Cấu trúc của tập nghiệm pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

HOÀNG THỊ NHUNG

CẤU TRÚC CỦA TẬP NGHIỆM PARETO YẾU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC
TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn
Tuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng
dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa
luận này.
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học
tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt
nghiệp. Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế, em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy
giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Thị Nhung


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên
khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Thị Nhung


Mục lục
Chương 1. Bài toán tối ưu vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Điểm hữu hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1. Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2. Cấu trúc của tập nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1. Trường hợp nón thứ tự là đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2. Trường hợp nón thứ tự tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35


MỞ ĐẦU
Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng
để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa học,
năng lượng, ... Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn họ
các hàm tuyến tính và tồn tại một lớp rộng các hàm có thể xấp xỉ bằng
các hàm tuyến tính từng khúc. Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối
ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn.
Trong không gian hữu hạn chiều, một số nhà toán học đã nghiên cứu
các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc khi các hàm mục
tiêu là lồi và nón sinh thứ tự là đa diện (xem [9, 16]).
Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn với thứ tự được
sinh bởi một nón lồi đóng với phần trong khác rỗng.
Như chúng ta đã biết, một trong những vấn đề quan trọng trong tối
ưu đa mục tiêu là nghiên cứu về cấu trúc của tập nghiệm Pareto (xem
[3, 5, 8, 14, 20, 21, 24]). Arrow, Barankin và Blackwell [3] đã chứng minh
rằng nếu hàm mục tiêu là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian
hữu hạn chiều và nếu nón thứ tự và tập ràng buộc là các đa diện thì
tập tất cả các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liên
thông đường.
Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo
[27]. Các kết quả này là một mở rộng của [3] từ trường hợp các không
1

2

gian hữu hạn chiều sang trường hợp các không gian định chuẩn. Chúng
tôi sẽ chỉ ra rằng nếu hàm mục tiêu là tuyến tính từng khúc, lồi theo nón
giữa hai không gian định chuẩn, nón thứ tự có phần trong khác rỗng và
tập ràng buộc là đa diện thì tập các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn
các đa diện và là liên thông đường. Nếu bỏ qua giả thiết về tính lồi theo
nón của hàm mục tiêu, bằng phản ví dụ, chúng ta thấy rằng các kết quả
trên không còn đúng. Nhưng nếu nón thứ tự là đa diện và hàm mục tiêu
là tuyến tính từng khúc (không nhất thiết lồi), thì chúng tôi cũng chỉ ra
rằng tập nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện.
Khóa luận được chia thành hai chương. Chương 1 giới thiệu một số
kiến thức cơ bản về tối ưu vector.
Chương 2 trình bày cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn.
Các ví dụ cũng được trình bày trong chương này để phân tích các kết
quả đạt được.


Chương 1
Bài toán tối ưu vector
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:
∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0

λ

1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.

Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn
trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach
là tập lồi...
Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A;
b) A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.2. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
C được gọi là nón có đỉnh tại xo , nếu C − xo là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.3. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một
tập lồi, nghĩa là:
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.


4

Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong Rn :
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi

0, i = 1, ..., n}

(nón orthant không âm)
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, ..., n}
(nón orthant dương)
là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong Rn .
Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D được
xác định bởi:
D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x >
Cho a, b ∈ Rm , a
ai

D

0, ∀x ∈ D} .

b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a

m
0, i = 1, ..., m. Kí hiệu Rm
+ := {x ∈ R : x

0 khi và chỉ khi

0} và cho g : X → Rm .

Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :
∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S.
sao cho
(1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D.
Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi
và chỉ khi tập g(S) + D là lồi.
Định nghĩa 1.4. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong
của A trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được
gọi là điểm trong tương đối của tập A.


5

Nhận xét 1.2.
intA := {x ∈ Rn : ∃ε > 0, x + εB ⊂ A} ,

riA := {x ∈ af f A : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af f A ⊂ A} ,
trong đó, B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Tiếp theo, chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp
Cho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E.
Kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng
của C); một tập con A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là
Ac = E\A.
Định nghĩa 1.5. Chúng ta nói nón C là:
(a) Nhọn nếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian
mở thuần nhất;
(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
clC + C\l(C) ⊆ C\l(C).
Ví dụ 1.3. Theo định nghĩa 1.5
1. Cho Rn là không gian Euclide n-chiều. Khi đó, nón orthant không
âm Rn+ gồm tất cả các vector của Rn với toạ độ không âm là nón lồi,
sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng.
Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường.


6

Tập hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một nón
đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt
nhưng không là nón nhọn.
2. Cho Ω là không gian vector gồm tất cả dãy x = {xn } số thực. Cho
C = {x ∈ Ω : xn

0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa

biết nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên
không gian này.
3. Nón thứ tự từ điển: Cho
lp = x ∈ Ω : x = (

1

|xn |p ) p , 1

p < ∞.

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của
dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là
nón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá
chặt.
Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các điều kiện
sau thoả mãn:
(a) C là đóng;
(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;
(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không
gian đóng trong E.
Chứng minh. (a) Hiển nhiên
(b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có
clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,


7

hay C là nón đúng.
(c) Giả sử, C = {0}∪(∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây, Hλ là nửa không gian đóng
hoặc mở trong E. Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với
C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì
l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa,
ta thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clHλ , ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ .
Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh đề
được chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E
sinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu
C = {tb : b ∈ B, t

0} .

Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi đó B là
một tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện.
Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở
sở là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên, nó
không đúng trong không gian vô hạn chiều.
Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ
sở lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho dãy{cα } là một
lưới từ C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα } từ
B và một lưới {tα } các số dương mà cα = tα bα . Dễ thấy tα là bị chặn.


8

Thật vậy, giả sử ngược lại lim tα = ∞. Vì E là không gian Hausdorff

nên lưới {bα = cα /tα } hội tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu
thuẫn: 0 = lim bα ∈ B. Bằng cách này, ta có thể giả sử {tα } hội tụ tới
điểm to

0. Nếu to = 0 thì từ tính bị chặn của B, lim tα bα = 0. Do đó

c = 0 và hiển nhiên c ∈ C. Nếu to > 0, ta có thể giả sử tα > , ∀α, > 0.
Từ bα = cα /tα hội tụ tới c/to và hơn nữa, B đóng nên vector c/to ∈ B.
Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên.

1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự.
Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định
nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là,
một phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.7. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan
hệ này là:
(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B, (y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi
x, y ∈ E, x = y;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian vector thực nếu:
(x, y) ∈ B suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian vector tôpô, nếu nó là đóng
như một tập con của không gian tích E × E.


9

Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển sau.

Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định
nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)
1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.
Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2
không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ,
không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.8. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là
phản xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian vector thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược
lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là
không đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi
các nón lồi. Đôi khi chúng ta viết: x
x

C

y thay cho x − y ∈ C; hoặc

y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C;

x >C y nếu x
Khi intC = 0, x

C

y và không phải là y
C

C

x, hay là x ∈ y + C\l(C).

y nghĩa là x >K y với K = {0} ∪ intC.


10

Ví dụ 1.4. 1. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu,
tuyến tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ.
Cho x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn :
x

C

y khi và chỉ khi xi

x >C y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n;
yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
x

C

y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.

2. Trong R2 . Nếu C = R1 , 0 thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính,
đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x

C

y khi và chỉ khi hai thành

phần của các vector trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ.
3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính
đầy đủ trong lp .

1.3. Điểm hữu hiệu.
Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.9. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A
tương ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE (A, C);
(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc không cực tiểu) của
A tương ứng với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là E(A, C);


11

(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C
nếu tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ E(A, K);
Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rE(A, C);
(d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng
với C nếu x ∈ E(A, {0} ∪ intC);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W E(A, C).
Ví dụ 1.5. Cho
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

1, y

0 ∪ {(x, y) : x

0, 0

B = A ∪ {(−2, −2)}.
Nếu cho C = R2+ , ta có:
IE(B) = P rE(B) = E(B) = W E(B) = {(−2, −2)};
IE(A) = ∅,
P rE(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y ,
E(A) = P rE(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W E(A) = E(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x

0}.

Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IE(B) = ∅,
P rE(B) = E(B) = W E(B) = B,
IE(A) = ∅,
P rE(A) = E(A) = W E(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì :
(a) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

y

−1} ;


12

(b) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ E(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(c) Khi C = E, x ∈ W E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có
P rE(A) ⊆ E(A) ⊆ W E(A).
Hơn nữa, nếu IE(A) = ∅ thì IE(A) = E(A) và nó là tập một điểm

khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rE(A). Nếu x ∈ E(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lấy nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ E(A, K). Thì
x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A, K) suy ra
P rE(A) ⊆ E(A).
Lấy x ∈ E(A). Nếu x ∈ W E(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ A sao
cho x − y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C).
Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A). Vậy E(A) ⊆ W E(A).
Rõ ràng, IE(A) ⊆ E(A). Nếu IE(A) = ∅, cho x ∈ IE(A) thì x ∈
E(A). Cho y ∈ E(A) thì y ≥ x vì vậy x

y. Lấy một điểm bất kì

z ∈ A có z

x vì x ∈ IE(A) suy ra z

y là y ∈ IE(A). Do đó,

IE(A) = E(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x

y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y. Vậy IE(A) là tập một điểm.
Định nghĩa 1.10. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát
cắt A tại x và kí hiệu Ax .


13

Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(a) IE(Ax ) ⊆ IE(A) nếu IE(A) = ∅;
(b) E(Ax ) ⊆ E(A) (tương tự cho W E).
Chứng minh. (a) Cho y ∈ IE(Ax ) và z ∈ IE(A) có Ax ⊆ y + C và
A ⊆ z + C. Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IE(A).
(b) Giả sử y ∈ E(Ax ). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y + l(C) suy
ra y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ E(A).
Chứng minh tương tự cho W E.
Nhận xét 1.4. Quan hệ P rE(Ax ) ⊆ P rE(A) nói chung không đúng
trừ một số trường hợp đặc biệt.

1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu.
Định nghĩa 1.11. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm
( tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α.
Định nghĩa 1.12. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng Cđầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − clC)c : α ∈ I} (tương
ứng {(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.


14

Định lý 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng
trong E. Thì E(A, C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ
và khác rỗng.
Chứng minh. Nếu E(A, C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một
nhát cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác
rỗng là một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ

cần chứng minh E(Ax , C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm
trong A. Vì A = ∅ suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a.

Rõ ràng ( ) là quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều
có cận trên. Thật vậy, giả sử {aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là
tập tất cả các tập con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm,
đặt
aB = ∪ {aα ; α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao

aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là

một cận trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn
nhất của P , kí hiệu là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại
E(Ax , C) = ∅. Chúng ta sẽ chứng minh {(xα − clC)c : α ∈ I} phủ Ax .
Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y. Giả sử phản
chứng y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I. Vì E(Ax , C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do
tính đúng của C nên x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy
rằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lí được
chứng minh.


15

1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP).
Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một

ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây, E là không gian vector tôpô thực được
sắp thứ tự bởi nón lồi C.
Xét VOP :
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP
nếu F (x) ∩ E(F (X), C) = ∅.
Ở đây, F (X) là hợp của các tập F (x) trên X. Các phần tử của
E(F (x), C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP. Tập các điểm hữu hiệu của
VOP được kí hiệu là S(X; F ). Thay thế IE, P rE, W E cho E(F (X), C)
chúng ta có các khái niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và W S(X; F ).
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu
của VOP được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6. Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ).
Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4
Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên
tục trên trong X với F (x) + C là C- đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì
F (X) là C- đầy đủ.


16

Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ. Điều
này có nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho
{(aα − cl(C))c : α ∈ I}
là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính tổng
quát, giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong
E có một chỉ số β ∈ I sao cho

aα ∈ V + C, ∀α

β.

Do {aα } là dãy giảm, nên
aα ∈ aδ + C, ∀δ

α.

Từ đây suy ra:
aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ.


Chương 2
Cấu trúc của tập nghiệm Pareto
yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính từng khúc
2.1. Đặt bài toán.
Trong phần này, cho X, Y là các không gian định chuẩn và cho C ⊂ Y
là nón lồi với int (C) = ∅, khi đó xác định một quan hệ thứ tứ ≤C
trong Y : với y1 , y2 ∈ Y, y1 ≤C y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C. y1 y2 − y1 ∈ int (C).
Cho một tập con A của Y , gọi a ∈ A là một điểm Pareto yếu nếu không
có phần tử y ∈ A sao cho y điểm Pareto yếu của A. Rõ ràng là,
a ∈ W E (A, C) ⇔ a ∈ A và (a − int (C)) ∩ A = ∅.
Kí hiệu X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Một tập con P của X được
gọi là đa diện nếu nó tồn tại x∗1 , ..., x∗n ∈ X ∗ và c1 , ..., cn ∈ R sao cho:
P = {x ∈ X : x∗i , x ≤ ci , i = 1, ..., n} .

Kí hiệu L (X, Y ) là lớp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào
Y. Một ánh xạ f : X → Y được gọi là tuyến tính từng khúc nếu tồn tại
17


18

đa diện P1 , ..., Pm trong X, {T1 , ..., Tm } ⊂ L (X, Y ) và {b1 , ..., bm } ⊂ Y
sao cho
m

Pi và f (x) = Ti (x) + bi , ∀x ∈ Pi , 1 ≤ i ≤ m.

X=

(2.1)

i=1

Do đó,
Ti (x) + bi = Tj (x) + bj , ∀x ∈ Pi ∩ Pj và 1 ≤ i, j ≤ m.
Rõ ràng rằng, mọi hàm tuyến tính từng khúc có tính liên tục.
Chúng ta nói f là C lồi nếu
f (tx1 + (1 − t) x2 ) ≤C tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) , ∀t ∈ [0, 1] và x1 , x2 ∈ X.
Như vậy, f là C lồi nếu và chỉ nếu epiC (f ) là một tập con lồi của X × Y ,
trong đó,
epiC (f ) := (x, y) : x ∈ X và f (x) ≤C y
là đồ thị của f đối với nón sinh thứ tự C.
Cho a∗1 , ..., a∗n ∈ X ∗ và c1 , ..., cn ∈ R. Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính từng khúc (không cần lồi) sau đây:

C − min f (x)
a∗j , x ≤ cj , j = 1, ..., n.
Để thuận tiện, gọi Γ là tập chấp nhận được của (2.2), tức là:
Γ := x ∈ X : a∗j , x ≤ cj , j = 1, ..., n .
Một vector x¯ ∈ Γ được gọi là nghiệm Pareto yếu của (2.2) nếu
f (¯
x) ∈ W E (f (Γ) , C) ;

(2.2)


19

trong trường hợp này, f (¯
x) được gọi là giá trị Pareto yếu của (2.2). Kí
hiệu Sw và Vw theo thứ tự là tập nghiệm Pareto yếu của (2.2) và tập giá
trị Pareto yếu của (2.2).
Rõ ràng là Sw = Γ ∩ f −1 (Vw ) và Vw = W E (f (Γ) , C) .
Trong phần tiếp theo, chúng ta giả sử rằng f : X → Y là ánh xạ tuyến
tính từng khúc được định nghĩa trong (2.1). Chúng ta cũng giả thiết
rằng Sw là khác rỗng.
Tiếp theo, ta trình bày một số tính chất cơ bản được sử dụng trong phần
sau:
Bổ đề 2.1. Cho I = {1, ..., m} và Io := {i ∈ I : int (Pi ) = ∅} , trong đó,
m như trong (2.1). Khi đó X =

i∈Io

Pi .

Chứng minh. Gọi i là một phần tử tùy ý trong I \ Io . Khi đó, chú ý
rằng, Pi là đóng, với bất kì a ∈ X và r ∈ (0, +∞) tồn tại a
˜ ∈ B (a, r)
và r˜ ∈ (0, r) sao cho B (˜
a, r˜) ∩ Pi = ∅, trong đó, B (a, r) là hình cầu mở
với tâm a, bán kính r. Nó có nghĩa là với bất kì x ∈ X và ε > 0 tồn tại
x˜ ∈ B (x, ε) và ε˜ ∈ (0, ε) sao cho B (˜
x, ε˜) ∩
lại rằng, X =

i∈Io

i∈I\Io

Pi . Khi đó, do tính đóng của mỗi Pi , tồn tại xo ∈ X

và εo > 0 sao cho B (xo , εo ) ∩

i∈Io

Pi = ∅. Mặt khác, lấy x˜o ∈ B (xo , εo )

và ε˜o ∈ (0, εo − xo − x˜o ) sao cho B (x˜o , ε˜o ) ∩
B (x˜o , ε˜o ) ∩

m
i=1 Pi

Pi = ∅. Giả sử ngược

i∈I\Io

Pi = ∅. Do đó,

= ∅. Mâu thuẫn với giả thiết của (2.1). Bổ đề được

chứng minh.
Bổ đề 2.2. f là C lồi nếu và chỉ nếu
Ti (x) + bi ≤C f (x) , ∀x ∈ X, 1 ≤ i ≤ m.

(2.3)


20

Chứng minh. • Điều kiện đủ:
Đặt Ωi := {(x, y) ∈ X × Y : Ti (x) + bi ≤C y} . Khi đó, (2.1)và (2.3) có
nghĩa là epiC (f ) =

m
i=1 Ωi .

Do đó, epiC (f ) là lồi và như vậy f là C lồi.

• Điều kiện cần:
Cho Io giống như trong Bổ đề 2.1. Khi đó, X =

i∈Io

Pi . Do đó, chúng

ta chỉ cần chứng minh rằng,
Ti (x) + bi ≤C f (x) , ∀x ∈ X và i ∈ Io .
Lấy i ∈ Io và x ∈ X. Cho z ∈ int (Pi ) . Khi đó, tồn tại t ∈ (0, 1) đủ nhỏ
sao cho z + t (x − z) ∈ Pi . Theo tính chất C - lồi của f thì
Ti (z + t (x − z)) + bi = f (z + t (x − z))
≤C (1 − t) f (z) + tf (x)
= (1 − t) (Ti (z) + bi ) + tf (x) .
Điều này có nghĩa là Ti (x) + bi ≤C f (x). Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3. Cho A là một tập con đóng và khác rỗng của Y . Khi đó,
W E (A, C) = A ∩ bd (A + C) ,
trong đó, bd (.) là biên hình học tôpô.
Chứng minh. Cho y ∈ W E (A, C) . Khi đó, A ∩ (y − int (C)) = ∅. Điều
này có nghĩa là
(A + C) ∩ (y − int (C)) = ∅
( bởi vì int (C) + C ⊂ int (C)). Từ B (y, ε) ∩ (y − int (C)) = ∅ với mọi
ε > 0, y không là điểm trong cuả A + C. Suy ra y ∈ A ∩ bd (A + C) . Vì


21

thế, W E (A, C) ⊂ A ∩ bd (A + C).
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, cho yo ∈ A \ W E (A, C). Khi
đó, tồn tại z ∈ A ∩ (yo − int (C)) . Do đó,
yo ∈ z + int (C) ⊂ A + int (C) ⊂ int (A + C)
và như vậy yo ∈
/ bd (A + C). Điều này cho thấy rằng,
W E (A, C) ⊃ A ∩ bd (A + C) .
Bổ đề được chứng minh.

2.2. Cấu trúc của tập nghiệm.
Trong phần tiếp theo, chúng ta nghiên cứu cấu trúc của Sw và Vw . Trước
hết ta nhắc lại một kết quả cơ bản của Arrow, Barankin và Brackwell
[3]:
Định lý ABB. Cho X, Y là không gian hữu hạn chiều và nón sinh thứ
tự C là đa diện. Gọi T : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn và b ∈ Y.
Giả sử rằng, ánh xạ mục tiêu f (x) = T (x) + b với mọi x ∈ X và Sw là
khác rỗng. Khi đó, Sw là hợp của hữu hạn các đa diện và là liên thông
đường.
Chúng ta sẽ trình bày các mở rộng của Định lí ABB tới các không gian
vô hạn chiều và trường hợp tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp
sau: