MỘT số DẠNG TOÁN HÌNH học GIẢI TÍCH LIÊN QUAN đến mặt PHẲNG và ĐƯỜNG THẲNG

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

- - - - - - - - - -

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN
MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Họ và tên: Nguyễn Thị Lệ Thanh
Đơn vị: Trường THPT Tam Dương

Năm học 2013- 2014

LỜI GIỚI THIỆU
1


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

1. Lý do chọn chuyên đề:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng
khi xác định phương pháp giải các bài toán hình học giải tích, mà đó là điều không
đáng mắc phải khi các em biết nhận dạng và định hình phương pháp giải quyết, từ

đó các em có thể giải bài toán một cách nhanh chóng, chính xác và đạt điểm tối đa
cho câu này.
Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận dạng và có lời giải bài toán dạng này
một cách hiệu quả từ đó phát triển sang các bài toán khác phức tạp hơn và để tiết
kiệm thời gian, tránh được những sai lầm đáng tiếc, giúp cho việc học tập và ôn thi
Đại học của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ DẠNG
TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ
ĐƯỜNG THẲNG ”. Với mục đích của tôi là giúp các em nhận thấy một bài toán
giải tích phức tạp cũng trở nên dễ dàng đơn giản.
2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề:
Phạm vi : Áp dụng rộng rãi trên toàn quốc
Đối tượng: Học sinh lớp 12
Mục đích : Giúp các em đạt điểm tối đa trong dạng toán này, tránh những sai
lầm đáng tiếc dễ mắc phải.
3. Thực trạng :
a, Thuận lợi:
Đa số học sinh các lớp tôi giảng dạy là học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp
dụng đề tài này khá thuận lợi.
b, Khó khăn:
Nhiều học sinh vẫn rất mơ màng khi gặp bài toán giải tích dạng này, do các em
chưa thật sự hiểu rõ bản chất của bài toán, vì thế các em còn rất lúng túng khi giải
quyết bài toán hoặc cách giải quyết của các em quá phức tạp hoá vấn đề dẫn đến
đáp số cuối cùng dễ bị sai.
4. Cơ sở thực hiện chuyên đề:
Căn cứ vào tình hình nhận thức của đa số học sinh còn thụ động, hạn chế, mặt khác
do từng tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng cho học sinh tôi đã tự
đúc rút ra kinh nghiệm cho mình và phân chia dạng toán theo ý chủ quan dưới đây
Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên
chuyên đề của tôi chắc hẳn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự đóng góp
chân thành của quý thầy cô giáo và các em học sinh!

………………………………………………

Phần II - Nội Dung Của Chuyên Đề
2


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

A. Tóm Tắt Lý Thuyết
I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng:
1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
a, Định nghĩa:
r r
Một véc tơ n ≠ 0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó có giá
vuông góc với mặt phẳn g (P).
b, Tính chất:
Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, các véc tơ này cùng
phương với nhau
r
r
Nếu véc tơ n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n ;k ≠ 0 cũng là véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c, Chú ý:
r r
Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song hoặc trùng mặt
r rr
phẳng (P) thì khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) là n =  a; b  .
2, Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P)
đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phấp tuyến
r
n ( A; B; C ) ; A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương trình là:

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Ngược lại mọi phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 đều
là phương trình của mặt phẳng.
II, Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng:
+ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Nếu mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt
A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn
chắn là:
+ Nếu mặt phẳng (P) song song hoặc trùng Ox thì phương trình có dạng:
By + Cz + D = 0, B 2 + C 2 > 0
+ Mặt phẳng song song hoặc trùng mặt phẳng Oxy có phương trình z + D = 0
+ Mặt phẳng Oxy có phương trình z = 0
III, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho
hai
mặt
phẳng
(P)
và
(Q)
có
phương
trình:
2

2
2
A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0 ,

A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A 22 + B22 + C22 > 0
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
1, Hai mặt phẳng song song:
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
=
=
=
2, Hai mặt phẳng trùng nhau:
A2 B2 C2 D2
3, Hai mặt phẳng cắt nhau: A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
3


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

IV, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình đường thẳng:
1, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
a, Định nghĩa:
r r
Một véc tơ u ≠ 0 được gọi là chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song

song với đường thẳng d.
b, Tính chất:
Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương, các véc tơ này cùng phương với
nhau.
r
r
Nếu véc tơ u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì ku ;k ≠ 0 cũng là véc tơ
chỉ phương của đường thẳng d.
c, Chú ý:
r r
Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song vuông góc với đường
r rr
thẳng d thì khi đó một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d u =  a; b  .
2, Phương trình đường thẳng:
r
M
x
;
y
;
z
( 0 0 0 ) có véc tơ chỉ phương u ( a; b; c )
Đường thẳng d đi qua điểm

 x = x0 + at

2
2
2
+ Có phương trình tham số là: d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a + b + c > 0

 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; abc ≠ 0
a
b
c
V, Vị trí tương đối của đường thẳng vàmặt phẳng:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình lần lượt là:
 x = x0 + at

Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0; d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 > 0
 z = z + ct
0

rr
Gọi n; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và chỉ phương của đường
thẳng.
Ta có các
r rtrường hợp sau:
+ Nếu n.u ≠ 0 thì d cắt (P)
rr
n.u = 0
+ Nếu 
thì d nằm trên (P).
 M ∈ d ⇒ M ∈ ( P )
rr

n.u = 0
+ Nếu 
thì d song song với (P).
 M ∈ d ⇒ M ∉ ( P )
VI, Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là:
+ Có phương trình chính tắc là:

4


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

 x = x1 + a1t
 x = x2 + a2l


d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0
z = z + c t
z = z + c l
1
1
2
2


ur uur
Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Ta có các trường hợp sau:
ur uur r
 u1 , u2  = 0


+ Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng trùng nhau
  MN , u2  = 0
ur uur r
 u1 , u2  = 0


+ Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng song song
  MN , u2  ≠ 0
ur uur r
 u1 , u2  ≠ 0


+ Nếu  ur uur uuuur
thì hai đường thẳng cắt nhau.


 u1 , u2  MN ≠ 0
ur uur r
 u1 , u2  ≠ 0


+ nếu  ur uur uuuur
thì hai đường thẳng chéo nhau
 u1 , u2  MN = 0
VII, Khoảng cách

1, Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) có phương trình là:
Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 và điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )
Ta có: d ( M ; ( P ) ) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2
2, Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho và đường thẳng d có
 x = x0 + at

d :  y = y0 + bt ; t ∈ R , a 2 + b 2 + c 2 > 0 và điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )
 z = z + ct
0

uuuur r
 MN , u 
 r 
Ta có: d ( M ; d ) =
u

phương

trình:

3, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

5

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

Trong không gian cho và đường thẳng d
và d’ có phương trình:
 x = x1 + a1t
 x = x2 + a2l


d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0
z = z + c t
z = z + c l
1
1
2
2


ur uur
Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng.
ur uur uuuur
u1 , u2  .MN


; M ∈ d, N ∈ d'
Ta có: d ( d ; d ' ) =
ur uur
u1 , u2 



VIII, Góc
1, Góc giữa hai mặt phẳng:
Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:
A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A12 + B12 + C12 > 0 ,

A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A 22 + B22 + C22 > 0
r uur
Gọi n1 ; n2 lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
ur uur
n1.n2
Ta có: cos ( ( P );(Q ) ) = ur uur ;
n1 n2
2, Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình:
 x = x0 + at

Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 , d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 > 0
 z = z + ct
0

r r
Gọi n ; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và đường thẳng
uur r
n .u
Ta có: sin ( ( P);(Q) ) = r r ;
n u
3, Góc giữa hai đường thẳng;
Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là:

 x = x1 + a1t
 x = x2 + a2l


d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0
z = z + c t
z = z + c l
1
1
2
2


ur uur
Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng.
ur uur
u1.u2
Ta có: sin ( d1; d 2 ) = ur uur ;
u1 u2

6


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

B. Một số bài toán liên quan đến lập phương trình mặt phẳng
I, Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và

véc tơ pháp tuyến của nó
Phương pháp:
Xác định điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ví dụ:
Trên hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 1; 0;1)
2, Mặt phẳng đi qua

A ( 1; 2; −1)

và vuông góc với hai mặt phẳng:

( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y − 2 z + 2 = 0
3,Mặt phẳng đi qua A ( 0; 2; −1) và song

song với hai đường thẳng:

x = 1
x = l


d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + l
z = t
z = 1


x = t

4, Mặt phẳng đi qua A ( 2; 2;1) và song song với đường thẳng: d :  y = 1 − t đồng
 z = 2t



thời vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0
5, Mặt phẳng đi qua

( P ) : x − 2z + 2 = 0

A ( 2; 2;1) , B ( 1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng

6, Mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;1) , B ( 1;1;1) và song song với đường thẳng:

x = 1− t

d : y = t
z = 2 + t

x = t

7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1 − t và vuông góc với
 z = 2t


mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2 z + 2 = 0
8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:
( P ) : x − y + 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − z + 2 = 0 và song song với đường thẳng
x = 2 + t

d :  y = 1− t
z = t


7


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

x = t

9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :  y = 1 − t sao cho khoảng
z = t


cách từ điểm A ( 1; 2;0 ) đến mặt phẳng là lớn nhất.

x = 1
x = l


10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + l . Viết phương trình
z = t
z = 1



mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2
Giải:
1, Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 1; 2;0 ) và có véc tơ pháp tuyến
r uuur uuur
n =  AB, AC  = ( −1;1; 2 ) nên có phương trình là: − x + y + 2 z − 1 = 0

ur
uur
2,Ta có n1 ( 1; 2; −1) , n2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 1; 2; −1) và có véc tơ
r ur uur
n
pháp tuyến =  n1 , n2  = ( −3;1; −1) , nên có phương trình là: −3x + y − z = 0
ur
uur
3, Ta có u1 ( 1; 2; −1) , u2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 0; 2; −1) và có véc tơ
r ur uur
n
pháp tuyến = u1 , u2  = ( −1;1;1) , nên có phương trình là: − x + y + z − 1 = 0
uur
r
4, Ta có u ( 1; −1; 2 ) , n ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ pháp
r uur r
n
tuyến = u , n  = ( 0; 4; 2 ) , nên có phương trình là: 2 y + z − 5 = 0
uuur
r
5,Ta có AB ( −1; −2;0 ) , n ( 1;0; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ
r uuur r
pháp tuyến n =  AB, n  = ( 4; −2; 2 ) , nên có phương trình là: 2 x − y + z − 3 = 0
uuur
r
6, Ta có AB ( 0;3;0 ) , u ( −1;1;1) . Mặt phẳng cần tìm đi qua B ( 1;1;1) và có véc tơ pháp
r uuur r
tuyến n =  AB, n  = ( 3;0;3) , nên có phương trình là: x + z − 2 = 0
r
r

7, Ta có u ( 1; −1; 2 ) , n ( 1;1; 2 ) lần lượt là vec tơ chỉ phương của đường thẳng và véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 0;1;0 ) và có véc tơ pháp
r
rr

n
=
u
tuyến 1  , n  = ( −4;0; 2 ) nên có phương trình là: 2 x − z = 0
uur
8, Ta có A ( −2;0;0 ) , B ( 0;6; 2 ) ∈ ( P ) ; ( Q ) , u ( 1;1; 2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua
r
uuur r

A ( −2;0;0 ) và có véc tơ pháp tuyến n 1 =  AB, u  = 8 ( 1;0; −1) nên có phương
trình là: x − z + 2 = 0
9,
H
là
hình
chiếu
của
A
lên
d.
Ta
có
uuur r Gọi
AH .u = 0 ⇒ t − 1 + t + 1 + t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ H ( 0;1; 0 )
uuur

Mặt phẳng cần tìm qua H và có véc tơ pháp tuyến AH ( −1; −1;0 ) nên có phương
trình: x + y − 1 = 0
8


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

ur
r
10, chọn M ( 1;1;0 ) ∈ d1 , N ( 0; 2;1) ∈ d 2 ; u1 ( 0; −1;1) , u 2 ( 1;1;0 )
1 3 1
Mặt phẳng cần tìm đi qua trung điểm I  ; ; ÷ của MN và có véc tơ pháp
2 2 2
r
ur uur
tuyến n 1 = u1 , u2  = ( −1;1;1) nên có phương trình: 2 x − 2 y − 2 z + 3 = 0
Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 1; 0; 2 ) , B ( −2;1;0 ) , C ( 1;3;1)
2, Mặt phẳng đi qua

A ( 1; 2;0 )

( P ) : x + 2 y + 1 = 0; ( Q ) : y − 2 z + 2 = 0
3,Mặt phẳng đi qua A ( 2; 2;1) và

và vuông góc với hai mặt phẳng:
song

song

với

hai

đường

thẳng:

x = t
 x = 2l


d1 :  y = 1 + t ; d 2 :  y = l
z = t
z = 1− l


 x = 2t

4, Mặt phẳng đi qua A ( −1;1;1) và song song với đường thẳng: d :  y = t
đồng
z = 2 + t


thời vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y + 1 = 0
5, Mặt phẳng đi qua

( P ) : x − y + 2z + 2 = 0

A ( 0; 2;1) , B ( 1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng

6, Mặt phẳng đi qua A ( −1; 2;1) , B ( 3;1;1) và song song với đường thẳng:

x = t

d : y = 2 −t
z = 2 + t

x = 2 + t

7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1
và vuông góc với
 z = 2t


mặt phẳng ( Q ) : x − y + 2 z + 2 = 0
8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:
( P ) : x + y − 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − y + z + 2 = 0 và song song với đường thẳng
x = 2 + t

d :  y = 1− t
z = t

9


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

x = 1+ t

9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :  y = 1 − t sao cho khoảng
z = 1


cách từ điểm A ( 1; 2; 2 ) đến mặt phẳng là lớn nhất.

x = t
x = l


10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = −1 + l . Viết phương trình
z = t
z = 1



mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2
II.Bài toán 2. Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương
trình mặt phẳng.
Phương pháp: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm
phân biệt A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P)
x y z
theo đoạn chắn là: + + = 1 ,abc ≠ 0
a b c
Ví dụ:

Trên hệ trục Oxyz
1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M ( 2;1; −3) lên các trục tọa
độ
2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm G ( 1; −1; 2 ) làm trọng tâm.
3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm H ( 2; −1; 2 ) làm trực tâm.
4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao
cho OA = 2OB = 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M ( 2;1;1)
Giải:
Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt
A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn
x y z
chắn là; + + = 1 ,abc ≠ 0
a b c
1, Hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; −3) .
x y z
= 1 ⇔ 3x + 6 y − 2 z − 6 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng là: + +
2 1 −3

10


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

a + 0 + 0 = 3.1

a = 3


2, Theo đề ra ta có: 0 + b + 0 = 3.(−1) ⇔ b = −3 .Vậy phương trình mặt phẳng là:
0 + 0 + c = 3.2
c = 6


x y z
+
+ = 1 ⇔ 2x − 2 y + z − 6 = 0
3 −3 6
3, Cáchuuur
1:
uuur
uuur
uuur
Ta có: AH ( 2 − a; −1; 2 ) , BC ( 0; −b; c ) , BH ( 2; −1 − b; 2 ) , AC ( −a; 0; c )
uuur uuur

 AH .BC = 0
b + 2c = 0
9

 uuur uuur

a = c =
⇔
2.
Theo đề ra ta có:  BH . AC = 0 ⇔ a − c = 0

 H ∈ ABC
(
)  2 − 1 + 2 = 1 b = −9

a b c
Vậy phương trình mặt phẳng là:
2x y 2z
− +
= 1 ⇔ 2x − y + 2z − 9 = 0
9 9 9
Cách 2:
Chứng minh trong tứ diện OABC thì OH ⊥ ( ABC ) . Vậy mặt phẳng cần tìm qua H
uuur
và nhận véc tơ OH ( 2; −1; 2 ) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình:
2x − y + 2z − 9 = 0

a = 2b
a = 8

b


⇔ b = 4
4, Theo đề ra ta có: OA = 2OB = 4OC ⇔ a = 2b = 4c ⇔ c =
2

c = 2

2 1 2
+

+
=
1
 2b b b
Vậy phương trình mặt phẳng là:
x y z
+ + = 1 ⇔ x + 2 y + 4z − 8 = 0
8 4 2
Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz
1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M ( 1;1;3) lên các trục tọa độ
2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm G ( 2;1; 2 ) làm trọng tâm.
3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm H ( 1; −1; −2 ) làm trực tâm.
4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao
cho 2OA = OB = 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M ( −1; 2;1) .
11


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

III, Bài toán 3. Lập phương trình mặt chứa một điểm và một đường thẳng
không chứa điểm đó; hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau.
3.1. Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm không nằm
trên đường thẳng đó.
Phương pháp:
Giả sử A là điểm đã cho và M là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng. Khi đó mặt

r uuuur uur
phẳng cần tìm đi qua A( hoặc M) có véc tơ pháp tuyến n =  AM ; u  .
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
 x = 2t

Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 1; 2; −1) và đường thẳng d :  y = t
z = 2 + t


Giải:
uuuur
Chọn M ( 0; 0; 2 ) ∈ d ⇒ AM ( −1; −2;3)

r uuuur ur
n
Mặt phẳng cần tìm qua A và có véc tơ pháp tuyến =  AM ; u1  = ( −5;7;3) nên có
phương trình là: −5 x + 7 y + 3 z − 6 = 0
3.2. Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa
chúng:
Phương
r rpháp:
Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’).
M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.

Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp
r uuuuuur ur
n
tuyến =  M 1M 2 ; u1 
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:

x = 1
x = 0


d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + u
z = t
z = 1− u


Giải: ur
Ta có: u1 = ( 0; −1;1) , M ( 1;1;0 ) ∈ d1 , N ( 0; 2;1) ∈ d 2

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M ( 1;1;0 ) và có véc tơ pháp
r uuuur ur
n =  MN ; u1  = ( 2;1;1)
tuyến
nên
có
phương
trình
là:

2 ( x − 1) + y − 1 + z = 0 ⇔ 2 x + y + z − 3 = 0

3.3. Cho hai đường thẳng cắt nhau (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa
chúng:
r r
Phương pháp: Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’),
.
12

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.
Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp
r ur uur
tuyến n = u1 ; u2 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:
x = 1
x = t


d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 1 − t
z = t
z = 1


Giải: ur
uur
Ta có: u1 = ( 0; −1;1) , M ( 1;1; 0 ) ∈ d1 , u2 = ( 0; 2;1)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M ( 1;1; 0 ) và có véc tơ pháp
r ur uur
n = u1 ; u2  = ( 1;1;1)
tuyến
nên
có
phương

trình
là:

( x − 1) + y − 1 + z = 0 ⇔ x + y + z − 2 = 0

Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz
x = t

1, Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; 2;1) và đường thẳng d :  y = 1 − t
z = 2 − t


2, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:
x = t
x = 0


d1 :  y = 1 + t ; d 2 :  y = 2 − u
z = t
z = 1+ u


3, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:
 x = −1
x = t


d1 :  y = 2 − t ; d 2 :  y = 1 − 2t
z = t

 z = −2 − t


IV. Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn tính
chất khác
4.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C
đến mặt phẳng là một số m cho trước.
Phương pháp:
2
2
2
Giả sử phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0

13


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

A∈( P)

Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )

 d ( C ; ( P ) ) = m
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ
1
điểm C ( 2; −1;1) bằng
.

3
Giải:
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .


A+ B + C + D = 0
3 A = − D

⇒
Theo đề ra ta có hệ:  B + 2C + D = 0
 23 A = −11D

2A − B + C + D
1
d ( C; ( P ) ) =
=

3
A2 + B 2 + C 2
*) Chọn A = 1, D = -3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x+ y + z −3 = 0
*) Chọn A = 11, D = - 23, C =11, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
11x + y + 11z − 23 = 0
4.2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho góc giữa (P) và
(Q) bằng giá trị α cho trước.
Phương pháp:
2
2
2
Giả sử phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0

 A∈ ( P)

Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )

cos ( ( P ) ; ( Q ) ) = cosα
Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −1;0;0 ) , B ( −1;1; −1) sao cho.góc giữa mặt
8
phẳng đó và mặt phẳng 2 x + y + 2 z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα =
9
Giải:
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .

14


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương



− A + D = 0
2 A = B

⇒
Theo đề ra ta có hệ: − A + B − C + D = 0
14 A = 47 B

2 A + B + 2C

8
cos ( (Q); ( P ) ) =
=

3 A2 + B 2 + C 2 9
*) Chọn A = 1, B = 2, C =2, D = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x + 2 y + 2z +1 = 0
*) Chọn A = 47, B = 14, C =14, D = 47, khi đó phương trình mặt phẳng là:
47 x + 14 y + 14 z + 47 = 0
Ví dụ 2: Trên hệ trục Oxyz
x = 1− t

Viết phương trình mặt phẳng đi qua d :  y = 1 + t sao cho góc giữa mặt phẳng đó và
z = 1− t

x−2 y−3 z +5
=
=
đường thẳng l :
bằng 600.
2
1
−1
Giải:
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .


A+ B + C + D = 0
C = 0


⇔
Theo đề ra ta có hệ: 2 B + D = 0
C = − A

2
A
+
B
−
C
3
sin ( ( P); l ) =
=

2
6 A2 + B 2 + C 2
*) Chọn A = 1, B = 1, C =0, D = -2, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x+ y−2=0
*) Chọn A = 1, B = 0, C =-1, D = 0, khi đó phương trình mặt phẳng là: x − z = 0
4.3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C
và D đến mặt phẳng bằng nhau.
Phương pháp:
Cách1:
Giả
sử
phương
trình
mặt
phẳng
2

2
2
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0

A∈( P)

Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )

d ( C ; ( P ) ) = d ( D; ( P ) )
Cách 2:
Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm I của CD
15


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với CD
Ví dụ 1:
Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ
điểm C ( 2; −1;1) , D ( 0;0; 2 ) đến mặt phẳng bằng nhau.
Giải:
2
2
2
Cách 1. Giả sử ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0 .

Theo

đề
ra
ta
có
hệ:
A+ B + C + D = 0
A−C = 0
A = C



⇔  D = −2C − B
⇔  3 A = − D
 B + 2C + D = 0
 2 A − B + C + D = 2C + D
 5 A + 2D = 2 A + D
  7 A = −3 D



*) Chọn A = 1, D = - 3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x+ y + z −3 = 0
*) Chọn A = 3, D = -7 , C =3, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
3x + y + 3 z − 7 = 0
Cách 2.
1 3

Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm CD ⇒ I 1; − ; ÷ . Mặt phẳng cần tìm qua
2 2


r uuur uur 1
A ( 1;1;1) , và có véc tơ pháp tuyến n =  AB; AI  = ( 3;1;3) nên có phương trình

 2
là: 3x + y + 3 z − 7 = 0 .
Trường hợp 2. Mặt phẳng cần tìm qua A ( 1;1;1) , và có véc tơ pháp tuyến
r uuur uuur
n =  AB; CD  = ( 1;1;1) nên có phương trình là: x + y + z − 3 = 0 .
Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1 ;1 ;1), B(
1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) .
Giải:
2
2
2
Gỉa sử mặt (P) có dạng: a ( x − 1) + b ( y − 1) + c ( z − 1) = 0 ,a + b + c ≠ 0
B ∈ ( P ) ⇒ b = 0 ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + c ( z − 1) = 0

Mặt khác: d ( C ;( P ) ) = d ( D;( P ) )
⇔

c

=

a

a 2 + b2
a 2 + b2

a = c ⇒ ( p) : x + y − 2 = 0
a = −c ⇒ ( p ) : x − y = 0

⇔a=± c

Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz
16


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 3;0;0 ) sao cho khoảng cách từ
3
điểm C ( 2; −1;1) bằng
.
5
2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 0;0; −5 ) , B ( −1; −1; −3) sao cho.góc giữa

2
mặt phẳng đó và mặt phẳng 2 x − y + z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα =
3
3, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 2;0;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ
điểm C ( 3; −1;1) , D ( −1;1;1) bằng nhau.

x = t

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d :  y = −t sao cho góc giữa mặt phẳng đó

z = 0

x = 1+ u
1

và đường thẳng l :  y = −2u là α thỏa mãn sin α =
.
15
z = 1


C. Một số bài toán khác liên quan đến mặt phẳng:
I. Bài toán1. Tìm hình chiếu
1.1. Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng:
a, Hình chiếu vuông góc:
Phương pháp:
Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lân (P) ta làm như
sau:
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)
Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)
Ví dụ:
Trong không gian cho A ( 1;1;0 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu vuông góc
của A lên (P).
Giải:
x = 1+ u

Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d :  y = 1 + u
z = u

x = 1+ u

 y = 1+ u

⇒ H ( 2; 2;1)
Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: 
z = u
 x + y + z − 5 = 0
17


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

b, Hình chiếu song song:
Phương pháp:
Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lên (P) theo phương
chiếu l ta làm như sau:
Gọi d là đường thẳng qua A và song song với l
Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)
Ví dụ:
Trong không gian cho A ( 1;1;0 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song song
x = 2 + u

của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u .
z = u


Giải:
x = 1+ u


Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d :  y = 1 − u
z = u


x = 1+ u
 y = 1− u

⇒ H ( 4; −2;3)
Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: l : 
z
=
u

 x + y + z − 5 = 0
1.2. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng:
Phương pháp:
Giả sử cho điểm A và đường thẳng d
Cách 1:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. khi đó hình chiếu H là giao của
(P) và d.
uuur r
Cách 2: Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A lên d, khi đó ta có AH .u = 0
Ví dụ:
x = t

Trong không gian cho A ( 1; 2; 0 ) ; d :  y = 1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên
z = −t


d.

Giải:
Cách 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, phương trình mặt phẳng
(P): x − z −1 = 0 .
x = t
y =1
1

1
⇒ H  ;1; − ÷
Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: 
2
2
 z = −t

 x − z −1 = 0
Cách 2. Giả sử H ∈ d ⇒ H ( t ;1; −t ) . H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi

18


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

uuur r
 1 −1 
AH .u = 0 ⇔ H  ;1; ÷
2 
2

1.3. Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
a, Hình chiếu vuông góc:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Cách 1.
+ Nếu d P( P ) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm
hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng d’ đi qua A’
+ Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d.
Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng
d’ đi qua A’, I.
Cách 2.
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (P).
Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q)
b, Hình chiếu song song theo phương chiếu l
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), phương chiếu l.
Cách 1.
+ Nếu d P( P ) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm
hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua
A’
+ Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d.
Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương
chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua A’, I.
Cách 2.
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và song song với l.
Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q)
Ví dụ:
Trong không gian cho d :

x − 2 y + 1 z −1
=
=

,(Q):2x+y+z-8=0
2
3
5

a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)
b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương
l:

x y + 1 z −1
=
=
2
1
−1

Giải:
a, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
r r uur
(Q) qua A và có véc tơ pháp tuyến n = u; nP  = ( 1; −4; 2 ) ⇒ ( P) : x − 4 y + 2 z − 8 = 0

19


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

8 8
Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I  ;0; ÷ và có véc tơ chỉ phương

 3 3
8

x
=
+ 2t

3
r uur uur

u =  nQ ; nP  = ( 6; −3; −9 ) có phương trình là: d ' :  y = t

8
 z = − 3t
3


b, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với l
(Q)
qua
A
và
có
véc
r uur ur
n = ud ; ul  = ( −8;12; −4 ) ⇒ ( P ) : 2 x − 3 y + z − 8 = 0

tơ

pháp

tuyến

Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I ( 0;0;8 ) và có véc tơ chỉ phương
x = t
r uur uur

u =  nQ ; nP  = ( 4;0; −8 ) có phương trình là: d ' :  y = 0

 z = 8 − 2t


Bài tập tương tự:
1, Trong không gian cho A ( 1;1; 2 ) ; ( P ) : x + y − z + 2 = 0 . Tìm hình chiếu vuông
góc của A lên (P).
2, Trong không gian cho A ( 2;1; −2 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song
x = u

song của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u .
 z = 2u

x = 1 − t

3, Trong không gian cho A ( 1; 2;3) ; d :  y = 1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A
z = −t


lên d.
4 Trong không gian cho d :

x y + 1 z −1
=
=
,(Q):3x+y-8=0
2
1
1

a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)
b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương
l:

x − 2 y + 1 z −1
=
=
1
1
−1

II. Bài toán 2. Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
2.1.
Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và mặt phẳng (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho:
uuuur
uuuur
uuuur
k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:

20

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

uuur
uuur
uuur
Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I
uuuur
uuuur
uuuur
M
=
k
MA
+
k
MA
+
...
+
k
MA
Theo
đề
ra
ta
có:
1

1
2
2
n
n =
uuur uur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
k1 ( MI + IA1 ) + k2 ( MI + IA2 ) + ... + kn ( MI + IAn ) = ( k1 + k 2 + ... + k n ) MI
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P).
Ví dụ 1:
Trong không gian cho ba điểm A ( 0;0;5 ) , B ( −1; −1;3) , C ( 4;1;1) và mặt phẳng
x− y + z −3 = 0
uuur uuur uuuur
a, Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất
uuur uuur uuur
b, Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho: NA + 2 NB − NC đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:

uur uur uur
a, Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: IA + IB + IC ⇒ I ( 1;0;3) là
trọng tâm tam giác ABC
uuur uuur uuuur uuur uur
uuur uur
uuur uur
uuur
=
MA
+

MB
+
MC
(
MI
+
IA
)
+
(
MI
+
IB
)
+
(
MI
+
IC
)
=
3
MI
M=
M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P)
x = 1+ t

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): d :  y = −t
z = 3 + t


x = 1+ t
 y = −t

 2 1 8
⇒M ; ; ÷
Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ: 
 3 3 3
z = 3 + t
 x − y + z − 3 = 0
b,

Giả

sử

trong

không

gian

tồn

tại

điểm

I ( a; b; c )

sao

cho:

 a = −3
uur uur uur 
−3
3 

IA + 2 IB − IC ⇒ b =
⇒ I  −3; − ;5 ÷
2
2 


c = 5
uuur uuur uuur uur uur
uur uur
uur uur
uur
M = NA + 2 NB − NC = ( NI + IA) + 2( NI + IB) − ( NI + IC ) = 2 NI
M đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên (P)
 x = −3 + t

−3

−t
Gọi d là đường thẳng qua N và vuông góc với (P): d :  y =
2

 z = 5 + t

21


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

 x = −3 + t

−3
−t
 y =
 −19 −4 29 
⇒ N
; ; ÷
2
Khi đó tọa độ N là nghiệm của hệ: 
6
3 6 

z = 5 + t

 x − y + z − 3 = 0
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm
A ( −1; −1;0 ) , B ( 1; −1;1) ,C ( −1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
uuur

uuur

uuuur

x + y + z − 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất.
Giải:
Ta có:

uuur uuur uuuur
uuur uur uuur uur uuur uur uuur
2MA + 2 MB − 3MC = 2 MI + 2 IA + 2 MI + 2 IB − 3MI − 3IC = MI = IM
uuur uuur uuuur
Suy ra 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất khi và chỉ khi IM ngắn nhất, do M thuộc (P) nên

IM ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Tìm hình chiếu của I trên (P)
Giả sử M (a; b; c) ∈ ( P) là hình chiếu của I trên (P). Ta có
uuur
r

a + b + c = 4
uuu
r
r
(I)
IM
=
a
−
3;
b
+
7;

c
+
1
;
n
. Mà

(
) ( P ) = ( 1;1;1)

 IM = k .n( P )

 a=6
 a+b+c = 4

⇔ b = − 4
Hệ (I) ⇔ 
a − 3 = b + 7 = c + 1  c = 2

M ( 6; −4; 2 ) chính là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2.2. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,..., An và mặt phẳng (P). Tìm trên (P)
2
2
2
điểm M sao cho: k1MA1 + k 2 MA2 + ... + kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
uuur
uuur
uuur

Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I
Theo

đề

ra
ta
có:
uuu
r
uu
r
uuu
r
uu
r
uuu
r
uu
r
2
2
2
k1MA12 + k2 MA22 + ... + k n MAn2 M = k1 MI + IA1 + k2 MI + IA2 + ... + k n MI + IA n

(

) (

= ( k1 + k2 + ... + kn ) MI 2 + k1 IA12 + k2 IA22 + ... + k n IAn2

)

(

)

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P).
Ví dụ:
Trong không gian cho ba điểm A ( 0; 0;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 1; −1; 2 ) và mặt phẳng
x− y + z −3 = 0
Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:

22


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

uur uur uur
Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: IA + IB + IC ⇒ I ( 0;0;1) là trọng
tâm tam giác ABC
M = MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MI 2 + IA2 + IB 2 + IC 2 =
M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P)
x = t

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): d :  y = −t
z = 1+ t


x = t
 y = −t

 2 −2 5 
⇒M ; ; ÷
Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ: 
 3 3 3
z = 1+ t
 x − y + z − 3 = 0
2.3.Trong không gian cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên (P)
sao cho tam giác ABC đều hoặc có diện tích bằng một số m cho trước.
Phương pháp:
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó điểm C thuộc đường thẳng
giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường giao tuyến dưới dạng tham số.
+ Nếu tam giác ABC đều thì AB =BC
+ Nếu tam giác ABC cân và có diện tích bằng số cho trước thì chọn C thuộc giao
1
tuyến và sử dụng công thưc: S = d ( C ; AB ) . AB = m .
2
Ví dụ 1:
Trong không gian cho A ( 0;0;1) , B ( 0;1;0 ) ;( P) : x + 2 y − z − 1 = 0 . Tìm điểm C
thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.
Giải:
 1 1
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm I  0; ; ÷ và
 2 2
uuur
có véc tơ pháp tuyến AB ( 0;1; −1) nên có phương trình là: y − z = 0 .

x = t

Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q), phương trình đường thẳng d là:  y = 1 − t
z = 1− t

Vì C ∈ d ⇒ C ( t ;1 − t ;1 − t ) . Tam giác ABC đều khi và chỉ

khi

t = 1
AB = BC ⇒ 3t − 2t − 1 = 0 ⇔  −1
t =
3

Với t = 1 ⇒ C ( 1;0;0 )
2

23


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

−1
 −1 4 4 
⇒C ; ; ÷
3
 3 3 3
Ví dụ 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1); B(-1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm
Với t =

M ∈ ( Oxy ) sao cho ∆MAB cân tại M và có diện tích bằng

21
.
2

Giải:
Cách 1. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm
uuur
 1 
I  0; ;1÷ và có véc tơ pháp tuyến AB ( −2;1;0 ) nên có phương trình là:
 2 
4x − 2 y +1 = 0 .
x = t

1

Gọi d là giao tuyến của (Oxy) và (Q), phương trình đường thẳng d là:  y = + 2t
2

 z = 0
 1

M ∈ d ⇒ M  t ; + 2t ; 0 ÷ .
Vì
Theo
đề

ra:
 2

  4 21 
 4
t
=
 M  5 ; 10 ; 0 ÷

1
21
21
21


5
MI . AB =
⇔ MI =
⇔ 5t 2 + 1 =
⇔
⇒
2
2
5
5
t = −4  M  −4 ; −11 ;0 
 
÷

5

  5 10 
Cách 2.
M ∈ (0 xy ) ⇒ M (a; b;0)

∆MAB : MA = MB ⇔ MA2 = MB 2
⇔ (1 − a) 2 + b2 + 1 = (−1 − a) 2 + (1 − b) 2 + 1 ⇔ 4a − 2b + 1 = 0 (1)
uuuur uuur 2
 a + 2b = 5 (2)
21
S ∆MAB =
⇔  AM , AB  = 21 ⇔ ... ⇔ (a + 2b − 1) 2 = 16 ⇔ 
2
 a + 2b = −3 (3)

4

a
=

5
Từ (1) và (2) ⇒ 
b = 21
 10
  4 21 
 M  5 ; 10 ;0 ÷


Vậy có 2 điểm : 
  −4 −11 
;0 ÷

M  ;
5
10



Ví dụ 3:

−4

a = 5
Từ (1) và (3) ⇒ 
b = − 11

10

24


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) x − 2 y − z − 5 = 0 và các
điểm A ( 3; −1; −3) , B ( 5;1;1) . Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng

( ABC ) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng

3.

Giải:
Cách 1: Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có véc tơ pháp tuyến
r uuur r
n =  AB; n  = ( 1;1; −1) nên có phương trình: x + y − z − 5 = 0 .
C thuộc giao tuyến của (P) và (Q), gọi d là giao tuyến hai mặt phẳng này, phương
x = t

trình đường thẳng d :  y = 0
 z = −5 + t


C ∈ d ⇒ C ( t ;0; −5 + t )

1
Ta có:
2

uuur uuur
t = 5 C ( 5;0;0 )
 AB, AC  = 3 ⇔ t − 4 = 1 ⇔ 
⇒


t = 3 C ( 3;0; −2 )

Cách 2: Vì C ( a; b; c ) ∈ ( P) ⇒ a − 2b − c − 5 = 0 (1). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB
uur

uuur uur

và vuông góc với (P) ⇒ nQ =  AB; nP  = ( 1;1; −1) ⇒ (Q) : x + y − z − 5 = 0
C ∈ (Q) ⇒ a + b − c − 5 = 0 (2). Từ (1), (2) C ( a;0; a − 5 )
a = 5
1 uuur uuur
 AB; AC  = a − 4 3 = 3 ⇔ 
S
=
Mặt khác

2
a = 3

C ( 5;0;0 )

Vậy 

C ( 3;0; −2 )

2.4. Cho hai điểm A, B thuộc mặt phẳng (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho
a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất
Phương pháp:
Trường hợp 1: A, B cùng phía không gian so với mặt phẳng (P)
a, Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có
MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ ( MA + MB ) min = A ' B ⇔ A ', M , B thẳng hàng.
Vậy M là giao điểm của đường thẳng A’B và mặt phẳng (P).
b, Ta có MA − MB ≤ AB ⇒ ( MA − MB ) max = AB ⇔ A, B, M thẳng hàng. Vậy
Vậy M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Trường hợp 2: A, B khác phía không gian so với mặt phẳng (P)

25