MỘT số GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT VĂN QUÁN

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
“MỘT SỐ GIẢI PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Tổ:

Toán – Lý


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

Năm học:

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung

2013 - 2014

Trường THPT Văn Quán

2


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
“MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Tổ : Toán - Lí
Đơn vị công tác: Trường THPT Văn Quán - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ
Số tiết dự kiến:05T trên lớp + 05T tự học
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình Toán Giải tích 12 học sinh được làm quen với bài toán tính
tích phân. Đây là phần kiến thức rất quan trọng, thường có trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi Đại học – Cao đẳng. Có rất nhiều phương pháp tính tích
phân, trong đó có phương pháp tích phân từng phần. Đây là một phương pháp cơ
bản, nhưng nếu học sinh không biết cách lựa chọn u và dv thì sẽ dẫn đến bài toán
phức tạp. Thông thường ta đặt dv cho phần dễ thấy nguyên hàm và u là phần còn
lại, bởi vì từ u tìm du thì chắc chắn tìm được còn từ dv mà tìm v thì không phải
dễ.
Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản khi tính
tích phân và các dạng toán cơ bản khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân
từng phần.
B. NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN
1. Định nghĩa tích phân:

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

1


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b

b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: ∫ f ( x) dx
a

b
b
Vậy ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
a
2. Các tính chất của tích phân:
b

b

a

a

+ Tính chất 1: ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
b

b

b

a

a

a

+ Tính chất 2: ∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
b

c

b

a

a

c

+ Tính chất 3: ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a < c < b)
3. Định lí:
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]
thì
b
' ( x) dx = (u ( x)v( x)) b − b u ' ( x)v( x) dx
u
(
x
)
v
∫
a a∫

a
b
b
Hay ∫ u dv = uv ba − ∫ v du
a
a

4.Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp:

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

2


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

∫ 0dx = C
∫ dx = x + C

α +1
α dx = x
x
+ C (α ≠ −1)
∫
α +1
dx
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)

∫

e x dx = e x + C

ax
x
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C

∫

dx
= tgx + C
cos2 x

∫

dx
= − cot gx + C
sin 2 x

C. GIẢI PHÁP
 Giải pháp 1: Nếu gặp tích phân
b

u = P ( x )

• Dạng 1 : ∫ P( x).sin(α x + β )dx ta đặt  dv = sin(α x + β )dx ta có

a


 du = P '( x).dx


1
v = − α cos(α x + β )


Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

3


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

b
• Dạng 2 : ∫ P( x).cos(α x + β )dx ta đặt
a
 du = P '( x).dx


1
v = α sin(α x + β )

b

(α x+ β )dx
• Dạng 3 : ∫ P( x).e
ta đặt
a

u = P ( x )

 dv = cos(α x + β )dx

u = P( x)

α x+β dx
 dv = e

ta có

ta có

 du = P '( x).dx


1 α x+ β
v = α e


b
u = ln(α x + β )
• Dạng 4 : ∫ f ( x).ln(α x + β )dx ta đặt  dv = f ( x)dx ta có
a


α

.dx
 du =
αx+β

v = F ( x)


π

Ví dụ 1 : Tính tích phân A= ∫ (2x-1)sin2xdx
0

Giải
Đặt u = 2x - 1 ⇒ du = 2dx ;
dv = sin2x dx ⇒ v = −

cos2x
2

π
π
1
1
1 1
A
=
−

2x
−
1
c
os2x
+
c
os2xdx
=
−
2
π
−
1
−
+
sin
2x
= −π
(
)
(
)
suy ra:
0 ∫0
0
2
2
2 2
π

2

Ví dụ 2: Tính tích phân B= ∫ lnx dx
1

Giải

Đặt u = lnx ⇒ du =

dx
x

dv = dx ⇒ v = x
2

2

suy ra: B = xlnx 1 − ∫ dx = 2 ln 2 − x = 2 ln 2 − 1
2

1

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

1

Trường THPT Văn

4


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

2

Ví dụ 3: Tính tích phân C = ∫ (x − 3)e2x dx
1

Giải

Đặt u = x - 3 ⇒ du = dx
dv =

e 2x dx

⇒v=

1 2x
e
2
2

1
1 2x
e4
1 2x 2
3e 4 + 5e 2
2x 2

2
suy ra: C = ( x − 3) e 1 − ∫ e dx = − + e − e 1 = −
2
21
2
4
4

*) Chú ý: Có những tích phân phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Mỗi
lần từng phần thì mũ của biểu thức u giảm một bậc cho tới khi không còn mũ.
π

2
Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ (x + 3x − 1)sin2x dx
0

Giải
Đặt u = x2 + 3x - 1 ⇒ du = (2x + 3)dx ;
dv = sin2x dx ⇒ v = −

cos2x
2

π 1
1
I = ∫ (x + 3x − 1)sin2x dx = − ( x 2 + 3x − 1) cos2 x + ∫ ( 2 x + 3 ) cos2 xdx
0 20
2
0
π

π

2

π

1
1
= − ( π 2 + 3π ) + ∫ ( 2 x + 3) cos2 xdx
2
20
π

Sau đó ta phải tính: J= ∫ (2x + 3)cos2xdx
0

Đặt u = 2x + 3 ; ⇒ du = 2dx ;
dv = cos2x dx ⇒ v =

sin2x
2

π π
π
1
1
Suy ra J = ∫ (2x + 3)cos2xdx = ( 2 x + 3) sin 2 x − ∫ sin2xdx = cos2 x = 1
0 0
0

2
2
0
π

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

5


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
π

2
Vậy I = ∫ (x + 3x − 1)sin2x dx = −
0

1 2
( π + 3π − 1)
2

e

Ví dụ 5: Tính tích phân H = ∫ (x 3 − 4x 2 + x + 2)ln 2 xdx
1

Giải

Đặt u = ln2x ⇒ du =

2lnx
dx
x

dv = (x3 – 4x2 + x + 2)dx ⇒ v =

x 4 4x 3 x 2
−
+
+ 2x
4
3
2

Suy ra:
e

H = ∫ (x 3 − 4x 2 + x + 2)ln 2 xdx
1

e e x 3 4x 2 x
 x 4 4x 3 x 2

= −
+ + 2x ÷ln 2 x − ∫ ( −
+ + 2)lnxdx
1
4

3
2
4
3
2


1
e

e 4 4e3 e 2
x 3 4x 2 x
= −
+ + 2e-∫ ( −
+ + 2)lnxdx
4
3
2
4
3
2
1

 x 3 4x 2 x

+ + 2 ÷lnx dx
Sau đó ta phải tính: K = ∫  −
4
3
2


1
e

đặt: u = lnx ; ⇒ du =

dx
;
x

x 4 4x 3 x 2
x 3 4x 2 x
+ + 2)dx ⇒ v =
−
+
+ 2x
dv = ( −
4
3
2
16
9
4

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

6

Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

 x 3 4x 2 x

K = ∫ −
+ + 2 ÷lnx dx
4
3
2

1
4
3
2
e e  x 3 4x 2 x
x


4x x
= −
+ + 2x ÷ln x − ∫  −
+ + 2 ÷ dx
1 1  16
9
4
9
4
 16



e

 x 4 4x 3 x 2
e
e 4 4e3 e 2
= −
+ + 2e-  −
+ + 2x ÷
16 9
4
 64 27 8
1
=

 e 4 4e3 e 2
  1
e 4 4e3 e 2
1 1

−
+ + 2e −  −
+ + 2e ÷+  −
+ + 2÷
16 9
4

 64 27 8
  64 27 8

3e 4 8e3 e 2 3635
=
+
+ +
64 27 8 1728

Suy ra H=

3e 4 8e3 e2 3635
+
+ +
64 27 8 1728

=

• Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
π
2

2

b) I 2 = ∫ 3x.e x dx

a ) I1 = ∫ ( x − 1)sin xdx

−1

0

π

d ) I 4 = ∫ (1 − 2x 3 )cos
0

2

c) I 3 = ∫ (3 x 2 − 1) ln xdx
1

x
dx ( từng phần 3 lần )
4

2

e) I 5 = ∫ (x 2 − 3x) 2e −2x dx ( từng phần 4 lần )
1

2

f ) I 6 = ∫ (x 2 + 2x − 1) ln 3 x dx ( từng phần 3 lần )
1

 Giải pháp 2: Nếu gặp tích phân
•

b
Dạng 1: I = ∫ eα x + β sin(mx + n)dx

a
ta đặt


u = eα x+ β

 dv = sin(mx + n)dx

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

ta có

α x+ β .dx

 du = α .e

1
v = − cos(mx + n)
m

Trường THPT Văn

7


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
 du = m.cos(mx + n)dx
u = sin(mx + n)



(hoặc có thể đặt ngược lại 
ta
có
)
1 α x+ β
α x+β dx
 dv = e
v = α e

•

b
Dạng 2: J = ∫ eα x + β cos(mx + n)dx
a
ta đặt


u = eα x+ β

 dv = cos(mx + n)dx

(hoặc có thể đặt ngược lại

ta có

α x+ β .dx

 du = α .e


1
v = sin(mx + n)
m


u = cos(mx + n)

α x+β dx
 dv = e

ta có

 du = −m.sin(mx + n)dx


)
1 α x+ β
v = α e


*) Chú ý: Từng phần lần thứ nhất thì dạng 1 chuyển sang dạng 2, từng phần lần
thứ hai thì lại về dạng cũ. Khi đó ta được một phương trình với I (hoặc J) là ẩn số,
giải tìm I (hoặc J)
π

2x -1
Ví dụ : Tính tích phân I = ∫ e sin3x dx
0

Giải

Đặt u = e2x-1 ⇒ du = 2e2x-1 dx
dv = sin3x ⇒ v = −
1 2x −1
suy ra: I = − (e cos3x)
3

π
0

cos3x
3
π

2 2x -1
+ ∫ e cos3x dx
30

π
2 2x -1
1 2π −1 1
= (e + ) + ∫ e cos3x dx ( dạng I chuyển về J )
30
3
e

π

Gọi J = ∫ e

2x -1

cos3x dx

0

Đặt u = e2x-1 ⇒ du = 2e2x-1 dx
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

8


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

dv = cos3x ⇒ v =
suy ra: J =

π 2
1 2x −1
(e sin3x) − I ( dạng J lại chuyển về I )
0 3
3

Do đó: I =
Vậy: I =

sin3x
3

1 2π −1 1
4
(e
+ ) - I
9
3
e

3 2π −1 1
(e + )
13
e

• Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
π

a) I = ∫ e
0

1− x

π
4
b) J = ∫ e x sin xdx
0

x
cos dx

2

 Giải pháp 3: Lựa chọn nguyên hàm v phù hợp để tính tích phân dễ dàng hơn
5

Ví dụ 1 : Tính tích phân M = ∫ 2xln ( x − 1) dx
2

Giải:
Đặt u = ln(x-1) ⇒ du =

1
x −1

dx

dv = 2xdx ⇒ v = x 2 − 1
5
5 5 x2 −1
dx = 25ln 4 − ∫ ( x + 1) dx
suy ra: M = x ln ( x − 1) − ∫
2 2 x −1
2
2

( x + 1)
= 25ln 4 −

2

2

5
2

= 25ln 4 −

27
2

*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v = x 2 − 1 thay vì chọn v = x 2 như quen thuộc.
Với sự lựa chọn này vdu có biểu thức đẹp hơn và nhờ đó việc tính tích phân sẽ
thuận lợi hơn.
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

9


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
1

Ví dụ 2 : Tính tích phân N = ∫ ln ( 2 x + 1) dx
0

Giải:
Đặt u = ln(2x+1) ⇒ du =
dv = dx ⇒ v =

x+

2
2x +1

dx

1
2

1 1
1 3
1
3

suy ra: N =  x + ÷ln ( 2 x + 1) − ∫ dx = ln 3 − x = ln 3 − 1
0 0
0 2
2
2


*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v =

x+

1
2

thay vì chọn v = x.

• Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
e −1

a)

∫ ln ( x + 1) dx
0

dv = cosnx ⇒ v =

1

b)

∫ xln ( x + 1)

2

dx

0

1
sinnx
n

D. KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung chuyên đề “Một số giải pháp tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần”. Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi
tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao đẳng. Chuyên đề giúp cho học sinh tính tích
phân từng phần tốt hơn và nhanh hơn nếu gặp các dạng này, nếu gặp dạng tương
tự thì cũng có thể làm được. Hoặc ít ra cũng lựa chọn cách đặt đúng đối với một
bài tích phân nào đó nếu dùng phương pháp tích phân từng phần.
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

10


Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

Chuyên đề đã được áp dụng cho lớp 12A1, 12A3, 12A5. Nhìn chung các em đã
biết cách nhận biết các bài tích phân phải sử dụng phương pháp tích phân từng
phần, biết cách đặt u và dv phù hợp, biết tích phân nào phải từng phần nhiều lần,
tích phân nào có hai cách đặt. Đặc biệt lớp 12A1 rất nhanh trong bài toán nhận
biết lựa chọn nguyên hàm v sao cho phù hợp để tính tích phân đơn giản hơn.

E. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục
2. Vũ Tuấn, Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục
3. Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục
4. TS Nguyễn Cam, Phân loại- phân tích và phương pháp giải toán tích phân,
NXB ĐHQG Hà Nội

Tổ trưởng

Trần Quang Huy

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hồng
Nhung

Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán

Trường THPT Văn

11