η +
1
2
cot τ

z
2
+ (z

− θ)
2

− z(z

− θ) cos ecτ

.
(2.39)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên