Mở đầu về hệ động lực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

LÊ THỊ KIM DUNG

MỞ ĐẦU VỀ HỆ ĐỘNG LỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
Ts. Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2015


2


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Bùi Kiên Cường đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa
Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Kim Dung


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Bùi Kiên Cường
khóa luận "Mở đầu về hệ động lực" được hoàn thành không trùng
với bất kỳ đề tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Kim Dung


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. MỞ ĐẦU HỆ ĐỘNG LỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Định nghĩa của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1. Không gian trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4. Định nghĩa của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Quỹ đạo và đường cong pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Tập hợp bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1. Định nghĩa và các lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.2. Tính ổn định của tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Phương trình vi phân và hệ động lực . . . . . . . .
2.1. Mô tả các ví dụ bằng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . .

26
27

2.1.1. Ví dụ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.2. Ví dụ 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3. Ví dụ 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Ánh xạ Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Ánh xạ trượt theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2. Ánh xạ Poincaré và sự ổn định của chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Cũng như môn khoa khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ
sở phát triển khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế.
Những bài toán cơ học và vật lí dẫn đến sự nghiên cứu của các phương
trình vi phân tương ứng. Với mong muốn được đi sâu tìm hiểu về bộ
môn này. Trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng sự hướng
dẫn của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường, em xin trình bày hiểu biết của
mình về đề tài "Mở đầu về hệ động lực".
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân đặc
biệt là tìm hiểu sâu hơn về Hệ động lực.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác ứng dụng của phương trình
vi phân trong vật lí, đặc biệt là "hệ động lực"
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên
cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoá
luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Mở đầu về hệ động lực
Chương 2: Phương trình vi phân và hệ động lực
1


Chương 1
MỞ ĐẦU HỆ ĐỘNG LỰC
Trong chương này, chúng ta giới thiệu một số thuật ngữ và khái niệm cơ
bản. Đầu tiên là định nghĩa hệ động lực và đưa ra một số ví dụ bao gồm
cả biểu trưng động lực học, sau đó chúng ta giới thiệu các khái niệm về
quỹ đạo, tập bất biến và sự ổn định của nó. Cuối cùng, chúng ta thảo
luận tại sao hệ phương trình vi phân có thể xác định các hệ động lực
trong cả không gian hữu hạn và vô hạn chiều

1.1. Định nghĩa của hệ động lực
Khái niệm của hệ động lực là sự hình thức hóa toán học của các khái
niệm về một quá trình đơn định của khoa học. Trạng thái tương lai và
quá khứ của nhiều ngành vật lý, hóa học, sinh học, sinh thái, kinh tế và
thậm chí cả hệ thống xã hội có thể được dự đoán đến một mức độ nhất
định bằng cách biết tình trạng hiện tại của nó và các luật điều chỉnh sự
phát triển của nó. Miễn là các luật này không thay đổi theo thời gian,

2


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

dáng điệu của hệ như vậy được coi là hoàn toàn xác định bởi trạng thái
ban đầu của nó. Như vậy, khái niệm của hệ động lực bao gồm tập hợp
các trạng thái có thể của nó (không gia trạng thái) và luật của sự phát
triển của trạng thái theo thời gian.
Chúng ta hãy thảo luận về những thành phần riêng biệt và sau đó
đưa ra một định nghĩa chính thức của hệ động lực

1.1.1. Không gian trạng thái
Tất cả các trạng thái có thể có của một hệ động lực được đặc trưng bởi
các điểm của một tập X nào đó. Tập này được gọi là không gian trạng
thái của hệ. Trên thực tế, sự diễn tả của một điểm x ∈ X phải có đủ
không chỉ mô tả các vị trí hiện tại của hệ mà còn để xác định quá trình
phát triển của nó. Thường, không gian trạng thái được gọi là một không
gian pha, theo truyền thống từ cơ học cổ điển.
Ví dụ 1.1. (con lắc) Trạng thái của một con lắc lý tưởng được đặc
trưng hoàn toàn bởi việc xác định sự dịch chuyển góc ϕ của nó (mod
2π) so với vị trí thẳng đứng và vận tốc góc ϕ˙ tương ứng (Hình 1.1).
Nhận thấy rằng góc ϕ là không đủ để xác định trạng thái tương lai của
con lắc. Do đó, với hệ cơ học đơn giản này, không gian trạng thái là
X = S 1 × R1 , trong đó S 1 là đường tròn đơn vị được tham số hóa bởi
góc, và R1 là trục số thực tương ứng của tập tất cả các vận tốc có thể.
Khi đó tập X có thể được coi là một đa tạp trơn 2 chiều (hình trụ) trong
R3 .
3


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Hình 1.1: Con lắc cổ điển

Ví dụ 1.2. (hệ cơ học tổng quát) Trong cơ học cổ điển, trạng thái
của hệ bị cô lập (không phụ thuộc) với bậc tự do s đặc trưng bởi véc tơ
thực 2s chiều:
T

q , q , ..., q , p, p, ..., p
1 2

s 1 2

s

Trong đó qi là hệ tọa độ suy rộng, pi là động lượng suy rộng tương ứng.
Do đó, trong trường hợp này X = R2s . Nếu hệ tọa độ k là tuần hoàn
X = S k × R2s−k . Trong trường hợp của con lắc s = k = 1, q1 = ϕ, chúng
ta có thể lấy p1 = ϕ˙
Ví dụ 1.3. (hệ lượng tử)
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ với 2 trạng thái có thể quan
sát được đặc trưng bởi véc tơ
 
a1
ψ =   ∈ C2 ,
a2
Trong đó, ai , i = 1, 2 là số thực gọi là biên độ thỏa mãn điều kiện
|a1 |2 + |a2 |2 = 1. Xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái thứ i là bằng pi =
|ai |2 , i=1,2
4

Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Ví dụ 1.4. (biểu trưng động lực học)
Xét tập hợp Ω2 gồm tất cả dãy song-vô hạn của 2 kí tự {1, 2}. Một
điểm ω ∈ X là dãy
ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...} ,
Trong đó, ωi ∈ {1, 2}. Chú ý rằng vị trí không trong mỗi dãy phải được
chỉ ra. Chẳng hạn, có 2 dãy phân biệt tuần hoàn có thể được viết như
ω = {..., 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...} ,
với ω0 = 1 cho một dãy và ω0 = 2 cho dãy còn lại. Không gian Ω2 sẽ
đóng một vai trò quan trọng trong những gì tiếp theo.
Đôi khi, rất hữu ích việc đồng nhất hai dãy chỉ khác nhau bởi chỉ
bằng một phép dịch chuyển điểm gốc. Những dãy như vậy được gọi là
tương đương. Lớp các dãy tương đương tạo thành một tập, kí hiệu bởi
˜ 2 . Hai dãy tuần hoàn đã đề cập ở trên biểu diễn cùng một điểm trong
Ω
˜
Ω.
Trong tất cả các ví dụ trên, không gian trạng thái có một cấu trúc
tự nhiên nhất định, cho phép so sánh giữa các trạng thái khác nhau. Cụ
thể hơn, khoảng cách ρ giữa hai trạng thái được xác định hoàn toàn,
làm thành tập hợp các không gian mêtric.
Trong các ví dụ về cơ học các không gian trạng thái là các không gian
véc tơ thực Rn hữu hạn n chiều hay là một đa tạp con trong không gian
này. Chuẩn Euclide có thể sử dụng để đo khoảng cách giữa hai trạng

5


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

thái được tham số hóa bởi các điểm x, y ∈ Rn , tức là
n

ρ (x, y) = x − y =

(xi − yi )2

x − y, x − y =

(1.1)

i=1

trong đó, ·, · là tích vô hướng chuẩn tắc trong Rn ,
n
T

x, y = x · y =

xi · yi
i=1

Khoảng cách giữa hai trạng thái ψ, ϕ của hệ lượng tử từ Ví dụ 1.3 có

thể được xác định bằng cách sử dụng tích vô hướng chuẩn tắc trong Cn ,
n

ψ, ϕ = ψ

−T

ψ¯i ϕi ,

ϕ=
i=1

Với n = 2, khi đó ψ, ψ = ϕ, ϕ = 1
Khi không gian trạng thái là không gian hàm số, có nhiều khoảng
cách có thể tùy thuộc vào độ trơn (tính khả vi) của hàm số đã được
thừa nhận. Ví dụ, chúng ta có thể giới thiệu khoảng cách giữa hai hàm
số liên tục có giá trị véc tơ thực u (x) và v (x) được xác định trong miền
giới nội đóng Ω ∈ Rm bởi
ρ (u, v) = u − v = max sup |ui (x) − vi (x)| ,
i=1,...,n x∈Ω

(1.2)

Theo số chiều của không gian trạng thái cơ bản X, thì hệ động lực
được gọi là hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều.
1.1.2. thời gian
Sự phát triển của một hệ động lực có nghĩa là một sự thay đổi trạng
thái của hệ đối với thời gian t ∈ T , trong đó T là một tập hợp số nào đó.
6

Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Chúng ta sẽ xem xét hai loại hệ động lực là: hệ động lực với thời gian
liên tục (thực) T = R1 , và hệ động lực thời gian gián đoạn (nguyên)
T = Z. Loại hệ đầu tiên được gọi là hệ động lực liên tục theo thời gian.
Loại thứ hai gọi là hệ động lực gián đoạn theo thời gian. Hệ gián đoạn
theo thời gian xuất hiện một cách tự nhiên trong sinh thái học và kinh
tế khi trạng thái của hệ tại một thời điểm nhất định của thời gian t hoàn
toàn xác định trạng thái của nó sau một năm, tức là tại t + 1.
1.1.3. Toán tử tiến hóa
Các thành phần chính của hệ động lực là quy luật phát triển, nó xác
định trạng thái xt tại thời điểm t, miễn là trạng thái ban đầu x0 là đã
biết. Cách chung nhất để định rõ quá trình phát triển là giả thiết rằng
với mỗi t ∈ T đã cho, ánh xạ ϕt được xác định trong không gian trạng
thái X,
ϕt : X → X,
biến trạng thái ban đầu x0 ∈ X thành một trạng thái xt ∈ X tại thời
điểm t:
xt = ϕt xo .
Ánh xạ ϕt thường được gọi là toán tử tiến hóa của hệ động lực. Nó có
thể cho dưới dạng hiện; tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, nó
được định nghĩa một cách gián tiếp và có thể chỉ được tính toán qua
một cách xấp xỉ. Trong trường hợp liên tục theo thời gian, họ {ϕt }t∈T
các toán tử tiến hóa được gọi là các dòng.
Chú ý rằng ϕt x có thể không xác định với mọi cặp (x, t) ∈ X × T . Hệ
7

Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

động lực toán tử tiến hóa ϕt xác định đồng thời cho cả t ≥ 0 và t < 0
được gọi là khả nghịch. Trong những hệ như vậy, trạng thái ban đầu x0
không chỉ hoàn toàn xác định các trạng thái tương lai của hệ mà còn
xác định dáng điệu trong quá khứ. Tuy nhiên, thật là hữu ích khi xem
xét hệ động lực, mà dáng điệu của hệ đông lực trong tương lai với t > 0
là hoàn toàn xác định bởi trạng thái ban đầu x0 tại t = 0, nhưng lịch sử
với t < 0 không thể tái tạo được. Một hệ động lực như vậy được mô tả
bởi toán tử tiến hoá xác định cho miền t ≥ 0 (tức là, cho t ∈ R1+ hoặc
Z+ ). Trong trường hợp liên tục theo thời gian, họ gọi là nửa dòng.
Nó cũng có thể là ϕt x0 chỉ được xác định một cách địa phương theo
thời gian, chẳng hạn 0 ≤ t < t0 , khi đó t0 phụ thuộc vào x0 ∈ X. Một ví
dụ quan trọng của những dáng điệu đó là sự “bùng nổ”, khi đó hệ liên
tục theo thời gian trong X = Rn đạt đến vô hạn trong một thời gian,
tức là ϕt x0 → +∞, cho t → ∞ Toán tử tiến hóa có hai đặc tính tự
nhiên, nó phản xạ tất định đặc trưng của hình dạng hệ động lực. Trước
hết,

ϕ0 = id,

text(DS.0)

Với id là ánh xạ đồng nhất trên X, idx = x với mọi x ∈ X. Thuộc tính
(DS.0) suy ra hệ không thay đổi trạng thái của nó là “tự phát”. Thuộc
tính thứ hai của toán tử tiến hóa là:

text(DS.1)

ϕt+s = ϕt ◦ ϕs .

8


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Nó có nghĩa là:
ϕt+s x = ϕt (ϕs x)
Với mọi x ∈ X và t, s ∈ T , sao cho cả hai vế của phương trình cuối được
xác định. Về cơ bản, tính chất (DS.1) phát biểu rằng kết quả của sự tiến
hóa của hệ trong quá trình t + s đơn vị thời gian, bắt đầu tại một điểm
x ∈ X cũng giống như nếu hệ thống lần đầu tiên được phép thay đổi
từ trạng thái x chỉ s đơn vị thời gian và sau đó phát triển tiếp t đơn vị
thời gian đến trạng thái kết thúc ϕs x (nhìn Hình 1.2). Tính chất này có
nghĩa là các luật điều chỉnh hình dạng của hệ không thay đổi theo thời
gian: Hệ thống là “hệ Ôtônôm”
Với các hệ thống khả nghịch, toán tử tiến hóa ϕt đáp ứng tính chất
(DS.1) cho t và s cả âm lẫn không âm. Trong hệ thống như vậy, các toán
−1

tử ϕ−t là khả nghịch của ϕt , (ϕt )

= ϕ−t , tức là ϕ−t ◦ ϕt = id. Hệ động

Hình 1.2: Toán tử tiến hóa

lực gián đoạn theo thời gian với số nguyên t là hoàn toàn xây dựng bằng
cách xác định chỉ một ánh xạ f = ϕ1 , gọi là “ánh xạ một - thời gian”.
Thật vậy, sử dụng (DS.1), chúng ta được ϕ2 = ϕ1 ◦ ϕ1 = f ◦ f = f 2 ,
9


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

trong đó, f 2 là sự lặp thứ hai của ánh xạ f . Tương tự, ϕk = f k với mọi
k > 0. Nếu hệ gián đoạn theo thời gian là khả nghịch, phương trình ở
trên đúng cho cả k ≤ 0, ở đó f 0 = id.
Cuối cùng, chúng ta hãy chỉ ra rằng, đối với nhiều hệ, ϕt x là hàm số
liên tục của x ∈ X, và nếu t ∈ R1 , nó cũng là liên tục trong thời gian.
Ở đây sự liên tục được cho là được xác định đối với mêtric hoặc chuẩn
tương ứng trong X. Hơn nữa, nhiều hệ xác định trên Rn hoặc trên đa
tạp trơn trong Rn , sao cho ϕt x là trơn như là một hàm của (x, t). Những
hệ như vậy được gọi là hệ động lực trơn.
1.1.4. Định nghĩa của hệ động lực
Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về hệ động lực
Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là bộ ba gồm {T, X, ϕt }, trong đó T là
tập thời gian, X là không gian trạng thái, và ϕt : X → X là một họ toán
tử tiến hóa được tham số hóa bởi t ∈ T và thỏa mãn tính chất (DS.0) và
(DS.1)
Cho hai ví dụ minh họa định nghĩa:
Ví dụ 1.5. (hệ tuyến tính 2 chiều) Xét không gian 2 chiều X = R2
và phép biến đổi tuyến tính không suy biến trên X cho bởi ma trận phụ
thuộc vào t ∈ R1 :




λt

0

0

µt

e

e




trong đó, λ, µ = 0 là các số thực. Hiển nhiên, nó xác định một hệ động
lực liên tục theo thời gian trên X. Hệ thống này là khả nghịch và được
10


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

định nghĩa cho tất cả cặp (x, t). Ánh xạ ϕt là liên tục (và trơn) đối với
x, cũng như đối với t.

Ví dụ 1.6. (biểu trưng động lực học) Lấy không gian X = Ω2 của
tất cả chuỗi vô hạn hai kí hiệu {1, 2} giới thiệu trong Ví dụ 1.4. Xem
xét một ánh xạ σ : X → X, mà biến đổi chuỗi
ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...} ∈ X
thành chuỗi θ = σ (x) ,
θ = {..., θ−2 , θ−1 , θ0 , θ1 , θ2 , ...} ∈ X,
trong đó, θk = ωk+1 , k ∈ Z
Ánh xạ σ chỉ thay đổi các chuỗi bằng phép dịch chuyển một vị trí tọa
độ sang bên trái. Nó được gọi là ánh xạ trượt. Ánh xạ trượt định nghĩa
một hệ động lực gián đoạn theo thời gian trên X, ϕk = σ k , đó là khả
nghịch. Chú ý rằng hai chuỗi θ và ω là tương đương nhau nếu và chỉ nếu
θ = σ k0 (ω) với k0 ∈ Z.

1.2. Quỹ đạo và đường cong pha
Các đối tượng hình học cơ bản liên kết với một hệ động lực {T, X, ϕt }
bởi quỹ đạo của nó trong không gian trạng thái và đường cong pha quỹ
đạo
Định nghĩa 1.2. Một quỹ đạo bắt đầu từ x0 là một tập con sắp thứ tự
của không gian trạng thái X,
Or (x0 ) = x ∈ X : x = ϕt x0 , ∀t ∈ T
11


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

sao cho ϕt x0 được xác định
Quỹ đạo của hệ liên tục theo thời gian với toán tử tiến hóa liên tục
là đường cong trong không gian trạng thái X được tham số hóa bởi thời

gian t và định hướng bởi hướng tăng của tham số (nhìn Hình 1.3)

Hình 1.3: Quỹ đạo của một hệ liên tục theo thời gian

Quỹ đạo của hệ gián đoạn theo thời gian là một dãy các điểm trong
không gian trạng thái X liệt kê bằng cách tăng số nguyên. Nếu y0 =
ϕt0 x0 cho một số t0 , tập hợp Or(x0 ) và Or(y0 ) trùng nhau. Ví dụ, hai
chuỗi tương ứng θ, ω ∈ Ω2 sinh ra các quỹ đạo đều biểu tượng động lực
Z, Ω2 , σ k . Do đó, tất cả các quỹ đạo khác nhau của biểu tượng động
˜ 2 giới thiệu trong Ví dụ
lực là được biểu diễn bởi các điểm trong tập Ω
1.4. Các quỹ đạo đơn giản nhất là sự cân bằng
Định nghĩa 1.3. Một điểm x0 ∈ X được gọi là cân bằng (điểm cố định)
nếu ϕt x0 = x0 với ∀t ∈ T .
Toán tử tiến hoá ánh xạ một điểm cân bằng vào chính nó. Hay tương
đương, một hệ được đặt ở vị trí cấn băng sẽ duy trì trạng thái cân bằng
12


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

mãi mãi. Vì vậy, sự cân bằng đại diện cho một kiểu đơn giản hình nhất
dáng điệu của hệ. Chúng ta sẽ dùng các tên “cân bằng” cho hệ động lực
liên tục theo thời gian, trong khi sử dụng thuật ngữ “điểm cố định” cho
đối tượng tương ứng của hệ gián đoạn theo thời gian. Hệ từ Ví dụ 1.5
rõ ràng là có một điểm cân bằng duy nhất tại gốc, x0 = (0, 0)T . Nếu
λ, µ < 0 thì tất cả các quỹ đạo hội tụ đến x0 khi t → +∞
Một loại tương đối đơn giản khác của quỹ đạo là chu trình

Định nghĩa 1.4. Một chu trình là một quỹ đạo tuần hoàn, cụ thể là
một quỹ đạo không cân bằng L0 , sao cho mỗi điểm x0 ∈ L0 thỏa mãn
ϕt+T0 x0 = ϕt x0 với một số T0 > 0 với mọi t ∈ T
Số tối tiểu T0 có tính chất này được gọi là chu kỳ của chu trình L0 .
Nếu một hệ bắt đầu tiến hóa tại một điểm x0 trên chu trình, nó sẽ quay
lại chính xác đến điểm này sau mỗi T0 đơn vị thời gian. Hệ này trưng
bày dao động tuần hoàn. Trong trường hợp liên tục theo thời gian, một
chu trình L0 là một đường cong khép kín (nhìn Hình 1.4(a))
Định nghĩa 1.5. Chu trình của một hệ động lực liên tục theo thời gian,
trong một lân cận của nó không có những chu trình khác được gọi là chu
trình giới hạn.
Trong trường hợp chu trình gián đoạn theo thời gian là tập (hữu hạn)
các điểm
x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), ........, f N0 (x0 ). Trong đó f = ϕ1 và chu kỳ T0 = N0 rõ
ràng là một số nguyên (Hình 1.4(b)). Chú ý rằng mỗi điểm của tập là
một điểm cố định của phép lặp thứ N0 , f N0 của ánh xạ f . Hệ từ ví dụ
13


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Hình 1.4: Quỹ đạo định kì của hệ liên tục theo thời gian (a) Quỹ đạo định kì của hệ gián
đoạn theo thời gian(b)

1 không có chu trình. Ngược lại, biểu trưng hệ động lực (Ví dụ 1.4) có
một số lượng vô hạn của chu trình.
Chúng ta có thể phân loại tất cả quỹ đạo có thể trong hệ động lực thành
điểm cố định, chu trình và các phần còn lại.

Định nghĩa 1.6. Đường cong pha của hệ động lực là sự phân chia của
không gian trạng thái thành quỹ đạo.
Đường cong pha bao hàm một khối lượng lớn thông tin về hình dạng
của một hệ động lực. Bằng cách nhìn vào đường cong pha, chúng ta có
thể xác định số lượng và loại của trạng thái tiệm cận mà hệ đó dần tới
khi t → +∞ (và t → −∞ nếu hệ là khả nghịch). Tất nhiên không thể
vẽ tất cả các quỹ đạo trong một hình vẽ minh họa. Trong thực tế, chỉ
có vài quỹ đạo chủ chốt được mô tả trong biểu đồ để biểu diễn đường
cong pha dưới biểu đồ (như chúng tôi đã làm trong hình 1.3). Hệ động
14


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

lực liên tục theo thời gian có thể được thể hiện như là một hình ảnh
của dòng chảy của một số chất, trong đó quỹ đạo cho thấy “con đường
của hạt lỏng” như theo dòng nước. Điều này tương tự giải thích việc sử
dụng của các thuật ngữ “dòng” cho toán tử tiến hóa trong trường hợp
thời gian liên tục

1.3. Tập hợp bất biến
1.3.1. Định nghĩa và các lớp
Để phân loại các phần tử của đường cong pha, đặc biệt là trạng thái
tiệm cận của hệ các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.7. Một tập hợp bất biến của hệ động lực {T, X, ϕt } là tập
con S ⊂ X sao cho x0 ∈ S bao hàm ϕt x0 ∈ S cho tất cả t ∈ T
Định nghĩa có nghĩa là ϕt S ⊆ S với mọi t ∈ T . Rõ ràng, một tập
bất biến S bao gồm các quỹ đạo của hệ động lực. Bất kì quỹ đạo riêng

lẻ Or(x0 ) là một tập bất biến. Chúng ta luôn luôn có thể giới hạn toán
tử tiến hóa ϕt của hệ lên tập bất biến S và xem xét một hệ động lực
{S, T, ψ t }, trong đó ψ t : S → S là ánh xạ cảm sinh bởi ϕt trong S.
Chúng ta sẽ sử dụng các biểu trưng ϕt cho những hạn chế thay vì ψ t .
Nếu không gian trạng thái X là được cho một mêtric ρ, chúng ta có
thể xem xét tập bất biến đóng trong X. Điểm cân bằng (điểm cố định)
và chu trình là ví dụ đơn giản rõ ràng của tập bất biến đóng. Có nhiều
loại tập bất biến đóng khác nhau. Một số tập bất biến đóng có chứa một
số quỹ đạo của chu trình và không tuần hoàn. Chúng ta xét ví dụ Smale
15


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Ví dụ 1.9 (Móng ngựa Smale)

Hình 1.5: Xây dựng ánh xạ móng ngựa

Xem xét việc xây dựng hình học trong hình 1.5. Lấy hình vuông S
trên mặt (hình 1.5(a)). Co rút ngắn nó theo chiều nằm ngang và mở
rộng theo chiều dọc (Hình 1.5(b)). Gấp nó ở giữa (Hình 1.5(c)) và đặt
nó để nó cắt hình vuông S ban đầu cùng hai dải dọc (Hình 1.5(d)). Khi
đó xác định một ánh xạ f : R2 → R2 . Ảnh f (S) của hình vuông S dưới
sự biến đổi giống như một móng ngựa. Đó là lí do tại sao nó được gọi là
ánh xạ móng ngựa. Hình dạng chính xác của ảnh f (S) là không thích
hợp; tuy nhiên, chúng ta hãy đơn giản giả định rằng cả hai sự co và mở
rộng là tuyến tính và các ván mỏng dải dọc trong giao là các hình chữ
nhật. Ánh xạ f có thể lấy ánh xạ ngược và trơn cùng ánh xạ ngược của

nó. Ánh xạ f −1 biến đổi hình móng ngựa f (S) trở thành hình vuông S
qua các giai đoạn (d)-(a). Biến đổi nghịch đảo này biến các ánh xạ hình
vuông chấm S trong hình 1.5(d) thành các chấm móng ngựa ngang hình
16


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

1.5(a), mà chúng ta giả định cắt hình vuông ban đầu S cùng hai hình
chữ nhật nằm ngang.
Kí hiệu các ván mỏng dải dọc trong sự giao nhau S ∩ f (S) bởi V1 và
V2 , S ∩ f (S) = V1 ∪ V2

Hình 1.6: Dải dọc và ngang

(nhìn Hình 1.6(a)). Bây giờ thực hiện các bước quan trọng nhất: thực
hiện hai sự lặp đi lặp lại của ánh xạ f . Dưới sự lặp lại này, các dải dọc
V1,2 sẽ biến đổi thành hai “móng ngựa mỏng” mà giao với hình vuông S
dọc theo bốn dải hẹp dọc: V11 , V21 , V22 và V12 . Chúng ta viết như sau:
S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) = V11 ∪ V21 ∪ V22 ∪ V12 .
Tương tự như vậy,
S ∩ f −1 (S) = H1 ∪ H2
17


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

trong đó H1,2 là những dải ngang thể hiện trong hình 1.6(c), và
S ∩ f −1 (S) ∩ f −2 (S) = H11 ∪ H12 ∪ H22 ∪ H21 ,
Với bốn sọc hẹp ngang Hij (hình 1.6(d)). Chú ý rằng f (Hij ) = Vi , i = 1, 2,
cũng như f 2 (Hij ) = Vij , i, j = 1, 2(Hình 1.7)

Hình 1.7: Biến đổi f 2 (Hij ) = Vij , i, j = 1, 2

Lặp lại ánh xạ f hơn nữa, chúng ta có được 2k dải dọc mỏng trong sự
giao nhau S∩f k (S) , k = 1, 2, ..... Tương tự như vậy, lặp đi lặp lại của f −1
cung cấp 2k dải ngang mỏng trong sự giao nhau S ∩ f −k (S) , k = 1, 2, ....
Hầu hết các điểm rời khỏi hình vuông S dưới sự lặp của f hoặc f −1 .
Bỏ đi điểm như vậy và thay thế vào đó xem xét một tập hợp của tất cả
các điểm trong mặt phẳng mà vẫn còn trong hình vuông S dưới tất cả

18


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

sự lặp của f và f −1 :
Λ = x ∈ S : f k (x) ∈ S, ∀k ∈ Z .
Rõ ràng, nếu tập Λ là rỗng thì Λ là tập bất biến của hệ động lực gián
đoạn theo thời gian xác định bởi f . Tập này có thể được trình bày một
cách khác như là vô hạn sự giao nhau,
Λ = ... ∩ f −k (S) ∩ ... ∩ f −2 (S) ∩ f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) ... ∩ f k (S) ∩ ...
(bất kì điểm x ∈ Λ phải thuộc về mỗi tập có liên quan). Rõ ràng, từ
biểu diễn này mà tập Λ có một hình dạng đặc biệt. Thật vậy, nó phải

được đặt trong
f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) ,
Được hình thành bởi 4 ô vuông nhỏ (nhìn Hình 1.8(a)). Hơn nữa nó nên
được đặt bên trong
f −2 (S) ∩ f −1 (S) ∩ S ∩ f (S) ∩ f 2 (S) ,
Đó là sự kết hợp của 16 ô vuông nhỏ (nhìn Hình 1.8(b)). Trong giới hạn
chúng ta có được một tập Cantor
Bổ đề 1.1. Có một phép tương ứng 1-1 h : Λ → Ω2 , giữa các điểm của
Λ tất cả các dãy song vô hạn của hai biểu trưng.
Chứng minh. Cho bất kì điểm x ∈ Λ, xác định một chuỗi của hai biểu
trưng {1, 2}
ω = {..., ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 , ...}

19


Khóa luận tốt nghiệp

Lê Thị Kim Dung

Hình 1.8: Vị trí của các tập bất biến

bởi công thức

1 nếu f k (x) ∈ H1
ωk =
2 nếu f k (x) ∈ H
2

(1.3)

Cho k = 0, ±1, ±2, ....Ở đây, f 0 = id là ánh xạ đồng nhất. Rõ ràng, công
thức này xác định một ánh xạ h : Λ → Ω2 , mà gán một chuỗi cho mỗi
điểm của tập bất biến.
Để kiểm tra ánh xạ này là khả nghịch, lấy một dãy ω ∈ Ω2 cố định
m > 0, và xem xét một tập Rm (ω) của tất cả các điểm x ∈ S, không
nhất thiết phải thuộc Λ, do đó f k (x) ∈ Hωk ,
với −m ≤ k ≤ m − 1. Ví dụ, nếu m = 1, tập R1 là một trong bốn giao
Vi ∩ Hk . Nói chung, Rm thuộc về các giao của một dải dọc và một dải
ngang. Những dải đang càng ngày càng mỏng khi m → +∞, xấp xỉ theo
20