Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRỊNH THỊ NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH
KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐIỀU KHIỂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .
1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . .
1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . .
1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tính ổn định của hệ phương trình vi
2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm . . . . . . . .
2.1.1 Một số định lý cơ sở . . . . .
2.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . .
2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm . . . .
2.2.1 Bài toán ổn định . . . . . . .
2.2.2 Bài toán ổn định hóa . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . .

1

phân tuyến tính
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
10
12

.
.
.
.
.
.
.
.

13
13
13
18
20
22
26
36
37


MỞ ĐẦU
Bài toán ổn định là một trong những bài toán quan trọng trong lý
thuyết định tính phương trình vi phân và tích phân. Nói một cách hình
tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó
nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ
thống không làm cho hệ thống đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà
toán học V. Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov đã trở thành
một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi
phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế
kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt
đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn
định hóa của các hệ điều khiển, do đó tính ổn định mà Lyapunov đề xướng
trước kia càng thể hiện tầm quan trọng của mình trong sự phát triển liên
tục của toán học.Vì những lý do vừa phân tích ở trên mà cho đến nay tính
ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc
lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các lĩnh vực từ kinh tế đến
khoa học kĩ thuật.
Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn

định hệ phương trình vi phân. Chẳng hạn như: phương pháp thứ nhất
Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp
thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương
pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, ... Mỗi phương pháp đều có ưu nhược
điểm riêng. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hệ
tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển theo phương pháp
thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Cơ sở toán học. Chương này trình bày một số kiến thức
cơ sở chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn. Cụ thể là trình bày những
2


MỞ ĐẦU

khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, bài toán ổn định, phương
pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình
vi phân.
Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương
trình vi phân. Nội dung chính của chương này là trình bày các điều kiện
cần và đủ tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm. Để chứng minh,
chúng tôi đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thuật đánh
giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày
ứng dụng của hệ không ôtônôm trong bài toán ổn định hóa hệ điều khiển.
Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là trình bày một cách hệ
thống bài toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với các
ví dụ minh họa mới.

3

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy
cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc
nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại nhà
trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã
quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận
văn của mình.
Hà Nội, tháng 2 năm 2015
Tác giả luận văn
Trịnh Thị Ngọc

4


Bảng kí hiệu

R
Không gian số thực.
Rn
Không gian vecto n chiều
R+

Tập hợp các số thực không âm.
n×r
R
Không gian các ma trận n × r chiều.
T
A
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
I
Ma trận đơn vị.
λ(A)
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
λmax (A)
max {Reλ, λ ∈ λ(A)}.
A≥0
Ma trận A xác định không âm.
A>0
Ma trận A xác định dương.
+
BM (0, ∞)
Tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và
bị chặn trên (0, ∞)
C([a, b], Rn )
Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị
n
trên R
A
Chuẩn phổ của ma trận A, A = λmax (AT A).
BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm cấp n × m, liên tục và
bị chặn trên [0, ∞).
BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm đối xứng, xác định

dương cấp n × m, liên tục và bị chặn trên R+ .
L2 ([t, s], Rn )
Tập tất cả các không gian khả tích trên Rn và nhận
giá trị trên [t, s].

5


Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ
phương trình vi phân: các khái niệm cơ bản về hệ ôtônôm, không ôtônôm
và ổn định hệ phương trình vi phân, trong đó chúng tôi có trình bày
phương pháp thứ hai của Lyapunov là phương pháp hàm Lyapunov đối
với bài toán ổn định hệ phương trình vi phân. Chúng tôi cũng nhắc lại
một số kết quả làm cơ sở cho nội dung nghiên cứu ở các chương sau. Nội
dung chương này được trình bày từ tài liệu [1, 2, 5].

1.1
1.1.1

Hệ phương trình vi phân.
Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .

Rất nhiều các quá trình trong tự nhiên, vật lý, cơ học, sinh học... được
mô tả bởi các phương trình vi phân. Các phương trình vi phân này thể
hiện mối quan hệ giữa biến thời gian, trạng thái của hệ thống và vận tốc
thay đổi của trạng thái tại cùng một thời điểm. Ở đây ta phân ra làm hai
loại: hệ phương trình vi phân ôtônôm và hệ phương trình không ôtônôm.
Một hệ phương trình vi phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân có dạng:

x(t)
˙
= f (x),

t ≥ 0,

trong đó x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn . Hay nói cách khác, hệ phương trình vi
phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào
biến thời gian t. Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm là hệ
phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức là
phương trình của nó có dạng

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
6

t ≥ 0,

(1.1)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn .

1.1.2

Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), trong đó f xác định và
liên tục trên miền G = (a, b) × {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} . Cùng với phương
trình (1.1) ta xét bài toán Cauchy :

t ≥ 0,

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
x(t0 ) = x0 .

(1.2)

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm x(.) trong một lân cận của
t0 .
Định lý 1.1. (Định lý tồn tại địa phương) Giả sử f là ánh xạ liên tục từ
G sang Rn thỏa mãn các điều kiện sau với mọi t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0 ) =
{x ∈ Rn : x − x0 ≤ η}

f (t, x) ≤ M1 ,
f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,
trong đó M1 , M2 là các hằng số không phụ thuộc vào t, x, y . Khi đó, tồn tại
số δ > 0 (δ = min Mη1 , M12 ) sao cho với mọi t0 ∈ (a, b), trong khoảng

(t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) bài toán Cauchy (1.2) có đúng một nghiệm x(t) thỏa
mãn φ(t) − x0 ≤ η.
Định lý 1.2. (Định lý tồn tại toàn cục) Giả sử f (.) : R+ × Rn → Rn liên
tục và thỏa mãn các điều kiện sau :

f (t, x) ≤ M1 + M0 x ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ,

f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Khi đó, với bất kì điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn tại duy nhất một nghiệm
x(t) của bài toán Cauchy của phương trình (1.2) trên toàn khoảng R+ .

1.2
1.2.1

Tính ổn định hệ phương trình vi phân
Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
7

t ≥ 0,

(1.3)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

trong đó f : R+ × Rn → Rn . Giả sử f thỏa mãn các điều kiện cần thiết
để bài toán Cauchy (1.2) có nghiệm duy nhất trên R+ . Giả sử x = η(t) là
nghiệm của (1.3) xác định trên R+ . Ta đặt y = x − η(t), tức y là độ lệch
của nghiệm x với nghiệm η(t).
Vì η(t)
˙ = f (t, η(t)) nên ta nhận được phương trình vi phân đối với y :

y˙ = g(t, y),
trong đó g(t, 0) = 0 nên hệ phương trình y˙ = g(t, y) có nghiệm tầm thường
y = 0 ứng với nghiệm đã cho x = η(t) của phương trình

x˙ = f (t, x).
Như vậy việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = η(t) trong không
gian Rn được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường
y = 0 trong Rn .
Do đó, không mất tính tổng quát, ta luôn giả sử phương trình (1.1) có
nghiệm tầm thường x = 0, tức là f (t, 0) = 0.
Định nghĩa 1.1. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định nếu
∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho từ bất đẳng thức x(t0 ) ≤ δ
suy ra x(t) < ε, với ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận
nếu nó ổn định và mọi nghiệm x(t) thỏa mãn:

lim

t→+∞

x(t) = 0.

Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu
∃M > 0, α > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa
mãn:
x(t)
M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
Ta quy ước thay vì nói nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định ( ổn
định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói rằng hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm
cận, ổn định mũ ).
Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong Rn

x(t)
˙
= αx(t),
8

t ≥ 0.


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0 eαt ,

t ≥ 0.

Khi đó hệ ổn định (tiệm cận, mũ) nếu α < 0. Nếu α = 0 thì hệ là ổn định.

Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân

x(t)
˙
= a(t)x(t),

t ≥ 0,

trong đó, a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện
ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi
t

a(t)dt.

x(t) = x0
t0

Do đó dễ kiểm tra được hệ là ổn định nếu
t

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞,

∀t ≥ t0

t0

là ổn định tiệm cận nếu
t

a(τ )dτ = −∞.

lim

t→∞

t0

Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đưa ra hai
phương pháp:
- Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên
cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn là
dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt thì tính ổn định sẽ được
rút ra từ tính ổn định của xấp xỉ tuyến tính.
- Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này
được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định. Nội dung
của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm toàn phương
đặc biệt (gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm
tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm
Lyapunov tương ứng. Hiện nay chưa có một thuật toán tổng quát để tìm
được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình. Sau đây chúng tôi xin
trình bày những kết quả chính của phương pháp này.
9


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.4)

trong đó: x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàm
vectơ cho trước, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Kí hiệu κ là tập các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0.
Định nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, khả
vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.4) nếu
(i) V (t, x) là hàm số xác định dương theo nghĩa

∃a(.) ∈ κ : V (t, x) ≥ a( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

∂V
∂V
(ii) V˙ (t, x(t)) =
+
f (t, x(t))
0, với mọi nghiệm x(t) của hệ
∂t
∂x
(1.4)
Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện:
(iii) ∃b(.) ∈ κ : V (t, x)

b( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

(iv) ∃c(.) ∈ κ : V˙ (t, x(t)) −c( x(t) ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.4)
thì ta gọi hàm V (t, x) là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.4).
Định lý 1.3. Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hệ (1.4)
có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y 2 ),
y˙ = −(x + y)(1 − x2 − 3y 2 ).
Lấy V (x, y) = x2 + 2y 2 . Hàm này là xác định dương. Ta có
V˙ (x, y) = −2(1 − x2 − 3y 2 )(x2 + 2y 2 ) ≤ 0 với x, y đủ bé.
Vậy hệ đã cho là ổn định.
Ví dụ 1.4. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = −x + y + xy,
y˙ = x − y − x2 − y 3 .
10


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Xét hàm V (x, y) = x2 + y 2 .
Ta có V (x, y) ≥ 0, và V (0, 0) = 0.

V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙
= 2x(−x + y + xy) + 2y(x − y − x2 − y 3 )

= −2x2 + 2xy + 2x2 y + 2xy − 2y 2 − 2yx2 − 2y 4
= −2(x2 − 2xy + y 2 ) − 2y 4
= −2(x − y)2 − 2y 4 < 0,

(x, y) = (0, 0)

Vậy hệ là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.4. Giả sử tồn tại hàm V (t, x) : R+ × Rn → R+ thỏa mãn điều
kiện:
(i) ∃C1 , C2 > 0 : C1 x

2

V (t, x)

C2 x 2 ,

∀(t, x) ∈ R × Rn

(ii) ∃C3 > 0 : V˙ (t, x(t)) ≤ −C3 x(t) 2 , ∀x(t) là nghiệm của phương
trình (1.4) thì hệ đã cho là ổn định mũ và ta có đánh giá:
C3
C2 − 2C
e 2 t x0 .
C1

x(t)

Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình vi phân

x˙1 = x2 − x1 ,
1
1
x˙2 = − x1 − x2 .
3
3
Lấy V (x) = x21 + 3x22 , ta có x

2

V (x)

3 x 2.

V˙ (x) = 2x1 x˙1 + 6x2 x˙2
1
1
= 2x1 (x2 − x1 ) + 6x2 (− x1 − x2 )
3
3
2
= −2(x1 + x2 ).
Theo định lý trên suy ra hệ đã cho ổn định mũ với M =
Ví dụ 1.6. Xét hệ phương trình vi phân sau:

1

 x˙ = − et x,
2
1


 y˙ = − et y.
2
11

√

1
3, α = .
3


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Lấy V (t, x, y) = x2 + y 2 . ta có:

V˙ (t, x, y) = 2xx˙ + 2y y˙
= −et (x2 + y 2 ) −(x2 + y 2 ).
Suy ra hệ phương trình vi phân thỏa mãn định lý với C1 = C2 = C3 = 1
1
do đó hệ đã cho ổn định mũ với M = 1, α = .
2
1.2.3

Một số bổ đề bổ trợ

Ta nhắc lại một số bổ đề, bất đẳng thức sẽ sử dụng để chứng minh các
kết quả chính trong các chương sau
Bổ đề 1.1. ( Bất đẳng thức ma trận Cauchy ) Giả sử N ∈ Rn×n là
một ma trận đối xứng, xác định dương và x, y ∈ Rn , ta có

2 < x, y > < N x, x > + < N −1 y, y > .
Bổ đề 1.2. ( Bất đẳng thức tích phân ) Giả sử M ∈ Rn×n là một ma
trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi số γ > 0 và với mọi hàm
khả tích ω : [0, γ] −→ Rn , ta có
T

γ

ω(s)ds

γ

M

γ

ω(s)ds
0

0

ω T (s)M ω(s))ds.

γ
0

Bổ đề 1.3. (Bổ đề Schur ) Cho các ma trận đối xứng X, Y, Z ∈ Rn×n
thỏa mãn X = X T , Y = Y T > 0. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 khi và chỉ khi

X ZT
Z −Y

< 0 hoặc

12

−Y Z
ZT X

< 0.


Chương 2
Tính ổn định của hệ phương trình
vi phân tuyến tính
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định
hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm, không ôtônôm và tính ổn định
hóa hệ điều khiển không ôtônôm. Nội dung chương này được trình bày từ
tài liệu [2,3,4,6,7].

2.1

Hệ tuyến tính ôtônôm

Xét hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t),

t ≥ 0,

(2.1)

trong đó A là (n × n)- ma trận. Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng
thái ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,
2.1.1

∀t ≥ 0.

Một số định lý cơ sở

Định lý 2.1. Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất
cả các giá trị riêng của ma trận A là âm, tức là

Reλ < 0,

∀λ ∈ λ(A).

Chứng minh. Từ lý thuyết về ma trận và theo công thức Sylvester [2]
áp dụng cho f (λ) = eλ , ta có
q
t

(Zk1 + Zk2 + ... + Zkα tαk −1 )eλk ,

eAt =

k=1

13


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk trong
phương trình đa thức đặc trưng của A. Zki là các ma trận hằng số. Do đó
ta có đánh giá sau
q

e

At

αk

ti−1 eReλk t Zki .

≤
k=1 i=1

Vì Reλk < 0 nên x(t) → 0 khi t → +∞.
Ngược lại, nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0
của hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện

x(t) ≤ µ x0 e−δ(t−t0 ) ,

t ≥ t0 ,

(2.2)

với µ > 0, δ > 0 nào đó. Ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A) sao
cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có

Ax0 = λ0 x0
và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc đó ta có

x0 (t) = x0 eReλ0 t ,

t ≥ 0,

khi đó nghiệm x0 (t) → +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện (2.2).
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xét tính ổn định của hệ

x˙ = −x + y,
y˙ = 2x − 3y.
Ta có:
A=

−1 1
2 −3 ,

và phương trình đặc trưng

−1 − λ
1
2

−3 − λ = 0,
√
√
có nghiệm λ1 = −2 − 3 < 0, λ2 = −2 + 3 < 0.
Vậy hệ trên là ổn định tiệm cận.

14


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Ví dụ 2.2. Xét tính ổn định của hệ :

x˙ = 2x − y + 2z,
y˙ = 5x − 3y + 3z,
z˙ = −x − 2z.
Ta có:
A=

2 −1 2
5 −3 3 ,
−1 0 −2

và phương trình đặc trưng:

2−λ
−1
2
5
−3 − λ

3
= −(λ + 1)3 = 0,
−1
0
−2 − λ
có nghiệm λ = −1(bội 3)
Vì hệ trên có nghiệm λ = −1 < 0, nên hệ là ổn định tiệm cận.
Định lý sau cho một tiêu chuẩn khác về tính ổn định hệ phương trình
tuyến tính ôtônôm (2.1) thông qua phương trình Lyapunov.
Xét phương trình Lyapunov dạng

AT P + P A = −Q,

(LE)

trong đó P, Q là các ma trận (n × n) chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE).
Định lý 2.2. Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kì một
ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov LE :

AT P + P A = −Q,
có nghiệm P đối xứng, xác định dương.
Chứng minh. Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận P > 0, với Q > 0. Với
x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.1) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số

V (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ t0 .

Ta có

d
V (x(t)) =< P x,
˙ x > + < P x, x˙ >
dt
=< (P A + AT P )x, x >
= − < Qx(t), x(t) > .
15


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Do đó

t

V (x(t)) − V (x(t0 )) = −

< Qx(s), x(s) > ds.
t0

Vì P là xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với mọi t ≥ t0 và do đó
t

< Qx(s), x(s) > ds ≤ V (x0 ) =< P x0 , x0 > .
t0

Mặt khác, vì Q xác định dương, nên tồn tại số α > 0 sao cho

< Qx, x >≥ α x 2 ,
Do đó

t

x(s) 2 ds ≤
t0

∀x ∈ Rn ,

< P x0 , x0 >
.
α

Cho t → +∞ ta được
+∞

x(s) 2 ds < +∞.

(2.3)

t0

Ta sẽ chứng minh Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A).
Thật vậy, giả sử có một số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn ứng với
giá trị riêng λ0 này, thì nghiệm của hệ (2.1) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 (t) x0 và
do đó
∞
∞
2
x1 (t) dt =
e2Reλ0 t x0 2 dt = +∞,

t0

t0

vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (2.3).
Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A).
Với bất kì ma trận Q đối xứng, xác định dương, xét phương trình ma trận
sau
˙
Z(t)
= AT Z(t) + Z(t)A, ∀t ≥ t0 ,
(2.4)
Z(t0 ) = Q.
Nhận thấy rằng hệ (2.4) có một nghiệm riêng là
T

Z(t) = eA t QeAt .
Đặt

t

Z(s)ds < ∞,

P (t) =
t0

16


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

là xác định và do Q là đối xứng nên P cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế phương trình (2.4) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Q = AT P + P A,

∀t ≥ t0 .

Cho t → +∞ để ý rằng Z(t) → 0 khi t → +∞ và vì A là ổn định, nên ta
được
−Q = AT P + P A,
hay các ma trận đối xứng P, Q thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng minh P
là ma trận xác định dương. Thật vây, ta có
∞

T

< QeA t x, eAt x > dt.

< P x, x >=
t0

Do Q > 0 và eAt là không suy biến nên

< P x, x >> 0,

x = 0.

Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.3. Xét tính ổn định của hệ:


 x˙ = − 21 x + 2y − 3z,
y˙ = −x − 41 y + 3z,

z˙ = x − 2y − 16 z.
Ta có:


− 21 2 −3
A = −1 − 41 3  ,
1 −2 − 16


Chọn ma trận :
Q=

1 0 0
0 1 0 ,
0 0 1

ta thấy Q là ma trận đối xứng, xác định dương.
Thay vào phương trình Lyapunov LE:

AT P + P A + Q = 0,
ta tìm được nghiệm P là
P=

1 0 0
0 2 0 ,
0 0 3

17


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

vì P là hàm đối xứng, xác định dương nên hệ là ổn định tiệm cận theo
Lyapunov.
Điều phải chứng minh.

2.1.2

Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(2.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, u(.)
thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn [0, s], ∀s ≥ 0 và lấy
giá trị trong Rm , f : R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước được giả
thiết thỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 2.1. Hệ điều khiển (2.5) được gọi là ổn định hóa được nếu
tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm sao cho với u(t) = h(x(t)) hệ phương trình
vi phân sau (thường gọi là hệ đóng, closed- loop system):

x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t)),

∀t ≥ 0,

(2.6)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = h(x(t)) thường được gọi là hàm điều
khiển liên hệ ngược.
Xét hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

∀t ≥ 0,

(2.7)

trong đó A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận hàm.
Định lý 2.3. Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
A + BK là ma trận ổn định, tức là các phần thực của giá trị riêng của
(A + BK) là âm.
Chứng minh. Lấy điều khiển liên hệ ngược u(t) = Kx(t), trong đó
K ∈ Rm×n , ta có hệ đóng là

x(t)
˙

= [A + BK]x(t),

t ≥ 0.

Do đó theo Định lý 2.1, hệ đóng là ổn định nếu Reλ(A + BK) < 0.
Ví dụ 2.4. Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển sau

1 2
−1
x(t)
˙
= 0 4 x(t) + −3 u(t),
18

t ≥ 0.


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Theo định nghĩa, ta tìm ma trận điều khiển ngược K = (k1 , k2 ) sao cho
ma trận
1 2
−1
A + BK = 0 4 + −3 (k1 , k2 )
là ma trận ổn định, t.l. các phần thực các giá trị riêng của ma trận này là
âm. Ta có
1−k 2−k
A + BK = −3k 1 4 − 3k2 .
1
2

Do đó ta chọn k1 = 2, k2 = 2 thì K = (2, 2) và:

−1 0
A + BK = −6 −2 ,
khi đó các giá trị riêng của ma trận A + BK là −1, −2, suy ra hệ là ổn
định hóa được và hàm điều khiển liên hệ ngược là

x
u(t) = (2, 2) x1
2

= 2x1 (t) + 2x2 (t).

Định lý sau cho một tiêu chuẩn ổn định hóa khác của hệ (2.7).
Định lý 2.4. Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn phương trình ma trận sau:

AT P + P A − P BB T P + Q = 0,
và ma trận điều khiển liên hệ ngược là:

1
u(t) = − B T P x(t),
2

t ≥ 0.

(2.8)

Chứng minh. Xét hàm liên hệ ngược (2.8), ta có hệ đóng là :

1
x(t)
˙
= [A − BB T P ]x(t),
2

t ≥ 0.

(2.9)

Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.9):

V˙ (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ 0.

Ta chứng minh đây là hàm Lyapunov chặt cho hệ (2.9) và khi đó theo
Định lý 1.3, hệ đóng là ổn định tiệm cận.
Thật vậy, dễ thấy điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.4 thỏa mãn:

λmin (P ) x

2

≤ V (x) ≤ λmax (P ) x 2 .
19


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Để kiểm tra điều kiện (iv) ta có:

V˙ (x(t)) = 2 < P x(t),
˙
x(t) >
1
= 2 < P [A − BB T P ]x(t), x(t) >
2
T
=< (A P + P A − P BB T P )x(t), x(t) > .
Theo phương trình ma trận (2.8) ta có:

x(t)
˙
= − < Qx(t), x(t) >
≤ −λmin (Q) x 2 .
Suy ra điều kiên (iv) của Định nghĩa 1.4.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.5. Xét tính ổn định của hệ sau

x˙ = 143
4 x + 9y
y˙ = 62x + 142
4 y.
1 0
6
là
ma
trận
đối

xứng,
xác
định
dương,
và
B
=
0 2
6
Ta thấy phương trình LE :
Chọn Q =

AT P + P A − P BB T P + Q = 0,
2 0
0 2 , là đối xứng, xác định dương.
Vậy hệ là ổn định hóa.
có nghiệm : P =

2.2

Hệ tuyến tính không ôtônôm

Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (LTV) sau:

x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t),

∀t ∈ R+ ,

x(0) = x0 ,

(2.10)

trong đó, A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), B ∈ BC([0, ∞), Rn×m ), ∀u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm ),
∀t ≥ 0, nghiệm của (2.10) được cho bởi
t

x(t) = S(t)x0 +

S(t)S −1 (s)B(s)u(s)ds,

0

20


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

trong đó S(t) là ma trận nghiệm của hệ thuần nhất x˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ .
Nói cách khác, nghiệm được cho bởi dạng Cauchy
t

x(t) = U (t, 0)x0 +

U (t, s)B(s)u(s)ds,
0

với U (t, s) = S(t)S −1 (s) là ma trận chuyển của hệ. Nghiệm của hệ LTV
được xác định theo phương trình vi phân Riccati (RDE) sau

P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0,

∀t ≥ 0.
(2.11)

Định nghĩa 2.2. [3] Cho Q ∈ BC([0, ∞), Rn×n ). Hệ tuyến tính (2.10)
là Q− ổn định nếu với mọi trạng thái ban đầu x0 , có điều khiển u(.) ∈
L2 ([0, ∞), Rm ) sao cho hàm:
∞

[ u(t) 2 + < Q(t)x(t), x(t) >]dt,

J(u) =
0

tồn tại và hữu hạn, trong đó x(t) là nghiệm của hệ.
Mệnh đề 2.1. [3] Nếu hệ tuyến tính (2.10) là Q− ổn định, thì RDE (2.11)
có nghiệm P ∈ BC + ([0, ∞), Rn×n ).
Định nghĩa 2.3. Ma trận hàm P (.) là xác định dương đều (kí hiệu P >>
0), nếu
∃c > 0, ∀x ∈ Rn , ∀t ∈ R+ :< P (t)x, x >≥ c x 2 .
Ví dụ 2.6. Ma trận

P =

e−t 0
,
0 e−2t

là ma trận xác định dương, nhưng không xác định dương đều. Ma trận

ecos
P =
0

2

t

0
sin2 t

e

,

là xác định dương đều, vì ta có: < P (t)x, x >≥ 2 x 2 ,

21

∀x ∈ R2 .


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Mệnh đề 2.2. [5] Cho x ∈ Rn , M ∈ Rm×n , P ∈ Rn×n , với P là đối xứng.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương
(i) < P x, x >< 0, M x = 0,

x = 0.

(ii) ∃β ∈ R : P − βM T M < 0.
(iii) ∃Q ∈ Rn×m : P + QM + M T QT < 0.

2.2.1

Bài toán ổn định

Cho A ∈ BC([0, +∞), Rn×n ). Ta xét hệ tuyến tính không ôtônôm LTV
sau:
x(t)
˙
= A(t)x(t), ∀t ≥ 0.
(2.12)
Định nghĩa 2.4. Hệ LTV (2.12) là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0, δ > 0
sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(s) = x0 thỏa mãn

x(t) ≤ N x0 e−δ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0.

Ta đã biết với hệ ôtônôm mà A là ma trận hằng sao cho tất cả các phần
thực của giá trị riêng là âm hoặc nếu có nghiệm P đối xứng, xác định
dương của bất đẳng thức Lyapunov

AT P + P A < 0,
thì hệ ôtônôm là ổn định mũ. Điều này không còn đúng với hệ không
ôtônôm, ngay cả khi ma trận A(t) là ổn định với mọi t. Ta xét điều kiện
cần và đủ cho sự ổn định mũ của hệ LTV qua bất đẳng thức Lyapunov

biến thiên.
Cho A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), Q ∈ Rn×n , đặt

MA = Q ∈ M + :

Q − [A(t) + AT (t)] >> 0.

Với mọi Q ∈ MA , xét bất đẳng thức Lyapunov biến thiên sau

(LE + )

P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q ≤ 0,

t ≥ 0.

Định lý 2.5. Với mọi A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), hai điều kiện sau tương
tương
(i) Hệ (2.12) là ổn định mũ.
22


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

(ii) Bất đẳng thức Lyapunov (LE + ) có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), Rn×n )
với mọi Q ∈ MA .
Chứng minh. (i) → (ii). Cho A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), Q ∈ MA , xét hàm
P (t) sau:
∞

U T (τ, t)QU (τ, t)dτ,

P (t) =

∀t ≥ 0.

t

+ Ta chứng minh P (t) chính là nghiệm của (LE + ).
Thật vậy, dễ thấy ngay P (t) là ma trận đối xứng, xác định dương.
Hơn nữa, từ giả thiết (i), vì hệ (2.12) là ổn định mũ nên ta có

∃N > 0, δ > 0 : U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0,

trong đó U (t, s) là ma trận chuyển của hệ.
+ Ta chứng minh P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ).
Ta có:
∞

∞
T

U (τ, t)QU (τ, t)dτ ≤

P (t) =
t
∞

=

t

Q

Ne

−δ(τ −t) 2

N

∞

2

dτ ≤ N Q

t

=

U (τ, t) 2 dτ

Q

e−2δ(τ −t) dτ

t
2

Q
.
2δ

Vậy P (t) là bị chặn.
+ Ta chứng minh P (t) là nghiệm của (LE + ).
Thay U (τ, t) = S(τ )S −1 (t) trong (2.13), và nhận xét rằng:
−1

U T (τ, t) = S T (t)S T (τ ),
ta có

∞

P (t) =

−1

S T (t)S T (τ )QS(τ )S −1 (t)dτ.

t

Vi phân hai vế của hàm trên theo t và sử dụng đẳng thức

S˙ −1 (t) = −S −1 (t)A(t),
−1
−1
S˙ T (t) = −AT (t)S T (t),

23

(2.13)


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

ta có
∞

d
−1
P˙ (t) = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) + S T (t)
dt
= −AT (t)P (t) − P (t)A(t) − Q.
Vì:

d
dt

S T (τ )QS(τ )dτ S −1 (t)

t

∞

S T (τ )QS(τ )dτ = −S T (t)QS(t),
t

Vậy bất đẳng thức Lyapunov có nghiệm là P (t).
(ii) → (i). Giả sử Q ∈ MA , và P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) sao cho

P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q = 0,

∀t ≥ 0.

Xét hàm Lyapunov của hệ (2.12) :

V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 ,

x ∈ Rn .

Đặt p = supt∈Rn P (t) . Ta có

x

2

≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2 ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Lấy đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) của hệ (2.12) ta được

∂V (.) ∂V (.)
+
A(t)x(t)
V˙ (t, x(t)) =
∂t
∂x
=< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t),

˙
x(t) > +2 < x(t),
˙
x(t) >
=< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)]x(t), x(t) >
+ < [AT (t) + A(t)]x(t), x(t)) > .
≤ − < [Q − (A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > .
Mặt khác, vì Q ∈ MA , tức là ma trận:

Q − [A(t) + AT (t)] >> 0,
nên ∃ > 0 sao cho :

< (Q − [A(t) + AT (t)])x(t), x(t) >≥
Vậy ta có:

V˙ (t, x(t)) ≤ − x 2 ,
24

∀t ≥ 0.

x 2.